（通信與信息系統(tǒng)專(zhuān)業(yè)論文）基于小波理論的圖像去噪和增強(qiáng)技術(shù)研究.pdf

武漢理工大學(xué)碩士學(xué)位論文 摘要 小波分析在圖像處理中有非常重要的應(yīng)用 本文研究方向是在其圖像去噪 和圖像增強(qiáng)中的應(yīng)用 小波分柝是傅立葉分析思想方法的發(fā)展與延拓 二維小 波分析用于圖像去噪和圖像增強(qiáng)是小波分析應(yīng)用的一個(gè)重要方面 小波分析用 于圖像去噪和增強(qiáng)具有明顯的優(yōu)點(diǎn) 基于小波分析的瑟像去噪方法有很多 比 較成功的有小波閾值法 空域相關(guān)法 模極大值重構(gòu)法 投影法等 而基于小 波的圖像增強(qiáng)方法也比傳統(tǒng)圖像增強(qiáng)方法更有效 主要工作包括 本文詳細(xì)闡述了小波基本理論在圖像處理中的應(yīng)用 介紹了連續(xù)小波變換 和離散小波變換 給出離散二進(jìn)小波變換的快速分解與重構(gòu)算法 最后研究了 小波基的函數(shù)及其特性 分析了它們對(duì)實(shí)際應(yīng)用的影響和作用 在對(duì)目前小波理論 小波圖像去噪的相關(guān)文獻(xiàn)進(jìn)行研究的基礎(chǔ)上 介紹了 小波交換在圖像去嗓領(lǐng)域的應(yīng)用 其次 對(duì)囂前常用的幾類(lèi)小波去噪方法進(jìn)行 了分別闡述 著重分析了閾值收縮法并分析了其存在的不足 最后 提出了新 的閾值選取方法和閩值函數(shù)改進(jìn)方法 本文采用m a t l a b 進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn) 分別對(duì) 含噪圖像使用改進(jìn)的闞值 改進(jìn)的閩值函數(shù)進(jìn)行去噪處理 新函數(shù)是現(xiàn)有軟 硬閾值函數(shù)的推廣 通過(guò)調(diào)整參數(shù) 克服了硬閾值函數(shù)不連續(xù)和軟閾值函數(shù)有 偏差的缺點(diǎn) 改善了圖像的視覺(jué)效果和客觀(guān)指標(biāo) 對(duì)圖像進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn) 導(dǎo)到了 較好的結(jié)果 研究了基于小波變換的酗像增強(qiáng) 先分析了圖像增強(qiáng)的基本方法 然后將 圖像增強(qiáng)放入小波域中去研究 并提出了 種新的小波變換自適應(yīng)圖像增強(qiáng)算 法 在m a t l a b 環(huán)境中驗(yàn)證了該算法的可行性和優(yōu)越性 本文主要研究了基于小波的圖像去噪與增強(qiáng)技術(shù)的理論基礎(chǔ) 提出了新的 基于小波變換的圖像去噪和增強(qiáng)方法 以m a t l a b 為平臺(tái)實(shí)現(xiàn)圖像去噪和增強(qiáng)算 法過(guò)程 并對(duì)相應(yīng)的圖像處理結(jié)果進(jìn)行了分析和澆較 驗(yàn)證了其可行性和高效 性 關(guān)鍵詞 小波變換 圖像處理 圖像去噪 圖像增強(qiáng) a b s t r a c t w a v e l e ta n a l y s i si nt h ei m a g ep r o c e s s i n ga p p l i c a t i o n sa r ev e r yi m p o r t a n t i n t h i sp a p e r t h ed i r e c t i o no fi t si m a g en o i s er e d u c t i o na n di m a g ee n h a n c e m e n ta t e r e s e a r c h e di nt h ea p p l i c a t i o n w a v e l e ta n a l y s i si st h ed e v e l o p m e n to ff o u r i e r a n a l y s i so ft h ew a y o ft h i n k i n ga n de x t e n s i o n t w o d i m e n s i o n a li m a g e so fw a v e l e t a n a l y s i sf o rn o i s er e d u c t i o na n di m a g ee n h a n c e m e n ta p p l i c a t i o no fw a v e l e ta n a l y s i s i sa ni m p o r t a n ta s p e c t w a v e l e ta n a l y s i sf o rn o i s er e d u c t i o na n de n h a n c e t h ei m a g e h a so b v i o u sa d v a n t a g e s b a s e do nw a v e l e ta n a l y s i so ft h ei m a g em e a n sal o to fn o i s e t h em o r es u c c e s s f u law a v e l e tt h r e s h o l dm e t h o d a i r t e l a t e dl a w s m o d u l u sm a x i m u m r e c o n s t r u c t i o n p r o j e c t i o na n d5 1 3o n a n dt h ew a v e l e t b a s e di m a g ee n h a n c e m e n t m e t h o d st h a nt h et r a d i t i o n a li m a g ee r d a a n c e m e n tm e t h o d sm o t ee f f e c t i v e t h ef u n d a m e n t f lt h e o r i e so fw a v e l e ta n a l y s i sa r ed i s c u s s e d i nd e t a i l c o n t i n u o u sw a v e l e tt r a n s f o r m d i s c r e t ew a v e l e tt r a n s f o r ma n dd y a d i cw a v e l e t t r a n s f o r ma t ei n t r o d u c e d t h ef a s ta l g o r i t h mo fd i s c r e t ed y a d i cw a v e l e tt r a n s f o r mi s g i v e n f i n a l l y a l la n a l y s i si sm a d eo nt h e i n f l u e n c eo ft h ew a v e l e tb a s e so i lp r a c t i c a l a p p l i c a t i o n sb ys t u d y i n gt h e i rm a t h e m a t i c a lp r o p e r t i e s b a s e do nt h ep r o f o u n dc o m p r e h e n s i o na n dg e n e r a l i z a t i o no fal o to fe x i s t i n g l i t e r a t u r eo nw a v e l e td e n o i s i n g t h ea p p l i c a t i o n s i nt h ei m a g ed e n o i s i n ga t e d e s c r i b e d s e c o n d t h ew a v e l e ti m a g ed e n o i s i n g m e t h o d sa t ec l a s s i f i e da n d i n t r o d u c e d m o t e o v e r t h es h o r t c o m i n g so ft h r e s h o l dd e n o i s i n gm e t h o da r es p e c i a l l y a n a l y z e d i n t h ee n d a f t e ra n a l y z i n ga n dc o m p a r i n gt h ec l a s s i c a lt h r e s h o l d d e n o i s i n gm e t h o d s an e wt h r e s h o l ds e l e c t i n gm e t h o da n d an e wt h r e s h o l df u n c t i o n a r ep r o p o s e d s i m u l a t i o ne x p e r i m e n t sa t ei m p l e m e n t e db ym a t l a bw a v e l e tt o o lb o x a n de x p e r i m e n tr e s u l t ss h o wt h a tt h en e wm e t h o d su s u a l l y o b t a i nb e t t e r p e r f o r m a n c e t h a nc l a s s i c a lt h r e s h o l dd e n o i s i n gm e t h o d s i m a g ee n h a n c e m e n tb a s e do nw a v e l e tt r a n s f o r ma r es t u d i e di nt h et h e s i s f i r s t l y t h ec o n c e p to fw a v e l e tt r a n s f o r mi sd e s c r i b e d a n dt h ec h a r a c t e r sa f t e rw a v e l e t t r a n s f o r ma r ea n a l y z e d s e c o n d l y a na d a p t i v el o c a lt h r e s h o l ds c h e m ei sp r o p o s e d n a m e l yb yt h r e s h o l do ft h ew a v e l e tt r a n s f o r m a tl a s t t h ew a yt h a t w a v e l e t c o o p e r a t ew i t hi m a g ee n h a n c e m e n tr e a l i z et h ea r i t h m e t i c w h i c hb a l a n c ed e n o i s i n g l l a n di m a g ee n h a n c e m e n t t h em a t l a bs i m u l a t i o n e x p e r i m e n ti n d i c a t e st h en e w a d a p t i v ei m a g ee n h a n c e m e n ti se f f e c t i v ea n de x c e l l e n t t h i sp a p e re l a b o r a t e do nt h ew a v e l e t b a s e d i m a g en o i s er e d 聰c i o n 建n d e n h a n c e m e n to ft h et h e o r e t i c a lb a s i st om a t l a ba sa p l a t f o r mf o rn o i s er e d u c t i o na n d i m a g ee n h a n c e m e n ta l g o r i t h mt oa c h i e v ep r o c e s sa n dt h e c o r r e s p o n d i n gi m a g e p r o c e s s i n gr e s u l t sw e r ea n a l y z e da n dc o m p a r e di no r d e rt oa r r i v ea ta c o m p r e h e n s i v e p e r f o 珊鞠c cd i s t i n c l i o n sb a s e do bw a v e l e to ft h en o i s e r e d u c t i o n 粒di m a g e e n h a n c e m e n t a l g o r i t h mp r o g r a m k e y w o r d s w a v e l e lt r a n s f o r m i m a g e p r o c e s s i l l 舀i m a g en o i s er e d l l c t i i 撒a g c e n h a n c e m e n t i i i 獨(dú)創(chuàng)性聲明 本人聲明 所呈交的論文是本人在導(dǎo)師指導(dǎo)下進(jìn)行的研究工作及取得的研 究成果 盡我所知 除了文中特別加以標(biāo)注和致謝的地方外 論文中不包含其 他人已經(jīng)發(fā)表或撰寫(xiě)過(guò)的研究成果 也不包含為獲得武漢理工大學(xué)或其它教育 機(jī)構(gòu)的學(xué)位或證書(shū)而使用過(guò)的材料 與我一同工作的同志對(duì)本研究所做的任何 貢獻(xiàn)均已在論文中作了明確的說(shuō)明并表示了謝意 關(guān)于論文使用授權(quán)的說(shuō)明 a 口9 羅 jz 12 本人完全了解武漢理工大學(xué)有關(guān)保留 使用學(xué)位論文的規(guī)定 即學(xué)校有權(quán) 保留 送交論文的復(fù)印件 允許論文被查閱和借閱 學(xué)?？梢怨颊撐牡娜?或部分內(nèi)容 可以采用影印 縮印或其他復(fù)制手段保存論文 保密的論文在解密后應(yīng)遵守此規(guī)定 一迎企 武漢理工大學(xué)碩士學(xué)位論文 1 1 課題研究背景 第1 章緒論 小波分櫥是近1 5 年來(lái)發(fā)展起來(lái)的一種薪的時(shí)頻分析方法 時(shí)頻分析應(yīng)用非 常廣泛 涵蓋了物理學(xué) 王程技術(shù) 生物科學(xué) 經(jīng)濟(jì)學(xué)等眾多領(lǐng)域 而且在很 多情況下單單分析其時(shí)域絨頻域的性質(zhì)是不夠的 比如在電力監(jiān)測(cè)系統(tǒng)中 即 要監(jiān)控穩(wěn)定信號(hào)的成分 又要準(zhǔn)鐫定位敖障信號(hào) 這就需要引入新的時(shí)頻分析 方法 小波分析正是由于這類(lèi)需求發(fā)展起來(lái)的 l l 在傳統(tǒng)的傅立時(shí)分析中 饋號(hào)完全是在頻域展開(kāi)的 不包含錳何時(shí)頻的信 息 這對(duì)于某些應(yīng)用來(lái)說(shuō)是很恰當(dāng)?shù)?因?yàn)樾盘?hào)的頻率的信息對(duì)其是非常重要 的 馕其丟棄的時(shí)域信息可能對(duì)某些應(yīng)用同樣非常重要 所以入們對(duì)傅立時(shí)分 析進(jìn)行了推廣 提出了很多能表征時(shí)域和頻域信息的信號(hào)分析方法 如短時(shí)傅 立葉變換 g a b o r 變換 時(shí)頻分析 小波變換等f(wàn) 2 l 小波分析具有多分辨率分析 的特點(diǎn) 在時(shí)域和頻域都有表經(jīng)信號(hào)局部信息的麓力 時(shí)閽窗和頻率窗都可以 根據(jù)信號(hào)的具體形態(tài)動(dòng)態(tài)調(diào)整 在一般情況下 在低頻部分 信號(hào)較平穩(wěn) 可 以采用較低的時(shí)閉分辨率 麗提高頻率的分辨率 在高頻情況下 頻率變純不 大 可以用較低的頻率分辨率來(lái)?yè)Q取精確的時(shí)間定位 圖像去噪與增強(qiáng)技術(shù)作為信號(hào)處理和現(xiàn)代通信的重要組成部分 與人們的 關(guān)系剛盞密切 近年來(lái) 采用小波變換進(jìn)行圖像去噪處理已表現(xiàn)出良好的工程 應(yīng)用前景 小波變換的低熵性 多分辨率 去相關(guān)性和選基靈活性等特點(diǎn) 為 它成功應(yīng)焉予該領(lǐng)域提供了天然優(yōu)勢(shì) 它具有多分辨率的特點(diǎn) 可以方便地從 混有強(qiáng)噪聲的信號(hào)中提取原始信號(hào) 被譽(yù)為分析信號(hào)的顯微鏡 兩圖像增強(qiáng)技術(shù) 3 5 1 是圖像處理中一個(gè)非常重要的研究領(lǐng)域 囂前已經(jīng)有許 多非常成熟和有效的方法 如直方圖均衡 高通濾波 反掩模銳化法等 但是 這些傳統(tǒng)的圖像增強(qiáng)方法都存在著不足 如噪聲放大 有時(shí)可能引入新的噪聲 結(jié)構(gòu)等 如何解決這些問(wèn)題一直是圖像增強(qiáng)領(lǐng)域中的一個(gè)難題 藤目前 已經(jīng) 有許多關(guān)于小波變換在圖像增強(qiáng)方面的應(yīng)用研究 取得了非常不錯(cuò)的效果 不 過(guò)基予小波變換的圖像增強(qiáng)方法也有著不足的地方 沒(méi)有考慮噪聲 只是簡(jiǎn)單 武漢理工大學(xué)碩士學(xué)位論文 的增強(qiáng)細(xì)節(jié)信號(hào) 存在著噪聲放大的問(wèn)題 沒(méi)有充分利用小波分析的能力等 l 2 小波分析理論 小波交換的思想是建立在可自動(dòng)調(diào)節(jié)長(zhǎng)度的視窗函數(shù)之上的 它起源于2 0 世紀(jì)初的h a a r 的工作 在上個(gè)世紀(jì)的8 0 年代 小波變換的理論 1 9 7 5 年連續(xù)小 波變換 c o n t i n u o u sw a v e l e tt r a n s f o r m c w t 熬發(fā)現(xiàn) 和公式 1 9 8 2 年c w t 算法 的建立 逐步建立后極大地帶動(dòng)了這一技術(shù)的發(fā)展 到2 0 世紀(jì)9 0 年代 這一種 變換方法才變得十分成熟并且得到廣泛的應(yīng)用 小波理論包括連續(xù)小波和二進(jìn)小波變換 在映射到計(jì)算域的時(shí)候存在很多 問(wèn)題 因?yàn)閮烧叨即嬖谛畔⑷哂?在對(duì)信號(hào)采樣以后 需要計(jì)算的信息量還是 相當(dāng)?shù)拇?尤其是連續(xù)小波交換 因?yàn)橐獙?duì)精度內(nèi)所有的尺度和位移都徽計(jì)算 所以計(jì)算量相當(dāng)?shù)拇?而二進(jìn)小波變換綴然在離散的尺度上進(jìn)行伸縮和平移 但是小波之閥沒(méi)有正交性 各今分量的信息攙雜在一起 為我們的分折帶來(lái)了 不便 真正使小波在應(yīng)用領(lǐng)域得到比較大發(fā)展的是m e y e r 在1 9 8 6 年提出的一組小 波 其二進(jìn)鍘伸縮和平移構(gòu)成r f 鼬的標(biāo)準(zhǔn)化正交基1 6 在此結(jié)果基礎(chǔ)上 1 9 8 8 年s m a l l a t i r l 在構(gòu)造正交小波時(shí)提出了多分辨分析的概念 從函數(shù)分析的角度給 出了燕交小波的數(shù)學(xué)解釋 在空閩的概念上形象的說(shuō)甥了奎波的多分辨率特性 給出了通用的構(gòu)造正交小波的方法 并將之前所有的正交小波構(gòu)造方法統(tǒng)一起 來(lái) 并用類(lèi)儆傅立葉分析中的快速傅立時(shí)算法 給寤了小波變換的快速算法 m a l l a t 算法 這樣 在計(jì)算上變得可行以后 小波變換在各個(gè)領(lǐng)域才發(fā)揮 它獨(dú)特的優(yōu)勢(shì) 解決了各類(lèi)問(wèn)題 為人們提供了更多的關(guān)予時(shí)域分析的信息 形象一點(diǎn)說(shuō) 多分辨分析就是要構(gòu)造一組遁數(shù)空間 每組空聞的構(gòu)成都有 一個(gè)統(tǒng)一的形式 而所有空間的閉包則逼近r 火 在每個(gè)空間中 所有的函數(shù) 都構(gòu)成該空聞的標(biāo)準(zhǔn)純正交基 麗所有鼴數(shù)空聞的閉龜中的函數(shù)則構(gòu)成 2 定 的 標(biāo)準(zhǔn)化正交基 如果對(duì)信號(hào)在這類(lèi)空間上進(jìn)行分解 就可以得到相互正交的時(shí) 頻特性 而且由于空闖數(shù)舀是無(wú)限可數(shù)的 可以很方便地分析我們所關(guān)心的信 號(hào)的某些特性 1 3 圖像去噪技術(shù) 2 武漢理工大學(xué)碩士學(xué)位論文 圖像去嗓是信號(hào)處理中的一個(gè)經(jīng)典的問(wèn)題 傳統(tǒng)的去噪方法多采用平均或 線(xiàn)性方法 如w i e n e r 濾波 但去嗓效果不令人滿(mǎn)意 隨著小波理論囂趨完善 它以其自身良好的時(shí)頻特性在圖像信號(hào)去噪領(lǐng)域受到越來(lái)越多的關(guān)注 開(kāi)辟了 用非線(xiàn)性方法去噪的先河 小波變換用于豳像去噪的理論基礎(chǔ)始于s m a l l a t 把數(shù)學(xué)上的l i p s c h i t z 系數(shù) 與小波變換的模極大值聯(lián)系起來(lái) 隨后d o n o h o l 8 j 提出了小波m 值萎縮方法并 從漸透意義上證明了其優(yōu)越性 然而在實(shí)際應(yīng)用中卻往往效果不好 存在 過(guò) 扼殺 系數(shù)的缺點(diǎn) 以后人們進(jìn)一步研究小波相關(guān)去噪方法 比例萎縮方法等 并且在進(jìn)一步提高辣法的局部適旋性 先驗(yàn)?zāi)Ｐ偷臏?zhǔn)確性 邊緣信息的傈留性 等方西取得了巨大的進(jìn)步 具體回顧小波去噪方法可以大致分成以下三個(gè)階段 第 階段 最初的去噪方法主要是利用小波變換去相關(guān)性 在小波分解后 不同層次麴綱節(jié)子帶 采用不同的閾值 代表方法有v i s u s h r i n k 逶用軟閨值去 噪方法 和s u r e s h r i n k 基于s t e i n s 的無(wú)偏風(fēng)險(xiǎn)估計(jì) 可得出接近最優(yōu)軟閾值 的佶計(jì)量 方法等 這期間硬閡值 軟闕值和半軟閩值等閾值函數(shù)也楣繼提出 第二階段 人們開(kāi)始根據(jù)小波系數(shù)的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)建立各種先驗(yàn)?zāi)Ｐ?對(duì)小波 系數(shù)的萎縮自適應(yīng)變化 也就是每個(gè)小波系數(shù)所采取的閾值都各不相同 小波 系數(shù)模型主要可分為基于尺度內(nèi)相關(guān)性的層內(nèi)模型 基于尺度闐相關(guān)性的層聞 模型和混合模型 最常用小波系數(shù)先驗(yàn)?zāi)Ｐ褪菑V義高斯分布模型 原圖像小波 系數(shù)的方差估計(jì)采髑局部鄰域估計(jì) 代表方法有數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)的爨適應(yīng)b a y e s s h r i n k 方法 l a w m l s h r i n k 方法等 第三階段 這 階段入們主要關(guān)注如何利用小波系數(shù)層聞和層肉的楣關(guān)性 二元或多元的小波萎縮函數(shù)被提出 在去噪的同時(shí)如何盡可能地保留邊緣 紋 理等細(xì)節(jié) 如何使去噪后的圖像更光滑 如何將小波變換去噪與其他方法結(jié)合 等都處于不斷地探索和研究中 代表方法有b i v a s h r i n k 方法 小波的馬爾可夫 方法和復(fù)數(shù)小波去噪方法等 1 4 圖像增強(qiáng)技術(shù) 數(shù)字圖像增強(qiáng)是指按特定的需要突出一幅圖像中的某些信息 同時(shí)削弱或 去除某些不需要的信息的處理方法 其主要目的是使處理后的圖像對(duì)某種特定 的應(yīng)用來(lái)浼 比原始圖像更適用 因此 這類(lèi)處理是為了某種應(yīng)用目的兩去改 3 武漢理王大學(xué)碩士學(xué)位論文 善圖像矮量的 處理的結(jié)果鎪圖像更適合于人的視覺(jué)特性或機(jī)器的識(shí)別系統(tǒng)i l 別 圖像的增強(qiáng)技術(shù)主要分為兩大類(lèi) 類(lèi)是空域類(lèi)處理法 一類(lèi)是頻域類(lèi)處 理法 空域法是指蠱接對(duì)圖像孛的像素進(jìn)行處理 基本上是以獲度映射變換為 基礎(chǔ)的 頻域法的基礎(chǔ)是卷積定理 一般情況下采用修改傅立葉變換的方法來(lái) 實(shí)現(xiàn)對(duì)圖像進(jìn)行增強(qiáng)處理 健在這里以延伸為其毽的變換翔d c t 變換 w a l s h 變換和小波變換等 小波算法的發(fā)展極大影響了信號(hào)與圖像處理領(lǐng)域的研究 在圖像處理領(lǐng)域 很多算法被痰用到罌像去嗓方面 相對(duì)來(lái)講在圖像增強(qiáng)這個(gè)領(lǐng)域研究工作做得 稍微少了些 但還是出現(xiàn)了 些很重要的方法 圖像增強(qiáng)中主要問(wèn)題是噪聲 許多通用 知名方法都存在下列瓣題 幫在增強(qiáng)細(xì)節(jié)信號(hào)豹同時(shí) 也放大了噪 聲 在諸如c c d 這種低對(duì)比度 多噪聲圖像中 尤其需要改進(jìn)算法 在增強(qiáng)微 弱細(xì)節(jié)信號(hào)的困時(shí)抑制背景孛的離頻噪聲 傳統(tǒng)圖像增強(qiáng)方法 如直方腿均衡 高通濾波 反掩模銳化法等 但是 這些傳統(tǒng)的圖像增強(qiáng)方法都存在著不足 如噪聲放大 有時(shí)可能弓l 入新的噪聲 結(jié)擒等 知翁解決這些闖題一直是圖像增強(qiáng)領(lǐng)域孛的 個(gè)難題 小波分析是近 些年來(lái)發(fā)展起來(lái)的一種新的時(shí)頻分析工具 特別適合于信號(hào)處理領(lǐng)域 如圖像 處理 基于小渡於圖像增強(qiáng)方法瘟運(yùn)麗生 并取褥了薯每零不錯(cuò)的效果 焉這種 方法也有不足之處 特別是存在酋噪聲放大問(wèn)題 于是圍繞解決該問(wèn)題研究了 不少新方法 使圖豫增強(qiáng)技術(shù)鷯研究跨入一個(gè)新的領(lǐng)域 1 5 研究?jī)?nèi)容及安排 全文共分為五章 其主要內(nèi)容和結(jié)構(gòu)安排如下 第1 章 緒論 籬要分紹小波分輯理論熬歷史和研究現(xiàn)狀 數(shù)及圖豫去噪 技術(shù)和圖像增強(qiáng)技術(shù) 最后給出本文的研究?jī)?nèi)容和安排 第2 章 奔紹了小波分聿廳酶基本概念 連續(xù)奪波變換 離散小波交換 多 分辨率分析的思想和m a l l a t 算法 小波基函數(shù)及其性質(zhì) 以及小波理論在圖像 處理中的應(yīng)用 這一章是后續(xù)章節(jié)的理論基礎(chǔ) 第3 章主要研究了小波分析在信號(hào)處理的去噪問(wèn)題孛的應(yīng)用 先籬要貧紹 了小波分析在信號(hào)去噪算法方面的研究現(xiàn)狀 又給出了小波閩值去噪的原理及 其實(shí)現(xiàn)方法 重點(diǎn)分析了傳統(tǒng)的軟 硬闌值函數(shù)的優(yōu) 缺點(diǎn) 最螽分輯了闋值 4 武漢理工大學(xué)碩士學(xué)位論文 選取的方法 針對(duì)小波閾值去噪算法中閩值及閾值函數(shù)的選取問(wèn)題 提出了一 種新的閩值函數(shù)和一種新閾值的方法 并通過(guò)實(shí)驗(yàn) 從不同的角度分析了這種 方法的優(yōu)越性能 第4 章主要研究了基于小波理論的圖像增強(qiáng)技術(shù) 提出了一種基于小波變 換酶魏適應(yīng)增強(qiáng)算法 并通過(guò)了m 嬲癆平臺(tái) 對(duì)蠶豫增強(qiáng)傳統(tǒng)方法和小波筋自 適應(yīng)圖像增強(qiáng)算法進(jìn)行比較 驗(yàn)證了該算法的可行性和優(yōu)越性 第5 章總結(jié)全文 并展望了未來(lái)工作的一些研究方向 5 武漢理工大學(xué)碩士學(xué)位論文 第2 章小波在圖像處理中的應(yīng)用 2 1 從傅立葉變換至l jt j 波變換 小波分析屬于時(shí)頻分析的一種 傳統(tǒng)的信號(hào)分柝是建立在傅立時(shí)變換的基 礎(chǔ)上的 由于傅立葉分析使用的是一種全局的變換 要么完全在時(shí)域 要么完 全在頻域 因此無(wú)法表述信號(hào)的時(shí)頻局域性質(zhì) 而這種性質(zhì)恰恰是葛 平穩(wěn)信號(hào) 最根本和最關(guān)鍵的性質(zhì) 為了分輯和處理菲乎穩(wěn)信號(hào) 人們對(duì)傅立葉分析進(jìn)行 了推廣乃至根本性的革命 提出并發(fā)展了一系列新的信號(hào)分析理論 短時(shí)傅立 時(shí)交換 g a b o r 變換 時(shí)頻分析 小波交換 分?jǐn)?shù)階傅立時(shí)變換 線(xiàn)調(diào)頻小波 變換 循環(huán)統(tǒng)計(jì)量理論和調(diào)幅一調(diào)頻信號(hào)分析等 其中 短時(shí)傅立葉變換和小 波變換也是應(yīng)傳統(tǒng)的傅立時(shí)變換不麓夠滿(mǎn)足信號(hào)處理的要求而產(chǎn)生的 緞時(shí)傅 立葉變換分析的基本思想是 假定非平穩(wěn)信號(hào)在分析窗函數(shù)g 的一個(gè)短時(shí)間 間隔內(nèi)是平穩(wěn) 偽平穩(wěn) 的 并移動(dòng)分析窗函數(shù) 使f t g t z l 在不同的有限 時(shí)聞寬度內(nèi)是平穩(wěn)信號(hào) 從恧計(jì)算出各個(gè)不同時(shí)刻的功率譜 但從本質(zhì)上講 短時(shí)傅立葉變換是 種單一分辨率的信號(hào)分析方法 因?yàn)樗褂靡粋€(gè)固定的短 時(shí)窗兩數(shù) 因而短時(shí)傅立葉變換在信號(hào)分析上還是存在著不可逾越的缺陷 1 4 1 小波變換是一種信號(hào)的時(shí)間 尺度分析方法 它具有多分辨率分析的特點(diǎn) 而且在時(shí)頻兩域都具有表征信號(hào)局部特征的能力 是一種窗口大小固定邊但其 形狀可改變 時(shí)間窗和頻率窗都可以改變的時(shí)頻局部化分析方法 即在低頻部 分具有較高的頻率分辨率 在高頻部分具有較高的時(shí)間分辨率和較低的頻率分 辨率 很適合于探測(cè)正常信號(hào)中夾帶的瞬態(tài)反常現(xiàn)象并展示其成分 所以被譽(yù) 為分析信號(hào)的顯微鏡 利用連續(xù)小波變換進(jìn)行動(dòng)態(tài)系統(tǒng)故障檢測(cè)與診斷具有良 好的效果 2 1 1 傅里時(shí)變換 在信號(hào)處理中熏要方法之一是博立葉變換 它絮起了時(shí)聞?dòng)蚝皖l率域之閩 的橋梁 對(duì)很多信號(hào)來(lái)說(shuō) 傅立葉分析非常有用 因?yàn)樗芙o出信號(hào)聚包含的各種 6 武漢理工大學(xué)碩士學(xué)位論文 頻率成分 但是 傅立葉變換有著嚴(yán)重的缺點(diǎn) 變換之后使信號(hào)失去了時(shí)間信 息 它不能告訴人們?cè)谀扯螘r(shí)間里發(fā)生了什么變化 而很多信號(hào)都包含有人們 感興趣的非穩(wěn)態(tài) 或者瞬變 特性 如漂移 趨勢(shì)項(xiàng) 突然變化以及信號(hào)的開(kāi) 始或結(jié)束 這些特性是信號(hào)的最重要部分 因此傅里葉變換不適于分析處理這 類(lèi)信號(hào) 鼠然傅立葉變換能夠?qū)⑿盘?hào)的時(shí)域特征和頻域特征聯(lián)系起來(lái) 能分別從信 號(hào)的時(shí)域和頻域觀(guān)察 但卻不能把二者有機(jī)地結(jié)合起來(lái) 這是因?yàn)樾盘?hào)的時(shí)域 波形中不包含任何頻域信息 而其傅立葉譜是信號(hào)的統(tǒng)計(jì)特性 從其表達(dá)式中 也可以看出 它是整個(gè)時(shí)間域內(nèi)的積分 沒(méi)有局部化分析信號(hào)的功能 完全不 具備時(shí)域信息 氌就是說(shuō) 對(duì)于傅立時(shí)譜中的某一頻率 不知道這個(gè)頻率是在 什么時(shí)候產(chǎn)生的 這樣在信號(hào)分析中就麗臨一對(duì)最基本的矛盾 時(shí)域和頻域的 局部化矛盾矧 在實(shí)際的信號(hào)處理過(guò)程中 尤其是對(duì)非平穩(wěn)信號(hào)的處理中 信號(hào)在任一時(shí) 刻附近的頻域特征都很重要 如柴油機(jī)缸蓋表面的震動(dòng)信號(hào)就是由撞擊或沖擊 產(chǎn)生的 是一瞬變信號(hào) 僅從時(shí)域或頻域上來(lái)分析是不夠的 這就促使去尋找 一種新方法 能夠?qū)r(shí)域和頻域結(jié)合起來(lái)描述觀(guān)察信號(hào)的時(shí)頻聯(lián)合特征 構(gòu)成 信號(hào)豹時(shí)頻譜 這就是所謂的時(shí)頻分析法 也稱(chēng)為時(shí)頻局部他方法 2 1 2 短耐傅里葉變換 由于標(biāo)準(zhǔn)傅立時(shí)變換只在頻域里有局部分析的能力 兩在時(shí)域里不存在這 種能力 d e n n i sg a b o r 于1 9 4 6 年引入了短時(shí)傅立葉變換 短時(shí)傅立葉變換的基 本思想是 把信號(hào)劃分成許多小的時(shí)聞聞隔 用傅立時(shí)變換分析每一個(gè)時(shí)聞聞 隔 以便確定該時(shí)間間隔存在的頻率 1 昏1 7 1 其表達(dá)式為 s 觴f 一f f t g p l e j o a d t 2 一1 氣 其中拳表示復(fù)菸軛 廠(chǎng)0 是進(jìn)入分析的信號(hào) 在這個(gè)變換中 起著頻限 的作用 g 起著時(shí)限的作用 隨著時(shí)間z 的變化 g f 所確定的 時(shí)間窗 在t 軸上移動(dòng) 是 廠(chǎng) f 逐漸 進(jìn)行分析 因此 g f 往往被稱(chēng)之為窗e 1 函數(shù) s f 緲 z 大致反映了 廠(chǎng)0 在時(shí)刻了時(shí) 頻率為緲的 信號(hào)成分 的相對(duì)含量 這 樣信號(hào)在窗函數(shù)上的展開(kāi)就可以表示為在p 一6 r 6 一f s 這一區(qū)域內(nèi) 的狀態(tài) 并把這一區(qū)域稱(chēng)爻窗爨 6 和艿分別稱(chēng)藥窗弱的時(shí)寬和頻寬 表示了 7 武漢理工大學(xué)碩士學(xué)位論文 時(shí)頻分析中的分辨率 窗寬越小則分辨率就越高 很顯然 希望6 和 都非常 小 以便有更好的時(shí)頻分析效果 但6 和 是互相制約的 兩者不可毹同時(shí)都 任意 事實(shí)上 纛1 1 2 且僅當(dāng)鬈9 一 1 醞塒 e e 腳4 為高斯函數(shù)對(duì) 等號(hào)成立 由此可見(jiàn) 短時(shí)傅立葉變換雖然在一定程度上克服了標(biāo)準(zhǔn)傅立葉不具有局 部分析麓力的缺陷 僵它也存在著自身不可克服的缺陷 即當(dāng)窗函數(shù)g f 確定 后 矩形窗口的形狀就確定了f 甜只能改變窗口在相平面上的位置 而不能 改變窗口的形狀 可以說(shuō)短時(shí)傅立時(shí)交換實(shí)質(zhì)上是其有單一分辨率的分析 若 要改變分辨率 則必須重新選擇窗函數(shù)g o 因此 短時(shí)傅立葉變換用來(lái)分析 平穩(wěn)信號(hào)猶可 但對(duì)非平穩(wěn)信號(hào) 在信號(hào)波形變化劇烈的時(shí)刻 主頻是高頻 要求有較高的時(shí)聞分辨率 郎6 要小 而波形變化比較平緩的時(shí)刻 主頻是低 頻 則要求有較高的頻率分辨率 即 要小 而短時(shí)傅立葉變換不能兼顧兩者 2 1 3 小波變換 小波變換提出了變化的時(shí)間窗 當(dāng)需要精確的低頻信息時(shí) 采用長(zhǎng)的時(shí)間 窗 當(dāng)需要精確的高頻信息時(shí) 采用短的時(shí)瓣窗 小波變換用的不是時(shí)間一頻 率域 而是時(shí)間一尺度域 尺度越大 采用越大的時(shí)間窗 尺度越小 采用越 短的時(shí)聞窗 即尺度與頻率成反比 2 2 連續(xù)小波變換 2 2 1 一維連續(xù)小波變換 定義 颯o t e l z r 其傅立時(shí)變換為妒 萬(wàn) 當(dāng)妒 滿(mǎn)足允許條件 完 全重構(gòu)條件或恒等分辨條件 q 蝌如刪 倍2 時(shí) 我們稱(chēng)妒o 為一個(gè)基本小波或母小波 將母函數(shù)妒p 經(jīng)伸縮和平移后 得 刪2 南妒等 a b e r a 帶o 泣3 稱(chēng)其為一個(gè)小波序列 其中a 為伸縮因子 b 為平移因子 對(duì)于任意的函 8 武漢理工大學(xué)碩士學(xué)位論文 數(shù)彈 岜乎籩 的連續(xù)小波變換為 吩 口 牡 緲口 一曠1 2fr 一f t 吐 t b clt 2 4 其重構(gòu)公式 逆變換 為 一喪正e 砉町 6 l f 洋脅偽 2 毒i j 砉町 6 l f 呼脅偽 巧 由子基小波妒p 生成的小波妒d j f 在小波變換中對(duì)被分析的信號(hào)起著觀(guān)測(cè) 窗的俸用 所以壚囊 還應(yīng)該滿(mǎn)足一般函數(shù)的約束條件 多 壤 故妒扣 是一個(gè)連續(xù)萌數(shù) 這意味著 原點(diǎn)必須等于0 即 奈6 為了滿(mǎn)足完全重構(gòu)條件式 妒 c o 在 妒樽一f 爹p 者 0 2 7 為了使信號(hào)重構(gòu)的實(shí)現(xiàn)在數(shù)值上是穩(wěn)定的 處理完全重構(gòu)條件外 還要求 小波妒 f 的傅立葉變化滿(mǎn)足下面的穩(wěn)定性條件 a s p 2 甜 2 s b 2 8 式中0 asb 0 0 從穩(wěn)定性條棒 2 8 可以弓 出一個(gè)重要的概念f 1 8 l 定義 對(duì)偶小波若小波妒 滿(mǎn)足穩(wěn)定性條件 2 堪 式 則定義一個(gè)對(duì)偶小 波爹套 其傅立甘變換痧 妨由下式給毒 爹 國(guó) 唑 2 9 眵 2 l 注意 穩(wěn)定性條件 2 8 式實(shí)際上是對(duì) 2 9 式分母的約束條件 它的 律用是保證對(duì)偶小波豹博立孽變換存在酶穩(wěn)定性 蕊得指窶的是 一個(gè)小波的 對(duì)偶小波一般不是唯一的 然而在實(shí)際應(yīng)用中 我們又總是希望它們是唯一對(duì) 應(yīng)躲 霞此 尋找其有唯 對(duì)偶小波的合適小波也裁成為小波分搟孛最基本的 問(wèn)題 連續(xù)小波變換具有以下重要性質(zhì) 1 線(xiàn)性性 個(gè)多分量信號(hào)的小波交換等于各個(gè)分量的小波變換之和 9 武漢理正大學(xué)碩士學(xué)位論文 2 平移不變性 若朋 的小波變換為髟始 芻 貝l jf t 7 的小波變換為 町 口 b f 翦小波變換秀野 露 妨 贈(zèng) 群 的小波變換為 孵 c a c b c 0 e 4 c 4 自檑似性 對(duì)應(yīng)不溺尺度參數(shù)a 和不同平移參數(shù)b 的連續(xù)小波交換之 闐是自相似麴 5 冗余性 連續(xù)小波變換中存在信息表述的冗余度 小波變換的冤余性事實(shí)上也是鑫相似幢酶直接反映 它主要表現(xiàn)在以下兩 個(gè)方面 重 由連續(xù)小波變換恢復(fù)原信號(hào)酶重梅分式不是唯一的 也就是謊 信號(hào) f t 的小波變換與小波重構(gòu)不存在 一對(duì)應(yīng)關(guān)系 而傅立葉變換與傅立葉反變 換是一一對(duì)應(yīng)的 2 奪波變換的核函數(shù)鼯小波邈數(shù)妒 童 存在許多可能的選擇 例如 它 們可以是非正交小波 正交小波 雙正交小波 甚至允許是彼此線(xiàn)性相關(guān)的 奪波變換在不同的 之聞的相關(guān)性增加了分析和解釋套波變換結(jié)果 的困難 因此 小波變換酌冗余度應(yīng)盡可能減小 它是小波分析中的主要問(wèn)題 之一 2 2 2 高維連續(xù)小波變換 對(duì)f t l 2 r 勛 鴦 公式建 p 一土c 丟乃 如 l f 爭(zhēng)姍妒j j a 2 1 0 存在幾種擴(kuò)展的可熊性 一種可能性是選擇小波咫 r 掣 搜其為球?qū)?稱(chēng) 其傅立葉變換也同樣球?qū)ΨQ(chēng) 妒 回一雄 司 2 一 l 童 并且其相容性條件變?yōu)?q 二 豺 公 7 增2 了d t 2 一1 2 對(duì)掰有的f g e l 2 g 1 0 武漢理工大學(xué)碩士學(xué)位論文 f 善 如 6 霞趣 b d b o 2 1 3 這里 野 掰 6 囂 妒口 妒 p 一a 圳氣p q b a 其中a e r a o 且 b e r 8 公式 2 1 3 也可以寫(xiě)為 一c 一驢 洳r 也礦娃矗r 野 露 辦凈4 始 2 1 4 如果選擇的小波妒不是球?qū)ΨQ(chēng)的 但可以用旋轉(zhuǎn)進(jìn)行同樣的擴(kuò)展與平移 例如 在二維盼 可定義 妒蝴國(guó) a 霹 生 2 1 5 勰哪矧2 瞄等 槌容條件鰳 q 勖 公魯f 黟p s o r s 跡疹 1 2 始 1 由于m 可取正也可取負(fù) 所以這個(gè)假定無(wú)關(guān)緊要 所以對(duì)應(yīng)的離敖 小波函數(shù)吵m f 即可寫(xiě)作 妒 f 7 和 掣 1 j 1 2 t f 一蛾 2 1 9 吒 而離散化小波變換系數(shù)則可表示為 q 鼻t f o 妒二p 密斌 2 2 0 其重構(gòu)公式為 即 一c 芝 q 矽弦9 2 2 1 e 是一個(gè)與信號(hào)無(wú)關(guān)的常數(shù) 然面 怎樣選擇 和氏才能夠保證重構(gòu)信號(hào) 的精度昵 顯然 網(wǎng)格點(diǎn)應(yīng)盡可能密 即口 和 盡可能小 因?yàn)槿绻W(wǎng)格點(diǎn) 越稀疏 使用的小波遁數(shù)矽繕 和離敖小波系數(shù)c 艚裁越少 信號(hào)重構(gòu)的精確 度也就會(huì)越低 實(shí)際計(jì)算中不可能對(duì)全部尺度因子蘧和位移參數(shù)值計(jì)算c w t a b 值 加之實(shí) 際的觀(guān)測(cè)信號(hào)都是離散的 所以信號(hào)處理中都是用離散小波變換 d w t 大 多數(shù)情況下是將尺度因子和位移參數(shù)按2 的冪次進(jìn)行離散 最有效的計(jì)算方法 是s m a l l a t 予1 9 8 8 年發(fā)展的抉小波算法 又稱(chēng)塔式算法 對(duì)任一信號(hào) 離散 小波變換第一步運(yùn)算是將信號(hào)分為低頻部分 稱(chēng)為近似部分 和離散部分 稱(chēng) 為細(xì)節(jié)部分 近似部分代表了信號(hào)的主要特征 第二步對(duì)低頻部分再進(jìn)行相似 運(yùn)算 不過(guò)這時(shí)尺度因子已經(jīng)改變 依次進(jìn)行到所需要的尺度 除了連續(xù)小波 嗍 離散小波 d w t 還有小波包 w a v e l e tp a c k e t 和多維小波 2 4 多分辨分析和m a l l a t 算法 2 4 1 多分辨分析 多分辨分析 m u l t i r es o l u t i o na n a l y s i s m r a 是1 9 8 9 年由s m a l l a t 引入 的 他從空闖的概念上形象地說(shuō)明了小波的多分辨特性 將在此之鰒所有小波 1 2 武漢理工大學(xué)碩士學(xué)位論文 變換理論統(tǒng)一起來(lái) 并由此給出了小波的構(gòu)造方法與小波變換快速算法 即著 名的m a l l a t 算法 多分辨分析的一個(gè)最大特點(diǎn)是只對(duì)低頻空間進(jìn)行進(jìn)一步分解 從歷使頻率的分辨率變得越來(lái)越離 一般說(shuō)來(lái) 用來(lái)梅造正交小波變換的多分 辨分析具有下面的理論框架 舡2 設(shè)w 是集合移磚 露 z 即對(duì)每個(gè)驢 是尺度相同為j 不慝位移k 下 的妒請(qǐng) 所構(gòu)成的集合 線(xiàn)性張成的在空間l 2 e 上的閉包 r 俾 中一列閉子 空聞 脖稱(chēng)為f 犬 的一個(gè)多分辨分析 m r a 如采該序列滿(mǎn)足下列條件 1 單調(diào)性 匕 屹g 匕 磁e z 2 逼近性 n 屹 u 圪一r 犬 泰媾 毯 3 伸縮性 f x e v j 尊f 2 x e v j 1 v 七g z 4 平移不變性 f x c v o 靜f x k e v o v 意 z 5 相加性 k k 岷 可以證明 存在函數(shù)妒 圪使它的整數(shù)平移系 m j 2 妒 膨卅2 t k i k e z 構(gòu)成一的規(guī)范正交基 稱(chēng)驢 為尺度丞數(shù) 于是函數(shù)妒 毒 一m j 2 q p m t k 七 z 構(gòu)成標(biāo)準(zhǔn)正交基 m r a 本質(zhì)上給邀了人類(lèi)視覺(jué)系統(tǒng)對(duì)物體認(rèn)識(shí)的數(shù)學(xué)描述 實(shí)際上 如果把 它當(dāng)作某人在某種尺度j 下所觀(guān)察到的該物體信息 則當(dāng)尺度增加到j(luò) l 時(shí) 他 所觀(guān)察到的信息為礦 l 此時(shí)可以認(rèn)為是他進(jìn)一步靠近目標(biāo)所觀(guān)察到的信息 因此匕 所表示的信息該比匕更為豐富 即 c t 總之 尺度越大 距離 目標(biāo)越近 觀(guān)察到的信息越豐富 反之 尺度越小 距離越遠(yuǎn) 含有的信息量 越少 1 9 8 9 年 m a l l a t 在他的著名的論文中對(duì)此給出了精辟的闡述1 2 2 1 設(shè) 圪 朋毯z 驢 是 個(gè)正交m r a 如果 雄 2 羅妒 荔一妁 2 2 2 7 那么 函數(shù)妒 2 羅 一妒g q 2 t 一毒 的伸縮 平移構(gòu)成r 天 的正交基 對(duì)于任意廠(chǎng) r r f 可以表示為 似 q 肌 2 2 3 1 3 武漢理工大學(xué)碩士學(xué)位論文 而其中的部分和 五 x 一芝q 緲u 暇 2 2 4 因此五 x 構(gòu)成信號(hào)f 在子空間 上的投影 也即信號(hào)f 分解到與頻率k 相關(guān)的局部信息 綜合式 2 2 3 2 2 4 得到信號(hào) 的另一種等價(jià)表示 f a x 芝五 力 2 2 5 j 信號(hào)e x 巧一 七i 一 2 4 2m a l l a t 分解重構(gòu)算法 1 9 8 9 年 m a l l a t 在小波變換多分辨分析理論與圖像處理的應(yīng)用研究中提出 了信號(hào)的塔式多分辨分解與重構(gòu)的著名算法 也稱(chēng)m a l l a t 算法 一般認(rèn)為 m a l l a t 法在小波分析中的地位類(lèi)似于f f r 在經(jīng)典f o u r i e r 分柝中的地位瞄j m a l l a t 算法的基本思想可以歸納如下 設(shè)日 廠(chǎng)為能量有限信號(hào)f e r r 在分 辨率2 下的近似 則臀 可以進(jìn)一步分解為 在分辨率2 下躲近儆胃n 通過(guò)低通濾波器得到 以及位于分辨率2 一 與2 j 之間的細(xì)節(jié)d 一f 通過(guò) 高通濾波器得到 之和 下面討論具體表達(dá)式 設(shè)妒與矽分別為尺度與小波函數(shù) 則信號(hào) 在分辨率2 h 下近似日 廠(chǎng)和 細(xì)節(jié)d 廠(chǎng)分別假設(shè)為 h j m 薈巳一 夠嘶 x q t 廠(chǎng)m 薈嘭 矽 2 粕 式 2 2 6 中q 姒與嘭一 分別為分辨率2 下粗糙系數(shù)與細(xì)節(jié)系數(shù) 而分辨 率2 下信號(hào)f 的近似詹j 可以壹接表示為 h j h j 4 d j 4 f 2 2 7 其中q o 2 量哆童紡 女 x 從 2 2 6 與 2 2 7 不難看出 研究信息 廠(chǎng) 與日 矗f 以及域一 之間的關(guān)系可以轉(zhuǎn)化為找出系數(shù)與夠 i 與露卜駐以及嘭一 毒的 1 4 武漢理工大學(xué)碩士學(xué)位論文 關(guān)系 為此 從雙尺度方程開(kāi)始 此時(shí)有 j 1 q j l n x 一2 2 驢 2 l x n 一2 i 巳妒 2 i x 2 川 一芝鋤2 j 驢 2 j x k 一薹 紡毒 菇 怨 危 2 2 8 土式兩端用函數(shù)驢 t 霹o 作內(nèi)積 并利用其標(biāo)準(zhǔn)正交特?zé)嵬?尋 妒 勘 紡滯 一 一魏 2 2 9 另歲 一妒長(zhǎng)一 利用方程 2 2 6 又有 妒 一 力 2 了j l 妒 i x i t 1 2 薈蜀驢 2 j x 2 n 2 薹 一 一紡j x 2 3 0 蠢樣可得 緲歹勘 魏一扣g 坩嘲 2 3 1 利用 2 2 6 與 2 2 7 并在 2 2 7 中用函數(shù)妒 卻 x 作內(nèi)積并注意到 2 2 9 與 2 3 1 及正交特性 得到 a j 勘 i 2 3 2 2 n a j k 勘 三靠一 麗用函數(shù)l f j l m x 對(duì) 2 2 6 作內(nèi)積時(shí)則得到 嘭 珈一 面n 2 3 3 2 3 0 與 2 3 1 被稱(chēng)之為信號(hào)的分解 構(gòu)成m a l l a t 著名的塔式分解算 法 另一方面 在 2 2 6 中用函數(shù)碼驢抽o 作內(nèi)積 產(chǎn)生 搿 一2 薈e n z t 栩i t t 薈島 一 t t 量 式 2 3 2 稱(chēng)之為信號(hào)的重構(gòu) 構(gòu)成m a l l a t 著名的塔式重構(gòu)算法 二維m a l l a t 算法采用了可分離的濾波器設(shè)計(jì) 實(shí)質(zhì)上相當(dāng)于分別對(duì)圖像數(shù) 據(jù)的行和列做一維離散小波變換 此時(shí)二維尺度函數(shù)妒 x j f 似2 可表示為 琵個(gè)一維尺度函數(shù)的乘積 武漢理工大學(xué)碩士學(xué)位論文 驢如y 一驢o 砌 令妒 x 妒 分別為與妒 曲 l f y 相對(duì)應(yīng)的一維小波 則在分辨率j 層 二維的二進(jìn)小波可表示為以下3 個(gè)可分離的正交基函數(shù) 妒1 0 y 一妒扛拗 力妒2 0 y 一妒o 凈 力妒3 0 y m 妒 x 妙 2 5 小波基函數(shù)及其性質(zhì) 不同的小波基具有不同的特性 用不同的小波基分析同一個(gè)問(wèn)題會(huì)產(chǎn)生不 同的結(jié)果 故小波分櫥在應(yīng)用中便存在一個(gè)小波基的選取閥題要根據(jù)小波函數(shù) 的特征和應(yīng)用的需要來(lái)選擇合適的小波基 2 5 1 小波基具有的性質(zhì) 為了在小波分析的應(yīng)用中能正確的選擇針對(duì)實(shí)際問(wèn)題的小波基 首先要充 分了解各種小波基的性質(zhì) 小波基的性質(zhì)大致包括五個(gè)方面 正交性 對(duì)稱(chēng)性 消失矩 正則性和緊支性 1 正交性 正交性是小波基的一個(gè)非常優(yōu)良的性質(zhì) 早期研究的小波大多是正交小波 它在理論上是近乎完美的 設(shè)妒 x 為尺度函數(shù) 則函數(shù)系靜囊一是 娩構(gòu)成規(guī)范正交系的充要條件是 驢 x v x 一七 一6 0 毒 正交小波對(duì)應(yīng)的低通濾波器和高通濾波器系數(shù)之間有著直觀(guān)的聯(lián)系 即 g 一 一1 魂一 這對(duì)芷交小波的構(gòu)造和實(shí)際應(yīng)震都帶來(lái)很大的方便 靂正交小波基進(jìn)行多 尺度分解得到的各子帶數(shù)據(jù)分別落在相互正交的的子空間中 使各子帶數(shù)據(jù)的 相關(guān)性減小 這有利于數(shù)值計(jì)算和數(shù)據(jù)壓縮 但是除h a a r 小波井 正交小波不 具有線(xiàn)性相位 能準(zhǔn)確重建的 正交 具有線(xiàn)性相位的有限沖激響應(yīng)濾波器組 是不存在的 這是被理論證明的結(jié)論 為了解決線(xiàn)性相位問(wèn)題 一般放寬正交 健條 孛兔雙正交 雙正交條件則放棄了對(duì)偶濾波器的正交條件 只保留翁兩個(gè) 1 6 武漢理正大學(xué)碩士學(xué)位論文 交叉正交條件 實(shí)際中雙正交小波常具有非常好的性能 2 消失矩特性 為了提高小波的衰減速度 要求所使用的基函數(shù)具有一定的消失矩 消失 矩階數(shù)描述了小波函數(shù)相對(duì)于尺度函數(shù)的振蕩性質(zhì) 階數(shù)越高 小波函數(shù)振蕩 越劇烈 并可通過(guò)小波變換將該振蕩性質(zhì)傳遞到小波域內(nèi) 磊且小波蚤數(shù)豹消 失矩越高 使得圖像小波分解的高頻細(xì)節(jié)分量中就有越多的系數(shù)為o 或接近于 0 也就是存在很多可以被忽略的奇異點(diǎn) 從而縫量集中特性越好 這對(duì)圖像酶 邊緣檢測(cè)和壓縮編碼很重要 般來(lái)講 如果 個(gè)小波的消失矩r 則它對(duì)應(yīng)的濾波器長(zhǎng)度不能小予2 r d a u b e c h i e 小波基的消失矩為n 雙正交小波基b i o r n r n d 的消失矩n f 一 1 c o i f l e t s 小波基的消失矩為2 n s y m l e t s 小波基系列的消失矩為n 在信號(hào)檢測(cè)的應(yīng)用中 為了畿夠有效的檢測(cè)奇異點(diǎn) 小波基的消失矩也必 須具有足夠的階數(shù) 它與l i p s c h i t z 奇異性指數(shù)密切相關(guān) 另外從計(jì)算量的角度 考慮 消失矩的階數(shù)與緊支撐區(qū)聞長(zhǎng)度相關(guān) 過(guò)高的階數(shù)將增加計(jì)算量 3 緊支性 若函數(shù)妒 x 在區(qū)間 a b 1 外恒為零 則稱(chēng)該函數(shù)在這個(gè)區(qū)間上緊支 具有 該性質(zhì)的小波稱(chēng)為緊支撐小波 如果尺度函數(shù)的低透濾波器瓠 是f i r 濾波器 那么尺度函數(shù)和小波函數(shù)只在有限區(qū)間內(nèi)非零 稱(chēng)為緊支撐小波濾波