高等應用數(shù)學新答案.pdf

P 34 2 研究一下 出現(xiàn)下列情況時 分析過程有何更改 a 如果與是的函數(shù) b 如果與是的函數(shù) c 如果 和都是的函數(shù) 補充討論 提示 提示 當系統(tǒng)處于均勻態(tài)的時候 所有相關的物理量都將有其各自確定的值 我們的目 的是研究系統(tǒng)因為一個小的擾動而偏離均勻態(tài)的時候 它能否在經(jīng)過一段時間以 后回到這個均勻態(tài) 如果能 我們就稱之為穩(wěn)定的 反之為不穩(wěn)定的 我們把這 一分析過程稱之為穩(wěn)定性分析過程 它的基本思路是 首先確定系統(tǒng)的均勻態(tài) 或 者稱為平衡解 然后就每一個狀態(tài)分析其穩(wěn)定性 即引入小擾動 寫出關于擾 動的物理方程 并化簡保留線性項 進而求解線性微分方程 組 如果關于擾動 部分的解不隨時間的增長而趨于零 說明該均勻態(tài)是不穩(wěn)定的 參考答案 參考答案 控制方程 均勻態(tài) 小擾動 a 自行寫出分析過程 參考結果如下 自行寫出分析過程 參考結果如下 線性常系數(shù)偏微分方程組 穩(wěn)定性條件 b 自行寫出分析過程 參考結果如下 自行寫出分析過程 參考結果如下 線性常系數(shù)偏微分方程組 穩(wěn)定性條件 c 參考分析過程 參考分析過程 i 將 和作 Taylor 展開 忽略二階 包括二階以上 小量 ii 代入控制方程整理 忽略二階 包括二階以上 小量 其中 iii 穩(wěn)定性分析 猜測有如下的形式解 代入 ii 的方程中可得 有非平庸解的條件是系數(shù)行列式為零 穩(wěn)定性的充分條件 為什么 上式兩根均為負 見書上的分析 穩(wěn)定性條件 注 這里根據(jù)物理條件已經(jīng)假定 當然也可以放棄這一假設 進行更詳細的討論 注意 1 和的書寫 如這里也可以寫作 2 是一階小量 不是二階小量 3 4 定義為 且假設是正小量 忽略的高次項 找到二次方 程較大根的近似值 推出增長得最快的擾動的波長的近似值 提示 提示 部分符號已作修改 做作業(yè)時要把下面省略的詳細步驟補充完整部分符號已作修改 做作業(yè)時要把下面省略的詳細步驟補充完整 i 二次方程 ii 定義 iii 失穩(wěn)條件 因為是小量 所以也是小量 進而可知也是小量 iv 二次方程較大根的近似值 v 增長得最快 說明擾動最大 極大值條件 小技巧 舍去負值 vi 波長近似值 因為 所以波長近似值 注意 1 正確理解題目的意思 2 掌握在時的 Taylor 展開 the Taylor expansion P 51 6 在 9 式得方程中消去 以便得到關于徑向運動的一個微分方程 把它積分以便推得徑 向運動的開普勒表示式 此處 a 是橢圓的長半軸 e 是偏心率 n 是軌道的頻率 T 是經(jīng)過近日點的時間 the time of perihelion passage 而 E 稱為偏近點角 the eccentric anomaly 是一個參數(shù) 每走一圈 它 的取值范圍為 位置角 度即為所謂的真近 點角 the true anomaly 量值 隨時間而線性變化 稱為平近點角 the mean anomaly 在推導中 應先得到下列形式的能量方程 為此 請注意在近日點和遠日點 即分別離太陽最近和最遠的位置 處的徑向速度為零 本題重點復習和掌握簡單微積分和微分方程的解法 簡要了解一下天文學名詞 提示 提示 從軌道運動方程推導能量方程 參考答案 軌道方程 由第二個式子 有 代入第一個式子 有 上式兩邊同乘以 整理得 積分上式得 在遠日點和近日點處的徑向速度為零 即 因此 注意 C1 是否寫對了 可能差一個符號 能量方程 令 有 即 令 則有 因此 當時 則 所以 偏近點角和真近點角的關系 補充題 補充題 用簡單函數(shù) 如冪級數(shù) 指數(shù)函數(shù) 對數(shù)函數(shù) 來表示當時函數(shù)的量階 本題要求給出具體分析過程 本題要求給出具體分析過程 a b c d e f g 提示 提示 兩個函數(shù)之間的關系 參考分析過程舉例如下 方法一 可作方法一 可作 Taylor展開展開 the Taylor expansion 的情況 的情況 求量階只需要展出第一項即可 這里多展了幾項 只作參考 a 因為 則 b 同 a 有 c d g 方法二 不可能只作方法二 不可能只作 Taylor展開的情況 展開的情況 e 逐漸忽略小量 f 這里只討論的情況 方法三 猜測比較法 如 方法三 猜測比較法 如 c 猜測量階為 比較時使用 L Hospital法則 the L Hospital s rule 為使 只有取 g 猜測 量階為 比較時使用 L Hospital法則 the L Hospital s rule 為使 只有取 詳細解題示例 詳細解題示例 a 方法一 方法一 直接進行 Taylor 展開 the Taylor expansion 因為 所以 方法二方法二 因為 所以 則 方法三方法三 猜測量階為 比較時使用 L Hospital法則 the L Hospital s rule 為使 只有取 注意 1 稱為的雙曲正弦函數(shù) 也可以寫作 稱為的雙曲余弦函數(shù) 也可以寫作 稱為的反雙曲正弦函數(shù) 也可以寫作 稱為的反雙曲余弦函數(shù) 也可以寫作 有同學將理解為 都是不對的 參考 2 冪級數(shù)不足于構成完備的標準函數(shù)集標準函數(shù)集 需要補充對數(shù)函數(shù) 指數(shù)函數(shù) 以及 P 64 10 水星軌道方程 式中 是一小參數(shù) 題目提示的方法 題目提示的方法 解 解 題目中部分符號有意更改 做作業(yè)要求按原題的符號推導 題目中部分符號有意更改 做作業(yè)要求按原題的符號推導 設方程有形式解 一階導數(shù) 二階導數(shù) 平方項 補充推導過程 方程左邊 方程右邊 由的任意性 則 一級近似 補充推導過程 因此 所以 兩個相繼的近日點之間的角度為 注 平方項中涉及了三角函數(shù)的積化和差 請自行復習 我們也可以有下面更加一般化的我們也可以有下面更加一般化的寫法 寫法 設方程有形式解 一階導數(shù) 二階導數(shù) 平方項 方程左邊 方程右邊 龐加萊方法 Poincare s method 水星軌道方程 式中 是一小參數(shù) 解 解 題目中部分符號有意更改 做作業(yè)要求按原題的符號 題目中部分符號有意更改 做作業(yè)要求按原題的符號 假設 則 即原方程左邊 原方程右邊 當時 因為當 近日點 即時 則 而當很小時 方程右邊除了零階的項以外 最大的項為 它是 因此方程的左邊除了零階的項以外 最大的項的量階必須為 我們可以分別討論和兩種情況 易見這兩種情況均不合理 前者不可能找到一個常數(shù)使得成 立 后者不能消除久期項的影響 因此必須有 此時 為消除久期項 自行復習高等數(shù)學內(nèi)容 關于的系數(shù)必須為零 則 結合定解條件 我們可以定出 即有 兩個相繼的近日點之間的角度為 為得到更高階的解 我們可以繼續(xù)假設如下形式 具體的討論略去 因為方法完全類似于上述的討論 極煩的方法 水星軌道方程 式中 是一小參數(shù) 這是來自一本很老的紙版參考答案的題解 里面有諸多筆誤 但還是不斷被傳抄 因此我們將其主要的錯誤修改后貼在這里 僅供參考 實際上 這個解題過程相當繁瑣 原因是它一開始就將一級近似代入方程推導 我們前面提供的方法有效地避免了這一復雜性 希望引起大家的重視 先簡要提煉一下這份參考答案的解題過程 先簡要提煉一下這份參考答案的解題過程 最煩的方法 吃力不討好 解的形式 一級近似 Taylor 展開 則 方程左邊 太復雜略去 方程右邊 太復雜略去 相應項相等 所以 兩個相繼的近日點之間的角度為 詳細圖片見網(wǎng)上答案 P 90 4 a 階的第一類貝塞耳函數(shù) Bessel function of the First Kind 的定義如下 證明 形式地 這個級數(shù)給出了貝塞耳方程 Bessel differential equation 的解 b 如果是整數(shù) 試證 c 證明 它可充當帶有整數(shù)下標的貝塞耳函數(shù) Bessel differential equation 的母函數(shù) d 證明 e 證明 提示 提示 本題要求驗證即可 有推導興趣的參見 數(shù)學物理方程 科大版 p 84 a 推導過程如下 因此 式中 為 The complete gamma function b 推導過程如下 c 推導過程如下 d 令 代入 c 利用 Euler 公式 The Euler formula 得 兩邊同乘以 并在上對積分 交換積分和求和的順序有 式中 是 the Kronecker delta 因此 e 令 代入 d 得 實際上就是周期函數(shù)的性質(zhì) P 102 7 求下列積分當時的漸近展開式 a 補余誤差函數(shù) b Fresnel 積分 參考答案 參考答案中有些符號和書上原題有可能不同 做作業(yè)請按原題 參考答案中有些符號和書上原題有可能不同 做作業(yè)請按原題 提示 提示 分部積分法 integration by parts 注意漸近展開 asymptotic expansion 的表示 p 94 a The complementary error function 或者 或者 或者 b Fresnel integrals 可直接推導 也可利用上述結果 具體推導過程略去 做作業(yè)需要完全寫出 因此 或者寫作 P 112 8 考慮在均勻力場中沿軸的隨機走動 在時間內(nèi) 粒子以概率分別向左和向右移動距離 其中為常數(shù) 寫出粒子在時刻位于離原點距離處的概率的一個差分方程 求時的極限微分方程 參考答案 參考答案中有些符號和書上原題有可能不同 做作業(yè)請按原題 參考答案中有些符號和書上原題有可能不同 做作業(yè)請按原題 提示 提示 題目中的左和右的對應性不是很明確 自己選擇一種對應關系 給出結論即可 題目中的左和右的對應性不是很明確 自己選擇一種對應關系 給出結論即可 若差分方程和初始條件 結論為 若差分方程和初始條件 結論為 下面以一種為例來推導 差分方程和初始條件 使用 Taylor 展開 有 方程左邊 方程右邊 可見 因此 則定義 和 有極限微分方程 P 148 10 試作一形式為的變量代換 把微分方程 均為常數(shù) 轉化成標準形式 提示 提示 參考答案 參考答案中有些符號和書上原題有可能不同 做作業(yè)請按原題 參考答案中有些符號和書上原題有可能不同 做作業(yè)請按原題 變量代換 則有 代入 有 整理得 與標準形式比較 得 由上式 第二個式子 有 代入 有 即 解得 因此 取函數(shù) 作變量代換 有標準形式 P 170 9 a 試證 b 按照普朗克定律 溫度時的輻射密度為 試證 溫度時 在空腔內(nèi)的總輻射密度為 參考答案 參考答案中有些符號和書上原題有可能不同 做作業(yè)請按原題 參考答案中有些符號和書上原題有可能不同 做作業(yè)請按原題 a 由 Taylor 展開有 或者 因此 那么 其中 Integral by parts 要求寫出詳細推導過程 考慮函數(shù)的 Fourier 展開 式中 即 由 Parseval定理 因此 則有 P 168Eqn 45 習題 P 169Ex 8c 得證 因為 所以 P 169Eqn 47 得證 因此 b 空腔內(nèi)的總輻射密度 令 則有 Stefan s law Ex12 非齊次邊界問題 a 齊次邊界問題 試證 和正交 b 假定 討論 當有什么性質(zhì)時 非齊次邊界問題存在什么樣的解 c 問 b 的結論和 a 的結論是否相容 參考答案 參考答案中有些符號和書上原題不同 做作業(yè)請按原題完成 參考答案 參考答案中有些符號和書上原題不同 做作業(yè)請按原題完成 a 要證明在區(qū)間上的正交性 就是要證明 寫法一 分部積分并利用邊界條件可以證明 自己補充詳細推導過程 寫法二 這一種寫法使用了分部積分沒有 因為 和 所以 則有 b 假設 則有 因此 解的性質(zhì)討論 1 若 對 于 任 意 的 自 然 數(shù)滿 足 則 即方程有唯一解 2 若 存在自然數(shù)滿足而 則 無解 即方程無解 3 若 存在自然數(shù)滿足且 則 有任意解 即方程有任意解 c 相容性討論 假設 若顯然有 只需要討論不恒等于零的情況 即 此時必為整數(shù)以滿足邊界條件 記 根據(jù) b 中根的性質(zhì) 2 3 的討論 方程有解必有 則 因此 兩個結論一樣 不矛盾 一致 吻合 無差別 相容 P182 6 熱傳導方程 解為 幅度幅度 改寫為 注 這里使用的 幅度 在英文原版書中是 amplitude 查金山詞霸 物理學 The maximum absolute value of a periodically varying quantity 振幅周期性變量的最 大絕對值 數(shù)學 The maximum absolute value of a periodic curve measured along its vertical axis 振幅沿 垂直軸擺動的周期性曲線的最大絕對值 因此這里取 如果有同學取 這是中文版題 目本身不是很明確 可能理解成 range 的緣故 所以這里都不判錯 況且這兩種 理解對本題主要關心的量沒有影響 中文版有些翻譯不是很恰當 但有些是不影 響我們掌握應用數(shù)學方法的 所以希望大家不要因為這些問題分散注意力 記 用最小二乘法 Least Squares Fitting 求解 為什么 要求寫出詳細過程 寫法一 最小二乘法 則有矛盾方程組 解矛盾方程 兩邊同時左乘于 有 張韻華 等 數(shù)值計算方法和算法 科學出版社 2000 P 59 則 因此 或者 注 計算過程中取幾位有效數(shù)字 一般原則是比最后結果至少多一位有效數(shù)字 認為不要影響 最后結果取幾位有效數(shù)字 這取決于測量數(shù)據(jù)的精度 在一般實 驗課程中大家都應該掌握了 這里只要不是很夸張 比如位數(shù)取很多位 我們將 不予評價 沒有掌握規(guī)則的同學 自己找本實驗技能的書復習一下 那會對你以 后書寫研究論文有幫助的 寫法二 最小二乘法 定義誤差 求 a 和 b 使誤差最小 則有極值條件 即 結果同上 P 195 1 提示 提示 a 從 14 式證明 15 式 已知 交換積分順序 變量代換 變量代換 因為 所以 證畢 b 特殊情況下 代入 15 式 變量代換 所以 c 應用習題 P102 7 的結果 注意補充推導過程 即 思考為什么需要這么處理 P 207 5 這里我們以更一般的形式為例 部分符號有意更這里我們以更一般的形式為例 部分符號有意更改 做作業(yè)請按原題完成 改 做作業(yè)請按原題完成 定義函數(shù) 共軛函數(shù) The complex conjugate 自相關函數(shù) The autocorrelation function 定義為 代入得 交換積分和求和的順序 積分得 利用 Euler 公式 The Euler formula 得 因為 式中 是 the Kronecker delta 所以 P 221 2 部分符號和書上原題可能不同 請自行補充詳細的推導過程 擴散方程 式中 為溫度 定常問題指的是不隨時間發(fā)展而變化的問題 即與時間無關的問題 定常問題 熱導率為常數(shù) 定常問題 核對自洽性 因為 所以 還有 解的誤差和相對誤差均和同量級 近似解精確到的量級 在零階近似下 近似解和精確解一致 P 233 7b 定理的應用 在粘性流體中 一個受重力而下落的小球 可以觀察到它下落的速度 在一段時 間后 為一常數(shù) 令 和分別表示球的半徑和密度 液體的密度和粘性系數(shù)以及重 力加速度 b 因為這里的運動不是加速的 我們不需要運用加速度正比于重力的關系 而可以把力當作獨立的基本單位去處理 試證明 提示 提示 參量 量綱 關聯(lián)所有參量的關系式 形式上記作 定義參量組合成的無量綱參數(shù) 相應量綱 即 因此 注意 這個式子并不是關聯(lián)測量量的關系式 只是定義的無量綱參數(shù)的可能形式 如 取 這種說法是不嚴格的 因為實際上的并不一定只是這樣的冪指數(shù)的簡單形式 六個參量四個獨立的基本單位 故有兩個無量綱參數(shù) 不妨取 我們有一個無量綱參數(shù) 再者取 我們有另一個無量綱參數(shù) 由定理我們有 即 也可寫成 我們也可以取 我們有一個無量綱參數(shù) 再者還取 我們有另一個無量綱參數(shù) 由定理我們有 即 也可寫成 我們還可以有很多很多的取法 P236 Ex12 Buckingham pi theorem 詳見網(wǎng)上