橢圓(教師版).doc

橢圓基礎知識:一橢圓及其標準方程1橢圓的定義：橢圓的定義中，平面內動點與兩定點、的距離的和大于|這個條件不可忽視.若這個距離之和小于|，則這樣的點不存在；若距離之和等于|，則動點的軌跡是線段.2橢圓的標準方程：（） 3橢圓的標準方程判別方法：判別焦點在哪個軸只要看分母的大小：如果項的分母大于項的分母，則橢圓的焦點在x軸上，反之，焦點在y軸上. 二橢圓的簡單幾何性質（）1橢圓的幾何性質：設橢圓方程 線段、分別叫做橢圓的長軸和短軸它們的長分別等于和，離心率：（）.越接近于時，橢圓越扁；反之，越接近于時，橢圓就越接近于圓.2橢圓的第二定義 定義：與定點的距離和它到一條定直線的距離的比是常數，這個動點的軌跡是橢圓準線： （）的準線方程為. 準線方程.3橢圓的焦半徑： 設（-，0），（，0）分別為橢圓（）的左、右兩焦點，是橢圓上任一點，則兩條焦半徑長分別為，.4橢圓的參數方程橢圓（）的參數方程為（為參數） 這里參數叫做橢圓的離心角橢圓上點的離心角與直線的傾斜角不同：； 橢圓的參數方程可以由方程與三角恒等式相比較而得到，所以橢圓的參數方程的實質是三角代換.5橢圓的內外部點在橢圓（）的內部6焦點三角形經常利用余弦定理、三角形面積公式將有關線段、，有關角結合起來，建立、等關系面積公式:三直線與橢圓的位置關系1直線和橢圓方程分別是，聯立消去，得 （3） 如果，方程（3）的判別式為，那么：直線和橢圓相交，有兩個交點直線和橢圓相切，有一個公共點直線和橢圓相離，無公共點當直線和橢圓相交時，在曲線內的線段（包括端點）叫橢圓的弦，當弦過焦點時，稱其為焦點弦。2求弦長的方法：利用弦長公式：或 3求弦的中點的方法；可把直線方程與橢圓方程聯立再用韋達定理求之，即，4直線與橢圓關系應用解決橢圓與直線的關系的問題，常用韋達定理和“點差法”求之。關于“點差法”：設橢圓：，直線與相交于兩點，則有（1）-（2）整理可得，即1 已知ABC的頂點B、C在橢圓上，頂點A是橢圓的一個焦點，且橢圓的另外一個焦點在BC邊上，則ABC的周長是A2 B6 C4 D122 在給定橢圓中，過焦點且垂直于長軸的弦長為，焦點到相應準線的距離為1，則該橢圓的離心率為A B C D3 已知、是橢圓的兩個焦點，過且與橢圓長軸垂直的直線交橢圓于、兩點，若是正三角形，則這個橢圓的離心率是A B C D4 設橢圓的兩個焦點分別為、，過作橢圓長軸的垂線交橢圓于點，若為等腰直角三角形，則橢圓的離心率是A B C D5 把離心率等于黃金比的橢圓稱之為“黃金橢圓”，設為黃金橢圓，、分別是它的左焦點和右端點，是它的短軸的一個端點，則A B C D6 斜率為的直線與橢圓相交于、兩點，則的最大值為A2B CD 弦長|AB|= 答案 C7 若直線和橢圓相交于不同兩點、則常數的取值范圍是 ；弦的中點坐標是 （用表示）；當變化時，弦中點的軌跡方程是 。8 已知直線與橢圓有唯一公共點，則等于 。9 對任意實數，直線：與橢圓：恒有公共點，則取值范圍是_。10 直線與橢圓相交所得弦的中點坐標是 。11 求直線被橢圓所截弦長。12 點是橢圓上的動點，是坐標原點，求線段的中點的軌跡方程。13 過橢圓內一點引弦，使被平分，求直線的方程。14 設橢圓方程，為短軸的一個端點，、為橢圓上相異兩點，若總存在以為底邊的等腰，則直線的斜率的取值范圍是 A B C D解：設MN：，代入，得.由，得.又由，得.因為，所以，將代入，得，代入，得，于是15 過點的直線與中心在原點，焦點在軸上且離心率為的橢圓相交于、兩點，直線過線段的中點，同時橢圓上存在一點與右焦點關于直線對稱，試求直線與橢圓的方程 解法一 由e=,得,從而a2=2b2,c=b 設橢圓方程為x2+2y2=2b2,A(x1,y1),B(x2,y2)在橢圓上 則x12+2y12=2b2,x22+2y22=2b2,兩式相減得，(x12x22)+2(y12y22)=0,設AB中點為(x0,y0),則kAB=,又(x0,y0)在直線y=x上，y0=x0,于是=1,kAB=1,設l的方程為y=x+1 右焦點(b,0)關于l的對稱點設為(x,y),由點(1,1b)在橢圓上，得1+2(1b)2=2b2,b2= 所求橢圓C的方程為 =1,l的方程為y=x+1 解法二 由e=,從而a2=2b2,c=b 設橢圓C的方程為x2+2y2=2b2,l的方程為y=k(x1),將l的方程代入C的方程，得(1+2k2)x24k2x+2k22b2=0,則x1+x2=,y1+y2=k(x11)+k(x21)=k(x1+x2)2k= 直線l y=x過AB的中點(),則,解得k=0，或k=1 若k=0,則l的方程為y=0,焦點F(c,0)關于直線l的對稱點就是F點本身，不能在橢圓C上，所以k=0舍去，從而k=1，直線l的方程為y=(x1),即y=x+1,以下同解法一 16 設橢圓：（）過點，且著焦點為（1）求橢圓的方程；（2）當過點的動直線與橢圓相交與兩不同點時，在線段上取點，滿足，證明：點總在某定直線上解 (1)由題意： ，解得，所求橢圓方程為 (2)方法一 設點Q、A、B的坐標分別為。由題設知均不為零，記,則且又A，P，B，Q四點共線，從而于是 ， ， 從而 ，（1） ，（2）又點A、B在橢圓C上，即 （1）+（2）2并結合（3），（4）得即點總在定直線上方法二設點，由題設，均不為零。且 又 四點共線，可設,于是 （1） （2）由于在橢圓C上，將（1），（2）分別代入C的方程整理得 （3） (4)(4)(3) 得 即點總在定直線上17 在直角坐標系中，點到兩點，的距離之和等于4，設點的軌跡為，直線與C交于A，B兩點（1）寫出C的方程；（2）若，求的值；（3）若點在第一象限，證明：當時，恒有解：（1）設P（x，y），由橢圓定義可知，點P的軌跡C是以為焦點，長半軸為2的橢圓它的短半軸，故曲線C的方程為 （2）設，其坐標滿足 消去y并整理得，故 若，即而，于是，化簡得，所以 （3） 因為A在第一象限，故由知，從而又，故，即在題設條件下，恒有 18 設橢圓中心在坐標原點，是它的兩個頂點，直線與AB相交于點，與橢圓相交于、兩點（1）若，求的值；（2）求四邊形面積的最大值DFByxAOE（1）解：依題設得橢圓的方程為，直線的方程分別為， 如圖，設，其中，且滿足方程，故由知，得；由在上知，得所以，化簡得，解得或 （2）解法一：根據點到直線的距離公式和式知，點到的距離分別為， 又，所以四邊形的面積為，當，即當時，上式取等號所以的最大值為 解法二：由題設，設，由得，故四邊形的面積為 ，當時，上式取等號所以的最大值為 19 橢圓（）的一個焦點是，為坐標原點（1）已知橢圓短軸的兩個三等分點與一個焦點構成正三角形，求橢圓的方程；（2）設過點的直線交橢圓于、兩點，若直線繞點任意轉動，恒有，求的取值范圍。 解法一：(1)設M，N為短軸的兩個三等分點，因為MNF為正三角形， 所以, 即1 因此，橢圓方程為 (2)設 ()當直線 AB與x軸重合時， ()當直線AB不與x軸重合時， 設直線AB的方程為： 整理得 所以 因為恒有，所以AOB恒為鈍角. 即恒成立. 又a2+b2m20,所以-m2a2b2+b2-a2b2+a2 a2 -a2b2+b2對mR恒成立.當mR時，a2b2m2最小值為0，所以a2- a2b2+b20. a2a2b2- b2, a20,b0,所以a0,解得a或a,綜合（i）(ii)，a的取值范圍為（，+）.解法二：（1）同解法一，（2）解：（i）當直線l垂直于x軸時，x=1代入=1.因為恒有|OA|2+|OB|2|AB|2,2(1+yA2)1，即1,解得a或a.（ii）當直線l不垂直于x軸時，設A（x1,y1）, B（x2,y2）.設直線AB的方程為y=k(x-1)代入得(b2+a2k2)x2-2a2k2x+ a2 k2- a2 b2=0,故x1+x2=因為恒有|OA|2+|OB|2|AB|2,所以x21+y21+ x22+ y22( x2-x1)2+(y2-y1)2,得x1x2+ y1y20恒成立.x1x2+ y1y2= x1x2+k2(x1-1) (x2-1)=(