2018版高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)離散型隨機(jī)變量及其分布列教師用書理新人教版.docx

第十二章 概率、隨機(jī)變量及其分布 12.4 離散型隨機(jī)變量及其分布列教師用書 理 新人教版1離散型隨機(jī)變量隨著試驗(yàn)結(jié)果變化而變化的變量稱為隨機(jī)變量，常用字母X，Y，表示，所有取值可以一一列出的隨機(jī)變量，稱為離散型隨機(jī)變量2離散型隨機(jī)變量的分布列及性質(zhì)(1)一般地，若離散型隨機(jī)變量X可能取的不同值為x1，x2，xi，xn，X取每一個(gè)值xi(i1,2，n)的概率P(Xxi)pi，則表Xx1x2xixnPp1p2pipn稱為離散型隨機(jī)變量X的概率分布列，簡(jiǎn)稱為X的分布列，有時(shí)也用等式P(Xxi)pi，i1,2，n表示X的分布列(2)離散型隨機(jī)變量的分布列的性質(zhì)pi0，i1,2，n；i1.3常見離散型隨機(jī)變量的分布列(1)兩點(diǎn)分布若隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布，即其分布列為X01P1pp其中pP(X1)稱為成功概率(2)超幾何分布一般地，在含有M件次品的N件產(chǎn)品中，任取n件，其中恰有X件次品，則P(Xk)，k0,1,2，m，其中mminM，n，且nN，MN，n，M，NN*.如果隨機(jī)變量X的分布列具有下表形式，X01mP則稱隨機(jī)變量X服從超幾何分布【思考辨析】判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“”或“”)(1)拋擲均勻硬幣一次，出現(xiàn)正面的次數(shù)是隨機(jī)變量()(2)離散型隨機(jī)變量的分布列描述了由這個(gè)隨機(jī)變量所刻畫的隨機(jī)現(xiàn)象()(3)某人射擊時(shí)命中的概率為0.5，此人射擊三次命中的次數(shù)X服從兩點(diǎn)分布()(4)從4名男演員和3名女演員中選出4名演員，其中女演員的人數(shù)X服從超幾何分布()(5)離散型隨機(jī)變量的分布列中，隨機(jī)變量取各個(gè)值的概率之和可以小于1.()(6)離散型隨機(jī)變量的各個(gè)可能值表示的事件是彼此互斥的()1(教材改編)拋擲甲、乙兩顆骰子，所得點(diǎn)數(shù)之和為X，那么X4表示的事件是()A一顆是3點(diǎn)，一顆是1點(diǎn)B兩顆都是2點(diǎn)C甲是3點(diǎn)，乙是1點(diǎn)或甲是1點(diǎn)，乙是3點(diǎn)或兩顆都是2點(diǎn)D以上答案都不對(duì)答案C解析根據(jù)拋擲兩顆骰子的試驗(yàn)結(jié)果可知，C正確2設(shè)某項(xiàng)試驗(yàn)的成功率是失敗率的2倍，用隨機(jī)變量X去描述1次試驗(yàn)的成功次數(shù)，則P(X0)等于()A0 B. C. D.答案C解析設(shè)X的分布列為X01Pp2p即“X0”表示試驗(yàn)失敗，“X1”表示試驗(yàn)成功，由p2p1，得p，故選C.3從標(biāo)有110的10支竹簽中任取2支，設(shè)所得2支竹簽上的數(shù)字之和為X，那么隨機(jī)變量X可能取得的值有()A17個(gè) B18個(gè) C19個(gè) D20個(gè)答案A解析X可能取得的值有3,4,5，19，共17個(gè)4從裝有3個(gè)紅球、2個(gè)白球的袋中隨機(jī)取出2個(gè)球，設(shè)其中有X個(gè)紅球，則隨機(jī)變量X的分布列為X012P答案0.10.60.3解析X的所有可能取值為0,1,2，P(X0)0.1，P(X1)0.6，P(X2)0.3.X的分布列為X012P0.10.60.35.(教材改編)一盒中有12個(gè)乒乓球，其中9個(gè)新的、3個(gè)舊的，從盒中任取3個(gè)球來用，用完后裝回盒中，此時(shí)盒中舊球個(gè)數(shù)X是一個(gè)隨機(jī)變量，則P(X4)的值為_答案解析由題意知取出的3個(gè)球必為2個(gè)舊球、1個(gè)新球，故P(X4).題型一離散型隨機(jī)變量的分布列的性質(zhì)例1(1)設(shè)X是一個(gè)離散型隨機(jī)變量，其分布列為X101P23qq2則q等于()A1 B.C. D.答案C解析23qq21，q23q0，解得q.又由題意知0q2，q.(2)設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列為X01234P0.20.10.10.3m求2X1的分布列解由分布列的性質(zhì)知020.10.10.3m1，得m0.3.首先列表為X012342X113579從而2X1的分布列為2X113579P0.20.10.10.30.3引申探究1在本例(2)的條件下，求隨機(jī)變量|X1|的分布列解由(2)知m0.3，列表X01234|X1|10123P(1)P(X0)P(X2)0.20.10.3，P(0)P(X1)0.1，P(2)P(X3)0.3，P(3)P(X4)0.3.故|X1|的分布列為0123P0.10.30.30.32.若本例(2)中條件不變，求隨機(jī)變量X2的分布列解依題意知的值為0,1,4,9,16.P(0)P(X20)P(X0)0.2，P(1)P(X21)P(X1)0.1，p(4)P(X24)P(X2)0.1，P(9)P(X29)P(X3)0.3，P(16)P(X216)P(X4)0.3，014916P0.20.10.10.30.3思維升華(1)利用分布列中各概率之和為1可求參數(shù)的值，此時(shí)要注意檢驗(yàn)，以保證每個(gè)概率值均為非負(fù)數(shù)(2)求隨機(jī)變量在某個(gè)范圍內(nèi)的概率時(shí)，根據(jù)分布列，將所求范圍內(nèi)各隨機(jī)變量對(duì)應(yīng)的概率相加即可，其依據(jù)是互斥事件的概率加法公式設(shè)隨機(jī)變量X的分布列為P(X)ak(k1,2,3,4,5)(1)求a；(2)求P(X)；(3)求P(X)解(1)由分布列的性質(zhì)，得P(X)P(X)P(X)P(X)P(X1)a2a3a4a5a1，所以a.(2)P(X)P(X)P(X)P(X1)345.(3)P(X)P(X)P(X)P(X).題型二離散型隨機(jī)變量的分布列的求法命題點(diǎn)1與排列組合有關(guān)的分布列的求法例2(2015重慶改編)端午節(jié)吃粽子是我國(guó)的傳統(tǒng)習(xí)俗設(shè)一盤中裝有10個(gè)粽子，其中豆沙粽2個(gè)，肉粽3個(gè)，白粽5個(gè)，這三種粽子的外觀完全相同從中任意選取3個(gè)(1)求三種粽子各取到1個(gè)的概率；(2)設(shè)X表示取到的豆沙粽個(gè)數(shù)，求X的分布列解(1)令A(yù)表示事件“三種粽子各取到1個(gè)”，則由古典概型的概率計(jì)算公式有P(A).(2)X的所有可能值為0,1,2，且P(X0)，P(X1)，P(X2).綜上知，X的分布列為X012P命題點(diǎn)2與互斥事件有關(guān)的分布列的求法例3(2015安徽改編)已知2件次品和3件正品混放在一起，現(xiàn)需要通過檢測(cè)將其區(qū)分，每次隨機(jī)檢測(cè)一件產(chǎn)品，檢測(cè)后不放回，直到檢測(cè)出2件次品或者檢測(cè)出3件正品時(shí)檢測(cè)結(jié)束(1)求第一次檢測(cè)出的是次品且第二次檢測(cè)出的是正品的概率；(2)已知每檢測(cè)一件產(chǎn)品需要費(fèi)用100元，設(shè)X表示直到檢測(cè)出2件次品或者檢測(cè)出3件正品時(shí)所需要的檢測(cè)費(fèi)用(單位：元)，求X的分布列解(1)記“第一次檢測(cè)出的是次品且第二次檢測(cè)出的是正品”為事件A，P(A).(2)X的可能取值為200,300,400.P(X200)，P(X300)，P(X400)1P(X200)P(X300)1.故X的分布列為X200300400P命題點(diǎn)3與獨(dú)立事件(或獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn))有關(guān)的分布列的求法例4(2016蚌埠模擬)甲乙兩人進(jìn)行圍棋比賽，約定先連勝兩局者直接贏得比賽，若賽完5局仍未出現(xiàn)連勝，則判定獲勝局?jǐn)?shù)多者贏得比賽假設(shè)每局甲獲勝的概率為，乙獲勝的概率為，各局比賽結(jié)果相互獨(dú)立(1)求甲在4局以內(nèi)(含4局)贏得比賽的概率；(2)記X為比賽決出勝負(fù)時(shí)的總局?jǐn)?shù)，求X的分布列解用A表示“甲在4局以內(nèi)(含4局)贏得比賽”，Ak表示“第k局甲獲勝”，Bk表示“第k局乙獲勝”則P(Ak)，P(Bk)，k1,2,3,4,5.(1)P(A)P(A1A2)P(B1A2A3)P(A1B2A3A4)P(A1)P(A2)P(B1)P(A2)P(A3)P(A1)P(B2)P(A3)P(A4)222.(2)X的可能取值為2,3,4,5.P(X2)P(A1A2)P(B1B2)P(A1)P(A2)P(B1)P(B2)，P(X3)P(B1A2A3)P(A1B2B3)P(B1)P(A2)P(A3)P(A1)P(B2)P(B3)，P(X4)P(A1B2A3A4)P(B1A2B3B4)P(A1)P(B2)P(A3)P(A4)P(B1)P(A2)P(B3)P(B4)，P(X5)1P(X2)P(X3)P(X4).故X的分布列為X2345P思維升華求離散型隨機(jī)變量X的分布列的步驟：(1)理解X的意義，寫出X可能取的全部值；(2)求X取每個(gè)值的概率；(3)寫出X的分布列求離散型隨機(jī)變量的分布列的關(guān)鍵是求隨機(jī)變量所取值對(duì)應(yīng)的概率，在求解時(shí)，要注意應(yīng)用計(jì)數(shù)原理、古典概型等知識(shí)(2016湖北部分重點(diǎn)中學(xué)第一次聯(lián)考)連續(xù)拋擲同一顆均勻的骰子，令第i次得到的點(diǎn)數(shù)為ai，若存在正整數(shù)k，使a1a2ak6，則稱k為你的幸運(yùn)數(shù)字(1)求你的幸運(yùn)數(shù)字為3的概率；(2)若k1，則你的得分為6分；若k2，則你的得分為4分；若k3，則你的得分為2分；若拋擲三次還沒找到你的幸運(yùn)數(shù)字，則記0分，求得分的分布列解(1)設(shè)“連續(xù)拋擲3次骰子，和為6”為事件A，則它包含事件A1，A2，A3，其中A1：三次恰好均為2；A2：三次中恰好1,2,3各一次；A3：三次中有兩次均為1，一次為4.A1，A2，A3為互斥事件，則P(A)P(A1)P(A2)P(A3)C()3CCCC()2.(2)由已知得的可能取值為6,4,2,0，P(6)，P(4)()22C，P(2)，P(0)1.故的分布列為6420P題型三超幾何分布例5(2017濟(jì)南質(zhì)檢)PM2.5是指懸浮在空氣中的空氣動(dòng)力學(xué)當(dāng)量直徑小于或等于2.5微米的可入肺顆粒物根據(jù)現(xiàn)行國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)GB30952012，PM2.5日均值在35微克/立方米以下空氣質(zhì)量為一級(jí)；在35微克/立方米75微克/立方米之間空氣質(zhì)量為二級(jí)；在75微克/立方米以上空氣質(zhì)量為超標(biāo)從某自然保護(hù)區(qū)2016年全年每天的PM2.5監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)中隨機(jī)地抽取10天的數(shù)據(jù)作為樣本，監(jiān)測(cè)值頻數(shù)如下表所示：PM2.5日均值(微克/立方米)25,35(35,45(45,55(55,65(65,75(75,85頻數(shù)311113(1)從這10天的PM2.5日均值監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)中，隨機(jī)抽出3天，求恰有一天空氣質(zhì)量達(dá)到一級(jí)的概率；(2)從這10天的數(shù)據(jù)中任取3天數(shù)據(jù)，記表示抽到PM2.5監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)超標(biāo)的天數(shù)，求的分布列解(1)記“從10天的PM2.5日均值監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)中，隨機(jī)抽出3天，恰有一天空氣質(zhì)量達(dá)到一級(jí)”為事件A，則P(A).(2)依據(jù)條件，服從超幾何分布，其中N10，M3，n3，且隨機(jī)變量的可能取值為0,1,2,3.P(k)(k0,1,2,3)P(0)，P(1)，P(2)，P(3).故的分布列為0123P思維升華(1)超幾何分布的兩個(gè)特點(diǎn)超幾何分布是不放回抽樣問題；隨機(jī)變量為抽到的某類個(gè)體的個(gè)數(shù)(2)超幾何分布的應(yīng)用條件兩類不同的物品(或人、事)；已知各類對(duì)象的個(gè)數(shù)；從中抽取若干個(gè)個(gè)體某大學(xué)志愿者協(xié)會(huì)有6名男同學(xué)，4名女同學(xué)在這10名同學(xué)中，3名同學(xué)來自數(shù)學(xué)學(xué)院，其余7名同學(xué)來自物理、化學(xué)等其他互不相同的七個(gè)學(xué)院現(xiàn)從這10名同學(xué)中隨機(jī)選取3名同學(xué)，到希望小學(xué)進(jìn)行支教活動(dòng)(每位同學(xué)被選到的可能性相同)(1)求選出的3名同學(xué)來自互不相同學(xué)院的概率；(2)設(shè)X為選出的3名同學(xué)中女同學(xué)的人數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列解(1)設(shè)“選出的3名同學(xué)來自互不相同的學(xué)院”為事件A，則P(A).故選出的3名同學(xué)來自互不相同學(xué)院的概率為.(2)隨機(jī)變量X的所有可能取值為0,1,2,3.P(Xk)(k0,1,2,3)P(X0)，P(X1)，P(X2)，P(X3).故隨機(jī)變量X的分布列是X0123P17離散型隨機(jī)變量的分布列典例某射手有5發(fā)子彈，射擊一次命中概率為0.9.如果命中就停止射擊，否則一直到子彈用盡，求耗用子彈數(shù)的分布列錯(cuò)解展示現(xiàn)場(chǎng)糾錯(cuò)解P(1)0.9，P(2)0.10.90.09，P(3)0.10.10.90.009，P(4)0.130.90.000 9，P(5)0.140.000 1.的分布列為12345P0.90.090.0090.000 90.000 1糾錯(cuò)心得(1)隨機(jī)變量的分布列，要弄清變量的取值，還要清楚變量的每個(gè)取值對(duì)應(yīng)的事件及其概率(2)驗(yàn)證隨機(jī)變量的概率和是否為1.1(2016太原模擬)某射手射擊所得環(huán)數(shù)X的分布列為X45678910P0.020.040.060.090.280.290.22則此射手“射擊一次命中環(huán)數(shù)大于7”的概率為()A0.28 B0.88 C0.79 D0.51答案C解析根據(jù)X的分布列知，所求概率為0.280.290.220.79.2(2016岳陽模擬)設(shè)X是一個(gè)離散型隨機(jī)變量，其分布列為X101P12qq2則q等于()A1 B1 C1 D1答案C解析由題意知即解得q1.3(2016鄭州模擬)已知隨機(jī)變量X的分布列為P(Xi)(i1,2,3,4)，則P(2X4)等于()A. B. C. D.答案B解析由分布列的性質(zhì)知，1，則a5，P(28且nN*)，其中女