二維有限差分析是求解兩個(gè)變量的拉普拉斯方程的一種近似方法這種方法.doc

二維有限差分析是求解兩個(gè)變量的拉普拉斯方程的一種近似方法，這種方法的要點(diǎn)如下：在平面場(chǎng)中，將平面劃分成若干正方形格子，每個(gè)格子的邊長(zhǎng)都等于h，圖13-10表示其中的一部分，設(shè)0點(diǎn)的電位為V0，0點(diǎn)周?chē)礁耥旤c(diǎn)的電位分別為V1、V2、V3和V4?，F(xiàn)在來(lái)推導(dǎo)一個(gè)用V1、V2、V3和V4表示V0的公式：圖13-10已知平面場(chǎng)的電位滿(mǎn)足兩個(gè)變量的拉普拉斯方程： 其中但是所以同理將上面兩個(gè)方程相加一起得：由上面方程推出：(13.47)該式說(shuō)明0點(diǎn)的電位近似等于相互垂直的方向上和0點(diǎn)等距離的四個(gè)點(diǎn)上的電位平均值，距離h愈小則結(jié)果愈精確，方程（13.47）是用近似法求解兩個(gè)變量拉普拉斯方程的依據(jù)。然而，V0和V1、V2、V3、V4都是未知值，這種情況下需要按照方程（13.47）寫(xiě)出每一點(diǎn)的電位方程，然后求這些方程的聯(lián)立解。求解時(shí)較簡(jiǎn)便的方法是選代法，這種方法可求出平面場(chǎng)中各點(diǎn)電位的近似值。圖13-11表示一個(gè)截面為正方形的導(dǎo)體槽，槽的頂面與側(cè)面相互絕緣，頂面的電位為V0，側(cè)面與底面的電位都等于零。為了求出槽中各點(diǎn)的電位，將槽分成十六個(gè)相同的方格，這些方格在槽中共有九個(gè)頂點(diǎn)。用V1、V2，V9表示各頂點(diǎn)的電位。求解步驟如下： 圖13-11第一步，假設(shè)某點(diǎn)的電位為某值，稱(chēng)為某點(diǎn)的原始電位，原始電位等于多少并不影響最后的結(jié)果。如果原始電位選擇得當(dāng)，則計(jì)算步驟會(huì)得到簡(jiǎn)化。第二步，根據(jù)原始電位，利用式（13.47）求出每點(diǎn)周?chē)膫€(gè)點(diǎn)電位的平均值，電位平均值一般不等于電位的原始值，將平均值代替原始值就得到每點(diǎn)電位的第一次選代值。然后根據(jù)第一次選代值求出每點(diǎn)周?chē)膫€(gè)點(diǎn)電位的平均值，如果平均值不等于第一次選代值，就將平均值代替第一次選代值，得到每點(diǎn)電位的第二次選代值。第三步，利用式（13.47）對(duì)每點(diǎn)電位進(jìn)行選代，一直到每點(diǎn)的電位與它的周?chē)膫€(gè)點(diǎn)的電位平均值相差在允許范圍內(nèi)為止?！纠?3.1】在圖13-12中，設(shè)V=100，試用選代法求方格頂點(diǎn)上的電位。 圖13-12解：設(shè)九個(gè)頂點(diǎn)的電位分別用V1、V2、V9來(lái)表示。第一步：設(shè)每點(diǎn)的原始電位都等于零。第二步：根據(jù)原始電位利用公式，求出各點(diǎn)的周?chē)娢坏钠骄禐椋?。其余各點(diǎn)周?chē)娢坏钠骄刀嫉扔诹恪Ｈ缓髮⑺玫钠骄荡嬖贾?，得到第一次選代值。第三步，根據(jù)第一次選代值，求出各點(diǎn)周?chē)娢坏钠骄禐椋喝缓髮⑺玫钠骄荡娴谝淮芜x代值，得到第二次選代值。第四步：根據(jù)第二次選代值，求出各點(diǎn)周?chē)娢坏钠骄禐椋罕?13-1步 驟V1V2V3V4V5V6V7V8V910000000002252525000000331.337.531.36.36.36.300043642.2369.412.59.41.61.61.6537.946.137.912.515.712.52.83.92.8639.747.939.715.118.815.14.15.34.1740.849.640.815.720.915.75.16.85.1841.350.641.316.72216.75.67.85.6941.851.241.817.22317.26.18.36.11042.151.742.117.723.517.76.48.86.41142.451.942.41824186.69.16.61242.552.242.518.224.318.26.89.36.81342.752.342.618.424.518.46.99.56.91442.752.442.718.524.718.579.671542.852.542.718.624.818.679.771642.852.642.818.624.918.67.19.77.11742.852.642.818.724.918.77.19.87.11842.852.642.818.72518.77.19.87.142.852.642.818.72518.77.19.87.1然后將所得的平均值代替第二次選代值，得到第三次選代值。按照同樣方法對(duì)每一點(diǎn)進(jìn)行選代，結(jié)果如表13-1，可以看出，步驟18以后，各點(diǎn)的電位收斂于某固定值。利用有限差分法求解電位方程時(shí)，需要進(jìn)行大量的計(jì)算，本題解僅求九個(gè)點(diǎn)的電位，計(jì)算工作量已可觀、如果求電位的點(diǎn)數(shù)目很大，則必須用電子計(jì)算機(jī)進(jìn)行計(jì)算?！纠?3.2】如圖13-13所示表示四個(gè)不同形狀的電極圍成一個(gè)不規(guī)則槽，各電極的電位如圖所示。槽的截面共分成14個(gè)相同的方格，試用選代法求出每個(gè)方格頂點(diǎn)的電位。圖13-13解：第一步，設(shè)每點(diǎn)的原始電位都等于零。 第二步，根據(jù)原始電位，求出各點(diǎn)的周?chē)娢坏钠骄?。然后將所得的平均值代替原始值，得到第一次選代值。第三步，根據(jù)第一次選代值，求出各點(diǎn)周?chē)娢坏钠骄禐椋?