初中因式分解基本方法.docx

初中因式分解的基本方法因式分解（factorization） 因式分解是中學數學中最重要的恒等變形之一，它被廣泛地應用于初等數學之中，是我們解決許多數學問題的有力工具因式分解方法靈活，技巧性強，學習這些方法與技巧，不僅是掌握因式分解內容所必需的，而且對于培養(yǎng)學生的解題技能，發(fā)展學生的思維能力，都有著十分獨特的作用初中數學教材中主要介紹了提取公因式法、運用公式法、分組分解法和十字相乘法而在競賽上，又有拆項和添項法，待定系數法，雙十字相乘法，輪換對稱法等 提公因式法 公因式：各項都含有的公共的因式叫做這個多項式各項的. 提公因式法：一般地，如果多項式的各項有公因式，可以把這個公因式提到括號外面，將多項式寫成因式乘積的形式，這種分解因式的方法叫做提公因式法. ambmcmm（a+b+c） 具體方法：當各項系數都是整數時，公因式的系數應取各項系數的最大公約數；字母取各項的相同的字母，而且各字母的指數取次數最低的. 如果多項式的第一項是負的，一般要提出“”號，使括號內的第一項的系數是正的. 運用公式法 平方差公式：. a2b2(ab)(ab) 完全平方公式： a22abb2(ab)2 能運用完全平方公式分解因式的多項式必須是三項式,其中有兩項能寫成兩個數(或式)的平方和的形式，另一項是這兩個數(或式)的積的2倍. 立方和公式：a3+b3 (a+b)(a2-ab+b2). 立方差公式：a3- b3 (a-b)( a2+ab+ b2). 完全立方公式： a33 a2b3a b2b3(ab)3 an-bn=(a-b)a(n-1)+a(n-2)b+b(n-2)a+b(n-1) am + bm =(a+b)a(m-1)-a(m-2)b+-b(m-2)a+b(m-1) (m為奇數) 分組分解法 分組分解法：把一個多項式分組后，再進行分解因式的方法. 分組分解法必須有明確目的，即分組后，可以直接提公因式或運用公式. 拆項、補項法 拆項、補項法：把多項式的某一項拆開或填補上互為相反數的兩項（或幾項），使原式適合于提公因式法、運用公式法或分組分解法進行分解；要注意，必須在與原多項式相等的原則進行變形. 例： 分解因式bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b) 解 bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b) =bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b) =c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a) =(c+b)(c-a)(a+b) 十字相乘法 x2（p q）xpq型的式子的因式分解 這類二次三項式的特點是：二次項的系數是1；常數項是兩個數的積；一次項系數是常數項的兩個因數的和.因此，可以直接將某些二次項的系數是1的二次三項式因式分解： x2（p q）xpq（xp）（xq） 這個很實用,但用起來不容易.在無法用以上的方法進行分解時,可以用下十字相乘法.例： x2+5x+6首先觀察,有二次項,一次項和常數項,可以采用十字相乘法.一次項系數為1.所以可以寫成1*1常數項為6.可以寫成1*6, 2*3, -1*-6, -2*-3(小數不提倡)然后這樣排列1 - 21 - 3(后面一列的位置可以調換,只要這兩個數的乘積為常數項即可)然后對角相乘,1*2=2,1*3=3.再把乘積相加.2+3=5,與一次項系數相同(有可能不相等,此時應另做嘗試),所以可一寫為(x+2)(x+3) (此時橫著來就行了)我再寫幾個式子,樓主再自己琢磨下吧.x2-x-2=(x-2)(x+1)2 x2+5x-12=(2x-3)(x+4) mx2 +px+q型的式子的因式分解 對于mx2 +px+q形式的多項式，如果ab=m, cd=q且ad+bc=p，則多項式可因式分解為(ax+ c)(bx+ d) 例： 分解因式7x2 -19x-6 分析： 1 -3 7 -2 12（37）= 19 解：7 x2 -19x-6=(x-3)（7x+2） 雙十字相乘法難度較之前的方法要提升許多。用來分解形如bxycdxeyf 的二次六項式 在草稿紙上，將分解成mn乘積作為一列，c分解成pq乘積作為第二列，f分解成jk乘積作為第三列，如果mqnpb，pkqje，mknjd，即第1,2列和第2,3列都滿足十字相乘規(guī)則。則原式（mxpyj）（nxqyk）要訣：把缺少的一項當作系數為0，0乘任何數得0， 例：bb2分解因式解：原式01bb2 （0b1）（b2） （b1）（b2）(7) 應用因式定理：如果f（a）=0，則f（x）必含有因式（x-a）。如f（x）= x2+5x+6，f（-2）=0，則可確定（x+2）是x2+5x+6的一個因式。 經典例題： 1. 分解因式 (1y)22 x2 (1y2)x4(1y)2 解：原式=(1y)22(1y) x2 (1y) x4 (1y)22(1y) x2 (1y)2 x2 (1y2) =(1+y)+ x2 (1y)22(1+y) x2 (1y) 2 x2 (1+ y2) =(1+y)+ x2 (1y)2(2x)2 =(1+y)+ x2 (1y)+2x (1+y)+ x2 (1y) 2x =( x2x2y+2x+y+1) ( x2 x2y2x+y+1) =(x+1)2y(x21) (x-1)2y(x21) =(x+1) (x+1xy+y) (x1) (x1xyy) 2.證明：對于任何數x, y，下式的值都不會為33 x53x4y5x3y215x2y34xy412y5 解：原式=( x5+3x4y)( 5x3 y2+15x2y3)+(4xy4+12y5) = x4 (x+3y)5 x2 y2 (x+3y)+4 y4 (x+3y) =(x+3y)( x45 x2 y2+4 y4) =(x+3y)( x24 y2)( x2 y2) =(x+3y)(x+y)(x-y)(x+2y)(x-2y) 當y=0時，原式= x5不等于33；當y不等于0時，x+3y,x+y,x-y,x+2y,x-2y互不相同，而33不能分成四個以上不同因數的積，所以原命題成立 (8)、 換元法 整體代入，免去繁瑣的麻煩，亦是建立的之前的基礎上例：-2(x+y)+1分解因式考慮到x+y是以整體出現(xiàn)，展開是十分繁瑣的，用代替x+y那么原式= =回代原式= (9)、求根法 令多項式f(x)=0,求出其根為x1 , x2 , x3 ,xn ,則多項式可因式分解為f(x)=(x- x1 )(x- x2 )(x- x3 )(x- xn) 例8、分解因式2x4 +7 x3 -2 x2 -13x+6 解：令f(x)= 2x4 +7 x3 -2 x2 -13x+6=0 通過綜合除法可知，f(x)=0根為 1，-3，-2，1 則2x4 +7 x3 -2 x2 -13x+6=(2x-1)(x+3)(x+2)(x-1) (10)、 圖象法 令y=f(x)，做出函數y=f(x)的圖象，找到函數圖象與X軸的交點x1 , x2 , x3 ,xn ，則多項式可因式分解為f(x)= (x- x1 )(x- x2 )(x- x3 )(x- xn) 例：因式分解x3 +2 x2 -5x-6 解：令y= x3 +2 x2 -5x-6作出其圖象，見右圖，與x軸交點為-3，-1，2 則x3 +2 x2 -5x-6=(x+1)(x+3)(x-2) (11)、 主元法 先選定一個字母為主元，然后把各項按這個字母次數從高到低排列，再進行因式分解。 （備注：這種方法要難一些，多練即可即把一個字母作為主要的未知數，另一個作為常數）例：分解因式a2 (b-c)+b2 (c-a)+c2 (a-b) 分析：此題可選定a為主元，將其按次數從高到低排列 解：a2 (b-c)+b2 (c-a)+c2 (a-b) = a2 (b-c)-a(b2 - c2 )+( b2 c- c2 b) =(b-c) a -a(b+c)+bc =(b-c)(a-b)(a-c) (12)、 利用特殊值法 將2或10代入x，求出數P，將數P分解質因數，將質因數適當的組合，并將組合后的每一個因數寫成2或10的和與差的形式，將2或10還原成x，即得因式分解式。 例11、分解因式x3 +9x2 +23x+15 解：令x=2，則x3 +9x2 +23x+15 =8+36+46+15=105 將105分解成3個質因數的積，即105=357 注意到多項式中最高項的系數為1，而3、5、7分別為x+1，x+3，x+5，在x=2時的值 則x3 +9x2 +23x+15 =（x+1）（x+3）（x+5） (13)、待定系數法 首先判斷出分解因式的形式，然后設出相應整式的字母系數，求出字母系數，從而把多項式因式分解。 將式子看成方程，將方程的解代入這時就要用到(1)中提到的知識點了當一個方程有一個解x=a時，該式分解后必有一個(x-a)因式例： + x- 2 該題可以用十字相乘來做，這里介紹一種待定系數法 我們可以把它當方程做，+x-2=0 一眼看出，該方程有一根為x=1 那么必有一因式為(x-1)結合多項式展開原理，另一因式的常數必為2（因為乘-1要為-2）一次項系數必為1（因為與1相乘要為1）所以另一因式為（x+2）原式分解為： + x- 2 =(x-1)(x+2)(14) 、 列豎式法原理和小學的除法差不多要建立在待定系數法的方程法上不足的項要用0補除的時候，一定要讓第一項抵消例：3+5-2分解因式提示：x=-1可以使該式=0，有因式（x+1）解 原式=（x+1)(3+2x-2)(15) 、 解方程法此方法是對分解的萬能方法，但在學過解方程后才會使用設 解得方程得 例：-x-1 分解因式設 解得方程得 多項式因式分解的一般步驟： 如果多項式的各項有公因式，那么先提公因式； 如果各項沒有公因式，那么可嘗試運用公式、十字相乘法來分解； 如果用上述方法不能分解，那么可以嘗試用分組、拆項、補項法來分解； 分解因式，必須進行到每一個多項式因式都不能再分解為止. 考慮到每種方法只有一個例題，下面提供一些題目，供大家