1-1求下列兩個微分方程的公共解.doc

第一章 緒論1-1求下列兩個微分方程的公共解。（1）（2）解 兩方程的公共解滿足條件，即，所以或。代入檢驗(yàn)可知不符合，所以兩方程的公共解為。評注：此題是求解方程滿足一定條件的解，即求兩個微分方程的公共解。在求解時(shí)由于令其導(dǎo)數(shù)相等，很容易產(chǎn)生增解，因而要對所求結(jié)果回代原方程進(jìn)行檢驗(yàn)，舍去增解。1-2 求微分方程的直線積分曲線。解 設(shè)直線積分曲線為，則，代入原方程得，即，所以，可得或。因而所求直線積分曲線為或。評注：此題是求解方程的部分解，采用的是待定系數(shù)法。待定系數(shù)法是求解常微分方程常用的方法之一，有待定常數(shù)法和待定函數(shù)法。本題首先設(shè)出滿足題設(shè)條件的含有待定常數(shù)的解，然后代入原方程來確定待定常數(shù)，解決此類問題的關(guān)鍵在于正確地設(shè)出解的形式。1-3 微分方程，證明其積分曲線是關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)成中心對稱的曲線。 證 設(shè)滿足微分方程，只須證明也滿足方程即可。作變換，則證明滿足方程即可，代入方程兩端，并利用滿足此方程，得左=，=右故也滿足方程。評注：為了驗(yàn)證也滿足方程，利用積分曲線的性質(zhì)，進(jìn)行變量代換，將變換成后，問題就很容易解決了。1-4 物體在空氣中的冷卻速度與物體和空氣的溫差成正比，如果物體在20分鐘內(nèi)由100冷卻至60，那么，在多長時(shí)間內(nèi)，這個物體由100冷卻至30？假設(shè)空氣的溫度為20解 設(shè)物體在空氣中時(shí)刻的溫度為，則依牛頓冷卻定理得，其中是比例常數(shù)。兩邊積分，得通解為。由于初始條件為：故得，所以。將代入上式后即得：，即 。故當(dāng)時(shí)，有，從中解出（分鐘），因此，在一小時(shí)內(nèi)，可使物體由100冷卻至30。評注：這是來自于物理學(xué)領(lǐng)域的問題，注意運(yùn)用基本定律和定理來建立微分方程模型。1-5 求一曲線族，使它的切線介于坐標(biāo)軸間的部分被切點(diǎn)分成相等的兩部分。解 解法1 設(shè)所求曲線方程為，過曲線上任一點(diǎn)的切線交軸于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，由題意，為的中點(diǎn)，不妨設(shè)，則切線斜率為，另一方面，曲線在點(diǎn)的切線的斜率為，得將變量分離，得到，兩邊積分得 ，因此，方程的通解為，即所求的曲線族為：。解法2 設(shè)所求的曲線為，過曲線上任一點(diǎn)的切線方程為，它與軸的交點(diǎn)分別為，由題可得，故這條曲線滿足方程，由可得方程的解為。1-6 求一曲線所滿足的微分方程，過該曲線上任何一點(diǎn)的切線與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積等于常數(shù)。解 設(shè)所求曲線為，過曲線上任一點(diǎn)的切線方程為， 與兩坐標(biāo)軸的截距分別為，由三角形的面積公式可得，整理可得，這就是所求曲線滿足的微分方程。1-7 求一曲線所滿足的微分方程，使該曲線上任一點(diǎn)的切線與該點(diǎn)的向徑夾角為零。解 設(shè)曲線為，過其上點(diǎn)切線斜率為，向徑的斜率為，由于二