《高等數(shù)學》下冊教案 多元函數(shù)微分學.doc

高等數(shù)學下冊教案 第九章 多元函數(shù)微分法及其應用第八章 多元函數(shù)微分學1、多元函數(shù)的基本概念 多元函數(shù)的基本概念的介紹，以二元函數(shù)為主。一二元函數(shù)的概念1區(qū)域（平面區(qū)域）鄰域：圓形鄰域： 矩形鄰域：區(qū)域：內(nèi)點 開集 開區(qū)域邊界點 閉集 閉區(qū)域連通性 有界區(qū)域：對于平面區(qū)域，存在一個以為半徑的圓完全包含了區(qū)域，則稱平面區(qū)域為有界區(qū)域。2二元函數(shù)的定義定義、設有變量，平面點集；當時，按照一定的法則，總有唯一確定的 值與之對應，稱為變量的函數(shù)，即二元函數(shù)，記作：，；稱為函數(shù)的自變量，為函數(shù)的因變量，為函數(shù)的定義域，而為函數(shù)的值域。如函數(shù)，定義域為：無界的開區(qū)域；的定義域則為有界的閉區(qū)域；函數(shù)的定義域則為：。注：二元函數(shù)的定義域是平面上的區(qū)域，而二元函數(shù)的圖像是空間的曲面。如二元函數(shù)的圖像是上半球面，定義域的是平面區(qū)域：；同理可知，三元函數(shù)的定義域是空間的區(qū)域，如函數(shù)：的定義域：，是空間的球體；一般自變量為兩個或兩個以上的函數(shù)統(tǒng)稱為多元函數(shù)。二多元函數(shù)的極限1極限的定義定義、設二元函數(shù)在點的某鄰域內(nèi)有定義（可以除外），是一確定的常數(shù)。若，當鄰域內(nèi)的任意一點滿足不等式 時，均有，稱為函數(shù)當時的二重極限，簡稱為函數(shù)的極限，記作。注：根據(jù)定義，極限存在與否與函數(shù)在的狀態(tài)無關，只與在 的周圍鄰域內(nèi)的狀態(tài)有關；定義中極限存在，是指以任何方式趨于時，函數(shù)都無限的接近于；即極限值與的方式無關，即極限與路徑無關；但是如果以不同的方式趨于時，函數(shù)趨于不同的值可以斷定函數(shù)的極限一定不存在，即如果極限值與路徑有關，函數(shù)的極限不存在。二元函數(shù)極限的四則運算法則、夾逼準則等均與一元函數(shù)類似，可以借助于一元函數(shù)求極限的方法求一些簡單的二元函數(shù)的極限。例1求極限。 解：例2求極限。 解：例3求極限。解：，；例4說明函數(shù)，時的極限不存在。解：的定義域是整個平面，只要說明的極限與路徑有關即可。讓沿過點的直線（）趨向于： 與有關表明極限值與路徑有關，從而不存在。注：當沿軸趨于時，；當沿軸趨于時，；表明特殊路徑的極限存在并不能推出二重極限的存在。例5證明極限不存在。證：首先考慮經(jīng)過的任一直線（軸除外），此時 （）如果，則考慮沿趨于，此時 表明極限與的取值即與路經(jīng)有關，從而極限不存在。注：二重極限不能寫作，或，后兩者稱為累次極限（二次極限）。但是二重極限并不存在。注：此例表明二次極限與二重極限是兩個完全不同的概念，二者沒有必然的聯(lián)系，但是如果二次極限與二重極限都存在，可以證明極限值一定相等。 例6函數(shù)，求。解： ，由夾逼準則，三二元函數(shù)的連續(xù)性1連續(xù)的定義定義、設在包含點的某鄰域內(nèi)有定義，若極限存在且，則稱函數(shù)在點連續(xù)，否則稱點為函數(shù)的間斷點。注：若在定義域內(nèi)點點連續(xù)，則稱在內(nèi)連續(xù)；連續(xù)的二元函數(shù)的圖像是無縫隙、無孔的空間曲面；二元函數(shù)的間斷“點”可能是孤立的點，也可能是曲線，如函數(shù)，間斷點為：2多元初等函數(shù)的性質(zhì)p10所有多元初等函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)都是連續(xù)的；有界閉區(qū)域上的多元連續(xù)函數(shù)有最大值和最小值定理、介值定理等等。練習一、求下列二元函數(shù)的極限 解：，因為：所以；：，故，而所以由夾逼準則，練習二、討論函數(shù)在點是否連續(xù)解：，由夾逼準則，所以在點連續(xù)。練習三、證明極限不存在。證：取過原點路徑（），則此值與有關即上述極限與的路徑有關，從而極限不存在。2、偏導數(shù)一偏導數(shù)與偏微分1偏導數(shù)與偏微分的定義定義1、設在的某鄰域內(nèi)有定義，固定，在點給以增量，稱增量為在關于的偏增量，此時若 存在，稱極限值為在點關于的偏導數(shù)，記作 同理，可以定義在點關于的偏導數(shù)：注：由偏導數(shù)的定義不難看出，計算偏導數(shù)不需要再引入新的方法，對求偏導時，只要將視為常數(shù)即可，故一元函數(shù)中的求導法則在此仍然適用；若函數(shù)在區(qū)域內(nèi)點點偏導數(shù)存在，稱在區(qū)域內(nèi)可導，并且偏導函數(shù)記作：；。例1設函數(shù)為，求及。解：，例2設，求。解：求時，視為常數(shù)，則關于是指數(shù)函數(shù)，故 求時，視為常數(shù)，則關于是冪指函數(shù)，用對數(shù)求導法： 例3設，求、。解：，故；，故；，故；注意到：表明、沒有獨立的意義，即、是一個完整的記號，不能拆開使用。定義2、若的偏導數(shù)存在，則稱為函數(shù)關于的偏微分；稱為函數(shù)關于的偏微分，記作：，。2偏導數(shù)的幾何意義以在點的偏導數(shù)為例。此時總有?？紤]在平面上的曲線：，或：，由導數(shù)的幾何意義，對于函數(shù)，表示交線上點處相對于軸方向的斜線的斜率； 同理，表示在交線上處相對于軸方向的斜線的斜率；例4求曲線在點處的切線對于軸的傾角。解：， ，即。3偏導數(shù)與函數(shù)連續(xù)的關系 在一元函數(shù)中，有“可導必然連續(xù)”。在多元函數(shù)中偏導數(shù)與函數(shù)連續(xù)之間有什么關系呢？例5已知函數(shù)在的極限是不存在的，從而在不連續(xù)?？疾炱珜?shù)：、。 、不僅存在而且還相等，但仍然無法保證函數(shù)在的連續(xù)性。表明在多元函數(shù)中由偏導數(shù)存在推不出函數(shù)的連續(xù)。二高階偏導數(shù) 設的兩個一階偏導數(shù)均存在，則它們?nèi)匀皇堑暮瘮?shù)，可以對這樣的函數(shù)定義其偏導數(shù)，即為函數(shù)的二階偏導數(shù)。二元函數(shù)的二階偏導數(shù)共有四個：二階混合偏導數(shù) 其中，. 將二階偏導數(shù)視為函數(shù)，再定義偏導數(shù)即為三階偏導數(shù)，二元函數(shù)的三階偏導數(shù)有8個，如、.。二元函數(shù)的階偏導數(shù)有個。 對于三元函數(shù)，階偏導數(shù)有個，.定理1、若二階混合偏導，連續(xù)，則，即混合偏導數(shù)連續(xù)時，與求偏導的順序無關（此結(jié)論可以推廣到階混合偏導數(shù)）。例6求函數(shù)的、及。解： 例7設，求、及。 解： ，所以，。3、全微分定義、設函數(shù)在點的某鄰域內(nèi)有定義，給自變量分別以增量，稱改變量為函數(shù)在點的全增量，若全增量可以表示為 （）其中與無關，僅與有關，是比高階的無窮小，則稱函數(shù)在點可微，并稱為在點的全微分，記作 注：因為是自變量，故，故函數(shù)在的全微分若函數(shù)在區(qū)域內(nèi)點點可微，則全微分通常寫作定理1、設在點可微，則在點其偏導數(shù)一定存在，且 證：在點可微，由定義，對于自變量的任意增量?？傆校禾貏e當時，有：（），即 同理可得，。注：二元函數(shù)的全微分是兩個偏微分的疊加，即全微分又可以寫作：稱為疊加原理；同理對于三元的可微函數(shù)，其全微分為：根據(jù)可微的定義，可以推出：，或，或，表明多元函數(shù)可微必然連續(xù)；由可微的定義： ，故當在點可微時，有近似計算公式： 誤差問題：如果函數(shù)在一點偏導數(shù)存在，可以寫出：，但是不一定等于函數(shù)的全微分，因為不能保證是比高階的無窮小，。即由偏導數(shù)存在一般推不出函數(shù)可微；如函數(shù) 已知，故， 定理2、設函數(shù)在點的一階偏導數(shù)存在且一階偏導數(shù)連續(xù)，則函數(shù)在點可微。例1設，求在點，且，時的全微分。解：，以及，故 4、多元復合函數(shù)的導數(shù) 對于非抽象的函數(shù)構(gòu)成的復合函數(shù)，可以直接按照求導公式和法則求其偏導數(shù)及其高階偏導數(shù)。如，則，.也可以按照下面的復合函數(shù)的求導方法。一設，構(gòu)成復合函數(shù)：，考慮復合函數(shù)的偏導數(shù)： 固定，給以增量，相應于函數(shù)，有偏增量、；如果一階偏導數(shù)連續(xù)，則必然可微，對于其自變量的增量，函數(shù)的全增量為，其中。從而對于增量、，函數(shù)的增量可以表示為： 對于復合函數(shù)而言，即：從而當時， 有：如果函數(shù)，的一階偏導數(shù)存在，則定理1、設，在點的偏導數(shù)存在，而在相應的點偏導數(shù)連續(xù)，則復合函數(shù)在點有連續(xù)的一階偏導數(shù)，且 或 以上的求導規(guī)則也稱為鏈導規(guī)則。例1設，求。解：，；，；，； 例2設，求、。解： 注：也可以寫出復合函數(shù)，或，再求偏導數(shù)。二全微分的形式不變性 設函數(shù)一階偏導數(shù)連續(xù)，則一定可微。即；又設函數(shù)、一階偏導數(shù)連續(xù)，也有，；從而， 表明不論是自變量還是中間變量全微分的形式都是相同的，此性質(zhì)稱為全微分的形式不變性。例3設，用全微分形式不變性，求、解： 所以：，。三、含有抽象函數(shù)的復合函數(shù)求導法則1設，構(gòu)成復合函數(shù)： 注：圖示法：增加一個中間變量，規(guī)則中每個公式增加一項；如，增加一個自變量，規(guī)則中增加一個公式：例4設，其中偏導數(shù)連續(xù)，求。解：設，則函數(shù)結(jié)構(gòu)圖為：2特殊復合函數(shù)的偏導數(shù)設偏導數(shù)連續(xù)，、可導，則復合函數(shù)為一元函數(shù)：，函數(shù)結(jié)構(gòu)圖為全導數(shù)注：如果是一元函數(shù)則應寫導數(shù)符號，多元函數(shù)則寫偏導數(shù)符號。例5設，一階偏導數(shù)連續(xù)，求。解：設，則，復合函數(shù)關系圖設，其中一階偏導數(shù)連續(xù)，偏導數(shù)存在，復合函數(shù)為：，復合關系圖：注：此例中既是中間變量也是自變量，此時表示復合函數(shù)對于作為自變量的求導，而 則表示函數(shù)對作為中間變量的求導；即當具有雙重身份“時，與的含義不同，除此之外，與是通用的。設， 一階導函數(shù)數(shù)連續(xù)，一階偏導數(shù)連續(xù)，復合函數(shù)為：，復合關系圖 例6設，的一階偏導數(shù)連續(xù)，求及。解：，函數(shù)關系圖為四偏導數(shù)的簡單記號例4設，的一階偏導數(shù)連續(xù)，求，。解：若設，則 例5設，的一階偏導數(shù)連續(xù)，求，。解： 五、復合函數(shù)的高階偏導數(shù)例6設，的二階偏導數(shù)連續(xù)，求，。 解：， ， 注：注意到一般、仍然保持原有的復合關系；為了書寫簡便，在不混淆的情況下，寫為：，.此處“1”表示第一個中間變量，“2”表示第二個中間變量，.因為的二階偏導數(shù)連續(xù)，故與求導的次序無關，即，.例7設，的二階偏導數(shù)連續(xù)，求、 解： 注：如果函數(shù)中含有四則運算，則盡量先處理四則運算的求導，然后再考慮復合函數(shù)求導。5、隱函數(shù)求導法則 在一元函數(shù)中，對于隱函數(shù)方程如，只需視為的函數(shù)，方程兩邊關于求導，得：，。 利用多元復合函數(shù)的求導法則，可以推出一般的計算公式。一單個方程的情形定理1、設在的某鄰域內(nèi)一階偏導數(shù)連續(xù)，且，則在此鄰域內(nèi)，二元函數(shù)方程唯一地確定了一個單值的有連續(xù)導數(shù)的一元函數(shù)，滿足，且。因為由所確定，故，從而 或，所以：。注：是指二元函數(shù)的偏導數(shù)。 例1設，求。解：設，則求得： ，或。注：如果函數(shù)的二階偏導數(shù)連續(xù)，可以推出的計算公式。記：，則，用復合函數(shù)的鏈導規(guī)則：在實際計算時，一般不需使用上面的公式，而是直接計算。如上例中，注意到，則： 定理2、設函數(shù)在的某鄰域內(nèi)一階偏導數(shù)連續(xù)，且，則在此鄰域內(nèi)，三元函數(shù)方程唯一地確定了一個單值的有連續(xù)偏導數(shù)的二元函數(shù)，滿足，且 例2設，求、。解：， 例3設具有連續(xù)的偏導，證明由方程所確定的函數(shù)滿足：。證：記，則， 從而：例4設方程確定了一個函數(shù)，的一階偏導數(shù)連續(xù)，證明：。證：記，則由確定了函數(shù)，從而 二方程組的情形如方程組在一定條件下(p40)，確定了兩個二元函數(shù)：與，以下舉例說明偏導數(shù)的求法。例5設，求。解：先求：方程兩端對求偏導，都是的函數(shù)： 用克萊姆法則求解行列式：是關于的二元線性方程組，則 用加減消元法，解得：，以及；同理可以求得。例6設，其中是由方程確定的的函數(shù)，均滿足一階偏導數(shù)連續(xù)，證明：。證：因為是由方程確定的的函數(shù)即方程確定，且，或，；又因為，則，或，記：。由，有 例7設，是由方程確定的的函數(shù)，其中均可微，求。解：因為是由方程即確定的的函數(shù)，記，則，所以 另外，由，以及是的函數(shù)，則 6、微分法的幾何應用一空間曲線的切線與法平面1空間曲線切線的定義：曲線的割線的極限位置；2空間曲線的法平面的定義：過切點且與該切點的切線垂直的平面； 設空間曲線的參數(shù)方程為：，；其中、均可導，且在時導數(shù)不全為零；對應曲線上的點為，。 設曲線上的點、，且對應點，則經(jīng)過、兩點的割線的方向向量為： ，或 割線的方程為： 或 當沿曲線趨近于時，且，；當最終與重合時，割線到達極限位置，即為切線，從而切線的方程為：； 因為切線的方向向量，就是法平面的法向量，因此法平面方程為：；如果空間的曲線是兩個柱面的交線形式，如，則視為參數(shù)，即交線為，則切線方向向量：；切線方程：；法平面方程：例1求曲線在所對應點的切線及法平面方程。解：所對應點為：，又，故；從而，或取，則切線方程：；法平面：，或。例2求曲線，在點處的切線及法平面方程。解：視為參數(shù)，曲線參數(shù)方程為：，對參數(shù)求導：在點處，、，即，從而切線方程： ；法平面方程則為：，或。二空間曲面的切平面與法線方程 設空間曲面的方程：，在曲面上，函數(shù)的一階偏導數(shù)連續(xù)且不同時為零。 設曲線：是曲面上過點的任意一條曲線，、，不同時為零，點對應的參數(shù)為，由于曲線在曲面上，故；又因為復合函數(shù)在時可導，則其全導數(shù)為零，即，即 或 為書寫簡便，記，已知曲線在點的切線方向向量為：，故有：，即與垂直。注意到曲線是曲面上過點的任意一條曲線，上述結(jié)論表明：曲面上過點的任意一條曲線在點的切線都與一確定的向量垂直，從而所有這樣的切線均位于過點的同一平面上，稱此平面為曲面上點的切平面。 由切平面的定義，其法向量為，從而切平面的方程為：過點與切平面垂直的直線稱為法線，其方程為：。 特別，如果曲面方程為，或；函數(shù)一階偏導數(shù)連續(xù)，記，則，從而，此時切平面方程： 法線方程： 注：切平面方程可以寫為：，記，則有，等式的右端恰是函數(shù)在的全微分，而等式表明，全微分的幾何意義是在處曲面的切平面上坐標的改變量。例3在曲面上求一點，使該點處的法線垂直于已知平面，并寫出法線的方程。解：設所求點為，曲面，則，；則的切平面的法向量為：；由于法線垂直于平面，則法向量平行于已知平面的法向量：，則對應的坐標應成比例，即，由此解得：，并求得，故法向量或也可以取，所求曲面上的點為，經(jīng)過此點的法線方程為： 或 例4寫出曲面上任意一點處的切平面方程，并說明所有的切平面均平行于一定直線。解：記，則曲面的切平面的法向量為：；，。設是曲面上的任意一點，則此點處切平面的法向量為：切平面方程為：； 取，為某定直線的方向向量，由于表明，從而曲面上任意一點處的切平面均平行于定向量，當然平行于以作為方向向量的定直線。三空間曲線的切線與法平面方程 因為切線是兩張切平面的交線，故或例5求曲線上處的切線及法平面方程。解：，故 取：，點，則切線方程：；法平面方程：，或。例6試證曲面的所有切平面都相交于一點。證：令：，則，；在曲面上任意一點處的切平面方程為：因為曲面上任意一點處的切平面方程又可以寫為：點一定在此切平面上，即曲面上任意一點處的切平面均過原點。例7過直線，作曲面的切平面，求此切平面的方程。解：過直線的平面束方程為：，或 其法向量；設切點，則切平面的法向量：，從而 由可得，代入中可得：，；代入中，可得，；所以 ，或即解得：，；或，； ，從而切平面方程為： 或 或7、方向?qū)?shù)與梯度一方向?qū)?shù)的概念與計算1考慮函數(shù)在點沿某一方向的變化率：定義、設在點的某鄰域內(nèi)有定義，過點 作半射線，是半射線上的任意一點，若極限 （） 存在，稱極限值為在點沿方向的方向?qū)?shù)，記作：，或，即。2幾何意義 是半割線相對于方向的斜率，則相對于方向的半切線的斜率；若半切線與方向的夾角是，則。3方向?qū)?shù)與偏導數(shù)的關系 假設函數(shù)偏導數(shù)總是存在的，考慮沿軸正方向的方向?qū)?shù)記作，則，且，由方向?qū)?shù)的定義： 沿軸負方向的方向?qū)?shù)記作，則，由方向?qū)?shù)定義： 即：，；同理：，；4方向?qū)?shù)的計算公式定理：設在點可微，則在點沿任何方向的方向?qū)?shù)均存在；若某方向的方向角為，則： 或，證： 由于，故又因為，則又有：。例1設，求在點，沿方向的方向?qū)?shù)，其中。解：，；，； ，故，由此得出：，所以：注：以上求方向?qū)?shù)的方法可以推廣到其它的多元函數(shù)。如沿方向的方向?qū)?shù)：（方向的方向角為）。例2設，求在點，沿到方向的方向?qū)?shù)。解： ，故，；，故 二梯度（gradient） 由上面的討論已知，在某一點的方向?qū)?shù)的值因方向的變化而不同，問題：在一點處沿什么方向的方向?qū)?shù)值最大？或者說在一點處沿什么方向函數(shù)增長的最快？ 記：在點處的梯度向量，簡稱為梯度；記：是與同方向的單位向量，則 （）時，； 即，表明當方向與梯度方向一致時，方向?qū)?shù)最大，或沿梯度方向的方向?qū)?shù)值最大，梯度方向是函數(shù)增長的最快的方向；時，； 即，此時方向與梯度方向垂直，表明在垂直于梯度的方向上方向?qū)?shù)為零，即在此方向上函數(shù)的變化率為零；點處的梯度方向垂直于過的等高線，且叢數(shù)值較低的等高線指向數(shù)值較高的等高線； 對于函數(shù)，等高線的方程為，或#；若此曲線可以寫為，則曲線上任一點處切線向量，或，或； 對#微分可得：，即：表明梯度向量與等高線上的切線向量垂直；又因為梯度方向是函數(shù)增長最快的方向，梯度向量應指向函數(shù)增長的方向，從而梯度向量叢數(shù)值較低的等高線指向數(shù)值較高的等高線；圖中粗箭頭所示即為梯度方向。幾何解釋：如果曲面為凸曲面，形如山，一登山者到達某一位置時，若沿梯度方向攀登，則山路一定最陡峭；若垂直于梯度方向攀登，總是行走在同一等高線上，永遠不可能到達山頂。問題：如果曲面是凹曲面，考慮其等高線上梯度向量其方向如何？例3設，求，解：，故 例4求函數(shù)在點處，沿曲線在此點的內(nèi)法線方向的方向?qū)?shù)。（）解：由方向?qū)?shù)的定義：求梯度向量：求點方向的方向余弦，即曲線上的內(nèi)法線方向余弦曲線上的切線向量為：，則法線向量為：，或；注意到要求是內(nèi)法線方向，故取為內(nèi)法線向量，則 即內(nèi)法線方向余弦：，從而注意到曲線恰好是曲面當時的一條等高線，而曲面是開口向下的橢圓拋物面，是凸曲面；從而曲線在點處的內(nèi)法線方向恰好就是其梯度方向，因此就是要求在沿梯度方向的方向?qū)?shù)；已求得： 例5問函數(shù)在點處沿什么方向的方向?qū)?shù)最大？并求方向?qū)?shù)的最大值。解：，已知函數(shù)在點處沿梯度方向的方向?qū)?shù)最大，且 8、多元函數(shù)的極值一無條件極值（極值）1極值的定義定義、設在點的某鄰域內(nèi)有定義，對于該鄰域內(nèi)異于點的任一點，若都有，則稱函數(shù)在取得極小值，為函數(shù)的極小值點；若都有，則稱函數(shù)在在取得極大值，為函數(shù)的極大值點；極大、極小值點統(tǒng)稱為函數(shù)的極值點。如，極小值點，極小值；，極大值點，極大值；而函數(shù)在點不取極值。定理1、（極值存在的必要條件）設在點偏導數(shù)存在，且在取得極值，則，。證：設在點取得極小值，則存在的一個鄰域，對此鄰域內(nèi)的任意點，均有。 特別對于鄰域內(nèi)的點，也就有，條件表明“一元函數(shù)”在“點” 取得極小值并且可導，從而“導數(shù)”等于零，即，同理可得。注：對于，稱使得、同時成立的點為函數(shù)的駐點；由必要條件，在偏導數(shù)存在時，函數(shù)的極值點產(chǎn)生于駐點，但駐點不一定全都是極值點，如，是其駐點，但不是極值點；但是偏導數(shù)不存在的點也有可能是極值點，如，是極小值點，但是、均不存在；此結(jié)論可以推廣到其它的多元函數(shù)。如在偏導數(shù)存在，且在取得極值，則 定理2、（極值存在的充分條件）設在二階偏導數(shù)連續(xù)，且滿足，記 若，則函數(shù)有極值；且當時，有極小值；當時，有極大值；若，則函數(shù)無極值；若，必須另行討論。根據(jù)定理1、定理2，求極值的主要步驟如下：確定函數(shù)的定義域；求出所有的駐點，即使得、同時成立的點；對于每一個駐點，分別計算其，然后用判別式進行判別。例1設，求其極值。解：，所求駐點為：abcac-b2符號-80-188+極大值0240- (24)2-非極值0-240-(24)2-非極值0-240-(24)2-非極值0240-(24)2-非極值 極大值為；2最大值與最小值 有界閉域上的連續(xù)函數(shù)可以在上取得最大值和最小值。若最大或最小值在區(qū)域的內(nèi)部取得，則一定是極值；若最大或最小值在區(qū)域的邊界曲線上取得，則屬于條件極值問題。 因此，求最大、最小值的一般方法：求函數(shù)在內(nèi)的所有駐點；求函數(shù)在的邊界曲線上的