（江蘇專用）高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第五章 平面向量 5.2 平面向量基本定理及坐標(biāo)表示 文.doc

【步步高】（江蘇專用）2017版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第五章 平面向量 5.2 平面向量基本定理及坐標(biāo)表示 文1平面向量基本定理如果e1、e2是同一平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)1、2，使a1e12e2.其中，不共線的向量e1、e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底2平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算(1)向量加法、減法、數(shù)乘及向量的模設(shè)a(x1，y1)，b(x2，y2)，則ab(x1x2，y1y2)，ab(x1x2，y1y2)，a(x1，y1)，|a|.(2)向量坐標(biāo)的求法若向量的起點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，則終點(diǎn)坐標(biāo)即為向量的坐標(biāo)設(shè)a(x1，y1)，b(x2，y2)，則(x2x1，y2y1)，|.3平面向量共線的坐標(biāo)表示設(shè)向量a(x1，y1)，b(x2，y2) (a0)，如果ab，那么x1y2x2y10；反過來，如果x1y2x2y10，那么ab.【思考辨析】判斷下面結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“”或“”)(1)平面內(nèi)的任何兩個(gè)向量都可以作為一組基底()(2)若a，b不共線，且1a1b2a2b，則12，12.()(3)平面向量的基底不唯一，只要基底確定后，平面內(nèi)的任何一個(gè)向量都可被這組基底唯一表示()(4)若a(x1，y1)，b(x2，y2)，則ab的充要條件可表示成.()(5)當(dāng)向量的起點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，向量的坐標(biāo)就是向量終點(diǎn)的坐標(biāo)()1設(shè)e1，e2是平面內(nèi)一組基底，那么下列說法正確的是_(填序號(hào))若實(shí)數(shù)1，2使1e12e20，則120；空間內(nèi)任一向量a可以表示為a1e12e2(1，2為實(shí)數(shù))；對(duì)實(shí)數(shù)1，2，1e12e2不一定在該平面內(nèi)；對(duì)平面內(nèi)任一向量a，使a1e12e2的實(shí)數(shù)1，2有無(wú)數(shù)對(duì)答案2在abc中，點(diǎn)d在bc邊上，且2，rs，則rs_.答案0解析因?yàn)?，所以()，則rs0.3在abcd中，ac為一條對(duì)角線，(2,4)，(1,3)，則向量的坐標(biāo)為_答案(3，5)解析，(1，1)，(3，5)4設(shè)0，向量a(sin 2，cos )，b(cos ，1)，若ab，則tan _.答案解析ab，sin 21cos2 0，2sin cos cos2 0，0，cos 0，2sin cos ，tan .5(教材改編)已知abcd的頂點(diǎn)a(1，2)，b(3，1)，c(5,6)，則頂點(diǎn)d的坐標(biāo)為_答案(1,5)解析設(shè)d(x，y)，則由，得(4,1)(5x,6y)，即解得題型一平面向量基本定理的應(yīng)用例1(1)在梯形abcd中，abcd，ab2cd，m，n分別為cd，bc的中點(diǎn)，若，則_.(2)如圖，在abc中，p是bn上的一點(diǎn)，若m，則實(shí)數(shù)m的值為_答案(1)(2)解析(1)因?yàn)?)22，所以，所以.(2)設(shè)k，kr.因?yàn)閗k()k()(1k)，且m，所以1km，解得k，m.思維升華(1)應(yīng)用平面向量基本定理表示向量的實(shí)質(zhì)是利用平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行向量的加、減或數(shù)乘運(yùn)算(2)用向量基本定理解決問題的一般思路是先選擇一組基底，并運(yùn)用該基底將條件和結(jié)論表示成向量的形式，再通過向量的運(yùn)算來解決(1)在平行四邊形abcd中，e1，e2，則_.(用e1，e2表示)(2)如圖，已知點(diǎn)g是abc的重心，過g作直線與ab，ac兩邊分別交于m，n兩點(diǎn)，且x，y，則的值為_答案(1)e1e2(2)解析(1)如圖，2()e2(e2e1)e1e2.(2)易知，xy，故.由于與共線，所以yx，即xy(xy)，因此.題型二平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算例2(1)已知a(5，2)，b(4，3)，若a2b3c0，則c_.(2)已知點(diǎn)a(1,3)，b(4，1)，則與向量a同方向的單位向量為_答案(1)(2)解析(1)由已知3ca2b(5,2)(8，6)(13，4)所以c.(2)aoo(4，1)(1,3)(3，4)，與a同方向的單位向量為.思維升華向量的坐標(biāo)運(yùn)算主要是利用加、減、數(shù)乘運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算若已知有向線段兩端點(diǎn)的坐標(biāo)，則應(yīng)先求出向量的坐標(biāo)，解題過程中要注意方程思想的運(yùn)用及正確使用運(yùn)算法則(1)已知點(diǎn)a(1,5)和向量a(2,3)，若3a，則點(diǎn)b的坐標(biāo)為_(2)在abc中，點(diǎn)p在bc上，且2，點(diǎn)q是ac的中點(diǎn)，若(4,3)，(1,5)，則_.答案(1)(5,14)(2)(6,21)解析(1)設(shè)點(diǎn)b的坐標(biāo)為(x，y)，則(x1，y5)由3a，得解得(2)33(2)63(6,30)(12,9)(6,21)題型三向量共線的坐標(biāo)表示命題點(diǎn)1利用向量共線求向量或點(diǎn)的坐標(biāo)例3(1)已知平面向量a(1,2)，b(2，m)，且ab，則2a3b_.(2)已知梯形abcd，其中abcd，且dc2ab，三個(gè)頂點(diǎn)a(1,2)，b(2,1)，c(4,2)，則點(diǎn)d的坐標(biāo)為_答案(1)(4，8)(2)(2,4)解析(1)由a(1,2)，b(2，m)，且ab，得1m2(2)，即m4.從而b(2，4)，那么2a3b2(1,2)3(2，4)(4，8)(2)在梯形abcd中，abcd，dc2ab，2.設(shè)點(diǎn)d的坐標(biāo)為(x，y)，則(4,2)(x，y)(4x,2y)，(2,1)(1,2)(1，1)，(4x,2y)2(1，1)，即(4x,2y)(2，2)，解得故點(diǎn)d的坐標(biāo)為(2,4)命題點(diǎn)2利用向量共線求參數(shù)例4若三點(diǎn)a(1，5)，b(a，2)，c(2，1)共線，則實(shí)數(shù)a的值為_答案解析(a1,3)，(3,4)，根據(jù)題意，4(a1)3(3)，即4a5，a.命題點(diǎn)3求交點(diǎn)坐標(biāo)例5已知點(diǎn)a(4,0)，b(4,4)，c(2,6)，則ac與ob的交點(diǎn)p的坐標(biāo)為_答案(3,3)解析方法一由o，p，b三點(diǎn)共線，可設(shè)(4，4)，則(44,4)又(2,6)，由與共線，得(44)64(2)0，解得，所以(3,3)，所以點(diǎn)p的坐標(biāo)為(3,3)方法二設(shè)點(diǎn)p(x，y)，則(x，y)，因?yàn)?4,4)，且與共線，所以，即xy.又(x4，y)，(2,6)，且與共線，所以(x4)6y(2)0，解得xy3，所以點(diǎn)p的坐標(biāo)為(3,3)思維升華平面向量共線的坐標(biāo)表示問題的常見類型及解題策略(1)利用兩向量共線求參數(shù)如果已知兩向量共線，求某些參數(shù)的取值時(shí)，利用“若a(x1，y1)，b(x2，y2)，則ab的充要條件是x1y2x2y1”解題比較方便(2)利用兩向量共線的條件求向量坐標(biāo)一般地，在求與一個(gè)已知向量a共線的向量時(shí)，可設(shè)所求向量為a(r)，然后結(jié)合其他條件列出關(guān)于的方程，求出的值后代入a即可得到所求的向量(3)三點(diǎn)共線問題a，b，c三點(diǎn)共線等價(jià)于與共線設(shè)(2,4)，(a,2)，(b,0)，a0，b0，o為坐標(biāo)原點(diǎn)，若a，b，c三點(diǎn)共線，則的最小值為_答案解析由題意得(a2，2)，(b2，4)，又，所以(a2，2)(b2，4)，即整理得2ab2，所以(2ab)()(3)(32)(當(dāng)且僅當(dāng)ba時(shí)，等號(hào)成立)11解析法(坐標(biāo)法)在向量中的應(yīng)用典例(14分)給定兩個(gè)長(zhǎng)度為1的平面向量和，它們的夾角為.如圖所示，點(diǎn)c在以o為圓心的上運(yùn)動(dòng)若xy，其中x，yr，求xy的最大值思維點(diǎn)撥可以建立平面直角坐標(biāo)系，將向量坐標(biāo)化，求出點(diǎn)a，b的坐標(biāo)，用三角函數(shù)表示出點(diǎn)c的坐標(biāo)，最后轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)求最值規(guī)范解答解以o為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在的直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，則a(1,0)，b(，)4分設(shè)aoc(0，)，則c(cos ，sin )，由xy，得所以xcos sin ，ysin ，8分所以xycos sin 2sin()，11分又0，所以當(dāng)時(shí)，xy取得最大值2.14分溫馨提醒本題首先通過建立平面直角坐標(biāo)系，引入向量的坐標(biāo)運(yùn)算，然后用三角函數(shù)的知識(shí)求出xy的最大值引入向量的坐標(biāo)運(yùn)算使得本題比較容易解決，體現(xiàn)了解析法(坐標(biāo)法)解決問題的優(yōu)勢(shì)，凸顯出了向量的代數(shù)特征，為用代數(shù)的方法研究向量問題奠定了基礎(chǔ)方法與技巧1平面向量基本定理的本質(zhì)是運(yùn)用向量加法的平行四邊形法則，將向量進(jìn)行分解向量的坐標(biāo)表示的本質(zhì)是向量的代數(shù)表示，其中坐標(biāo)運(yùn)算法則是運(yùn)算的關(guān)鍵2根據(jù)向量共線可以證明點(diǎn)共線；利用兩向量共線也可以求點(diǎn)的坐標(biāo)或參數(shù)值失誤與防范1要區(qū)分點(diǎn)的坐標(biāo)和向量的坐標(biāo)，向量坐標(biāo)中包含向量大小和方向兩種信息；兩個(gè)向量共線有方向相同、相反兩種情況2若a(x1，y1)，b(x2，y2)，則ab的充要條件不能表示成，因?yàn)閤2，y2有可能等于0，所以應(yīng)表示為x1y2x2y10.a組專項(xiàng)基礎(chǔ)訓(xùn)練(時(shí)間：40分鐘)1.如圖，設(shè)o是平行四邊形abcd兩對(duì)角線的交點(diǎn)，給出下列向量組：與；與；與；與.其中可作為該平面內(nèi)其他向量的基底的是_答案解析中，不共線；中，不共線2已知平面向量a(1,1)，b(1，1)，則向量ab_.答案(1,2)解析a(，)，b(，)，故ab(1,2)3已知a(1,1)，b(1，1)，c(1,2)，則c_.答案ab解析設(shè)cab，(1,2)(1,1)(1，1)，cab.4已知向量a(1,2)，b(1,0)，c(3,4)若為實(shí)數(shù)，(ab)c，則_.答案解析ab(1，2)，c(3,4)，且(ab)c，.5已知|1，|，0，點(diǎn)c在aob內(nèi)，且與的夾角為30，設(shè)mn(m，nr)，則的值為_答案3解析0，以oa為x軸，ob為y軸建立直角坐標(biāo)系，(1,0)，(0，)，mn(m，n)tan 30，m3n，即3.6已知a(7,1)，b(1,4)，直線yax與線段ab交于點(diǎn)c，且2，則實(shí)數(shù)a_.答案2解析設(shè)c(x，y)，則(x7，y1)，(1x,4y)，2，解得c(3,3)又c在直線yax上，3a3，a2.7已知點(diǎn)a(1,2)，b(2,8)，則的坐標(biāo)為_答案(2，4)解析設(shè)點(diǎn)c，d的坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)由題意得(x11，y12)，(3,6)，(1x2,2y2)，(3，6)因?yàn)椋杂泻徒獾煤退渣c(diǎn)c，d的坐標(biāo)分別為(0,4)，(2,0)，從而(2，4)8已知向量(3，4)，(0，3)，(5m，3m)，若點(diǎn)a，b，c能構(gòu)成三角形，則實(shí)數(shù)m滿足的條件是_答案m解析由題意得(3,1)，(2m,1m)，若a，b，c能構(gòu)成三角形，則，不共線，則3(1m)1(2m)，解得m.9已知a(1,1)，b(3，1)，c(a，b)(1)若a，b，c三點(diǎn)共線，求a，b的關(guān)系式；(2)若2，求點(diǎn)c的坐標(biāo)解(1)由已知得(2，2)，(a1，b1)，a，b，c三點(diǎn)共線，.2(b1)2(a1)0，即ab2.(2)2，(a1，b1)2(2，2)解得點(diǎn)c的坐標(biāo)為(5，3)10已知點(diǎn)o為坐標(biāo)原點(diǎn)，a(0,2)，b(4,6)，t1t2.(1)求點(diǎn)m在第二或第三象限的充要條件；(2)求證：當(dāng)t11時(shí)，不論t2為何實(shí)數(shù)，a，b，m三點(diǎn)共線(1)解t1t2t1(0,2)t2(4,4)(4t2,2t14t2)當(dāng)點(diǎn)m在第二或第三象限時(shí)，有故所求的充要條件為t20且t12t20.(2)證明當(dāng)t11時(shí)，由(1)知(4t2,4t22)(4,4)，(4t2,4t2)t2(4,4)t2，與共線，又有公共點(diǎn)a，a，b，m三點(diǎn)共線b組專項(xiàng)能力提升(時(shí)間：15分鐘)11在abc中，點(diǎn)p是ab上的一點(diǎn)，且，q是bc的中點(diǎn)，aq與cp的交點(diǎn)為m，又t，則t的值為_答案解析，32，即22.2，因此p為ab的一個(gè)三等分點(diǎn)a，m，q三點(diǎn)共線，x(1x)(x1) (0x1)，.，且t(0t1)，t.且1t，解得t.12已知向量a(1,2)，b(0,1)，設(shè)uakb，v2ab，若uv，則實(shí)數(shù)k的值為_答案解析u(1,2)k(0,1)(1,2k)，v(2,4)(0,1)(2,3)，又uv，132(2k)，得k.13已知向量a(1,1)，b(1，1)，c(cos ，sin )(r)，實(shí)數(shù)m，n滿足manbc，則(m3)2n2的最大值為_答案16解析由manbc，可得故(mn)2(mn)22，即m2n21，故點(diǎn)m(m，n)在單位圓上，則點(diǎn)p(3,0)到點(diǎn)m