定積分的換元積分法和分部積分法.ppt

第6章定積分 6 1定積分概念與性質(zhì) 6 2微積分基本公式 6 3定積分的換元積分法和分部積分法 6 4定積分的應(yīng)用 6 5反常積分初步 目錄 6 3定積分的換元積分法和分部積分法 一 定積分的換元積分法 由牛頓 萊布尼茨公式知道 計(jì)算定積分 的方法是求它的一個(gè)原函數(shù) 定理1設(shè)函數(shù) 在區(qū)間 上連續(xù) 函數(shù) 滿足條件 1 當(dāng) 或 時(shí) 且 2 在 或 上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù) 則有 6 4 公式 6 4 叫做定積分換元公式 應(yīng)用換元公式時(shí)有兩點(diǎn)值得注意 2 求出 的原函數(shù) 的上 下限分別代入 中 然后相減就行了 例1計(jì)算 解設(shè) 則 且當(dāng) 時(shí) 當(dāng) 時(shí) 于是 量 例2計(jì)算 解設(shè) 則 當(dāng) 時(shí) 當(dāng) 時(shí) 于是 例3計(jì)算 解設(shè) 則 且當(dāng) 時(shí) 當(dāng) 時(shí) 于是 在例3中 如果不明顯地寫(xiě)出新變量 直接用湊微分 法求解 那末定積分的上 下限就不要變更 練習(xí) P195頁(yè) 題1 3 4 例4設(shè)函數(shù) 在區(qū)間 上連續(xù) 試證 1 2 當(dāng) 為奇函數(shù)時(shí) 3 當(dāng) 為偶函數(shù)時(shí) 證 1 由于 在 中 設(shè) 則 故 2 當(dāng) 是奇函數(shù)時(shí) 因此 3 當(dāng) 是偶函數(shù)時(shí) 因此 利用例4的結(jié)論 ?？珊?jiǎn)化在對(duì)稱(chēng)區(qū)間上的定積分的計(jì)算 例5求下列定積分 解由于被積函數(shù)為非奇非偶函數(shù) 由例8 1 知 例6試證 為非負(fù)整數(shù) 證設(shè) 則 當(dāng) 時(shí) 于是有 例7設(shè)函數(shù) 求 解設(shè) 則當(dāng) 時(shí) 時(shí) 當(dāng) 于是 練習(xí) P196頁(yè) 題3 1 2 6 3 2定積分的分部積分法 利用不定積分的分部積分公式及牛頓萊布尼茨公式 即可得出定積分的分部積分公式 設(shè)函數(shù) 在區(qū)間 上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù) 按不定積分的分部積分法 有 從而得 6 5 這就是定積分的分部積分公式 例8計(jì)算 解 例9計(jì)算 解先用換元法 令 則 當(dāng) 時(shí) 當(dāng) 時(shí) 于是 再用分部積分法 因?yàn)?因此 例10計(jì)算 解 例11計(jì)算 為正整數(shù) 解 由此得到遞推公式 而 故當(dāng) 為偶數(shù)時(shí) 當(dāng) 為大于1的正奇數(shù)時(shí) 由例6知 與 有相同的結(jié)果