積分學(xué)和無窮級(jí)數(shù).doc

在每年的全國(guó)碩士研究生入學(xué)考試中，數(shù)學(xué)總分是150分，占了較大比重，數(shù)學(xué)能否復(fù)習(xí)好、考好，對(duì)考研能否成功有較大影響。對(duì)于考研數(shù)學(xué)的復(fù)習(xí)，除了按照數(shù)學(xué)考試大綱的要求對(duì)知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行全面的復(fù)習(xí)外，要想取得高分，還應(yīng)該對(duì)往年的考研數(shù)學(xué)試題的規(guī)律、風(fēng)格和特點(diǎn)有較全面的認(rèn)識(shí)，這樣才能做到心中有數(shù)、知己知彼，一考成功。為了幫助廣大考生復(fù)習(xí)好、考好數(shù)學(xué)，下面對(duì)考研數(shù)學(xué)（一）中的多元函數(shù)積分學(xué)和無窮級(jí)數(shù)的真題考點(diǎn)進(jìn)行分析總結(jié)。內(nèi)容包括：重積分及其應(yīng)用、曲線積分和曲面積分、無窮級(jí)數(shù)，這幾部分內(nèi)容的考點(diǎn)分布規(guī)律如下表所示。近15年考研數(shù)學(xué)（一）中的多元函數(shù)積分學(xué)和無窮級(jí)數(shù)的真題考點(diǎn)分析：內(nèi)容 年份重積分及其應(yīng)用曲線與曲面積分無窮級(jí)數(shù)2000八(球體重心)二(2)(曲面積分對(duì)稱性)，五(格林)，六(高斯，微分方程)二(3)(斂散判斷)，七(收斂區(qū)間)2001一(3)(二次積分)，八(雪堆融化，體積，側(cè)面積)六(斯托克斯)五(函數(shù)展開，數(shù)項(xiàng)求和)2002五(二重積分，分區(qū))六(格林)二(2)(斂散判斷)，七()(逐項(xiàng)求導(dǎo)，微分方程)2003八(球面坐標(biāo)，極坐標(biāo)，變限求導(dǎo))五(格林，對(duì)稱性)一(3)(傅里葉系數(shù))，四(函數(shù)展開，數(shù)項(xiàng)求和)200410(交換次序，變限求導(dǎo))3(參數(shù)法，格林)，17(高斯)9(斂散判斷，反例法)，18(比較審斂，零點(diǎn)定理)200515(極坐標(biāo)，分區(qū)，取整函數(shù))4(高斯)，19(格林，路徑無關(guān)，微分方程)16(收斂區(qū)間，求和)20068(極化直)，15(極坐標(biāo)，對(duì)稱性)3(高斯)，19(格林，偏導(dǎo))9(斂散判斷)，17(函數(shù)展開)20076(曲線積分正負(fù))，14(曲面積分對(duì)稱性)，18(高斯)20(逐項(xiàng)求導(dǎo)，微分方程，求和)200812(高斯)，16(參數(shù)法，格林)11(收斂域)，19(傅里葉級(jí)數(shù))20092(大小比較，對(duì)稱性)，12(球面坐標(biāo)，對(duì)稱性)11(曲線積分)，19(高斯)4(斂散判斷，比較審斂，反例法)，16(數(shù)項(xiàng)求和，面積)20104(定義求和)，12(立體形心)11(參數(shù)法，格林)，19(曲面積分，切平面，投影)18(收斂域，和函數(shù))201119(交換次序，分部積分，抽象函數(shù))12(參數(shù)法，斯托克斯)2(收斂域)201212(曲面積分)，19(格林)17(收斂域，和函數(shù))201319(旋轉(zhuǎn)體方程，立體形心)4(格林，參數(shù)法)3(傅里葉，延拓，周期性)，16(逐項(xiàng)求導(dǎo)，微分方程)20143(交換次序，直化極)12(參數(shù)法，斯托克斯)，18(高斯，對(duì)稱性，投影法)19(證數(shù)列收斂、級(jí)數(shù)收斂)上面表格中數(shù)字表示相應(yīng)年份的試卷中考題的題號(hào)，數(shù)字后面括號(hào)里的文字說明表示該考題涉及的主要考點(diǎn)或主要解題方法。注：1）“格林”、“高斯”、“斯托克斯”分別指格林公式、高斯公式、斯托克斯公式，2）“極化直”和“直化極”指重積分計(jì)算中極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的相互轉(zhuǎn)化，3）“交換次序”指交換累次積分的次序，5）“變限求導(dǎo)”指對(duì)變限積分函數(shù)求導(dǎo)，6）“數(shù)項(xiàng)求和”指常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的求和，7）“定義求和”指利用重積分定義求若干項(xiàng)和的極限，8）“抽象函數(shù)”指不是用具體數(shù)學(xué)函數(shù)表示的函數(shù)，9）“延拓”指對(duì)函數(shù)進(jìn)行奇延拓或偶延拓、周期延拓，以便利用傅里葉級(jí)數(shù)理論，10）“對(duì)稱性”指積分區(qū)域的對(duì)稱性和函數(shù)的奇偶性，二者結(jié)合在一起，對(duì)積分進(jìn)行化簡(jiǎn)計(jì)算。從近15年考題特點(diǎn)來看，關(guān)于重積分及其應(yīng)用方面的內(nèi)容，最基本最?？嫉膬?nèi)容是二重積分的計(jì)算，考生應(yīng)該熟練掌握其各種常用的計(jì)算方法和技巧，包括利用對(duì)稱性計(jì)算、必要時(shí)進(jìn)行分區(qū)域計(jì)算、交換積分次序計(jì)算、利用極坐標(biāo)計(jì)算；其次是三重積分的計(jì)算，常用方法包括：直角坐標(biāo)計(jì)算、球面坐標(biāo)計(jì)算、柱坐標(biāo)計(jì)算；關(guān)于重積分的應(yīng)用，重點(diǎn)應(yīng)該掌握面積、體積和質(zhì)心（形心）的計(jì)算；除此之外，有時(shí)會(huì)考重積分大小的比較、利用重積分的定義求數(shù)項(xiàng)和的極限；另外，這部分內(nèi)容有時(shí)會(huì)用到變限積分函數(shù)的求導(dǎo)公式，大家要能熟練運(yùn)用。關(guān)于曲線和曲面積分，這是數(shù)學(xué)一的一個(gè)考試重點(diǎn)，每年必考，并且時(shí)?？家坏来箢}（10分以上）和一道小題（4分）。這方面最?？嫉念}型有3類：運(yùn)用參數(shù)法計(jì)算曲線積分、運(yùn)用格林公式計(jì)算曲線積分和運(yùn)用高斯公式計(jì)算曲面積分。除此之外，有時(shí)也會(huì)考查運(yùn)用斯托克斯公式計(jì)算曲線積分。對(duì)于第一類曲線和曲面積分的基本計(jì)算大家也應(yīng)該掌握，另外，在曲線和曲面積分的計(jì)算中，要會(huì)運(yùn)用對(duì)稱性簡(jiǎn)化計(jì)算，提高解題效率。關(guān)于無窮級(jí)數(shù)方面，同曲線曲面積分類似，它也是數(shù)學(xué)一的一個(gè)重要考點(diǎn)，每年必考，有時(shí)也會(huì)考兩道題，一道大題（10分以上）和一道小題（4分）。?？嫉念}型主要有兩類：一類是無窮級(jí)數(shù)收斂或發(fā)散的判斷，另一類是無窮級(jí)數(shù)的求和，求和過程中常用逐項(xiàng)求導(dǎo)和逐項(xiàng)積分的方法，對(duì)于常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的求和，常借助