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運(yùn)用幾何畫(huà)板,加強(qiáng)思想方法教學(xué) 張映姜 唐洪浪 (廣東省湛江師范學(xué)院數(shù)科院 廣東湛江 524048) 數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)施后,數(shù)學(xué)的思想和方法成為了數(shù)學(xué)課程的重要內(nèi)容。在數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中,特別強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)的思想與方法,將基本的數(shù)學(xué)思想方法與基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本能力、基本的情感并列,在初中數(shù)學(xué)中,圖形的變換成為課程的重要內(nèi)容,要求學(xué)生通過(guò)實(shí)例了解平移、旋轉(zhuǎn)、對(duì)稱(chēng)變換,理解變換的性質(zhì);在高中數(shù)學(xué)中,函數(shù)、數(shù)形結(jié)合仍是數(shù)學(xué)課程的重要思想方法。加強(qiáng)數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)仍然是當(dāng)前數(shù)學(xué)教學(xué)的重要內(nèi)容。在高師院校,開(kāi)設(shè)有數(shù)學(xué)思想方法概論選修課。如何正確地理解數(shù)學(xué)的思想和方法,加強(qiáng)數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)?我們認(rèn)為,加強(qiáng)數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué),必須創(chuàng)設(shè)思想方法教學(xué)的條件。利用傳統(tǒng)的方法進(jìn)行數(shù)學(xué)思想方法時(shí),總會(huì)遇到較多的困難,如旋轉(zhuǎn)變換中難以突出旋轉(zhuǎn)角度與旋轉(zhuǎn)中心,明確地體現(xiàn)出旋轉(zhuǎn)變換的有關(guān)性質(zhì)。如果利用計(jì)算機(jī)中的優(yōu)秀軟件幾何畫(huà)板進(jìn)行教學(xué),不僅可以創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)的環(huán)境,充分展示數(shù)學(xué)的思想與方法,而且還能讓學(xué)生運(yùn)用幾何畫(huà)板進(jìn)行數(shù)學(xué)思想方法的學(xué)習(xí)、研究、創(chuàng)造。這樣,幾何畫(huà)板不僅是教學(xué)的工具,而且也是學(xué)習(xí)的工具,更是研究、進(jìn)行創(chuàng)作的工具。通過(guò)運(yùn)用幾何畫(huà)板,揭示數(shù)學(xué)規(guī)律,充分體現(xiàn)數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法,把握數(shù)學(xué)的精髓。1利用幾何畫(huà)板中的坐標(biāo)分離、軌跡構(gòu)建數(shù)形結(jié)合的情境數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)中相當(dāng)重要的思想和方法。它的思想就是“化形為數(shù),以數(shù)論形;或化數(shù)為形,以形論數(shù)”。下面以二次函數(shù)y=a x3bx2cxd圖象作法為例,說(shuō)明利用幾何畫(huà)板中的軌跡功能畫(huà)出函數(shù)圖象的過(guò)程,構(gòu)建數(shù)形結(jié)合的教學(xué)情境,體現(xiàn)數(shù)學(xué)的思想和方法。通過(guò)對(duì)函數(shù)圖象的觀察,可以發(fā)現(xiàn)函數(shù)不同,圖象也不同,我們還可以通過(guò)函數(shù)圖象研究函數(shù)的單調(diào)性、最值、周期性、奇偶性等重要特征。函數(shù)的圖象就是通過(guò)化(代)數(shù)為形,以形論數(shù)來(lái)體現(xiàn)的。例1 作出二次函數(shù)y= a x3bx2cxd (其中a,b,c,d為常數(shù))圖象 在幾何畫(huà)板的編輯窗口,建立坐標(biāo)軸,在橫坐標(biāo)軸上任取點(diǎn)C; 利用計(jì)算器分離出點(diǎn)C的橫坐標(biāo),并改寫(xiě)為x ; 選定x,雙擊,出現(xiàn)計(jì)算器,利用計(jì)算器計(jì)算a x3bx2cxd的值,并記為y; 選定x,y,根據(jù)畫(huà)點(diǎn)根據(jù)(x,y),作出點(diǎn)P; 選定點(diǎn)C,P,單擊構(gòu)造/軌跡,于是得到y(tǒng)= a x3bx2cxd的圖象。2利用幾何畫(huà)板中的變量構(gòu)建實(shí)驗(yàn)情境著名數(shù)學(xué)家歐拉曾說(shuō)過(guò):“數(shù)學(xué)這門(mén)科學(xué),需要觀察,也需要實(shí)驗(yàn)?!睂?shí)驗(yàn)是數(shù)學(xué)研究中很重要的方法。利用信息技術(shù)構(gòu)建實(shí)驗(yàn)情境,通過(guò)運(yùn)用實(shí)驗(yàn)方法,進(jìn)行數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)。對(duì)于函數(shù),普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中特別指出:“通過(guò)二次函數(shù)等,理解函數(shù)的單調(diào)性、最大(小)值及其幾何意義;結(jié)合具體函數(shù),了解奇偶性的含義?!币虼?,如二次函數(shù)等教學(xué),特別是含參變數(shù)a,b,c的函數(shù)y= a x2bxc,運(yùn)用幾何畫(huà)板,就立即可構(gòu)建實(shí)驗(yàn)情境,引導(dǎo)學(xué)生觀察,方便學(xué)生研究、概括,通過(guò)研究參變數(shù)a,b,c對(duì)函數(shù)y= a x2bxc圖象的影響,發(fā)現(xiàn)兩者間制約的規(guī)律。下面利用幾何畫(huà)板,創(chuàng)設(shè)含參變數(shù)a,b,c的函數(shù)y= a x2bxc的實(shí)驗(yàn)情境,并進(jìn)行教學(xué)。例2 作函數(shù)y= a x2bxc的圖象及參變數(shù)對(duì)圖象影響的實(shí)驗(yàn)研究分二步進(jìn)行:先作函數(shù)的圖象;然后,研究考慮怎樣研究二次函數(shù)的性質(zhì)。 在幾何畫(huà)板的編輯窗口,建立坐標(biāo)軸,在橫軸上任取點(diǎn)D,并利用計(jì)算器分離出點(diǎn)D的橫坐標(biāo),并改寫(xiě)為x ; 在橫軸上任取點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)E作橫軸的垂線 j,在垂線上任取點(diǎn)A,B,C,并利用計(jì)算器分離出點(diǎn)A,B,C的縱坐標(biāo),并依次記為a,b,c; 選定a,b,c,x,雙擊,出現(xiàn)計(jì)算器,利用計(jì)算器計(jì)算ax2bxc的值,并記為y; 選定x,y,根據(jù)畫(huà)點(diǎn)根據(jù)(x,y),作出點(diǎn)P; 選定點(diǎn)D,P,單擊構(gòu)造/軌跡,于是得到參變數(shù)的二次函數(shù)y= a x2bxc的圖象。依次選定垂線 j,點(diǎn)A,或點(diǎn)B,或點(diǎn)C,分別構(gòu)建動(dòng)畫(huà)a,動(dòng)畫(huà)b,動(dòng)畫(huà)c三個(gè)動(dòng)畫(huà)按鈕。由上可知,a,b,c都是參變數(shù),可以隨意改變大小。利用參變數(shù)a,b,c,我們可以進(jìn)行二次函數(shù)y= a x2bxc的實(shí)驗(yàn),發(fā)現(xiàn)圖象的開(kāi)口方向、開(kāi)口大小、對(duì)稱(chēng)軸隨參變數(shù)a,b,c的變化而變化的情況: 單擊動(dòng)畫(huà)a,發(fā)現(xiàn):a的正負(fù)決定圖象的開(kāi)口方向,|a|的大小決定其開(kāi)口大?。?單擊動(dòng)畫(huà)c,發(fā)現(xiàn):c的大小只改變頂點(diǎn)位置,不改變圖象的其它性質(zhì); 單擊動(dòng)畫(huà)b,觀察發(fā)現(xiàn):b的大小不影響圖象的形狀、開(kāi)口方向以及開(kāi)口大小。3 利用幾何畫(huà)板的標(biāo)識(shí)向量和運(yùn)動(dòng)制作平移變換平移變換是數(shù)學(xué)圖形變換中重要變換之一。四邊形的平移、三角形的平移等是數(shù)學(xué)變換的重要內(nèi)容之一。數(shù)學(xué)課堂上經(jīng)常要進(jìn)行幾何圖形的平移變換。平移不僅是初等數(shù)學(xué)中的學(xué)習(xí)內(nèi)容,也是高等數(shù)學(xué)中重要的方法。幾何畫(huà)板在平移方面,其功能是非常強(qiáng)大的,只要我們充分利用平移變換的技巧,就能充分體驗(yàn)到平移變換的思想。例3 圖形的平移變換先作出圖形A,為了真實(shí)地反映其平移變換過(guò)程,可設(shè)置圖形內(nèi)部的填充色為灰色;然后確定標(biāo)識(shí)向量DF,標(biāo)識(shí)向量反映了平移的方向和長(zhǎng)度;接著確定圖形A沿標(biāo)識(shí)向量DF平移的結(jié)果:圖形A;最后,作出圖形平移變換的按鈕。如從ED的動(dòng)畫(huà)按鈕,或從EF動(dòng)畫(huà)按鈕。此時(shí),桌面有圖A,圖形A,從ED或從EF畫(huà)按鈕。若分別單擊兩按鈕運(yùn)動(dòng)FD與運(yùn)動(dòng)FE,我們即可觀察到圖形的平移變換情況。4 利用幾何畫(huà)板中的標(biāo)識(shí)角度制作旋轉(zhuǎn)變換 圖形的旋轉(zhuǎn)也是數(shù)學(xué)變換方法中重要內(nèi)容,同樣,數(shù)學(xué)課程改革后,圖形的旋轉(zhuǎn)變換也是中小學(xué)中重要的學(xué)習(xí)內(nèi)容。無(wú)論初等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)還是高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí),我們都要學(xué)習(xí)和把握旋轉(zhuǎn)變換思想。三角形的旋轉(zhuǎn)是數(shù)學(xué)旋轉(zhuǎn)變換中最基本的形式。我們可通過(guò)三角形的幾何旋轉(zhuǎn),創(chuàng)設(shè)旋轉(zhuǎn)變換的學(xué)習(xí)情境。例4 做一個(gè)已知圖形的旋轉(zhuǎn)變換 在幾何畫(huà)板窗口內(nèi)畫(huà)一個(gè)圖形A;利用畫(huà)圓工具,在窗口內(nèi)畫(huà)圓D,在圓D上取三點(diǎn)E、F、G,并將點(diǎn)G拖至點(diǎn)E,F(xiàn)之間;按住鍵盤(pán)中shift鍵,依次選定GDE標(biāo)識(shí)角度,另取一點(diǎn)H作為旋轉(zhuǎn)中心;接著選定圖形A(包括各頂點(diǎn)、邊及內(nèi)部),點(diǎn)擊菜單變換/旋轉(zhuǎn)作出現(xiàn)圖形A;最后依次選擇點(diǎn)G,E,做出動(dòng)畫(huà)按鈕運(yùn)動(dòng)GE;或依次選擇點(diǎn)G、F,仿上,得到按鈕運(yùn)動(dòng)GF;只要單擊運(yùn)動(dòng)GE或運(yùn)動(dòng)GF按鈕,就會(huì)發(fā)現(xiàn)圖形在做旋轉(zhuǎn)變換。5利用幾何畫(huà)板中的反射實(shí)現(xiàn)對(duì)稱(chēng)變換對(duì)稱(chēng)變換是數(shù)學(xué)中最富有數(shù)學(xué)美的一種方法。新數(shù)學(xué)教材中,有許多內(nèi)容都體現(xiàn)對(duì)稱(chēng)特征,反映數(shù)學(xué)的對(duì)稱(chēng)美。為了體驗(yàn)、掌握旋轉(zhuǎn)變換的特征,我們可利用幾何畫(huà)板的反射做出幾何圖形的對(duì)稱(chēng)變換,創(chuàng)設(shè)對(duì)稱(chēng)變換的教學(xué)情境。例5 做三角形ABC的對(duì)稱(chēng)變換雙擊ABC一側(cè)的對(duì)稱(chēng)直線DE,選擇ABC(包括頂點(diǎn)、邊),單擊菜單變換/反射,立即出現(xiàn)ABC; 直線AB與AB,直線BC與BC分別相交于直線DE上點(diǎn)F,G;利用菜單構(gòu)造/以圓心和一點(diǎn)劃圓作出圓弧BB ,圓弧CC;在圓弧BB上選定點(diǎn)I,連FI,GI,交圓弧AA于點(diǎn)J,圓弧CC于點(diǎn)L;利用畫(huà)板工具箱畫(huà)線工具,構(gòu)造IJL
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