（江蘇專用）高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第八章 立體幾何 8.3 直線、平面平行的判定與性質(zhì) 文.doc

【步步高】（江蘇專用）2017版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第八章 立體幾何 8.3 直線、平面平行的判定與性質(zhì) 文1直線與平面平行的判定與性質(zhì)判定性質(zhì)定義定理圖形條件aa，b，abaa，a，b結(jié)論abaab2.面面平行的判定與性質(zhì)判定性質(zhì)定義定理圖形條件a，b，abp，a，b，a，b，a結(jié)論aba【思考辨析】判斷下面結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“”或“”)(1)若一條直線平行于一個(gè)平面內(nèi)的一條直線，則這條直線平行于這個(gè)平面()(2)若一條直線平行于一個(gè)平面，則這條直線平行于這個(gè)平面內(nèi)的任一條直線()(3)如果一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行()(4)如果兩個(gè)平面平行，那么分別在這兩個(gè)平面內(nèi)的兩條直線平行或異面()(5)若直線a與平面內(nèi)無數(shù)條直線平行，則a.()(6)空間四邊形abcd中，e，f分別是ab，ad的中點(diǎn)，則ef平面bcd.()(7)若，直線a，則a.()1若直線l不平行于平面，且l，則下列說法正確的是_內(nèi)的所有直線與l異面；內(nèi)不存在與l平行的直線；內(nèi)存在唯一的直線與l平行；內(nèi)的直線與l都相交答案解析由題意知，直線l與平面相交，則直線l與平面內(nèi)的直線只有相交和異面兩種位置關(guān)系，因而只有是正確的2設(shè)，是三個(gè)不同的平面，m，n是兩條不同的直線，在命題“m，n，且_，則mn”中的橫線處填入下列三組條件中的一組，使該命題為真命題，n；m，n；n，m.可以填入的條件有_答案或解析由面面平行的性質(zhì)定理可知，正確；當(dāng)n，m時(shí)，n和m在同一平面內(nèi)，且沒有公共點(diǎn)，所以平行，正確3(教材改編)下列命題中正確的是_若a，b是兩條直線，且ab，那么a平行于經(jīng)過b的任何平面；若直線a和平面滿足a，那么a與內(nèi)的任何直線平行；平行于同一條直線的兩個(gè)平面平行；若直線a，b和平面滿足ab，a，b，則b.答案解析中，a可以在過b的平面內(nèi)；中，a與內(nèi)的直線可能異面；中，兩平面可相交；中，由直線與平面平行的判定定理知，b，正確4(教材改編)如圖，正方體abcda1b1c1d1中，e為dd1的中點(diǎn)，則bd1與平面aec的位置關(guān)系為_答案平行解析如圖，連結(jié)bd，設(shè)bdaco，連結(jié)eo，在bdd1中，o為bd的中點(diǎn)，所以eo為bdd1的中位線，則bd1eo，而bd1平面ace，eo平面ace，所以bd1平面ace.5過三棱柱abca1b1c1任意兩條棱的中點(diǎn)作直線，其中與平面abb1a1平行的直線共有_條答案6解析各中點(diǎn)連線如圖，只有面efgh與面abb1a1平行，在四邊形efgh中有6條符合題意題型一直線與平面平行的判定與性質(zhì)命題點(diǎn)1直線與平面平行的判定例1如圖，四棱錐pabcd中，adbc，abbcad，e，f，h分別為線段ad，pc，cd的中點(diǎn)，ac與be交于o點(diǎn)，g是線段of上一點(diǎn)(1)求證：ap平面bef；(2)求證：gh平面pad.證明(1)如圖，連結(jié)ec，adbc，bcad，bc綊ae，四邊形abce是平行四邊形，o為ac的中點(diǎn)又f是pc的中點(diǎn)，foap，fo平面bef，ap平面bef，ap平面bef.(2)連結(jié)fh，oh，f，h分別是pc，cd的中點(diǎn)，fhpd，fh平面pad.又o是be的中點(diǎn)，h是cd的中點(diǎn)，ohad，oh平面pad.又fhohh，平面ohf平面pad.又gh平面ohf，gh平面pad.命題點(diǎn)2直線與平面平行性質(zhì)定理的應(yīng)用例2(2014安徽)如圖，四棱錐pabcd的底面是邊長(zhǎng)為8的正方形，四條側(cè)棱長(zhǎng)均為2.點(diǎn)g，e，f，h分別是棱pb，ab，cd，pc上共面的四點(diǎn)，平面gefh平面abcd，bc平面gefh.(1)證明：ghef；(2)若eb2，求四邊形gefh的面積(1)證明因?yàn)閎c平面gefh，bc平面pbc，且平面pbc平面gefhgh，所以ghbc.同理可證efbc，因此ghef.(2)解如圖，連結(jié)ac，bd交于點(diǎn)o，bd交ef于點(diǎn)k，連結(jié)op，gk.因?yàn)閜apc，o是ac的中點(diǎn)，所以poac，同理可得pobd.又bdaco，且ac，bd都在底面內(nèi)，所以po底面abcd.又因?yàn)槠矫鎔efh平面abcd，且po平面gefh，所以po平面gefh.因?yàn)槠矫鎝bd平面gefhgk，所以pogk，且gk底面abcd，從而gkef.所以gk是梯形gefh的高由ab8，eb2得ebabkbdb14，從而kbdbob，即k為ob的中點(diǎn)再由pogk得gkpo，即g是pb的中點(diǎn)，且ghbc4.由已知可得ob4，po6，所以gk3.故四邊形gefh的面積sgk318.思維升華判斷或證明線面平行的常用方法：(1)利用線面平行的定義(無公共點(diǎn))；(2)利用線面平行的判定定理(a，b，aba)；(3)利用面面平行的性質(zhì)定理(，aa)；(4)利用面面平行的性質(zhì)(，a，aa)(1)如圖所示，在四棱錐pabcd中，abcacd90，baccad60，e為pd的中點(diǎn)，ab1，求證：ce平面pab；(2)如圖所示，cd，ab均與平面efgh平行，e，f，g，h分別在bd，bc，ac，ad上，且cdab.求證：四邊形efgh是矩形證明(1)由已知條件有ac2ab2，ad2ac4，cd2.如圖所示，延長(zhǎng)dc，ab，設(shè)其交于點(diǎn)n，連結(jié)pn，nacdac60，accd，c為nd的中點(diǎn)，又e為pd的中點(diǎn)，ecpn，ec平面pab，pn平面pab，ce平面pab.(2)cd平面efgh，而平面efgh平面bcdef，cdef.同理hgcd，heab且gfab，efhg.同理hegf，四邊形efgh為平行四邊形cdef，heab，hef為異面直線cd和ab所成的角又cdab，heef.平行四邊形efgh為矩形題型二平面與平面平行的判定與性質(zhì)例3如圖所示，在三棱柱abca1b1c1中，e，f，g，h分別是ab，ac，a1b1，a1c1的中點(diǎn)，求證：(1)b，c，h，g四點(diǎn)共面；(2)平面efa1平面bchg.證明(1)g，h分別是a1b1，a1c1的中點(diǎn)，gh是a1b1c1的中位線，ghb1c1.又b1c1bc，ghbc，b，c，h，g四點(diǎn)共面(2)e，f分別是ab，ac的中點(diǎn)，efbc.ef平面bchg，bc平面bchg，ef平面bchg.a1g綊eb，四邊形a1ebg是平行四邊形，a1egb.a1e平面bchg，gb平面bchg，a1e平面bchg.a1eefe，平面efa1平面bchg.引申探究1在本例條件下，若d為bc1的中點(diǎn)，求證：hd平面a1b1ba.證明如圖所示，連結(jié)hd，a1b，d為bc1的中點(diǎn)，h為a1c1的中點(diǎn)，hda1b，又hd平面a1b1ba，a1b平面a1b1ba，hd平面a1b1ba.2在本例條件下，若d1，d分別為b1c1，bc的中點(diǎn)，求證：平面a1bd1平面ac1d.證明如圖所示，連結(jié)a1c交ac1于點(diǎn)m，四邊形a1acc1是平行四邊形，m是a1c的中點(diǎn)，連結(jié)md，d為bc的中點(diǎn)，a1bdm.a1b平面a1bd1，dm平面a1bd1，dm平面a1bd1.又由三棱柱的性質(zhì)知，d1c1綊bd，四邊形bdc1d1為平行四邊形，dc1bd1.又dc1平面a1bd1，bd1平面a1bd1，dc1平面a1bd1，又dc1dmd，dc1，dm平面ac1d，平面a1bd1平面ac1d.思維升華證明面面平行的方法：(1)面面平行的定義；(2)面面平行的判定定理：如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行；(3)利用垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行；(4)兩個(gè)平面同時(shí)平行于第三個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行；(5)利用“線線平行”、“線面平行”、“面面平行”的相互轉(zhuǎn)化如圖，在三棱錐sabc中，asab.過a作afsb，垂足為f.點(diǎn)e，g分別是棱sa、sc的中點(diǎn)求證：平面efg平面abc.證明因?yàn)閍sab，afsb，所以f是sb的中點(diǎn)又因?yàn)閑是sa的中點(diǎn)，所以efab，又ef平面abc，ab平面abc，所以ef平面abc，同理eg平面abc，又efege，所以平面efg平面abc.題型三平行關(guān)系的綜合應(yīng)用例4如圖所示，在四面體abcd中，截面efgh平行于對(duì)棱ab和cd，試問截面在什么位置時(shí)其截面面積最大？解ab平面efgh，平面efgh與平面abc和平面abd分別交于fg、eh.abfg，abeh，fgeh，同理可證efgh，截面efgh是平行四邊形設(shè)aba，cdb，fgh (即為異面直線ab和cd所成的角或其補(bǔ)角)又設(shè)fgx，ghy，則由平面幾何知識(shí)可得，兩式相加得1，即y(ax)，sefghfgghsin x(ax)sin x(ax)x0，ax0且x(ax)a為定值，當(dāng)且僅當(dāng)xax時(shí)，x(ax)，此時(shí)x，y.即當(dāng)截面efgh的頂點(diǎn)e、f、g、h為棱ad、ac、bc、bd的中點(diǎn)時(shí)截面面積最大思維升華利用線面平行的性質(zhì)，可以實(shí)現(xiàn)與線線平行的轉(zhuǎn)化，尤其在截面圖的畫法中，常用來確定交線的位置，對(duì)于最值問題，常用函數(shù)思想來解決如圖所示，四棱錐pabcd的底面是邊長(zhǎng)為a的正方形，側(cè)棱pa底面abcd，在側(cè)面pbc內(nèi)，有bepc于e，且bea，試在ab上找一點(diǎn)f，使ef平面pad.解如圖所示，在平面pcd內(nèi)，過e作egcd交pd于g，連結(jié)ag，在ab上取點(diǎn)f，使afeg，egcdaf，egaf，四邊形fega為平行四邊形，feag.又ag平面pad，fe平面pad，ef平面pad.f即為所求的點(diǎn)又pa面abcd，pabc，又bcab，bc面pab.pbbc.pc2bc2pb2bc2ab2pa2.設(shè)pax則pc，由pbbcbepc得：aa，xa，即paa，pca.又ce a，即gecda，afa.即afab.故點(diǎn)f是ab上靠近b點(diǎn)的一個(gè)三等分點(diǎn)5立體幾何中的探索性問題典例(14分)如圖，在四棱錐sabcd中，已知底面abcd為直角梯形，其中adbc，bad90，sa底面abcd，saabbc2.tansda.(1)求四棱錐sabcd的體積；(2)在棱sd上找一點(diǎn)e，使ce平面sab，并證明規(guī)范解答解(1)sa底面abcd，tansda，sa2，ad3.2分由題意知四棱錐sabcd的底面為直角梯形，且saabbc2，vsabcdsa(bcad)ab2(23)2.6分(2)當(dāng)點(diǎn)e位于棱sd上靠近d的三等分點(diǎn)處時(shí)，可使ce平面sab.8分證明如下：取sd上靠近d的三等分點(diǎn)為e，取sa上靠近a的三等分點(diǎn)為f，連結(jié)ce，ef，bf，則ef綊ad，bc綊ad，bc綊ef，cebf.12分又bf平面sab，ce平面sab，ce平面sab.14分解決立體幾何中的探索性問題的步驟第一步：寫出探求的最后結(jié)論第二步：證明探求結(jié)論的正確性第三步：給出明確答案第四步：反思回顧，查看關(guān)鍵點(diǎn)、易錯(cuò)點(diǎn)和答題規(guī)范溫馨提醒(1)立體幾何中的探索性問題主要是對(duì)平行、垂直關(guān)系的探究，對(duì)條件和結(jié)論不完備的開放性問題的探究，解決這類問題一般根據(jù)探索性問題的設(shè)問，假設(shè)其存在并探索出結(jié)論，然后在這個(gè)假設(shè)下進(jìn)行推理論證，若得到合乎情理的結(jié)論就肯定假設(shè)，若得到矛盾的結(jié)論就否定假設(shè)(2)這類問題也可以按類似于分析法的格式書寫步驟：從結(jié)論出發(fā)“要使成立”，“只需使成立”方法與技巧1平行問題的轉(zhuǎn)化關(guān)系線線線面面性質(zhì)判定面2直線與平面平行的主要判定方法(1)定義法；(2)判定定理；(3)面與面平行的性質(zhì)3平面與平面平行的主要判定方法(1)定義法；(2)判定定理；(3)推論；(4)a，a.失誤與防范1在推證線面平行時(shí)，一定要強(qiáng)調(diào)直線不在平面內(nèi)，否則會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤2在解決線面、面面平行的判定時(shí)，一般遵循從“低維”到“高維”的轉(zhuǎn)化，即從“線線平行”到“線面平行”，再到“面面平行”；而在應(yīng)用性質(zhì)定理時(shí)，其順序恰好相反，但也要注意，轉(zhuǎn)化的方向總是由題目的具體條件而定，決不可過于“模式化”3解題中注意符號(hào)語言的規(guī)范應(yīng)用a組專項(xiàng)基礎(chǔ)訓(xùn)練(時(shí)間：40分鐘)1平面平面，點(diǎn)a，c，b，d，則直線ac直線bd的充要條件是_abcd; adcb；ab與cd相交； a，b，c，d四點(diǎn)共面答案解析充分性：a，b，c，d四點(diǎn)共面，由平面與平面平行的性質(zhì)知acbd.必要性顯然成立2(2015安徽改編)已知m，n是兩條不同直線，是兩個(gè)不同平面，則下列命題正確的是_若，垂直于同一平面，則與平行；若m，n平行于同一平面，則m與n平行；若，不平行，則在內(nèi)不存在與平行的直線；若m，n不平行，則m與n不可能垂直于同一平面答案解析對(duì)于，垂直于同一平面，關(guān)系不確定，故錯(cuò)；對(duì)于，m，n平行于同一平面，m，n關(guān)系不確定，可平行、相交、異面，故錯(cuò)；對(duì)于，不平行，但內(nèi)能找出平行于的直線，如中平行于，交線的直線平行于，故錯(cuò)；對(duì)于，若假設(shè)m，n垂直于同一平面，則mn，其逆否命題即為，故正確3設(shè)l為直線，是兩個(gè)不同的平面下列命題中正確的是_若l，l，則；若l，l，則；若l，l，則；若，l，則l.答案解析l，l，則與可能平行，也可能相交，故項(xiàng)錯(cuò)；由“同垂直于一條直線的兩個(gè)平面平行”可知項(xiàng)正確；由l，l可知，故項(xiàng)錯(cuò)；由，l可知l與可能平行，也可能l，也可能相交，故項(xiàng)錯(cuò)4給出下列關(guān)于互不相同的直線l、m、n和平面、的三個(gè)命題：若l與m為異面直線，l，m，則；若，l，m，則lm；若l，m.n，l，則mn.其中真命題的個(gè)數(shù)為_答案1解析中當(dāng)與不平行時(shí)，也可能存在符合題意的l、m；中l(wèi)與m也可能異面；中l(wèi)n，同理，lm，則mn，正確5下列四個(gè)正方體圖形中，a，b為正方體的兩個(gè)頂點(diǎn)，m，n，p分別為其所在棱的中點(diǎn)，能得出ab平面mnp的圖形的序號(hào)是_答案解析中易知npaa，mnab，平面mnp平面aab可得出ab平面mnp(如圖)中，npab，能得出ab平面mnp.6在四面體abcd中，m，n分別是acd，bcd的重心，則四面體的四個(gè)面中與mn平行的是_答案平面abd與平面abc解析如圖，取cd的中點(diǎn)e，連結(jié)ae，be.則emma12，enbn12，所以mnab.所以mn平面abd，mn平面abc.7.如圖所示，abcda1b1c1d1是棱長(zhǎng)為a的正方體，m、n分別是下底面的棱a1b1、b1c1的中點(diǎn)，p是上底面的棱ad上的一點(diǎn)，ap，過p、m、n的平面交上底面于pq，q在cd上，則pq_.答案a解析平面abcd平面a1b1c1d1，mnpq.m、n分別是a1b1、b1c1的中點(diǎn)，ap，cq，從而dpdq，pqa.8.如圖，在正四棱柱abcda1b1c1d1中，e、f、g、h分別是棱cc1、c1d1、d1d、cd的中點(diǎn)，n是bc的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)m在四邊形efgh上及其內(nèi)部運(yùn)動(dòng)，則m滿足條件_時(shí)，有mn平面b1bdd1.答案m線段fh解析因?yàn)閔nbd，hfdd1，所以平面nhf平面b1bdd1，故線段fh上任意點(diǎn)m與n相連，都有mn平面b1bdd1.(答案不唯一)9.如圖，abcd與adef為平行四邊形，m，n，g分別是ab，ad，ef的中點(diǎn)求證：(1)be平面dmf；(2)平面bde平面mng.證明(1)如圖，連結(jié)ae，則ae必過df與gn的交點(diǎn)o，連結(jié)mo，則mo為abe的中位線，所以bemo，又be平面dmf，mo平面dmf，所以be平面dmf.(2)因?yàn)閚，g分別為平行四邊形adef的邊ad，ef的中點(diǎn)，所以degn，又de平面mng，gn平面mng，所以de平面mng.又m為ab中點(diǎn)，所以mn為abd的中位線，所以bdmn，又bd平面mng，mn平面mng，所以bd平面mng，又de與bd為平面bde內(nèi)的兩條相交直線，所以平面bde平面mng.10.如圖，e、f、g、h分別是正方體abcda1b1c1d1的棱bc、cc1、c1d1、aa1的中點(diǎn)求證：(1)eg平面bb1d1d；(2)平面bdf平面b1d1h.證明(1)取b1d1的中點(diǎn)o，連結(jié)go，ob，易證四邊形bego為平行四邊形，故obge，由線面平行的判定定理即可證eg平面bb1d1d.(2)由題意可知bdb1d1.如圖，連結(jié)hb、d1f，易證四邊形hbfd1是平行四邊形，故hd1bf.又b1d1hd1d1，bdbfb，所以平面bdf平面b1d1h.b組專項(xiàng)能力提升(時(shí)間：30分鐘)11已知m，n是兩條不同的直線，是三個(gè)不同的平面，下列命題中錯(cuò)誤的是_若m，m，則；若，則；若m，n，mn，則；若m，n是異面直線，m，m，n，n，則.答案解析由線面垂直的性質(zhì)可知正確；由面面平行的性質(zhì)可知正確；m，n，mn，可能平行，也可能相交，故錯(cuò)誤；由線面平行的性質(zhì)和面面平行的判定定理可知正確12如圖，空間四邊形abcd的兩條對(duì)棱ac、bd的長(zhǎng)分別為5和4，則平行于兩條對(duì)棱的截面四邊形efgh在平移過程中，周長(zhǎng)的取值范圍是_答案(8,10)解析設(shè)k，1k，gh5k，eh4(1k)，周長(zhǎng)82k.又0k1，周長(zhǎng)的范圍為(8,10)13在正四棱柱abcda1b1c1d1中，o為底面abcd的中心，p是dd1的中點(diǎn)，設(shè)q是cc1上的點(diǎn)，則點(diǎn)q滿足條件_時(shí)，有平面d1bq平面pa