（光學(xué)專業(yè)論文）激光短脈沖與二能級體系近共振相互作用的理論與數(shù)值研究.pdf

激光短脈沖與二能級體系近共振相互作用的 理論與數(shù)值研究 學(xué)位申請人：郭瑩瑩 導(dǎo)師姓名 ：余向陽副教授 專業(yè)名稱：光學(xué) 摘要 本論文用光與物質(zhì)相互作用的半經(jīng)典理論方案，研究短激光脈沖與二能級 體系近共振相互作用的理論模型和數(shù)值計(jì)算方法，主要包括均勻展寬、稠密以及 微腔中的二能級體系。 首先在二能級、近共振、電偶極、旋轉(zhuǎn)波和慢變振幅近似下，推導(dǎo)均勻展寬 體系的光學(xué)b l o c h 方程。在這個基礎(chǔ)上，考慮局域場效應(yīng)，引入近偶極一偶極相 互作用e a r - d i p o l e d i p o l e ，n d d ) ，得到稠密體系修正的光學(xué)b l o c h 方程。 用幾種數(shù)值算法求解光學(xué)b l o c h 方程，并進(jìn)行幾種數(shù)值方法的誤差分析。在 這基礎(chǔ)上研究局域場中n d d 效應(yīng)修正系數(shù)、基質(zhì)折射率和基質(zhì)吸收率對光與二 能級體系的相互作用性質(zhì)的影響。 進(jìn)一步，研究微腔中的二能級體系，推導(dǎo)光與微腔中近共振二能級體系的相 互作用的二維二階m a x w e l l b l o c h ( m b ) 方程。由此，研究產(chǎn)生腔孤子的特定條 件。用分步傅立葉變換聯(lián)合四階龍格一庫塔法計(jì)算二維二階的m b 方程，用以研 究微腔中光與物質(zhì)相互作用的動力學(xué)過程。分析有關(guān)計(jì)算結(jié)果可以看到i 微腔中 二能級體系的稠密程度影響微腔中場的分布，通過選取適當(dāng)?shù)膮?shù)可使微腔出現(xiàn) 腔孤子。其中微腔系統(tǒng)中的局域場導(dǎo)致的雙穩(wěn)態(tài)是腔孤子出現(xiàn)的關(guān)鍵。由于腔孤 子在信息處理與傳輸有重要的應(yīng)用價(jià)值，本文最后就發(fā)展前景作了討論。 關(guān)鍵詞：短脈沖，- - 一“r j t 級體系，局域場，m b 方程，腔孤子 t h ei n t e r a c t i o no fs h o al a s e rp u l s ea n dt w o l e v e l r e s o n a n ts y s t e m ： - - - t h et h e o r e t i c a la n dn u m e r i c a la n a l y s i s a u t h o r：g u oy i n g y i n g s u p e r v i s o r ：p r o f y u x y m a j o r ： o p t i c s a b s tr a c t t h et h e s i su s et h es e m i c l a s s i c a lt h e o r yo ft h ei n t e m c t i o no ft h el i g h ta n dm a t t e r t os t u d yt h ei n t e r a c t i o no ft h es h o r tl a s e rp u l s ea n dt h et w o l e v e ls y s t e m ，r e l a t e dt ot h e t h e o r e t i c a la n a l y s i sa n dn u m e r i c a lc a l c u l a t e ，i n c l u d i n gt h et h i na t o m i cs y s t e m ，t h e d e s ea t o m i cs y s t e ma n dt h ea t o m i cs y s t e m si nt h em i c m c a v i t i e s f i r s t ，w ed e r i v et h eo p t i c a l b l o c he q u a t i o nw i t ht h ea p p r o x i m a t i o no ft h e t w o l e v e l ，r e s o n a n c e ，e l e c t r i cd i p o l e ，r o t a t ew a v ea n ds l o ww a v e ，a n do nt h i sb a s i c ， c o n s i d e r i n gt h el o c a l f i e l de f f e c t w ei n t r o d u c et h en e a rd i p o l e - d i p o l ee f r c c ta n d d e r i v et h em o d i f i e db l o e he q u a t i o n w eu s en u m e r i c a lm e t h o d st oc a l c u l a t et h eb l o c he q u a t i o n sa n dt h e n ，w e a n a l y s et h ee r r o r so ft h em e t h o d s w es t u d yh o w t h el o c a lf i e l de f f e c t ，w h i c hi n c l u d e s t h en d de f f e c t ，m e d i u ma b s o r b a b i l i t ya n dm e d i u mr e f r a c t i o n ，a f f e c tt h es y s t e m f u r t h e r , w es t u d i e dt h et w o l e v e la t o m i cs y s t e mi nam i c r o c a v i t y w ed e r i v e t h em a x w e l l b l o c he q u a t i o nf o rt h et w o l e v e la t o m i cs y s t e mi nam i c m c a v i t y b a s e o nt h es t u d i e s ，w ec o n c l u d et h ec o n d i t i o n si nw h i c ht h et w o - l e v e la t o m i cs y s t e mi s a b l et og e n e r a t ea n ds u s t a i nc a v i t ys o l i t o n s ，t h ed y n a m i c a le q u a t i o n sw e r ei n t e g r a t e d 【i n u m e r i c a ll y u s i n g as p l i t s t e pm e t h o dw i t h p e r i o d i cb o u n d a r y c o n d i t i o n sa n d r u n g e - k u t t aa l g o r i t h mi no u rs t u d i e s f r o mt h er e l a t e dn u m e r i c a lr e s u l t s ，i ti sf o u n d t h a tt h ed e n s e n e s sp l a ya ni m p o r t a n tr o l ei nt h em i c m c a v i t yw i t ht h et w o l e v e la t o m i c s y s t e m w ec o n c l u d et h a th o wt h ep a r a m e t e r so ft h ec a v i t ya f f e c tt h ed y n a m i c a l b e h a v i o ra n dt h ea p p e a r a n c eo ft h ec a v i t ys o l i t o n s t h ek e yi st h ea p p e a r a n c eo ft h e b i s t a b i l i t i e si n d u c e db yt h el o c a lf i e l d t h ec a v i t ys o l i t o n sa r eb e n e f i tt ot h e i n f o r m a t i o np r o c e s sa n dt r a n s i t i o n w ep r e s e n tt h ef u t u r ew o r ko nt h i sw o r ka tl a s t c h a p t e n k e yw o r d s ：s h o r tp u l s e ，t w o - l e v e ls y s t e m ，l o c a lf i e l d ，m be q u a t i o n s ，c a v i t y s o l i t o n s 第一市光與物質(zhì)相互作用的模型 第1 章光與物質(zhì)相互作用的理論模型 1 _ 1 緒論 自激光短脈沖技術(shù)的發(fā)展和成熟以來，就一直被廣泛地應(yīng)用于物理、光電子、 化學(xué)和生物學(xué)等領(lǐng)域。光與物質(zhì)相互作用的理論處理方法有：1 ) 經(jīng)典理論，將 光場和物質(zhì)系統(tǒng)都作經(jīng)典處理，光場用經(jīng)典的m a x w e l l 方程組描述，物質(zhì)中運(yùn)動 的電子用經(jīng)典力學(xué)的振子描述；2 ) 半經(jīng)典理論，光場用m a x w e l l 方程組描述， 物質(zhì)體系用量子力學(xué)描述；3 ) 全量子理論，對光場以及物質(zhì)體系都作量子化處 理；4 ) 速率方程理論，是e i n s t e i n 提出的一個簡單的唯象理論。 本論文以短脈沖光與物質(zhì)相互作用為主要研究內(nèi)容，采用光與物質(zhì)相互作用 的半經(jīng)典理論，在處理的過程中用到了幾個主要的近似：二能級、近共振、電偶 極、慢變振幅和旋轉(zhuǎn)波近似 i ”。光學(xué)b l o c h 方程是光描述光與物質(zhì)相互作用的 基本方程，研究光學(xué)瞬態(tài)過程、光脈沖傳播、光學(xué)孤子等的重要量子光學(xué)現(xiàn)象的 基礎(chǔ)。 本章中，我們首先推導(dǎo)了稀薄且均勻展寬的氣體中的光學(xué)b l o c h 方程。在此 基礎(chǔ)上，推導(dǎo)修正的b l o c h 方程，用以描述稠密的二能級體系以及嵌于線性固體 介質(zhì)中的二能級體系。 1 2 稀薄氣體中光與二能級相互作用的b l o c h 方程 考慮二能級體系與單色光場的相互作用，沿：方向傳播的單色線偏振光，光 場表達(dá)式為 e o ) = 妻 豆( f 弦“+ “+ 豆4 9 弦7 “?！?( 1 1 ) z 國是入射光的頻率，k 是光場的波矢，光場為實(shí)振幅的情況下有e = e = e o 一。 由密度算符的狄拉克形式為 p ( ，) = i 甲( ，) ) ( 甲( f ) l ( 1 2 ) 它由態(tài)矢量完全確定。 笫一章光。l 物質(zhì)相互作用的模型 薛定諤方程為 腩掣刮甲) 一疏掣= ( 甲f 很容易得到密度運(yùn)動方程 ( 1 3 ) 俐= 一寺阻，礦】 九 、7 在二能級體系中，激發(fā)態(tài)為f 2 ) ，基念為f 1 ) ，那么二能級體系的波函數(shù)”為 j 甲( ，) ) = c ：1 2 ) + c i l )f i 5 ) h 在光場作用下體系的總哈密頓量1 ，其中包括體系哈密頓量峨與光與體系相 互作用的哈密頓量日， 肚恥 憊糾 s ， 其中， h ，= 礦c ，= z ：名| = 邏1 則，2 風(fēng)+ 日，= z 毫箸j = 甕2 。w 。2 1 c ， q ，h c o z - 為能級1 ，2 的本征能量。對于可見光，波氏遠(yuǎn)大于組成體系的 粒子大小，因而，在電子運(yùn)動范圍內(nèi)，電場改變極小，可以看成由電子型中運(yùn)動 的電偶極子在均勻場中運(yùn)動，即是電偶極子近似l 。2 1 ， l = - ( e r ) 礦豆一2 e o k 。= ( k 。戶= 一( e r ) ，：豆+ = 一2 ，2 e 。 f 1 8 ) e 為電子電量，為偶極予半徑，心，是偶極子相互作用系數(shù)，使得 舭2j2 k 2 2 “ f 1 9 ) 二能級在光場的作用下，將一部分的粒子的能級激發(fā)到j(luò) 2 ) 態(tài)，假設(shè)單位體 笫一章光與物質(zhì)相互作用的模型 積內(nèi)，1 2 ) ，1 1 ) 態(tài)的激勵速率分別為五：，五，寫成矩陣的形式即為激發(fā)矩陣a a = r ( 1 1 0 ) 另一萬曲，由于各種】劃素造成能級的衰減，上f 能級原子衰減，導(dǎo)致原子的電偶 極矩的衰減，這個衰減會使輻射譜線有一定的線寬。另外粒子i a l 的彈性碰撞雖不 能引起能級衰減，但可以引起本征態(tài)的相位分布的混亂，引起相干性的衰減，這 種衰減過程通常稱為“退相”。能級的衰減也寫成衰減矩陣r ， r = 呤 考慮到泵浦以及衷減過程，密度矩陣的運(yùn)動方程為 聲= 人一爭即一【印+ p r ( 1 1 2 ) 當(dāng)光場為零時，得到定態(tài)時上能級粒子數(shù)與下能級粒子數(shù)之差為 腎堿) 2 去一砉 ( 1 1 3 ) 當(dāng)考慮泵浦過程和衰減過程，并假定縱向弛豫速率為f = n = 1 五，橫向弛豫速 率為r z2 y ：2 l h ，從式( 1 1 2 ) 得到 a ( f ) = 一( r 2 + i r a ：。) p ：。( f ) + k 。( f ) l ：o ) 一p ，( f ) 】 n 廟：( ，) = 一( 廠2 一i c a ：) p ：( ，) 一k ：( ，) l 吐：( f ) 一p l 。o ) 】 凡 島：( f ) = 一2 2 p 2 2 ( f ) 一【o ) p l ：o ) 一k ：( f ) p ：( ，) 】 矗- ( f ) = 一一日- ( f ) + ；【- ( ，) n z ( f ) 一k ：o ) ，島( ，) ( 1 1 4 ) 考慮慢變振幅近似，即光場在一個光學(xué)周期內(nèi)的變化可以忽略不計(jì)i ，體系在光場 作用下按e “振蕩，可以寫成慢變項(xiàng)與高頻項(xiàng)的乘積，有 p 2 i ( f ) = 歷1 ( t ) e 1 “+ “ p 。0 ) = 蘆：u 弦“一“ n 1 5 1 西：和聲：分別為原子偶極矩的負(fù)頻部分和正頻部分的慢變振幅。在旋波近似的條 1j o 撼一幫光- ，物質(zhì)相互作用的模型 件下，口處理光與二能級相互作用的時候，只考慮近共振工! j ! ，向慫峪 匹禺挑豫壩 將高頻項(xiàng)去掉，( 1 1 4 ) 變?yōu)槿缦?掣= 一憶+ f ) 刪一舡協(xié)m ( f ) 掣= l 融觥) 心駙鼬確) 】 掣“m 眥) 】一舡( f ) 釩f ) 一瓦( 0 1 ( 1 式中：一出，為二能級體系的共振失諧量，口z t 是二能級的上下能級差的頻 將二能級體系與光場相互作用的運(yùn)動變成簡單的幾何形式1 ，系統(tǒng)的運(yùn)動 可以表示為一個虛構(gòu)矢量運(yùn)動。描述這個虛構(gòu)的矢量運(yùn)動的方程稱為b l o c h 光學(xué) 方程，對b l o c h 矢量進(jìn)行定義： “( f ) = 蘆2 1 ( f ) + 蘆i2 0 ) v ( ，) = 幔i ( f ) 一涵2 ( ，) w ( f ) ：段2 ( r ) 一n l ( ，) ( 1 1 7 ) 由( i 1 6 ) 以及( 1 1 7 ) 得到?jīng)]有相位實(shí)振幅的b l o c h 光學(xué)方程 警一扣曠小川， 掣= v l ：o + a - u ( o + x , , e 0 ( t ) w ( f ) a w ( o ：一! ! 塵二墜一坐! - 墨! 坐2 ，v f f l ( 1 ，1 8 ) 西z 拉比頻率n 代入式( 1 1 9 ) ，得到的二能級體系的光學(xué)b l o c h 方程 a u ( t ) ：一r ，“0 ) 一v ( f ) 掣：一r 2 v ( ，) + “( f ) + q ( f ) w ( f ) 掣“飛h 分心) 1 1 9 “分量反映與光場同相位的極化強(qiáng)度的實(shí)數(shù)部分，決定介質(zhì)的色散，v 分量反映 0 一 肛百 第一章光與物質(zhì)相互作用的模型 了與光場位相正交的極化強(qiáng)度的虛數(shù)部分，決定了介質(zhì)的吸收，w 反映上下能級 粒子數(shù)之差。 1 3 二能級體系中的局域場效應(yīng) 1 3 1 稠密的二能級體系 上述光學(xué)b l o c h 方程僅適合于稀薄氣體介質(zhì)，在這個條件下，光場對物質(zhì)的 作用，一般認(rèn)為是各原子獨(dú)立與光脈沖相互作用，原子之間的相互作用可以忽 略。但是當(dāng)氣體原子的密度超過一定的限度，則須考慮在共振原子組成的介質(zhì)中 存在的近鄰偶極子與偶極子的相互作用，即是n d d 近似。- - 一“f h f , 級介質(zhì)除了受到 宏觀電磁場的作用外，還受到由于近鄰偶極子相互作用引起的局域場的作用m 】。 對于稠密氣體的二能級體系，驅(qū)動原子的電場為兩部分貢獻(xiàn)的疊加【4 5 j e ，= e + e ( 1 2 0 ) e 是在波長的立方區(qū)域里由于近偶極的極化強(qiáng)度而產(chǎn)生的原予問的內(nèi)部作用 場，這內(nèi)部場本身可以寫成兩個場的差叫川6 】 e ，= e 一e 。 ( 1 2 1 ) 邑。是在一個大小為d3 的空間區(qū)域里偶極矩的實(shí)際貢獻(xiàn)，其實(shí)d 是一般的分子 間隔。e = 0 ，e 。是考慮從微觀到宏觀修正的抵消項(xiàng)?？紤]n d d 局域場修正 情況下，電場強(qiáng)度m 8 1 為 e = e + ：l ( 1 2 2 ) 。 3 島 p = 2 坼乒2 l ( 1 2 3 ) 是稠密二能級體系的粒子數(shù)。 在稠密二能級系統(tǒng)氣相介質(zhì)體系中，考慮n d d 引起的局域場效應(yīng)， e l ：豆十_ 2 n 1 2 肫l ( 1 2 4 ) j s o 第一帝光j l 物質(zhì)相王 作用的模型 令近偶極子相互作用的n d d 修正系數(shù)為專：型鱉眇】，值得注意是局域場修正 。 3 占?xì)?系數(shù)不僅僅取決于原子密度n ，更取決于原子躍遷矩陣元的大小。那么在實(shí)振 幅的情況下，得到局域場修正的b l o c h 方程為 _ o u ( t ) ：一“( f ) 一 + 和( ，) 】v ( ，) 掣：一l v ( f ) + + 知( ，) “( ，) + f 2 ( t ) w ( r ) u t 掣叫噸。咿v ( f ) ( 1 2 6 ) 比較r 1 2 5 1 式和( 1 2 6 ) 式，我們可以看得劍局域場修_ f 系數(shù)f 的作用是增加了兩 個非線性項(xiàng)w v 和w r 的作用。f 越大，非線性作用越強(qiáng)。n d d 的修正系數(shù)會引起 物質(zhì)的一系列變化。在下一章通過數(shù)值計(jì)算分析局域場修正系數(shù)引起的附加頻率 移動導(dǎo)致物質(zhì)豐富的非線性的變化。 1 , 3 2 固體材料的二能級系統(tǒng) 把二能繳原予體系放入固體介質(zhì)巾，會產(chǎn)生宏觀局域場效應(yīng)，除了考慮上面 提到二能級原子近偶極子相互作用的影響外，還要考慮基底介質(zhì)的對二能級原子 的影響叫1 ， j 。介質(zhì)的極化變?yōu)?p = 硎，重? j + p 囂 其中口為分子極化率， ( 1 2 6 ) 口= 等起 z ， 式( 1 2 6 1 的第一項(xiàng)為背景即基底材料的極化強(qiáng)度，其在局域場中是線性的；第二 項(xiàng)是來源于二能級原子的非線性極化強(qiáng)度。令 f ：! 型凼巳：盟三( 1 2 8 )7 3 3 式中，s 如是基質(zhì)的相對介電常數(shù)。則在實(shí)振i 隔的情況下，得到的修正的光學(xué) 第一章光與物質(zhì)相互作用的模型 b l o c h 方程為 o i u ：一( f 2 一，知b 一( + ，知卜 叫 蕓= 一( r 2 + 如卜+ 一( + ，如囊+ ，q w 優(yōu) 坐o t = f 1w 。一w h q v 一，q “+ f ，f ( m 2+v 2 ) 2 ( 1 2 9 ) 其中，是固體折射系數(shù)，是固體吸收系數(shù)。加入，以及z ，后，方程的非線性效 應(yīng)更加明顯。從式子也可以看出，影響二能級系統(tǒng)的失諧量。f ，以及，效應(yīng)對體 系的作用，在下一章通過數(shù)值計(jì)算進(jìn)行分析。 本章主要推導(dǎo)描述稀薄氣體的光學(xué)b l o c h 方程，稠密氣體的光學(xué)b l o c h 方程， 以及有基底介質(zhì)的修正的光學(xué)b l o c h 方程，為下章的數(shù)值計(jì)算提供了理論基礎(chǔ)。 在此基礎(chǔ)上，下面我們建立其數(shù)值解法，計(jì)算局域場效應(yīng)對二能級體系非線性的 影響。 參考文獻(xiàn) | 1 李福利，高等激光物理學(xué)，中國科學(xué)技術(shù)出版社，合肥( 1 9 9 2 ) 1 2 a l a n c ，j r o m e v m ，“n o n l i n e a ro p t i c s ”，a d d i s o n w e s l e y p u b l i s h i n gc o m p a n y ( 1 9 9 2 ) 1 3 】m o s c u l l y , m s z u b a i r y , q u a n t u mo p t i c s ，c a m b r i d g e ，u n i v e r s i t yp r e s s ，1 4 5 ( 1 9 9 7 ) i4 】b o w d e nc m ，d w o l i n gj p ，“n e a r - d i p o l e - d i p o l ee f f e c t si nd e n s em e d i a ：g e n e r a l i z e d m a x w e l l - b l o c he q u a t i o n s ”，p h y s r e v a4 7 ，1 2 4 7 - 1 2 5 i ( i 9 9 3 ) 【1 5 】c r e n s h a wm e ，“q u a s i a d i a b a t i ca p p r o x i m a t i o nf o rad e n s ec o l l e c t i o no ft w o - i e v e a t o m s ”，p h y s r e v i a5 4 ，3 5 5 9 3 5 7 5 ( 1 9 9 6 ) 1 6 】 s t u a r th r ，h a l ld c o ，”e n h a n c e d d i p o l e d i p l e i n t e r a c t i o nb e t w e e ne l e m e n t a r y r a d i a t i o sn e a ras u r f a c e ”，p h y sr e v l e t t 8 0 ，5 6 6 3 5 6 6 5 ( i9 9 6 ) 1 7 】虞福春，鄭春開，電動力學(xué)，北京大學(xué)大學(xué)出版社( 1 9 9 2 ) 【1 8 方俊鑫，殷之文，電介質(zhì)物理學(xué)，科學(xué)出版社( 2 0 0 0 ) 1 9 w a n gn i n g j u n ，r a b i t s h n e a rd i p o l e d i p o l ee d d e c t si ne l e c t r o m a g n e t i c a l l yi n d u c e d t r a n s p a r e n c y ”，p h y s r e v a5 1 ，5 0 2 9 5 0 31 ( 1 9 9 5 ) 7 笫2 章光與物質(zhì)干日互作用的數(shù)值汁算 第2 章光與物質(zhì)相互作用的數(shù)值計(jì)算 2 1 引言 光學(xué)b l o c h 方程是一組常微分方程，在一般情況下，尤其是修正后的b l o c h 方程，如近偶極一偶極的近似，或者與波動方程耦合，都要依靠數(shù)值解法。常微 分方程的經(jīng)典數(shù)值解法有e u l e r 法，h e u n 法，四階r u n g e - - k u t t a ( r k 4 ) 法；另外 的還有修詐的四階預(yù)測一校正法( p c 4 ) 。本章中將這四種解法與光學(xué)b l o c h 方程 的解析解進(jìn)行比較，分析數(shù)值解法的誤差以及可靠性。幾種數(shù)值算法在合適的步 長下對光學(xué)b l o c h 方程的求解都可以收斂，并且保持算法具有的相應(yīng)誤差的階 數(shù)。其中四階預(yù)測一校正法具有精度高，速度快的優(yōu)點(diǎn)。 通過用p c 4 的方法計(jì)算光脈沖在稠密的二能繳體系以及有基底介質(zhì)的：_ ：_ 二能 級體系中傳播。我們發(fā)現(xiàn)n d d 修正系數(shù)以及固體基質(zhì)的吸收和折射會帶米局域 場效應(yīng)，并分析了局域場效應(yīng)帶來的影響非線性效應(yīng)的加強(qiáng)以及非線性響應(yīng) 的加快。另外，我們發(fā)現(xiàn)n d d 修正以及固體基質(zhì)的系數(shù)對二能級的失諧量會產(chǎn)生 影響，使能級移動。 2 2 光學(xué)b l o c h 方程的解析解 對于方程( 1 1 9 ) ，恒定光場e ( o 為常數(shù)時，在幾種特定的參數(shù)條件下，用 l a p l a c e 21 1 變換法，光學(xué)b l o c h 微分方程組可以得到解析解。這早選擇四種常用 情況下的解析解 2 2 1 ，為了下面行文的方便，標(biāo)志為i i v ，在初始條件為： 1 共振且忽略弛豫時間，即，廠1 = 0 ，r = 0 ，a = 0 ， u ( t ) = 0 v ( t ) = - s i n ( f f ) t ) w ( t ) = - e o s ( f ) t ) ( 2 1 ) 第2 章光與物質(zhì)相互作用的數(shù)值汁算 i i 忽略弛豫時間，即，= 0 ，f i = 0 “( f ) = 竽s 一s ( “) 】 。( f ) ：一旦s i n ( s f ) 價(jià)等【l 一吣帥 式中，。：麗。 i i i 共振，即，= 0 ， “( f ) = 0 v ( ，) = s k - ( r 2 + q ) f 2c o s ( s ，) 一l 】+ ! ：【! ：j ：! ! ； 二塑e 一( r z + - i 2s i n ( s ，) 崢q ，e 4 r 2 + r , ) j 2 卜，+ 警s i n 小” 式中：s = 扛( 再麗， i v 強(qiáng)碰撞，即，互= 疋 式中s f q ：豎一。 f + q 2 “( f ) = 壘s 2 1 l - e - f c o s ( s f ) 一f 。ee , s i n ( s f ) w ) = 詈h o s ( 跏一1 鸕j - ；y e m s i n ( w ( r ) = g 。；l i - e - r tc o s ( s ，) 一了fe r s i n ( s r ) 一 2 + q 2 s = r 2 + 岔+ q 2 。 ( 2 2 ) ( 2 3 ) ( 2 4 ) 9 第2 章光，物質(zhì)相互作用的數(shù)值k l - 算： 2 3 光學(xué)b l o c h 方程的數(shù)值解法 2 3 1 數(shù)值解法的基本原理1 2 3 e u l e r 法是最簡單的有限差分法，誤差是一階，h e u n 法是e u l e r 法的改進(jìn)， 也是最簡單的預(yù)報(bào)一校正法，誤差是二階，r u n g e k u t t a 是最為常用的求解方法， 其中又以標(biāo)準(zhǔn)四階r u n g e k u t t a 法最為常用。四階r u n g e k u t t a 法由于其格式和 效率的限制；而且，r k 4 的剛度小，計(jì)算時需要較小的步長，因而需要大量計(jì) 算，數(shù)值計(jì)算時i l = i j 較睦。人們常常根據(jù)具體不同的數(shù)學(xué)物理方程，在標(biāo)準(zhǔn)格式的 基小上提出修正的方法郵】。這里，我們針對自己的問題，在文獻(xiàn)叫1 的基礎(chǔ)上， 建立一種適合計(jì)算光學(xué)b l o c h 微分方程的修正的p q 階校正- 預(yù)報(bào)法( p c 4 ) ，該方法 是以e u l e r 法、h e u n 法為初始猜測，通過預(yù)報(bào)一校f 二步來實(shí)現(xiàn)數(shù)值求解。 對于如下形式常微分方程的初值問題， d 講y = f ( f ，少) y ( t = 0 ) = y ( 0 1 ( 2 5 ) 介紹幾種微分方程的基本原理】： f 1 1e u l e r 法的計(jì)算步驟為， 兒i = 兒+ 彬( ，乩) + 1 = t + h k = 0 , 1 n 一1 ( 2 6 ) 式中，h = r n ，為步長，歐拉法是一階格式的。 f 2 1h e u n 法的計(jì)算步驟是以e u l e r 法作為預(yù)報(bào)，然后用梯形公式進(jìn)行校f 以巴= y 。+ h f ( t 。，y 。) 預(yù)報(bào)格式 以：”：兒+ ! 【廠( “，兒) + 廠( 。y 矧) 校l f 格式 ( 2 7 ) 式中，p 為迭代次數(shù)，在步長選取適當(dāng)?shù)那闆r下，通常只需迭代兩三次即可。 標(biāo)準(zhǔn)r k 4 法由合適的泰勒方法推導(dǎo)而來，其計(jì)算步驟如下， 乩+ 1 = y t + ( 一+ 2 + 2 l + a ) 6 ( 2 8 ) 第2 章光i j 物質(zhì)相互作用的數(shù)值計(jì)算 式中 厶= f ( t + h 2 ，y + h ：2 ) 厶= f ( t + h 2 ，y 女+ h 2 ) a = f ( t k + 矗，y k + h 厶) ( 2 9 ) 對于標(biāo)準(zhǔn)r k 4 法，已有了多種修正的方法。這里，針對我們的問題與需要， 基于文獻(xiàn)的基礎(chǔ)上，建立了一種修正的四階校正一預(yù)報(bào)法( p c 4 ) 。其計(jì)算步驟簡述 如下：f 第一步，用h e u n 法和中點(diǎn)規(guī)則，得到初始預(yù)報(bào)所需的初始點(diǎn)。 第二步，用下面預(yù)報(bào)計(jì)算公式，計(jì)算預(yù)報(bào)點(diǎn) _ ) ，：7 ，：= y 。一+ 魯【3 ，( f 。一。，y 。一) + 9 ，( f 。，y 。) 】 以巴= y k - i + 曇【4 廠( 一。，n 一，) 一8 ，( f 。一，：，比一，：) + 1 0 f ( t k , y k ) 】 ( 2 1 0 ) 第三步，用下面校正計(jì)算公式，計(jì)算得到結(jié)果， y 。+ 芻4 1 5 f ( t , ，兒) + 8 廠( + ，：，以召，：) 一f ( t k + ，以窖) 肌+ ；擴(kuò)( ，兒) + 4 ( k 。，以幺彩一f ( t k 。y 黝) 】 ( 2 1 1 ) 2 3 2 光學(xué)b l o e h 數(shù)值結(jié)果的分析 我們首先將解析解與數(shù)值方法的結(jié)果進(jìn)行比較。假設(shè)入射到二能級體系是矩 形光脈沖，解析解【一i v 與數(shù)值解計(jì)算結(jié)果如圖2 1 所示。從圖中我們可以看出， 除e u l e r 法外，其余四種方法，其線型都與解析解重合，而e u l e r 解也能在較小 的誤差范圍內(nèi)保持其線型，說明四種方法的計(jì)算結(jié)果是可靠的。計(jì)算參數(shù)如下： 光場的歸一化面積均為3 - 2 z ，脈寬為5 0 扣。步長為0 o l 廬 第2 章光j 物質(zhì)相互作用的數(shù)值 1 算 1o 。5 o o i o5 一榴 q 5 q o _ q 5 10 e u l e r 搿 i i r u | | _ 一 i v 。 個、i 、廠 0l o 2 03 04 05 0加2 d3 0 5 0 t i m e ( f s ) 圈2 1 光學(xué)b l o c h 方程解析解i i v 平| i 四種數(shù)值方法的計(jì)算結(jié)果 f i g 2 it h ea n a l y t i c a li - i vr e s u l t sf o rt h eo p t i c a le q u a t i o n sa n dt h ef o rn u m e r i c a lr e s u l t s 我們計(jì)算四種數(shù)值計(jì)算方法與解析解的絕對誤差，如圖2 2 。從圖中，我們 i 叮以看出，四種算法的誤差都顯示出一個規(guī)則的變化，但都隨著積分時間的增長 而增大，依然在誤差的階數(shù)量級內(nèi)。e u l e r 法是步長一階的，h e u n 法是步長二 階的，r k 4 法和p c 4 法都是步長四階的，與這些算法的誤差理論分析的結(jié)果是 一致的【2 “。也就是說，r k 4 以及p c 4 ，步長變成原來的十分之一，誤差變成原 來的萬分之一，變小的i 嗝度遠(yuǎn)小于e u l e r 法以及h e u n 法。數(shù)值計(jì)算及理論分析 的結(jié)果顯示這四種算法在求解光學(xué)b l o c h 方程時，是可以保證收斂以及結(jié)果的可 靠性。計(jì)算有參數(shù)如下：光場的歸一化面積均為3 2 z ，脈寬為5 0 蠡，步氏為0 0 1 矗 吣 舶 邶加 舶 舶 第2 章光與物質(zhì)相互作用的數(shù)值汁算 1 0 x 1 0 8 0 x 1 0 - 2 6o x l 釅 4o x l 0 2 2o x l 礦 0 0 2 0 x l 礦 1 6 x l 礦 1 2 x l o 七 8 0 x l 礦 4o x l 礦 f e u l e r 一h e u n 1 j i v j 1 ，：、? 篇遵，廠孥? 遴 r k 4 p c 4 ，o 廠 。黲膩? !廣露、媳 ol o2 03 04 05 01 02 03 04 05 0 t i m e ( f s ) 圖2 2w 分量四種數(shù)值解的絕對誤著 f i g 2 2 t h ew sr e l a t i v ee r r o r sf o r t h ef o u rn u m e r i c a lr e s u l t s 8 q x l 礦 6 q x l 礦 4 m 1 礦 2 0 x 1 0 4 0 0 3 2 1 o _ 0 5 o5 0 0 1 0 0 0 l ( f s ) i n 26 稠密一能級體系對脈沖信號的響廊 f i g 2 6t h er e s p o n s eo f t h et w o l e v e ls y s t e r mw i t hd e n s em e d i u m 從這里我們推斷，在稠密的二能級體系中，局域場效應(yīng)使得系統(tǒng)的非線性 效應(yīng)加深，響應(yīng)時間加快，有利于光學(xué)器件的性能改良。但是過大的n d d 局域 場修正系數(shù)，使得副作用加大，響應(yīng)數(shù)值圖的分差變多，n 向應(yīng)的時間反而加氏。 所以，我們在選擇稠密體系時，要適當(dāng)選擇局域場修正系數(shù)。 接著，我們數(shù)值計(jì)算有固體基底的二能級體系，如上章所討論，除了 n d d 修正系數(shù)f ，還要在系統(tǒng)中引入固體介質(zhì)的參數(shù)。我們按照上述的討論選擇適中 的善，研究固體基質(zhì)的折射系數(shù)，和固體基質(zhì)的吸收f ，對系統(tǒng)的的作用。計(jì)算時 參數(shù)設(shè)置為善= 0 2 ，= 1 ，f ，= 0 ( 實(shí)線) ：f ，= 1 5 ，= 0 ( 虛線) ：，= 1 5 ， ，= o 5 ( 點(diǎn)線) 。 一 一唷 第2 章光與物質(zhì)相互作用的數(shù)值計(jì)算 首先考慮系統(tǒng)只有固體基質(zhì)折射系數(shù)，光學(xué)b l o c h 方程組加入，的作用，如 圖2 7 實(shí)線，信號分叉增多，響應(yīng)強(qiáng)度減?。晃覀兝^續(xù)增大固體折射系數(shù)，如圖 2 7 的虛線，l r 有利于非線性響應(yīng)，信號的響應(yīng)時間縮短。我們繼續(xù)加入固體介質(zhì) 吸收系數(shù)f ，如圖2 7 點(diǎn)線，分叉的深度減小，但是響應(yīng)強(qiáng)度并不明顯減小，可見 介質(zhì)吸收對于系統(tǒng)的作用并不明顯，相比之下，其非線性的貢獻(xiàn)更大。 1 f 0 5 。 - 。t 5 ； 。1 占5 0 01 0 0 0 l ( f s ) 圖2 7 稠密二能級體系對脈沖信號的響應(yīng) f i g 2 7t h er e s p o n s eo ft h et w o l e v e ls y s t e r mw i t hd e n s em e d i u m 從稠密的二能級系統(tǒng)到有基底的二能級固體介質(zhì)系統(tǒng)，局域場效應(yīng)可以分成 兩個部分，一部分是共振粒子間相互作用產(chǎn)生的，稱為近偶極一偶極的相互作用， p , j n d d 修正，另一個是固體基質(zhì)折射以及吸收系數(shù)的貢獻(xiàn)。由于局域場的存在， 系統(tǒng)的非線性行為出現(xiàn)了一系列的變化。我們通過分析不同情況下的數(shù)值解，得 到影響局域場變換的因子。因此，選取適當(dāng)?shù)膮?shù)，可以使系統(tǒng)出現(xiàn)較強(qiáng)的吸收 以及短的非線性響應(yīng)時間，便于改進(jìn)光學(xué)器件的響應(yīng)。 2 3 4 局域場影響下失諧量同波長的關(guān)系 對于二能級體系，局域場的出現(xiàn)，影響失諧量隨入射光變化的規(guī)律。失諧 量是入射光的頻率與二能級體系固有的體系頻率的差，a = l 印。，一m l 。當(dāng)加上n d d 第2 市光 物質(zhì)相互作用的數(shù)值汁算 局域場修正后，從修正的光學(xué)b l o c h 方程得到，失諧量作用從變成+ 知。如 圖2 8 所示，體系在局域場修j f 下，能級被推移。在入射光波長與能級躍遷波長 一致，系統(tǒng)處于完全共振處，由于n d d 修正，激發(fā)能級移動，使得系統(tǒng)偏離完 全共振。在入射光脈沖波氏小于能級躍遷波長處，n d d 修詐使得激發(fā)能級下移， 系統(tǒng)的失諧量加大。在入射光脈沖波長大于能級躍遷波長處，激發(fā)能級同樣下移， 但此時的失諧量減少。 圖28 火惜量隨入射波長變化的改變 f i g 2 8t h ec h a n g eo faa c c o r d i n gt h el i g h tw a v e l e n g t h 當(dāng)有基底介質(zhì)的原子密度以及二能級體系原子密度足夠大，此時二能級體系 除了受近偶極予相互作用影響外，還要考慮基底介質(zhì)的原予影響。在這種情況下， 失諧量除了受n d d 修正系數(shù)的影響外，還受到基底介質(zhì)的固體折射系數(shù)影響。 從修正b l o c h 方程看到失諧量的作用從+ 和變化到a + ，審，如圖2 9 。從圖中 我們看到，固體折射系數(shù)進(jìn)一步推移激發(fā)能級的移動。對于入射波k d , 于躍遷波 長時，在入射波長與能級躍遷波長相差較大的地方，固體折射系數(shù)使激發(fā)能級上 移；當(dāng)入剁光波睦接近能級躍遷波【丈時，固體折射率使激發(fā)能級下移。在入射波 長大于能級躍遷波長時，固體折射率使得激發(fā)能級發(fā)生同樣的推移。 曰亡j6i芒，口mo 第2 章光與物質(zhì)相互作用的數(shù)值汁算 幽2 9 失惜量隨入射波長變化的改變 f i g 2 9t h ec h a n g eo faa c c o r d i n gt h el i g h tw a v e l e n g t h 本章主要分成兩個部分，第一部分主要討淪b l o c h 這類型的微分方程各種的 數(shù)值解法；第二部分是修正的p c 4 計(jì)算具有局域場效應(yīng)的二能級體系得到局域 場效應(yīng)包括n d d 修正系數(shù)以及固體基質(zhì)的吸收和折射對二能級體系影響。局域 場的存在，使得系統(tǒng)的非線性行為出現(xiàn)了一系列的變化；此外，失諧量也會受到 局域場效應(yīng)的影響。從第3 章開始，我們研究在微腔中光與物質(zhì)體系的相互作用。 參考文獻(xiàn) 2 1 】t o f f e 弘h c ，“t r a n s i e n tn u t a t i o n si nn u c l e a rm a g n e t i cr e s o n a n c e ”，p h y s r e v7 6 ， 1 0 5 9 ( 1 9 4 9 ) 2 2 】余向陽，周建英，“飛秒相干瞬態(tài)過程的b l o c h 方程描述，中山大學(xué)學(xué)報(bào)，3 8 ， 2 4 - 2 7 ( 1 9 9 9 ) 2 3 】胡建偉瀝懷民，微分方程數(shù)值解法， ：e 京，科學(xué)出版社( 1 9 9 9 ) 2 4 】b r o d e r i c k gr ，s t e r k e c m ，j a c k o nk r ，“c o u p l e dm o d ee q u a t i o n sw i t h f r e e c a r r i e re f f e c t ：an u m e r i c a ls o l u t i o n ”，o p tq u a n t u me l e c t r o n ，2 6 ，2 1 9 2 3 4 ，( 1 9 9 4 ) 2 5 】j o h n h m a t h e w s ，k d f i n k ，“n u m e r i c a lm e t h o d su s i n gm a t i a b ”，b e o i n g ，p u b l i s h i n g h o u s i n go fe l e c t r o n i c si n d u s t r y ( 2 0 0 4 ) 2 6 】a l l e n j ，e b e r l y j h ，“o p t i c a l r e s o n a n c ea n dt w o l e v e la t o m s n e wy o r k ：d o v e r p u b l i c a t i o n s 1 n c ( 19 8 7 ) 1 9 第3 章腔孤予的概述 3 1引言 第3 章腔孤子的概述 從這章開始，我們將二能級體系引入微腔系統(tǒng)中，研究微腔中光與稠密的二 能級近共振體系的相互作用，探討光場在微腔中的動力學(xué)行為和腔孤子出現(xiàn)的條 件。 首先介紹腔孤子的特點(diǎn)以及背景理論知t 。對于微腔中稠密二能級體系，局 域場效應(yīng)帶來一系列非線性行為，如局域場效應(yīng)導(dǎo)致雙穩(wěn)態(tài)的出現(xiàn)。本章闡述腔 孤子的研究發(fā)展?fàn)顩r，尤其是半導(dǎo)體腔孤子。描述半導(dǎo)體微腔光與物質(zhì)相互作用 的動力學(xué)方程與描述微腔中光與二能級系統(tǒng)物質(zhì)相互作用的動力學(xué)方程形式類 似有助于我們研究微腔中的二能級體系的動力學(xué)方程以及腔孤予出現(xiàn)的條件。 在這基礎(chǔ)上我們推導(dǎo)微腔中的光與二能級體系相互作用的m b 方程組，建立了相 應(yīng)的數(shù)值計(jì)算方法，并且從方程組以及其數(shù)值解上分析出腔孤子出現(xiàn)的參數(shù)閩值 以及腔孤子傳播特性。 3 2 腔孤子的概述 3 2 1 腔孤子的特點(diǎn) 在微腔中，光學(xué)非線性效應(yīng)帶來很多有趣的現(xiàn)象其中一個熱點(diǎn)是腔孤子。 孤子是能量或者物質(zhì)以特定的形狀和速發(fā)傳播的波動狀態(tài)。通常研究的光孤子形 式有兩種，一是光場的傳播與分布不隨時m 以及傳播方向的變化而變化，足時空 孤子；另類是光場的傳播在衍射空間1 i 發(fā)生變化，是空間孤子。在我們研究的 體系主要是研究光場在微腔中衍射空問上沒有變化的情況，即腔孤子。將來希望 從空f 剛的討論推廣到時空的討論。 腔孤子是以平而波傳播為背景，在平麗波傳播方向i 二出現(xiàn)的一個亮點(diǎn)( 亮孤 子) ，或者是一個暗點(diǎn)( 暗孤子) ，光場在光傳播的衍射方向上不隨時間變化。腔 第3 章腔孤了的概述 孤子是種空間孤子，但是與標(biāo)準(zhǔn)的空間孤子不同，它存在于耗散體系中，而傳