自動(dòng)控制原理第四章習(xí)題解答.pdf

胡壽松自動(dòng)控制原理習(xí)題解答第四章 4 1 設(shè)單位反饋控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù) 1 s K sG 試用解析法繪出 K從零變到無窮時(shí)的閉環(huán)根軌跡圖 并判斷下列點(diǎn)是否在根軌跡上 解 有一個(gè)極點(diǎn) 1 沒有零點(diǎn) 根軌跡如圖中紅線所示 點(diǎn)在根軌跡上 而 點(diǎn)不在根軌跡上 4 2 設(shè)單位反饋控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù) 12 13 ss sK sG 試用解析法繪出開環(huán)增益 K 從零增加到無窮時(shí)的閉環(huán)根軌跡圖 解 系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為 2 1 3 1 2 1 3 1 2 3 ss sK ss sK s g G 有兩個(gè)極點(diǎn) 0 1 2 有一個(gè)零點(diǎn) 1 3 j0 根軌跡如圖中紅線所示 4 3 已知開環(huán)零 極點(diǎn)分布如圖 4 28 所示 試概略繪出相應(yīng)的閉環(huán)根軌跡圖 1 胡壽松自動(dòng)控制原理習(xí)題解答第四章 圖 4 28 開環(huán)零 極點(diǎn)分布圖 4 4 設(shè)單位反饋控制系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)如下 試概略繪出相應(yīng)的閉環(huán)根軌跡圖 要求確定分 離點(diǎn)坐標(biāo) d 1 15 0 12 0 sss K sG 解 系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為 2 5 2 5 10 sss K sss K s g G 有三個(gè)極點(diǎn) 0 2 5 沒有零點(diǎn) 分離點(diǎn)坐標(biāo)計(jì)算如下 0 5 1 2 11 ddd 3解方程的01014 2 dd7863 3 1 d d 88 0 2 取分離點(diǎn)為88 0 d 根軌跡如圖中紅線所示 2 胡壽松自動(dòng)控制原理習(xí)題解答第四章 2 12 1 ss sK sG 解 系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為 5 0 1 5 0 1 2 ss sK ss sK s g G 有兩個(gè)極點(diǎn) 0 0 5 有一個(gè)零點(diǎn) 1 分離點(diǎn)坐標(biāo)計(jì)算如下 1 1 5 0 11 ddd 解方程的05 02 2 dd7 1 1 d d 29 0 2 取分離點(diǎn)為7 1 1 d 29 0 2 d 根軌跡如圖中紅線所示 3 3 2 5 sss sK sG 解 系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為 3 2 5 sss sK sG 有三個(gè)極點(diǎn) 0 2 2 有一個(gè)零點(diǎn) 5 分離點(diǎn)坐標(biāo)計(jì)算如下 5 1 3 1 2 11 dddd 解 方 程 的 0152510 23 ddd5171 6 1 d 3 胡壽松自動(dòng)控制原理習(xí)題解答第四章 5964 2 2 d d 8865 0 3 d 8865 0 pi 取分離點(diǎn)為 根軌跡如圖中紅線所示 4 5 已知單位反饋控制系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)如下 試概略畫出相應(yīng)的閉環(huán)根軌跡圖 要求算出 起始角 21 21 2 jsjs sK sG 解 系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為 21 21 2 21 21 2 jsjs sK jsjs sK s g G 有兩個(gè)極點(diǎn) 1 2 1 p 2 p 1 2 有一個(gè)零點(diǎn) 2 起始角 L 2 1 0 12 11 kk n ij j pp m j pzp iiiji 0000 1359045180 12111 pppzp 0000 2259045180 21212 pppzp 根軌跡如圖中紅線所示 4 胡壽松自動(dòng)控制原理習(xí)題解答第四章 1010 1010 20 jsjss sK sG 解 系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為 1010 1010 20 jsjss sK s G 有三個(gè)極點(diǎn) p 0 j0 p 10 10 1 2 3 p 10 10 有一個(gè)零點(diǎn) 20 1 z 起始角 L 2 1 0 12 11 kk n ij j pp m j pzp iiiji 0 180 1 p 000000 09013545180180 2321212 pppppzp 000000 09013545180180 3231313 pppppzp 根軌跡如圖中紅線所示 j10 Re Im 20 10 0 4 6 設(shè)單位反饋控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)如下 要求 1 確定 10 1 sss K sG 產(chǎn)生純虛根的開環(huán)增益值 解 系統(tǒng)特征方程為 01011 23 Ksss 令 js 代入特征方程中得 實(shí)部方程為 011 2 K 虛部方程為 10 0 3 5 胡壽松自動(dòng)控制原理習(xí)題解答第四章 解上述方程得 開環(huán)增益按一般定義 10 2 110 K1110 KK 2 確定 20 10 2 sss zsK sG 產(chǎn)生純虛根為 1 的 值和 K值 解 系統(tǒng)特征方程為 020030 234 zKsKsss 令代入特征方程中得 1 js 實(shí)部方程為 02001 zK 虛部方程為 030 K 解上述方程得 30 K30 199 z 3 概略繪出確定 23 23 5 3 1 jsjssss K s G 的閉環(huán)根軌跡圖 要 求確定根軌跡的分離點(diǎn) 起始角和與虛軸的交點(diǎn) 解 系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為 23 23 5 3 1 jsjssss K s G 有五個(gè)極點(diǎn) 0 j0 1 0 1 p 2 p 3 p 3 5 0 3 2 3 2 沒有零點(diǎn) 4 p 5 p 分離點(diǎn)坐標(biāo)計(jì)算如下 0 2 3 1 2 3 1 5 3 1 1 11 jdjdddd 05 451465 111354 234 dddd解 方 程 的5 3 1 d 44 0 2 d 265 14 2 3 jd 265 14 2 4 jd 取分離點(diǎn)為 44 0 d 起始角 L 2 1 0 12 11 kk n ij j pp m j pzp iiiji 6 胡壽松自動(dòng)控制原理習(xí)題解答第四章 0 180 1 p 0 0 2 p 000000 937 759013545 146180180 353432313 ppppppppp 00000 4 0 937 759013545 146180180 35432414 ppppppppp 根軌跡如圖所示 與虛軸的交點(diǎn) 令 js 代入特征方程中 05 455 795 435 10 2345 Ksssss 得到 7 胡壽松自動(dòng)控制原理習(xí)題解答第四章 實(shí)部方程為 10 05 795 24 K 虛部方程為 05 455 43 35 解方程得到 5136 6 1 0356 1 2 將5136 6 1 代入實(shí)部方程得到不 符合要求 將 0 K 0356 1 2 代入實(shí)部方程得到滿足要求 73 K 所以取0356 1 即根軌跡與虛軸的交點(diǎn)為0356 1 4 7 設(shè)單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 1 2 ss sK sG 其根軌跡圖見圖 4 2 試從數(shù)學(xué)上證明 復(fù)數(shù)根軌跡部分是以 2 j0 為圓心 以2為半 徑的一個(gè)圓 圖 4 2 系統(tǒng)根軌跡圖 解 證明如下 根據(jù)輻角條件可知 根軌跡各點(diǎn)應(yīng)滿足 0 180 1 2 sss 在復(fù)平面上 js 于是得 0 180 1 2 jjj 亦即 0 180 1 arctanarctan 2 arctan 利用反正切公式 XY YX YX 1 arctanarctanarctan 可把上式改寫為 對(duì)上式的兩邊取正切 整理后即得圓方程式 8 胡壽松自動(dòng)控制原理習(xí)題解答第四章 2 2 22 它的圓心為 2 j0 半徑等于2 這個(gè)圓與實(shí)軸的交點(diǎn)即為分離點(diǎn)和會(huì)合點(diǎn) 證畢 4 8 已知開環(huán)傳遞函數(shù)為 204 4 2 ssss K sHsG 試概略畫出閉環(huán)系統(tǒng)根軌跡圖 解 系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為 204 4 2 ssss K sHsG 有四個(gè)極點(diǎn) 0 j0 1 p 2 p 4 0 3 p 2 4 2 4 沒有零點(diǎn) 4 p 分離點(diǎn)坐標(biāo)計(jì)算如下 0 4 2 1 4 2 1 4 11 jdjddd 即解方程的0 42 2082 2 ddd2 1 d d45 22 2 j 45 22 3 jd 取分離點(diǎn)為 d 2 1 d45 22 2 j 45 22 3 jd 起始角 L 2 1 0 12 11 kk n ij j pp m j pzp iiiji 0 180 1 p 0 90 2 p 90 3 p 0 0 4 p 根軌跡如圖所示 9 胡壽松自動(dòng)控制原理習(xí)題解答第四章 4 9 已知開環(huán)傳遞函數(shù)為 22 94 2 ss sK sG 試概略繪制其閉環(huán)系統(tǒng)根軌跡 解 系統(tǒng)有四個(gè)極點(diǎn) 2 j2 24 1 p 2 p 3 p 4 p 2 2 24 有一個(gè)零 點(diǎn) 2 0 1 z 分離點(diǎn)坐標(biāo)計(jì)算如下 2 1 24 22 2 24 22 2 djdjd 即解方程的07123 2 dd29 3 1 d 71 0 2 d 取分離點(diǎn)為 29 3 1 d 起始角 L 2 1 0 12 11 kk n ij j pp m j pzp iiiji 10 胡壽松自動(dòng)控制原理習(xí)題解答第四章 000000 0 90180 12 909090180 12 2 1 0180 12 2 1 kk kk iiij pppzp L 所以 同理 00 225 45 1 p 00 45 135 2 p 系統(tǒng)根軌跡如下圖 4 10 設(shè)單位反饋控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù) 102 0 101 0 sss K sG 要求 1 畫出準(zhǔn)確根軌跡 至少校驗(yàn)三點(diǎn) 2 確定系統(tǒng)的臨界穩(wěn)定開環(huán)增益 K 3 確定與系統(tǒng)臨界阻尼比相應(yīng)的開環(huán)增益 K 解 系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為 50 100 50 100 5000 102 0 101 0 sss K sss K sss K sG 有三個(gè)極點(diǎn) 0 j0 1 p 2 p 50 0 3 p 100 0 沒有零點(diǎn) 分離點(diǎn)坐標(biāo)計(jì)算如下 0 100 1 50 11 ddd 即解方程3得05000300 2 dd9 78 1 d 1 21 2 d 11 胡壽松自動(dòng)控制原理習(xí)題解答第四章 取分離點(diǎn)為 1 21 d 起始角 L 2 1 0 12 11 kk n ij j pp m j pzp iiiji 0 180 1 p 0 0 2 p 0 180 3 p 根軌跡如圖所示 2 令 js 代入系統(tǒng)特征方程中 05000150 23 Ksss 得到實(shí)部方程為 0150 2 K 虛部方程為 5000 0 3 解方程得 7 70 所以750000 K150 c K 3 令代入系統(tǒng)特征方程中 1 21 s05000150 23 Ksss 得到 系統(tǒng)臨界阻尼比相應(yīng)的開環(huán)增益48112 K62 9 K 12 胡壽松自動(dòng)控制原理習(xí)題解答第四章 4 11 一單位反饋系統(tǒng) 其開環(huán)傳遞函數(shù) 258 256 9 6 2 2 sss ss sG 試用根軌跡法計(jì)算閉環(huán)系統(tǒng)根的位置 解 系統(tǒng)特征方程為 s 0 256 9 6 258 22 ssss 即 s 05 1724 669 14 23 ss 9 9780 2 4610 3 3513i 2 4610 3 3513i 解方程得 978 9 1 s3513 3461 2 2 js 3513 3461 2 3 js 所以 閉環(huán)系統(tǒng)根的位置為s3513 3461 2 2 j 3513 3461 2 3 js 根軌跡如圖所示 4 12 設(shè)反饋控制系統(tǒng)中 1 5 2 2 sH sss K sG 要求 1 概略繪出系統(tǒng)根軌跡圖 并判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性 2 如果改變反饋通路傳遞函數(shù) 使ssH21 試判斷改變后的系統(tǒng)穩(wěn)定性 sH 13 胡壽松自動(dòng)控制原理習(xí)題解答第四章 研究由于改變所產(chǎn)生的效應(yīng) sH 21 2 2 s sK 解 1 系統(tǒng)有四個(gè)極點(diǎn) 0 0 1 jp 0 0 2 jp 0 2 3 jp 沒 有零點(diǎn) 0 5 4 jp 系統(tǒng)根軌跡如下圖 所以閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定 2 如果ssH 這時(shí)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 5 2 5 0 5 1 22 sss sK ss sHsG g 其中 2KKg 系統(tǒng)根軌跡如下圖 14 胡壽松自動(dòng)控制原理習(xí)題解答第四章 這時(shí)系統(tǒng)的特征方程為 05 0107 5 0 5 2 2342 ggg KsKssssKsss 令 js 代入特征方程中 得到 實(shí)部方程為 05 010 24 g K 虛部方程為 07 3 g K 解上述方程得到 這是系統(tǒng)的臨界穩(wěn)定的放大倍數(shù) 即閉環(huán)系 統(tǒng)穩(wěn)定 5 45 g K75 220 K 4 13 試?yán)L出下列多項(xiàng)式方程的根軌跡 1 0232 23 KKssss 2 010 2 3 23 KsKss 1 解 設(shè)等效單位反饋傳遞函數(shù)為 sss sK s 32 2 23 G 則系統(tǒng)的特征方程為 s 0232 23 KKsss 系統(tǒng)有三個(gè)極點(diǎn) 0 j0 1 p 2 p 1 j1 414 3 p 1 1 414 有一個(gè) 零點(diǎn) 2 0 1 z 15 胡壽松自動(dòng)控制原理習(xí)題解答第四章 系統(tǒng)根軌跡如下圖 2 解 設(shè)等效單位反饋傳遞函數(shù)為 sss sK s 23 10 23 G 則系統(tǒng)的特征方程為 s 010 2 3 23 KsKs 系統(tǒng)有三個(gè)極點(diǎn) 0 j0 1 p 2 p 1 j0 3 p 2 0 有一個(gè)零點(diǎn) 1 z 10 0 分離點(diǎn)坐標(biāo)計(jì)算如下 10 1 2 1 1 11 dddd 即解方程的02060332 23 ddd4344 0 1 d 59 1 2 d d 5 14 3 取分離點(diǎn)為 4344 0 1 d 系統(tǒng)根軌跡如下圖 16 胡壽松自動(dòng)控制原理習(xí)題解答第四章 4 14 設(shè)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)如下 試畫出 b 從零變到無窮時(shí)的根軌跡圖 1 4 20 bss s G 2 10 30 ss bs sG 解 1 系統(tǒng)的特征方程為 0 4 20420 4 2 sbssbss 系統(tǒng)的等效單位反饋傳遞函數(shù)為 204 4 2 ss sb s eq G 系統(tǒng)有兩個(gè)極點(diǎn) 4 2 1 jp 4 2 2 jp 有一個(gè)零點(diǎn) 0 4 1 jz 系統(tǒng)根軌跡圖如下 17 胡壽松自動(dòng)控制原理習(xí)題解答第四章 2 系統(tǒng)的特征方程為 03040 30 10 2 bssbsss 系統(tǒng)的等效單位反饋傳遞函數(shù)為 ss b ss b s eq 4040 30 2 2 G 系統(tǒng)有兩個(gè)極點(diǎn) 0 0 1 jp 0 40 2 jp 沒有零點(diǎn) 系統(tǒng)根軌跡圖如下 18 胡壽松自動(dòng)控制原理習(xí)題解答第四章 4 15 設(shè)控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖 4 29 所示 試概略繪制其根軌跡圖 R s K s 1 2 s 2 2 C s 解 系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為 2 2 2 1 s sK sG 系統(tǒng)有兩個(gè)極點(diǎn) 有兩個(gè)零點(diǎn) 0 2 21 jpp 0 1 21 jzz 系統(tǒng)根軌跡如下圖 19 胡壽松自動(dòng)控制原理習(xí)題解答第四章 4 16 設(shè)單位反饋控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù) 2 1 ss sK sG 試?yán)L制其根軌跡圖 并求出使系統(tǒng)產(chǎn)生重實(shí)根和純虛根的 K值 解 系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為 2 1 ss sK sG 系統(tǒng)有兩個(gè)極點(diǎn) 0 2 0 0 21 jpjp 有一個(gè)零點(diǎn) 0 1 1 jz 這是一個(gè)零度根軌跡 系統(tǒng)根軌跡如下圖 分離點(diǎn)坐標(biāo)計(jì)算如下 1 1 2 11 ddd 20 胡壽松自動(dòng)控制原理習(xí)題解答第四章 即解方程的022 2 dd732 0 1 d 732 2 2 d 取分離點(diǎn)為 732 0 1 d732 2 2 d 系統(tǒng)的特征方程為 0 1 2 1 2 2 sKsssKss 將代入特征方程中得到 732 0 s5674 0 K 將代入特征方程中得到 732 2 s464 7 K 以上兩個(gè) K值是產(chǎn)生重實(shí)根的 K值 令 js 代入特征方程中 得到 實(shí)部方程為 0 2 K 虛部方程為 2 0 K 解上述方程得到 2 K 2 所以產(chǎn)生虛根的 K值為2 K 4 17 設(shè)控制系統(tǒng)如圖 4 30 所示 試概略繪出0 t K 01 t 5 0 t K10 K時(shí)的閉環(huán)零 極點(diǎn) 并估算系統(tǒng)的動(dòng)態(tài) 性能 R s K s s 1 C s 1 Kts 解 1 時(shí)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 0 t K 1 ss K sG 系統(tǒng)的根軌跡如下圖 21 胡壽松自動(dòng)控制原理習(xí)題解答第四章 2 0時(shí)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 1 z5 0 t K則 2 z 系統(tǒng)的根軌跡如下圖 22 胡壽松自動(dòng)控制原理習(xí)題解答第四章 3 時(shí)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 1 t K 1 1 ss sKK sHsG t 此時(shí) 1 ss zsK sHsG 1 z設(shè)2 t K則 5 0 z 系統(tǒng)的根軌跡如下圖 23 胡壽松自動(dòng)控制原理習(xí)題解答第四章 4 取 試求出時(shí)的閉環(huán)零 極點(diǎn) 并估算系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能 5 0 t K10 K 系統(tǒng)的特征方程為 解方程的0106 2 ssjs 3 1 js 3 2 此時(shí)閉環(huán)系統(tǒng)沒有零點(diǎn) 有一對(duì)共軛極點(diǎn)分別為js 3 1 js 3 2 系統(tǒng)呈現(xiàn)二階系統(tǒng)特性 阻尼比為 0 948 超調(diào)量近似為 1 自然振蕩角頻率為 3 16 4 19 設(shè)控制系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為 4 2 1 2 sss sK sG 試分別畫出正反饋系統(tǒng)和負(fù)反饋系統(tǒng)的根軌跡圖 并指出它們的穩(wěn)定情況有何不同 解 1 負(fù)反饋情況 系統(tǒng)有四個(gè)極點(diǎn) p 0 4 0 2 0 0 4321 jpjpjp 有一個(gè)零點(diǎn) 0 1 1 jz 系統(tǒng)根軌跡如下圖所示 24 胡壽松自動(dòng)控制原理習(xí)題解答第四章 系統(tǒng)的特征方程為 0 1 86 234 sKsss 令 js 代入特征方程中 得到 實(shí)部方程為 08 24 K 虛部方程為 06 3 K 解上述方程得到 12 K 2 所以當(dāng)是系統(tǒng)穩(wěn)定 120 K 2 正反饋情況 系統(tǒng)是一個(gè)零度根軌跡 系統(tǒng)的特征方程為 0 1 86 234 sKsss 系統(tǒng)有四個(gè)極點(diǎn) p 0 4 0 2 0 0