（寒假總動(dòng)員）高二數(shù)學(xué)寒假作業(yè) 專題17 直接證明與間接證明（背）.doc

專題17 直接證明與間接證明【背一背】1.綜合法證明1定義：一般地，從命題的已知條件出發(fā)，利用公理、已知的定義及定理等，經(jīng)過(guò)一系列的推理論證，最后推導(dǎo)出所要證明的結(jié)論成立，這種證明方法叫做綜合法.2綜合法的的基本思路：執(zhí)因索果綜合法又叫“順推證法”或“由因?qū)Чā?它是由已知走向求證，即從數(shù)學(xué)題的已知條件出發(fā)，經(jīng)過(guò)逐步的邏輯推理，最后導(dǎo)出待證結(jié)論或需求的問(wèn)題綜合法這種由因?qū)Ч淖C明方法，其邏輯依據(jù)是三段論式的演繹推理方法3綜合法的思維框圖：用表示已知條件，為定義、定理、公理等，表示所要證明的結(jié)論，則綜合法可用框圖表示為：（已知） （逐步推導(dǎo)結(jié)論成立的必要條件） （結(jié)論）要點(diǎn)詮釋（1）從“已知”看“可知”，逐步推出“未知”，由因?qū)Ч?，其逐步推理?shí)際上是尋找它的必要條件； （2）用綜合法證明不等式，證明步驟嚴(yán)謹(jǐn)，逐層遞進(jìn)，步步為營(yíng)，條理清晰，形式簡(jiǎn)潔，宜于表達(dá)推理的思維軌跡； （3）因用綜合法證明命題“若a則d”的思考過(guò)程可表示為： 故要從a推理到d，由a推演出的中間結(jié)論未必唯一，如b、b1、b2等，可由b、b1、b2進(jìn)一步推演出 的中間結(jié)論則可能更多，如c、c1、c2、c3、c4等等所以如何找到“切入點(diǎn)”和有效的推理途徑是有 效利用綜合法證明問(wèn)題的“瓶頸”4綜合法證明不等式時(shí)常用的不等式 （1）a2+b22ab（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)“=”號(hào)）；（2）（a，br*，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)“=”號(hào)）；（3）a20，|a|0，(ab)20； （4）（a，b同號(hào)）；（a，b異號(hào)）；（5）a，br，（6）不等式的性質(zhì)定理1 對(duì)稱性：abba。定理2 傳遞性：。定理3 加法性質(zhì)：。推論 。定理4 乘法性質(zhì)：。 推論1 。推論2 。定理5 開(kāi)方性質(zhì)：。2.分析法證明1定義：一般地，從需要證明的命題出發(fā)，分析使這個(gè)命題成立的充分條件，逐步尋找使命題成立的充分條件，直至所尋求的充分條件顯然成立（已知條件、定理、定義、公理等），或由已知證明成立，從而確定所證的命題成立的一種證明方法，叫做分析法.2分析法的基本思路：執(zhí)果索因分析法又叫“逆推證法”或“執(zhí)果索因法”.它是從要證明的結(jié)論出發(fā)，分析使之成立的條件，即尋求使每一步成立的充分條件，直到最后，把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個(gè)明顯成立的條件（已知條件、定理、定義、公理等）為止.分析法這種執(zhí)果索因的證明方法，其邏輯依據(jù)是三段論式的演繹推理方法。3分析法的思維框圖：用表示已知條件和已有的定義、公理、公式、定理等，所要證明的結(jié)論，則用分析法證明可用框圖表示為：（結(jié)論） （逐步尋找使結(jié)論成立的充分條件） （已知）4分析法的格式：要證，只需證，只需證，因?yàn)槌闪?，所以原不等式得證。要點(diǎn)詮釋：（1）分析法是綜合法的逆過(guò)程，即從“未知”看“需知”，執(zhí)果索因，逐步靠攏“已知”，其逐步推理，實(shí)際上是尋找它的充分條件 （2）由于分析法是逆推證明，故在利用分析法證明時(shí)應(yīng)注意邏輯性與規(guī)范性，即分析法有獨(dú)特的表述5綜合法與分析法的橫向聯(lián)系（1） 綜合法是把整個(gè)不等式看做一個(gè)整體，通過(guò)對(duì)欲證不等式的分析、觀察，選擇恰當(dāng)不等式作為證題的出發(fā)點(diǎn)，其難點(diǎn)在于到底從哪個(gè)不等式出發(fā)合適，這就要求我們不僅要熟悉、正確運(yùn)用作為定理性質(zhì)的不等式，還要注意這些不等式進(jìn)行恰當(dāng)變形后的利用分析法的優(yōu)點(diǎn)是利于思考，因?yàn)樗较蛎鞔_，思路自然，易于掌握，而綜合法的優(yōu)點(diǎn)是宜于表述，條理清晰，形式簡(jiǎn)潔我們?cè)谧C明不等式時(shí)，常用分析法尋找解題思路，即從結(jié)論出發(fā)，逐步縮小范圍，進(jìn)而確定我們所需要的“因”，再用綜合法有條理地表述證題過(guò)程分析法一般用于綜合法難以實(shí)施的時(shí)候（2） 有些不等式的證明，需要把綜合法和分析法聯(lián)合起來(lái)使用：根據(jù)條件的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)去轉(zhuǎn)化結(jié)論，得到中間結(jié)論q；根據(jù)結(jié)論的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)去轉(zhuǎn)化條件，得到中間結(jié)論p若由p可以推出q成立，就可以證明結(jié)論成立，這種邊分析邊綜合的證明方法，稱之為分析綜合法，或稱“兩頭擠法”分析綜合法充分表明分析與綜合之間互為前提、互相滲透、互相轉(zhuǎn)化的辯證統(tǒng)一關(guān)系，分析的終點(diǎn)是綜合的起點(diǎn)，綜合的終點(diǎn)又成為進(jìn)一步分析的起點(diǎn) 命題“若p則q”的推演過(guò)程可表示為： 3.反證法證題間接證明不是從正面確定命題的真實(shí)性，而是證明它的反面為假，或改證它的等價(jià)命題為真，間接地達(dá)到目的，反證法是間接證明的一種基本方法1反證法定義：一般地，首先假設(shè)要證明的命題結(jié)論不正確，即結(jié)論的反面成立，然后利用公理，已知的定義、定理，命題的條件逐步分析，得到和命題的條件或公理、定理、定義及明顯成立的事實(shí)等矛盾的結(jié)論，以此說(shuō)明假設(shè)的結(jié)論不成立，從而證明了原命題成立，這樣的證明方法叫做反證法.2反證法的基本思路：假設(shè)矛盾肯定” 分清命題的條件和結(jié)論 做出與命題結(jié)論相矛盾的假設(shè) 由假設(shè)出發(fā)，結(jié)合已知條件，應(yīng)用演繹推理方法，推出矛盾的結(jié)果 斷定產(chǎn)生矛盾結(jié)果的原因，在于開(kāi)始所做的假定不真，于是原結(jié)論成立，從而間接地證明原命題為真3反證法的格式：用反證法證明命題“若p則q”時(shí)，它的全部過(guò)程和邏輯根據(jù)可以表示如下： 要點(diǎn)詮釋：（1）反證法是間接證明的一種基本方法.它是先假設(shè)要證的命題不成立，即結(jié)論的反面成立，在已知條件和“假設(shè)”這個(gè)新條件下，通過(guò)邏輯推理，得出與定義、公理、定理、已知條件、臨時(shí)假設(shè)等相矛盾的結(jié)論，從而判定結(jié)論的反面不能成立，即證明了命題的結(jié)論一定是正確的.(2) 反證法的優(yōu)點(diǎn)：對(duì)原結(jié)論否定的假定的提出，相當(dāng)于增加了一個(gè)已知條件.4反證法的一般步驟： （1）反設(shè)：假設(shè)所要證明的結(jié)論不成立，假設(shè)結(jié)論的反面成立； （2）歸謬：由“反設(shè)”出發(fā)，通過(guò)正確的推理，導(dǎo)出矛盾與已知條件、已知的公理、定義、定理、反設(shè)及明顯的事實(shí)矛盾或自相矛盾；（3）結(jié)論：因?yàn)橥评碚_，產(chǎn)生矛盾的原因在于“反設(shè)”的謬誤，既然結(jié)論的反面不成立，從而肯定了結(jié)論成立 要點(diǎn)詮釋：（1）結(jié)論的反面即結(jié)論的否定，要特別注意：“都是”的反面為“不都是”，即“至少有一個(gè)不是”，不是“都不是”；“都有”的反面為“不都有”，即“至少有一個(gè)沒(méi)有”，不是“都沒(méi)有”；“都不是”的反面是“部分是或全部是”，即“至少有一個(gè)是”，不是“都是”；“都沒(méi)有”的反面為“部分有或全部有”，即“至少有一個(gè)有”，不是“都有”（2）歸謬的主要類型：與已知條件矛盾；與假設(shè)矛盾；與定義、定理、公理、事實(shí)矛盾 5宜用反證法證明的題型： 要證的結(jié)論與條件之間的聯(lián)系不明顯，直接由條件推出結(jié)論的線索不夠清晰；比如“存在性問(wèn)題、唯一性問(wèn)題”等； 如果從正