二維有限差分析是求解兩個變量的拉普拉斯方程的一種近似方法這種方法.doc

二維有限差分析是求解兩個變量的拉普拉斯方程的一種近似方法，這種方法的要點如下：在平面場中，將平面劃分成若干正方形格子，每個格子的邊長都等于h，圖13-10表示其中的一部分，設(shè)0點的電位為V0，0點周圍方格頂點的電位分別為V1、V2、V3和V4?，F(xiàn)在來推導(dǎo)一個用V1、V2、V3和V4表示V0的公式：圖13-10已知平面場的電位滿足兩個變量的拉普拉斯方程： 其中但是所以同理將上面兩個方程相加一起得：由上面方程推出：(13.47)該式說明0點的電位近似等于相互垂直的方向上和0點等距離的四個點上的電位平均值，距離h愈小則結(jié)果愈精確，方程（13.47）是用近似法求解兩個變量拉普拉斯方程的依據(jù)。然而，V0和V1、V2、V3、V4都是未知值，這種情況下需要按照方程（13.47）寫出每一點的電位方程，然后求這些方程的聯(lián)立解。求解時較簡便的方法是選代法，這種方法可求出平面場中各點電位的近似值。圖13-11表示一個截面為正方形的導(dǎo)體槽，槽的頂面與側(cè)面相互絕緣，頂面的電位為V0，側(cè)面與底面的電位都等于零。為了求出槽中各點的電位，將槽分成十六個相同的方格，這些方格在槽中共有九個頂點。用V1、V2，V9表示各頂點的電位。求解步驟如下： 圖13-11第一步，假設(shè)某點的電位為某值，稱為某點的原始電位，原始電位等于多少并不影響最后的結(jié)果。如果原始電位選擇得當(dāng)，則計算步驟會得到簡化。第二步，根據(jù)原始電位，利用式（13.47）求出每點周圍四個點電位的平均值，電位平均值一般不等于電位的原始值，將平均值代替原始值就得到每點電位的第一次選代值。然后根據(jù)第一次選代值求出每點周圍四個點電位的平均值，如果平均值不等于第一次選代值，就將平均值代替第一次選代值，得到每點電位的第二次選代值。第三步，利用式（13.47）對每點電位進行選代，一直到每點的電位與它的周圍四個點的電位平均值相差在允許范圍內(nèi)為止。【例13.1】在圖13-12中，設(shè)V=100，試用選代法求方格頂點上的電位。 圖13-12解：設(shè)九個頂點的電位分別用V1、V2、V9來表示。第一步：設(shè)每點的原始電位都等于零。第二步：根據(jù)原始電位利用公式，求出各點的周圍電位的平均值為：。其余各點周圍電位的平均值都等于零。然后將所得的平均值代替原始值，得到第一次選代值。第三步，根據(jù)第一次選代值，求出各點周圍電位的平均值為：然后將所得的平均值代替第一次選代值，得到第二次選代值。第四步：根據(jù)第二次選代值，求出各點周圍電位的平均值為：表 13-1步 驟V1V2V3V4V5V6V7V8V910000000002252525000000331.337.531.36.36.36.300043642.2369.412.59.41.61.61.6537.946.137.912.515.712.52.83.92.8639.747.939.715.118.815.14.15.34.1740.849.640.815.720.915.75.16.85.1841.350.641.316.72216.75.67.85.6941.851.241.817.22317.26.18.36.11042.151.742.117.723.517.76.48.86.41142.451.942.41824186.69.16.61242.552.242.518.224.318.26.89.36.81342.752.342.618.424.518.46.99.56.91442.752.442.718.524.718.579.671542.852.542.718.624.818.679.771642.852.642.818.624.918.67.19.77.11742.852.642.818.724.918.77.19.87.11842.852.642.818.72518.77.19.87.142.852.642.818.72518.77.19.87.1然后將所得的平均值代替第二次選代值，得到第三次選代值。按照同樣方法對每一點進行選代，結(jié)果如表13-1，可以看出，步驟18以后，各點的電位收斂于某固定值。利用有限差分法求解電位方程時，需要進行大量的計算，本題解僅求九個點的電位，計算工作量已可觀、如果求電位的點數(shù)目很大，則必須用電子計算機進行計算。【例13.2】如圖13-13所示表示四個不同形狀的電極圍成一個不規(guī)則槽，各電極的電位如圖所示。槽的截面共分成14個相同的方格，試用選代法求出每個方格頂點的電位。圖13-13解：第一步，設(shè)每點的原始電位都等于零。 第二步，根據(jù)原始電位，求出各點的周圍電位的平均值。然后將所得的平均值代替原始值，得到第一次選代值。第三步，根據(jù)第一次選代值，求出各點周圍電位的平均值為：