（通信與信息系統(tǒng)專業(yè)論文）基于小波理論的圖像去噪和增強技術研究.pdf

武漢理工大學碩士學位論文 摘要 小波分析在圖像處理中有非常重要的應用 本文研究方向是在其圖像去噪 和圖像增強中的應用 小波分柝是傅立葉分析思想方法的發(fā)展與延拓 二維小 波分析用于圖像去噪和圖像增強是小波分析應用的一個重要方面 小波分析用 于圖像去噪和增強具有明顯的優(yōu)點 基于小波分析的瑟像去噪方法有很多 比 較成功的有小波閾值法 空域相關法 模極大值重構法 投影法等 而基于小 波的圖像增強方法也比傳統(tǒng)圖像增強方法更有效 主要工作包括 本文詳細闡述了小波基本理論在圖像處理中的應用 介紹了連續(xù)小波變換 和離散小波變換 給出離散二進小波變換的快速分解與重構算法 最后研究了 小波基的函數(shù)及其特性 分析了它們對實際應用的影響和作用 在對目前小波理論 小波圖像去噪的相關文獻進行研究的基礎上 介紹了 小波交換在圖像去嗓領域的應用 其次 對囂前常用的幾類小波去噪方法進行 了分別闡述 著重分析了閾值收縮法并分析了其存在的不足 最后 提出了新 的閾值選取方法和閩值函數(shù)改進方法 本文采用m a t l a b 進行仿真實驗 分別對 含噪圖像使用改進的闞值 改進的閩值函數(shù)進行去噪處理 新函數(shù)是現(xiàn)有軟 硬閾值函數(shù)的推廣 通過調(diào)整參數(shù) 克服了硬閾值函數(shù)不連續(xù)和軟閾值函數(shù)有 偏差的缺點 改善了圖像的視覺效果和客觀指標 對圖像進行仿真實驗 導到了 較好的結果 研究了基于小波變換的酗像增強 先分析了圖像增強的基本方法 然后將 圖像增強放入小波域中去研究 并提出了 種新的小波變換自適應圖像增強算 法 在m a t l a b 環(huán)境中驗證了該算法的可行性和優(yōu)越性 本文主要研究了基于小波的圖像去噪與增強技術的理論基礎 提出了新的 基于小波變換的圖像去噪和增強方法 以m a t l a b 為平臺實現(xiàn)圖像去噪和增強算 法過程 并對相應的圖像處理結果進行了分析和澆較 驗證了其可行性和高效 性 關鍵詞 小波變換 圖像處理 圖像去噪 圖像增強 a b s t r a c t w a v e l e ta n a l y s i si nt h ei m a g ep r o c e s s i n ga p p l i c a t i o n sa r ev e r yi m p o r t a n t i n t h i sp a p e r t h ed i r e c t i o no fi t si m a g en o i s er e d u c t i o na n di m a g ee n h a n c e m e n ta t e r e s e a r c h e di nt h ea p p l i c a t i o n w a v e l e ta n a l y s i si st h ed e v e l o p m e n to ff o u r i e r a n a l y s i so ft h ew a y o ft h i n k i n ga n de x t e n s i o n t w o d i m e n s i o n a li m a g e so fw a v e l e t a n a l y s i sf o rn o i s er e d u c t i o na n di m a g ee n h a n c e m e n ta p p l i c a t i o no fw a v e l e ta n a l y s i s i sa ni m p o r t a n ta s p e c t w a v e l e ta n a l y s i sf o rn o i s er e d u c t i o na n de n h a n c e t h ei m a g e h a so b v i o u sa d v a n t a g e s b a s e do nw a v e l e ta n a l y s i so ft h ei m a g em e a n sal o to fn o i s e t h em o r es u c c e s s f u law a v e l e tt h r e s h o l dm e t h o d a i r t e l a t e dl a w s m o d u l u sm a x i m u m r e c o n s t r u c t i o n p r o j e c t i o na n d5 1 3o n a n dt h ew a v e l e t b a s e di m a g ee n h a n c e m e n t m e t h o d st h a nt h et r a d i t i o n a li m a g ee r d a a n c e m e n tm e t h o d sm o t ee f f e c t i v e t h ef u n d a m e n t f lt h e o r i e so fw a v e l e ta n a l y s i sa r ed i s c u s s e d i nd e t a i l c o n t i n u o u sw a v e l e tt r a n s f o r m d i s c r e t ew a v e l e tt r a n s f o r ma n dd y a d i cw a v e l e t t r a n s f o r ma t ei n t r o d u c e d t h ef a s ta l g o r i t h mo fd i s c r e t ed y a d i cw a v e l e tt r a n s f o r mi s g i v e n f i n a l l y a l la n a l y s i si sm a d eo nt h e i n f l u e n c eo ft h ew a v e l e tb a s e so i lp r a c t i c a l a p p l i c a t i o n sb ys t u d y i n gt h e i rm a t h e m a t i c a lp r o p e r t i e s b a s e do nt h ep r o f o u n dc o m p r e h e n s i o na n dg e n e r a l i z a t i o no fal o to fe x i s t i n g l i t e r a t u r eo nw a v e l e td e n o i s i n g t h ea p p l i c a t i o n s i nt h ei m a g ed e n o i s i n ga t e d e s c r i b e d s e c o n d t h ew a v e l e ti m a g ed e n o i s i n g m e t h o d sa t ec l a s s i f i e da n d i n t r o d u c e d m o t e o v e r t h es h o r t c o m i n g so ft h r e s h o l dd e n o i s i n gm e t h o da r es p e c i a l l y a n a l y z e d i n t h ee n d a f t e ra n a l y z i n ga n dc o m p a r i n gt h ec l a s s i c a lt h r e s h o l d d e n o i s i n gm e t h o d s an e wt h r e s h o l ds e l e c t i n gm e t h o da n d an e wt h r e s h o l df u n c t i o n a r ep r o p o s e d s i m u l a t i o ne x p e r i m e n t sa t ei m p l e m e n t e db ym a t l a bw a v e l e tt o o lb o x a n de x p e r i m e n tr e s u l t ss h o wt h a tt h en e wm e t h o d su s u a l l y o b t a i nb e t t e r p e r f o r m a n c e t h a nc l a s s i c a lt h r e s h o l dd e n o i s i n gm e t h o d s i m a g ee n h a n c e m e n tb a s e do nw a v e l e tt r a n s f o r ma r es t u d i e di nt h et h e s i s f i r s t l y t h ec o n c e p to fw a v e l e tt r a n s f o r mi sd e s c r i b e d a n dt h ec h a r a c t e r sa f t e rw a v e l e t t r a n s f o r ma r ea n a l y z e d s e c o n d l y a na d a p t i v el o c a lt h r e s h o l ds c h e m ei sp r o p o s e d n a m e l yb yt h r e s h o l do ft h ew a v e l e tt r a n s f o r m a tl a s t t h ew a yt h a t w a v e l e t c o o p e r a t ew i t hi m a g ee n h a n c e m e n tr e a l i z et h ea r i t h m e t i c w h i c hb a l a n c ed e n o i s i n g l l a n di m a g ee n h a n c e m e n t t h em a t l a bs i m u l a t i o n e x p e r i m e n ti n d i c a t e st h en e w a d a p t i v ei m a g ee n h a n c e m e n ti se f f e c t i v ea n de x c e l l e n t t h i sp a p e re l a b o r a t e do nt h ew a v e l e t b a s e d i m a g en o i s er e d 聰c i o n 建n d e n h a n c e m e n to ft h et h e o r e t i c a lb a s i st om a t l a ba sa p l a t f o r mf o rn o i s er e d u c t i o na n d i m a g ee n h a n c e m e n ta l g o r i t h mt oa c h i e v ep r o c e s sa n dt h e c o r r e s p o n d i n gi m a g e p r o c e s s i n gr e s u l t sw e r ea n a l y z e da n dc o m p a r e di no r d e rt oa r r i v ea ta c o m p r e h e n s i v e p e r f o 珊鞠c cd i s t i n c l i o n sb a s e do bw a v e l e to ft h en o i s e r e d u c t i o n 粒di m a g e e n h a n c e m e n t a l g o r i t h mp r o g r a m k e y w o r d s w a v e l e lt r a n s f o r m i m a g e p r o c e s s i l l 舀i m a g en o i s er e d l l c t i i 撒a g c e n h a n c e m e n t i i i 獨創(chuàng)性聲明 本人聲明 所呈交的論文是本人在導師指導下進行的研究工作及取得的研 究成果 盡我所知 除了文中特別加以標注和致謝的地方外 論文中不包含其 他人已經(jīng)發(fā)表或撰寫過的研究成果 也不包含為獲得武漢理工大學或其它教育 機構的學位或證書而使用過的材料 與我一同工作的同志對本研究所做的任何 貢獻均已在論文中作了明確的說明并表示了謝意 關于論文使用授權的說明 a 口9 羅 jz 12 本人完全了解武漢理工大學有關保留 使用學位論文的規(guī)定 即學校有權 保留 送交論文的復印件 允許論文被查閱和借閱 學?？梢怨颊撐牡娜?或部分內(nèi)容 可以采用影印 縮印或其他復制手段保存論文 保密的論文在解密后應遵守此規(guī)定 一迎企 武漢理工大學碩士學位論文 1 1 課題研究背景 第1 章緒論 小波分櫥是近1 5 年來發(fā)展起來的一種薪的時頻分析方法 時頻分析應用非 常廣泛 涵蓋了物理學 王程技術 生物科學 經(jīng)濟學等眾多領域 而且在很 多情況下單單分析其時域絨頻域的性質是不夠的 比如在電力監(jiān)測系統(tǒng)中 即 要監(jiān)控穩(wěn)定信號的成分 又要準鐫定位敖障信號 這就需要引入新的時頻分析 方法 小波分析正是由于這類需求發(fā)展起來的 l l 在傳統(tǒng)的傅立時分析中 饋號完全是在頻域展開的 不包含錳何時頻的信 息 這對于某些應用來說是很恰當?shù)?因為信號的頻率的信息對其是非常重要 的 馕其丟棄的時域信息可能對某些應用同樣非常重要 所以入們對傅立時分 析進行了推廣 提出了很多能表征時域和頻域信息的信號分析方法 如短時傅 立葉變換 g a b o r 變換 時頻分析 小波變換等f 2 l 小波分析具有多分辨率分析 的特點 在時域和頻域都有表經(jīng)信號局部信息的麓力 時閽窗和頻率窗都可以 根據(jù)信號的具體形態(tài)動態(tài)調(diào)整 在一般情況下 在低頻部分 信號較平穩(wěn) 可 以采用較低的時閉分辨率 麗提高頻率的分辨率 在高頻情況下 頻率變純不 大 可以用較低的頻率分辨率來換取精確的時間定位 圖像去噪與增強技術作為信號處理和現(xiàn)代通信的重要組成部分 與人們的 關系剛盞密切 近年來 采用小波變換進行圖像去噪處理已表現(xiàn)出良好的工程 應用前景 小波變換的低熵性 多分辨率 去相關性和選基靈活性等特點 為 它成功應焉予該領域提供了天然優(yōu)勢 它具有多分辨率的特點 可以方便地從 混有強噪聲的信號中提取原始信號 被譽為分析信號的顯微鏡 兩圖像增強技術 3 5 1 是圖像處理中一個非常重要的研究領域 囂前已經(jīng)有許 多非常成熟和有效的方法 如直方圖均衡 高通濾波 反掩模銳化法等 但是 這些傳統(tǒng)的圖像增強方法都存在著不足 如噪聲放大 有時可能引入新的噪聲 結構等 如何解決這些問題一直是圖像增強領域中的一個難題 藤目前 已經(jīng) 有許多關于小波變換在圖像增強方面的應用研究 取得了非常不錯的效果 不 過基予小波變換的圖像增強方法也有著不足的地方 沒有考慮噪聲 只是簡單 武漢理工大學碩士學位論文 的增強細節(jié)信號 存在著噪聲放大的問題 沒有充分利用小波分析的能力等 l 2 小波分析理論 小波交換的思想是建立在可自動調(diào)節(jié)長度的視窗函數(shù)之上的 它起源于2 0 世紀初的h a a r 的工作 在上個世紀的8 0 年代 小波變換的理論 1 9 7 5 年連續(xù)小 波變換 c o n t i n u o u sw a v e l e tt r a n s f o r m c w t 熬發(fā)現(xiàn) 和公式 1 9 8 2 年c w t 算法 的建立 逐步建立后極大地帶動了這一技術的發(fā)展 到2 0 世紀9 0 年代 這一種 變換方法才變得十分成熟并且得到廣泛的應用 小波理論包括連續(xù)小波和二進小波變換 在映射到計算域的時候存在很多 問題 因為兩者都存在信息冗余 在對信號采樣以后 需要計算的信息量還是 相當?shù)拇?尤其是連續(xù)小波交換 因為要對精度內(nèi)所有的尺度和位移都徽計算 所以計算量相當?shù)拇?而二進小波變換綴然在離散的尺度上進行伸縮和平移 但是小波之閥沒有正交性 各今分量的信息攙雜在一起 為我們的分折帶來了 不便 真正使小波在應用領域得到比較大發(fā)展的是m e y e r 在1 9 8 6 年提出的一組小 波 其二進鍘伸縮和平移構成r f 鼬的標準化正交基1 6 在此結果基礎上 1 9 8 8 年s m a l l a t i r l 在構造正交小波時提出了多分辨分析的概念 從函數(shù)分析的角度給 出了燕交小波的數(shù)學解釋 在空閩的概念上形象的說甥了奎波的多分辨率特性 給出了通用的構造正交小波的方法 并將之前所有的正交小波構造方法統(tǒng)一起 來 并用類儆傅立葉分析中的快速傅立時算法 給寤了小波變換的快速算法 m a l l a t 算法 這樣 在計算上變得可行以后 小波變換在各個領域才發(fā)揮 它獨特的優(yōu)勢 解決了各類問題 為人們提供了更多的關予時域分析的信息 形象一點說 多分辨分析就是要構造一組遁數(shù)空間 每組空聞的構成都有 一個統(tǒng)一的形式 而所有空間的閉包則逼近r 火 在每個空間中 所有的函數(shù) 都構成該空聞的標準純正交基 麗所有鼴數(shù)空聞的閉龜中的函數(shù)則構成 2 定 的 標準化正交基 如果對信號在這類空間上進行分解 就可以得到相互正交的時 頻特性 而且由于空闖數(shù)舀是無限可數(shù)的 可以很方便地分析我們所關心的信 號的某些特性 1 3 圖像去噪技術 2 武漢理工大學碩士學位論文 圖像去嗓是信號處理中的一個經(jīng)典的問題 傳統(tǒng)的去噪方法多采用平均或 線性方法 如w i e n e r 濾波 但去嗓效果不令人滿意 隨著小波理論囂趨完善 它以其自身良好的時頻特性在圖像信號去噪領域受到越來越多的關注 開辟了 用非線性方法去噪的先河 小波變換用于豳像去噪的理論基礎始于s m a l l a t 把數(shù)學上的l i p s c h i t z 系數(shù) 與小波變換的模極大值聯(lián)系起來 隨后d o n o h o l 8 j 提出了小波m 值萎縮方法并 從漸透意義上證明了其優(yōu)越性 然而在實際應用中卻往往效果不好 存在 過 扼殺 系數(shù)的缺點 以后人們進一步研究小波相關去噪方法 比例萎縮方法等 并且在進一步提高辣法的局部適旋性 先驗模型的準確性 邊緣信息的傈留性 等方西取得了巨大的進步 具體回顧小波去噪方法可以大致分成以下三個階段 第 階段 最初的去噪方法主要是利用小波變換去相關性 在小波分解后 不同層次麴綱節(jié)子帶 采用不同的閾值 代表方法有v i s u s h r i n k 逶用軟閨值去 噪方法 和s u r e s h r i n k 基于s t e i n s 的無偏風險估計 可得出接近最優(yōu)軟閾值 的佶計量 方法等 這期間硬閡值 軟闕值和半軟閩值等閾值函數(shù)也楣繼提出 第二階段 人們開始根據(jù)小波系數(shù)的統(tǒng)計性質建立各種先驗模型 對小波 系數(shù)的萎縮自適應變化 也就是每個小波系數(shù)所采取的閾值都各不相同 小波 系數(shù)模型主要可分為基于尺度內(nèi)相關性的層內(nèi)模型 基于尺度闐相關性的層聞 模型和混合模型 最常用小波系數(shù)先驗模型是廣義高斯分布模型 原圖像小波 系數(shù)的方差估計采髑局部鄰域估計 代表方法有數(shù)據(jù)驅動的爨適應b a y e s s h r i n k 方法 l a w m l s h r i n k 方法等 第三階段 這 階段入們主要關注如何利用小波系數(shù)層聞和層肉的楣關性 二元或多元的小波萎縮函數(shù)被提出 在去噪的同時如何盡可能地保留邊緣 紋 理等細節(jié) 如何使去噪后的圖像更光滑 如何將小波變換去噪與其他方法結合 等都處于不斷地探索和研究中 代表方法有b i v a s h r i n k 方法 小波的馬爾可夫 方法和復數(shù)小波去噪方法等 1 4 圖像增強技術 數(shù)字圖像增強是指按特定的需要突出一幅圖像中的某些信息 同時削弱或 去除某些不需要的信息的處理方法 其主要目的是使處理后的圖像對某種特定 的應用來浼 比原始圖像更適用 因此 這類處理是為了某種應用目的兩去改 3 武漢理王大學碩士學位論文 善圖像矮量的 處理的結果鎪圖像更適合于人的視覺特性或機器的識別系統(tǒng)i l 別 圖像的增強技術主要分為兩大類 類是空域類處理法 一類是頻域類處 理法 空域法是指蠱接對圖像孛的像素進行處理 基本上是以獲度映射變換為 基礎的 頻域法的基礎是卷積定理 一般情況下采用修改傅立葉變換的方法來 實現(xiàn)對圖像進行增強處理 健在這里以延伸為其毽的變換翔d c t 變換 w a l s h 變換和小波變換等 小波算法的發(fā)展極大影響了信號與圖像處理領域的研究 在圖像處理領域 很多算法被痰用到罌像去嗓方面 相對來講在圖像增強這個領域研究工作做得 稍微少了些 但還是出現(xiàn)了 些很重要的方法 圖像增強中主要問題是噪聲 許多通用 知名方法都存在下列瓣題 幫在增強細節(jié)信號豹同時 也放大了噪 聲 在諸如c c d 這種低對比度 多噪聲圖像中 尤其需要改進算法 在增強微 弱細節(jié)信號的困時抑制背景孛的離頻噪聲 傳統(tǒng)圖像增強方法 如直方腿均衡 高通濾波 反掩模銳化法等 但是 這些傳統(tǒng)的圖像增強方法都存在著不足 如噪聲放大 有時可能弓l 入新的噪聲 結擒等 知翁解決這些闖題一直是圖像增強領域孛的 個難題 小波分析是近 些年來發(fā)展起來的一種新的時頻分析工具 特別適合于信號處理領域 如圖像 處理 基于小渡於圖像增強方法瘟運麗生 并取褥了薯每零不錯的效果 焉這種 方法也有不足之處 特別是存在酋噪聲放大問題 于是圍繞解決該問題研究了 不少新方法 使圖豫增強技術鷯研究跨入一個新的領域 1 5 研究內(nèi)容及安排 全文共分為五章 其主要內(nèi)容和結構安排如下 第1 章 緒論 籬要分紹小波分輯理論熬歷史和研究現(xiàn)狀 數(shù)及圖豫去噪 技術和圖像增強技術 最后給出本文的研究內(nèi)容和安排 第2 章 奔紹了小波分聿廳酶基本概念 連續(xù)奪波變換 離散小波交換 多 分辨率分析的思想和m a l l a t 算法 小波基函數(shù)及其性質 以及小波理論在圖像 處理中的應用 這一章是后續(xù)章節(jié)的理論基礎 第3 章主要研究了小波分析在信號處理的去噪問題孛的應用 先籬要貧紹 了小波分析在信號去噪算法方面的研究現(xiàn)狀 又給出了小波閩值去噪的原理及 其實現(xiàn)方法 重點分析了傳統(tǒng)的軟 硬闌值函數(shù)的優(yōu) 缺點 最螽分輯了闋值 4 武漢理工大學碩士學位論文 選取的方法 針對小波閾值去噪算法中閩值及閾值函數(shù)的選取問題 提出了一 種新的閩值函數(shù)和一種新閾值的方法 并通過實驗 從不同的角度分析了這種 方法的優(yōu)越性能 第4 章主要研究了基于小波理論的圖像增強技術 提出了一種基于小波變 換酶魏適應增強算法 并通過了m 嬲癆平臺 對蠶豫增強傳統(tǒng)方法和小波筋自 適應圖像增強算法進行比較 驗證了該算法的可行性和優(yōu)越性 第5 章總結全文 并展望了未來工作的一些研究方向 5 武漢理工大學碩士學位論文 第2 章小波在圖像處理中的應用 2 1 從傅立葉變換至l jt j 波變換 小波分析屬于時頻分析的一種 傳統(tǒng)的信號分柝是建立在傅立時變換的基 礎上的 由于傅立葉分析使用的是一種全局的變換 要么完全在時域 要么完 全在頻域 因此無法表述信號的時頻局域性質 而這種性質恰恰是葛 平穩(wěn)信號 最根本和最關鍵的性質 為了分輯和處理菲乎穩(wěn)信號 人們對傅立葉分析進行 了推廣乃至根本性的革命 提出并發(fā)展了一系列新的信號分析理論 短時傅立 時交換 g a b o r 變換 時頻分析 小波交換 分數(shù)階傅立時變換 線調(diào)頻小波 變換 循環(huán)統(tǒng)計量理論和調(diào)幅一調(diào)頻信號分析等 其中 短時傅立葉變換和小 波變換也是應傳統(tǒng)的傅立時變換不麓夠滿足信號處理的要求而產(chǎn)生的 緞時傅 立葉變換分析的基本思想是 假定非平穩(wěn)信號在分析窗函數(shù)g 的一個短時間 間隔內(nèi)是平穩(wěn) 偽平穩(wěn) 的 并移動分析窗函數(shù) 使f t g t z l 在不同的有限 時聞寬度內(nèi)是平穩(wěn)信號 從恧計算出各個不同時刻的功率譜 但從本質上講 短時傅立葉變換是 種單一分辨率的信號分析方法 因為它使用一個固定的短 時窗兩數(shù) 因而短時傅立葉變換在信號分析上還是存在著不可逾越的缺陷 1 4 1 小波變換是一種信號的時間 尺度分析方法 它具有多分辨率分析的特點 而且在時頻兩域都具有表征信號局部特征的能力 是一種窗口大小固定邊但其 形狀可改變 時間窗和頻率窗都可以改變的時頻局部化分析方法 即在低頻部 分具有較高的頻率分辨率 在高頻部分具有較高的時間分辨率和較低的頻率分 辨率 很適合于探測正常信號中夾帶的瞬態(tài)反?，F(xiàn)象并展示其成分 所以被譽 為分析信號的顯微鏡 利用連續(xù)小波變換進行動態(tài)系統(tǒng)故障檢測與診斷具有良 好的效果 2 1 1 傅里時變換 在信號處理中熏要方法之一是博立葉變換 它絮起了時聞域和頻率域之閩 的橋梁 對很多信號來說 傅立葉分析非常有用 因為它能給出信號聚包含的各種 6 武漢理工大學碩士學位論文 頻率成分 但是 傅立葉變換有著嚴重的缺點 變換之后使信號失去了時間信 息 它不能告訴人們在某段時間里發(fā)生了什么變化 而很多信號都包含有人們 感興趣的非穩(wěn)態(tài) 或者瞬變 特性 如漂移 趨勢項 突然變化以及信號的開 始或結束 這些特性是信號的最重要部分 因此傅里葉變換不適于分析處理這 類信號 鼠然傅立葉變換能夠將信號的時域特征和頻域特征聯(lián)系起來 能分別從信 號的時域和頻域觀察 但卻不能把二者有機地結合起來 這是因為信號的時域 波形中不包含任何頻域信息 而其傅立葉譜是信號的統(tǒng)計特性 從其表達式中 也可以看出 它是整個時間域內(nèi)的積分 沒有局部化分析信號的功能 完全不 具備時域信息 氌就是說 對于傅立時譜中的某一頻率 不知道這個頻率是在 什么時候產(chǎn)生的 這樣在信號分析中就麗臨一對最基本的矛盾 時域和頻域的 局部化矛盾矧 在實際的信號處理過程中 尤其是對非平穩(wěn)信號的處理中 信號在任一時 刻附近的頻域特征都很重要 如柴油機缸蓋表面的震動信號就是由撞擊或沖擊 產(chǎn)生的 是一瞬變信號 僅從時域或頻域上來分析是不夠的 這就促使去尋找 一種新方法 能夠將時域和頻域結合起來描述觀察信號的時頻聯(lián)合特征 構成 信號豹時頻譜 這就是所謂的時頻分析法 也稱為時頻局部他方法 2 1 2 短耐傅里葉變換 由于標準傅立時變換只在頻域里有局部分析的能力 兩在時域里不存在這 種能力 d e n n i sg a b o r 于1 9 4 6 年引入了短時傅立葉變換 短時傅立葉變換的基 本思想是 把信號劃分成許多小的時聞聞隔 用傅立時變換分析每一個時聞聞 隔 以便確定該時間間隔存在的頻率 1 昏1 7 1 其表達式為 s 觴f 一f f t g p l e j o a d t 2 一1 氣 其中拳表示復菸軛 廠0 是進入分析的信號 在這個變換中 起著頻限 的作用 g 起著時限的作用 隨著時間z 的變化 g f 所確定的 時間窗 在t 軸上移動 是 廠 f 逐漸 進行分析 因此 g f 往往被稱之為窗e 1 函數(shù) s f 緲 z 大致反映了 廠0 在時刻了時 頻率為緲的 信號成分 的相對含量 這 樣信號在窗函數(shù)上的展開就可以表示為在p 一6 r 6 一f s 這一區(qū)域內(nèi) 的狀態(tài) 并把這一區(qū)域稱爻窗爨 6 和艿分別稱藥窗弱的時寬和頻寬 表示了 7 武漢理工大學碩士學位論文 時頻分析中的分辨率 窗寬越小則分辨率就越高 很顯然 希望6 和 都非常 小 以便有更好的時頻分析效果 但6 和 是互相制約的 兩者不可毹同時都 任意 事實上 纛1 1 2 且僅當鬈9 一 1 醞塒 e e 腳4 為高斯函數(shù)對 等號成立 由此可見 短時傅立葉變換雖然在一定程度上克服了標準傅立葉不具有局 部分析麓力的缺陷 僵它也存在著自身不可克服的缺陷 即當窗函數(shù)g f 確定 后 矩形窗口的形狀就確定了f 甜只能改變窗口在相平面上的位置 而不能 改變窗口的形狀 可以說短時傅立時交換實質上是其有單一分辨率的分析 若 要改變分辨率 則必須重新選擇窗函數(shù)g o 因此 短時傅立葉變換用來分析 平穩(wěn)信號猶可 但對非平穩(wěn)信號 在信號波形變化劇烈的時刻 主頻是高頻 要求有較高的時聞分辨率 郎6 要小 而波形變化比較平緩的時刻 主頻是低 頻 則要求有較高的頻率分辨率 即 要小 而短時傅立葉變換不能兼顧兩者 2 1 3 小波變換 小波變換提出了變化的時間窗 當需要精確的低頻信息時 采用長的時間 窗 當需要精確的高頻信息時 采用短的時瓣窗 小波變換用的不是時間一頻 率域 而是時間一尺度域 尺度越大 采用越大的時間窗 尺度越小 采用越 短的時聞窗 即尺度與頻率成反比 2 2 連續(xù)小波變換 2 2 1 一維連續(xù)小波變換 定義 颯o t e l z r 其傅立時變換為妒 萬 當妒 滿足允許條件 完 全重構條件或恒等分辨條件 q 蝌如刪 倍2 時 我們稱妒o 為一個基本小波或母小波 將母函數(shù)妒p 經(jīng)伸縮和平移后 得 刪2 南妒等 a b e r a 帶o 泣3 稱其為一個小波序列 其中a 為伸縮因子 b 為平移因子 對于任意的函 8 武漢理工大學碩士學位論文 數(shù)彈 岜乎籩 的連續(xù)小波變換為 吩 口 牡 緲口 一曠1 2fr 一f t 吐 t b clt 2 4 其重構公式 逆變換 為 一喪正e 砉町 6 l f 洋脅偽 2 毒i j 砉町 6 l f 呼脅偽 巧 由子基小波妒p 生成的小波妒d j f 在小波變換中對被分析的信號起著觀測 窗的俸用 所以壚囊 還應該滿足一般函數(shù)的約束條件 多 壤 故妒扣 是一個連續(xù)萌數(shù) 這意味著 原點必須等于0 即 奈6 為了滿足完全重構條件式 妒 c o 在 妒樽一f 爹p 者 0 2 7 為了使信號重構的實現(xiàn)在數(shù)值上是穩(wěn)定的 處理完全重構條件外 還要求 小波妒 f 的傅立葉變化滿足下面的穩(wěn)定性條件 a s p 2 甜 2 s b 2 8 式中0 asb 0 0 從穩(wěn)定性條棒 2 8 可以弓 出一個重要的概念f 1 8 l 定義 對偶小波若小波妒 滿足穩(wěn)定性條件 2 堪 式 則定義一個對偶小 波爹套 其傅立甘變換痧 妨由下式給毒 爹 國 唑 2 9 眵 2 l 注意 穩(wěn)定性條件 2 8 式實際上是對 2 9 式分母的約束條件 它的 律用是保證對偶小波豹博立孽變換存在酶穩(wěn)定性 蕊得指窶的是 一個小波的 對偶小波一般不是唯一的 然而在實際應用中 我們又總是希望它們是唯一對 應躲 霞此 尋找其有唯 對偶小波的合適小波也裁成為小波分搟孛最基本的 問題 連續(xù)小波變換具有以下重要性質 1 線性性 個多分量信號的小波交換等于各個分量的小波變換之和 9 武漢理正大學碩士學位論文 2 平移不變性 若朋 的小波變換為髟始 芻 貝l jf t 7 的小波變換為 町 口 b f 翦小波變換秀野 露 妨 贈 群 的小波變換為 孵 c a c b c 0 e 4 c 4 自檑似性 對應不溺尺度參數(shù)a 和不同平移參數(shù)b 的連續(xù)小波交換之 闐是自相似麴 5 冗余性 連續(xù)小波變換中存在信息表述的冗余度 小波變換的冤余性事實上也是鑫相似幢酶直接反映 它主要表現(xiàn)在以下兩 個方面 重 由連續(xù)小波變換恢復原信號酶重梅分式不是唯一的 也就是謊 信號 f t 的小波變換與小波重構不存在 一對應關系 而傅立葉變換與傅立葉反變 換是一一對應的 2 奪波變換的核函數(shù)鼯小波邈數(shù)妒 童 存在許多可能的選擇 例如 它 們可以是非正交小波 正交小波 雙正交小波 甚至允許是彼此線性相關的 奪波變換在不同的 之聞的相關性增加了分析和解釋套波變換結果 的困難 因此 小波變換酌冗余度應盡可能減小 它是小波分析中的主要問題 之一 2 2 2 高維連續(xù)小波變換 對f t l 2 r 勛 鴦 公式建 p 一土c 丟乃 如 l f 爭姍妒j j a 2 1 0 存在幾種擴展的可熊性 一種可能性是選擇小波咫 r 掣 搜其為球對 稱 其傅立葉變換也同樣球對稱 妒 回一雄 司 2 一 l 童 并且其相容性條件變?yōu)?q 二 豺 公 7 增2 了d t 2 一1 2 對掰有的f g e l 2 g 1 0 武漢理工大學碩士學位論文 f 善 如 6 霞趣 b d b o 2 1 3 這里 野 掰 6 囂 妒口 妒 p 一a 圳氣p q b a 其中a e r a o 且 b e r 8 公式 2 1 3 也可以寫為 一c 一驢 洳r 也礦娃矗r 野 露 辦凈4 始 2 1 4 如果選擇的小波妒不是球對稱的 但可以用旋轉進行同樣的擴展與平移 例如 在二維盼 可定義 妒蝴國 a 霹 生 2 1 5 勰哪矧2 瞄等 槌容條件鰳 q 勖 公魯f 黟p s o r s 跡疹 1 2 始 1 由于m 可取正也可取負 所以這個假定無關緊要 所以對應的離敖 小波函數(shù)吵m f 即可寫作 妒 f 7 和 掣 1 j 1 2 t f 一蛾 2 1 9 吒 而離散化小波變換系數(shù)則可表示為 q 鼻t f o 妒二p 密斌 2 2 0 其重構公式為 即 一c 芝 q 矽弦9 2 2 1 e 是一個與信號無關的常數(shù) 然面 怎樣選擇 和氏才能夠保證重構信號 的精度昵 顯然 網(wǎng)格點應盡可能密 即口 和 盡可能小 因為如果網(wǎng)格點 越稀疏 使用的小波遁數(shù)矽繕 和離敖小波系數(shù)c 艚裁越少 信號重構的精確 度也就會越低 實際計算中不可能對全部尺度因子蘧和位移參數(shù)值計算c w t a b 值 加之實 際的觀測信號都是離散的 所以信號處理中都是用離散小波變換 d w t 大 多數(shù)情況下是將尺度因子和位移參數(shù)按2 的冪次進行離散 最有效的計算方法 是s m a l l a t 予1 9 8 8 年發(fā)展的抉小波算法 又稱塔式算法 對任一信號 離散 小波變換第一步運算是將信號分為低頻部分 稱為近似部分 和離散部分 稱 為細節(jié)部分 近似部分代表了信號的主要特征 第二步對低頻部分再進行相似 運算 不過這時尺度因子已經(jīng)改變 依次進行到所需要的尺度 除了連續(xù)小波 嗍 離散小波 d w t 還有小波包 w a v e l e tp a c k e t 和多維小波 2 4 多分辨分析和m a l l a t 算法 2 4 1 多分辨分析 多分辨分析 m u l t i r es o l u t i o na n a l y s i s m r a 是1 9 8 9 年由s m a l l a t 引入 的 他從空闖的概念上形象地說明了小波的多分辨特性 將在此之鰒所有小波 1 2 武漢理工大學碩士學位論文 變換理論統(tǒng)一起來 并由此給出了小波的構造方法與小波變換快速算法 即著 名的m a l l a t 算法 多分辨分析的一個最大特點是只對低頻空間進行進一步分解 從歷使頻率的分辨率變得越來越離 一般說來 用來梅造正交小波變換的多分 辨分析具有下面的理論框架 舡2 設w 是集合移磚 露 z 即對每個驢 是尺度相同為j 不慝位移k 下 的妒請 所構成的集合 線性張成的在空間l 2 e 上的閉包 r 俾 中一列閉子 空聞 脖稱為f 犬 的一個多分辨分析 m r a 如采該序列滿足下列條件 1 單調(diào)性 匕 屹g 匕 磁e z 2 逼近性 n 屹 u 圪一r 犬 泰媾 毯 3 伸縮性 f x e v j 尊f 2 x e v j 1 v 七g z 4 平移不變性 f x c v o 靜f x k e v o v 意 z 5 相加性 k k 岷 可以證明 存在函數(shù)妒 圪使它的整數(shù)平移系 m j 2 妒 膨卅2 t k i k e z 構成一的規(guī)范正交基 稱驢 為尺度丞數(shù) 于是函數(shù)妒 毒 一m j 2 q p m t k 七 z 構成標準正交基 m r a 本質上給邀了人類視覺系統(tǒng)對物體認識的數(shù)學描述 實際上 如果把 它當作某人在某種尺度j 下所觀察到的該物體信息 則當尺度增加到j l 時 他 所觀察到的信息為礦 l 此時可以認為是他進一步靠近目標所觀察到的信息 因此匕 所表示的信息該比匕更為豐富 即 c t 總之 尺度越大 距離 目標越近 觀察到的信息越豐富 反之 尺度越小 距離越遠 含有的信息量 越少 1 9 8 9 年 m a l l a t 在他的著名的論文中對此給出了精辟的闡述1 2 2 1 設 圪 朋毯z 驢 是 個正交m r a 如果 雄 2 羅妒 荔一妁 2 2 2 7 那么 函數(shù)妒 2 羅 一妒g q 2 t 一毒 的伸縮 平移構成r 天 的正交基 對于任意廠 r r f 可以表示為 似 q 肌 2 2 3 1 3 武漢理工大學碩士學位論文 而其中的部分和 五 x 一芝q 緲u 暇 2 2 4 因此五 x 構成信號f 在子空間 上的投影 也即信號f 分解到與頻率k 相關的局部信息 綜合式 2 2 3 2 2 4 得到信號 的另一種等價表示 f a x 芝五 力 2 2 5 j 信號e x 巧一 七i 一 2 4 2m a l l a t 分解重構算法 1 9 8 9 年 m a l l a t 在小波變換多分辨分析理論與圖像處理的應用研究中提出 了信號的塔式多分辨分解與重構的著名算法 也稱m a l l a t 算法 一般認為 m a l l a t 法在小波分析中的地位類似于f f r 在經(jīng)典f o u r i e r 分柝中的地位瞄j m a l l a t 算法的基本思想可以歸納如下 設日 廠為能量有限信號f e r r 在分 辨率2 下的近似 則臀 可以進一步分解為 在分辨率2 下躲近儆胃n 通過低通濾波器得到 以及位于分辨率2 一 與2 j 之間的細節(jié)d 一f 通過 高通濾波器得到 之和 下面討論具體表達式 設妒與矽分別為尺度與小波函數(shù) 則信號 在分辨率2 h 下近似日 廠和 細節(jié)d 廠分別假設為 h j m 薈巳一 夠嘶 x q t 廠m 薈嘭 矽 2 粕 式 2 2 6 中q 姒與嘭一 分別為分辨率2 下粗糙系數(shù)與細節(jié)系數(shù) 而分辨 率2 下信號f 的近似詹j 可以壹接表示為 h j h j 4 d j 4 f 2 2 7 其中q o 2 量哆童紡 女 x 從 2 2 6 與 2 2 7 不難看出 研究信息 廠 與日 矗f 以及域一 之間的關系可以轉化為找出系數(shù)與夠 i 與露卜駐以及嘭一 毒的 1 4 武漢理工大學碩士學位論文 關系 為此 從雙尺度方程開始 此時有 j 1 q j l n x 一2 2 驢 2 l x n 一2 i 巳妒 2 i x 2 川 一芝鋤2 j 驢 2 j x k 一薹 紡毒 菇 怨 危 2 2 8 土式兩端用函數(shù)驢 t 霹o 作內(nèi)積 并利用其標準正交特熱推 尋 妒 勘 紡滯 一 一魏 2 2 9 另歲 一妒長一 利用方程 2 2 6 又有 妒 一 力 2 了j l 妒 i x i t 1 2 薈蜀驢 2 j x 2 n 2 薹 一 一紡j x 2 3 0 蠢樣可得 緲歹勘 魏一扣g 坩嘲 2 3 1 利用 2 2 6 與 2 2 7 并在 2 2 7 中用函數(shù)妒 卻 x 作內(nèi)積并注意到 2 2 9 與 2 3 1 及正交特性 得到 a j 勘 i 2 3 2 2 n a j k 勘 三靠一 麗用函數(shù)l f j l m x 對 2 2 6 作內(nèi)積時則得到 嘭 珈一 面n 2 3 3 2 3 0 與 2 3 1 被稱之為信號的分解 構成m a l l a t 著名的塔式分解算 法 另一方面 在 2 2 6 中用函數(shù)碼驢抽o 作內(nèi)積 產(chǎn)生 搿 一2 薈e n z t 栩i t t 薈島 一 t t 量 式 2 3 2 稱之為信號的重構 構成m a l l a t 著名的塔式重構算法 二維m a l l a t 算法采用了可分離的濾波器設計 實質上相當于分別對圖像數(shù) 據(jù)的行和列做一維離散小波變換 此時二維尺度函數(shù)妒 x j f 似2 可表示為 琵個一維尺度函數(shù)的乘積 武漢理工大學碩士學位論文 驢如y 一驢o 砌 令妒 x 妒 分別為與妒 曲 l f y 相對應的一維小波 則在分辨率j 層 二維的二進小波可表示為以下3 個可分離的正交基函數(shù) 妒1 0 y 一妒扛拗 力妒2 0 y 一妒o 凈 力妒3 0 y m 妒 x 妙 2 5 小波基函數(shù)及其性質 不同的小波基具有不同的特性 用不同的小波基分析同一個問題會產(chǎn)生不 同的結果 故小波分櫥在應用中便存在一個小波基的選取閥題要根據(jù)小波函數(shù) 的特征和應用的需要來選擇合適的小波基 2 5 1 小波基具有的性質 為了在小波分析的應用中能正確的選擇針對實際問題的小波基 首先要充 分了解各種小波基的性質 小波基的性質大致包括五個方面 正交性 對稱性 消失矩 正則性和緊支性 1 正交性 正交性是小波基的一個非常優(yōu)良的性質 早期研究的小波大多是正交小波 它在理論上是近乎完美的 設妒 x 為尺度函數(shù) 則函數(shù)系靜囊一是 娩構成規(guī)范正交系的充要條件是 驢 x v x 一七 一6 0 毒 正交小波對應的低通濾波器和高通濾波器系數(shù)之間有著直觀的聯(lián)系 即 g 一 一1 魂一 這對芷交小波的構造和實際應震都帶來很大的方便 靂正交小波基進行多 尺度分解得到的各子帶數(shù)據(jù)分別落在相互正交的的子空間中 使各子帶數(shù)據(jù)的 相關性減小 這有利于數(shù)值計算和數(shù)據(jù)壓縮 但是除h a a r 小波井 正交小波不 具有線性相位 能準確重建的 正交 具有線性相位的有限沖激響應濾波器組 是不存在的 這是被理論證明的結論 為了解決線性相位問題 一般放寬正交 健條 孛兔雙正交 雙正交條件則放棄了對偶濾波器的正交條件 只保留翁兩個 1 6 武漢理正大學碩士學位論文 交叉正交條件 實際中雙正交小波常具有非常好的性能 2 消失矩特性 為了提高小波的衰減速度 要求所使用的基函數(shù)具有一定的消失矩 消失 矩階數(shù)描述了小波函數(shù)相對于尺度函數(shù)的振蕩性質 階數(shù)越高 小波函數(shù)振蕩 越劇烈 并可通過小波變換將該振蕩性質傳遞到小波域內(nèi) 磊且小波蚤數(shù)豹消 失矩越高 使得圖像小波分解的高頻細節(jié)分量中就有越多的系數(shù)為o 或接近于 0 也就是存在很多可以被忽略的奇異點 從而縫量集中特性越好 這對圖像酶 邊緣檢測和壓縮編碼很重要 般來講 如果 個小波的消失矩r 則它對應的濾波器長度不能小予2 r d a u b e c h i e 小波基的消失矩為n 雙正交小波基b i o r n r n d 的消失矩n f 一 1 c o i f l e t s 小波基的消失矩為2 n s y m l e t s 小波基系列的消失矩為n 在信號檢測的應用中 為了畿夠有效的檢測奇異點 小波基的消失矩也必 須具有足夠的階數(shù) 它與l i p s c h i t z 奇異性指數(shù)密切相關 另外從計算量的角度 考慮 消失矩的階數(shù)與緊支撐區(qū)聞長度相關 過高的階數(shù)將增加計算量 3 緊支性 若函數(shù)妒 x 在區(qū)間 a b 1 外恒為零 則稱該函數(shù)在這個區(qū)間上緊支 具有 該性質的小波稱為緊支撐小波 如果尺度函數(shù)的低透濾波器瓠 是f i r 濾波器 那么尺度函數(shù)和小波函數(shù)只在有限區(qū)間內(nèi)非零 稱為緊支撐小波濾波