五年級奧數(shù)專題八奇偶性(2).doc

五年級奧數(shù)專題八:奇偶性（2）關(guān)鍵詞：奇偶 奇數(shù) 偶數(shù) 奧數(shù) 個位 位數(shù) 個數(shù) 滿足 交換 年級例1用09這十個數(shù)碼組成五個兩位數(shù)，每個數(shù)字只用一次，要求它們的和是奇數(shù)，那么這五個兩位數(shù)的和最大是多少？分析與解：有時題目的要求比較多，可先考慮滿足部分要求，然后再調(diào)整，使最后結(jié)果達(dá)到全部要求。這道題的幾個要求中，滿足“和最大”是最容易的。暫時不考慮這五個數(shù)的和是奇數(shù)的要求。要使組成的五個兩位數(shù)的和最大，應(yīng)該把十個數(shù)碼中最大的五個分別放在十位上，即十位上放5，6，7，8，9，而個位上放0，1，2，3，4。根據(jù)奇數(shù)的定義，這樣組成的五個兩位數(shù)中，有兩個是奇數(shù)，即個位是1和3的兩個兩位數(shù)。要滿足這五個兩位數(shù)的和是奇數(shù)，根據(jù)奇、偶數(shù)相加減的運(yùn)算規(guī)律，這五個數(shù)中應(yīng)有奇數(shù)個奇數(shù)?，F(xiàn)有兩個奇數(shù)，即個位數(shù)是1，3的兩位數(shù)。所以五個數(shù)的和是偶數(shù)，不合要求，必須調(diào)整。調(diào)整的方法是交換十位與個位上的數(shù)字。要使五個數(shù)有奇數(shù)個奇數(shù)，并且五個數(shù)的和盡可能最大，只要將個位和十位上的一個奇數(shù)與一個偶數(shù)交換，并且交換的兩個的數(shù)碼之差盡可能小，由此得到交換5與4的位置。滿足題設(shè)要求的五個兩位數(shù)的十位上的數(shù)碼是4，6，7，8，9，個位上的數(shù)碼是0，1，2，3，5，所求這五個數(shù)的和是（4+6+7+8+9）10+ （0+1+2+3+5）=351。例2 7只杯子全部杯口朝上放在桌子上，每次翻轉(zhuǎn)其中的2只杯子。能否經(jīng)過若干次翻轉(zhuǎn)，使得7只杯子全部杯口朝下？分析與解：盲目的試驗，可能總也找不到要領(lǐng)。如果我們分析一下每次翻轉(zhuǎn)后杯口朝上的杯子數(shù)的奇偶性，就會發(fā)現(xiàn)問題所在。一開始杯口朝上的杯子有7只，是奇數(shù)；第一次翻轉(zhuǎn)后，杯口朝上的變?yōu)?5只，仍是奇數(shù)；再繼續(xù)翻轉(zhuǎn)，因為只能翻轉(zhuǎn)兩只杯子，即只有兩只杯子改變了上、下方向，所以杯口朝上的杯子數(shù)仍是奇數(shù)。類似的分析可以得到，無論翻轉(zhuǎn)多少次，杯口朝上的杯子數(shù)永遠(yuǎn)是奇數(shù)，不可能是偶數(shù)0。也就是說，不可能使7只杯子全部杯口朝下。例3 有m（m2）只杯子全部口朝下放在桌子上，每次翻轉(zhuǎn)其中的（m-1）只杯子。經(jīng)過若干次翻轉(zhuǎn)，能使杯口全部朝上嗎？分析與解：當(dāng)m是奇數(shù)時，（m- 1）是偶數(shù)。由例2的分析知，如果每次翻轉(zhuǎn)偶數(shù)只杯子，那么無論經(jīng)過多少次翻轉(zhuǎn)，杯口朝上（下）的杯子數(shù)的奇偶性不會改變。一開始m只杯子全部杯口朝下，即杯口朝下的杯子數(shù)是奇數(shù)，每次翻轉(zhuǎn)（m-1）即偶數(shù)只杯子。無論翻轉(zhuǎn)多少次，杯口朝下的杯子數(shù)永遠(yuǎn)是奇數(shù)，不可能全部朝上。當(dāng)m是偶數(shù)時，（m-1）是奇數(shù)。為了直觀，我們先從m= 4的情形入手觀察，在下表中用表示杯口朝上，表示杯口朝下，每次翻轉(zhuǎn)3只杯子，保持不動的杯子用*號標(biāo)記。翻轉(zhuǎn)情況如下：由上表看出，只要翻轉(zhuǎn)4次，并且依次保持第 1，2，3，4只杯子不動，就可達(dá)到要求。一般來說，對于一只杯子，要改變它的初始狀態(tài)，需要翻奇數(shù)次。對于m只杯子，當(dāng)m是偶數(shù)時，因為（m-1）是奇數(shù)，所以每只杯子翻轉(zhuǎn)（m-1）次，就可使全部杯子改變狀態(tài)。要做到這一點，只需要翻轉(zhuǎn)m次，并且依次保持第1，2，m只杯子不動，這樣在m次翻轉(zhuǎn)中，每只杯子都有一次沒有翻轉(zhuǎn)，即都翻轉(zhuǎn)了（m-1）次。綜上所述：m只杯子放在桌子上，每次翻轉(zhuǎn)（m-1）只。當(dāng)m是奇數(shù)時，無論翻轉(zhuǎn)多少次，m只杯子不可能全部改變初始狀態(tài)；當(dāng)m是偶數(shù)時，翻轉(zhuǎn)m次，可以使m只杯子全部改變初始狀態(tài)。例4 一本論文集編入15篇文章，這些文章排版后的頁數(shù)分別是1，2，3，15頁。如果將這些文章按某種次序裝訂成冊，并統(tǒng)一編上頁碼，那么每篇文章的第一面是奇數(shù)頁碼的最多有幾篇？分析與解：可以先研究排版一本書，各篇文章頁數(shù)是奇數(shù)或偶數(shù)時的規(guī)律。一篇有奇數(shù)頁的文章，它的第一面和最后一面所在的頁碼的奇偶性是相同的，即排版奇數(shù)頁的文章，第一面是奇數(shù)頁碼，最后一面也是奇數(shù)頁碼，而接下去的另一篇文章的第一面是排在偶數(shù)頁碼上。一篇有偶數(shù)頁的文章，它的第一面和最后一面所在的頁碼的奇偶性是相異的，即排版偶數(shù)頁的文章，第一面是奇（偶）數(shù)頁碼，最后一面應(yīng)是偶（奇）數(shù)頁碼，而緊接的另一篇文章的第一面又是排在奇（偶）數(shù)頁碼上。以上說明本題的解答主要是根據(jù)奇偶特點來處理。題目要求第一面排在奇數(shù)頁碼的文章盡量多。首先考慮有偶數(shù)頁的文章，只要這樣的第一篇文章的第一面排在奇數(shù)頁碼上（如第1頁），那么接著每一篇有偶數(shù)頁的文章都會是第一面排在奇數(shù)頁碼上，共有7篇這樣的文章。然后考慮有奇數(shù)頁的文章，第一篇的第一面排在奇數(shù)頁碼上，第二篇的第一面就會排在偶數(shù)頁碼上，第三篇的第一面排在奇數(shù)頁碼上，如此等等。在8篇奇數(shù)頁的文章中，有4篇的第一面排在奇數(shù)頁碼上。因此最多有7+4=11（篇）文章的第一面排在奇數(shù)頁碼上。例5 有大、小兩個盒子，其中大盒內(nèi)裝1001枚白棋子和1000枚同樣大小的黑棋子，小盒內(nèi)裝有足夠多的黑棋子。阿花每次從大盒內(nèi)隨意摸出兩枚棋子，若摸出的兩枚棋子同色，則從小盒內(nèi)取一枚黑棋子放入大盒內(nèi)；若摸出的兩枚棋子異色，則把其中白棋子放回大盒內(nèi)。問：從大盒內(nèi)摸了1999次棋子后，大盒內(nèi)還剩幾枚棋子？它們都是什么顏色？分析與解：大盒內(nèi)裝有黑、白棋子共1001+1000=2001（枚）。因為每次都是摸出2枚棋子放回1枚棋子，所以每摸一次少1枚棋子，摸了1999次后，還剩2001-1999=2（枚）棋子。從大盒內(nèi)每次摸2枚棋子有以下兩種情況：（1）所摸到的兩枚棋子是同顏色的。此時從小盒內(nèi)取一枚黑棋子放入大盒內(nèi)。當(dāng)所摸兩枚棋子同是黑色，這時大盒內(nèi)少了一枚黑棋子；當(dāng)所摸兩枚棋子同是白色，這時大盒內(nèi)多了一枚黑棋子。（2）所摸到的兩枚棋子是不同顏色的，即一黑一白。這時要把拿出的白棋子放回到大盒，大盒內(nèi)少了一枚黑棋子。綜合（1）（2），每摸一次，大盒內(nèi)的黑棋子總數(shù)不是少一枚就是多一枚，即改變了黑棋子數(shù)的奇偶性。原來大盒內(nèi)有1000枚即偶數(shù)枚黑棋子，摸了1999次，即改變了1999次奇偶性后，還剩奇數(shù)枚黑棋子。因為大盒內(nèi)只剩下2枚棋子，所以最后剩下的兩枚棋子是一黑一白。例6 一串?dāng)?shù)排成一行：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，到這串?dāng)?shù)的第1000個數(shù)為止，共有多少個偶數(shù)？分析與解：首先分析這串?dāng)?shù)的組成規(guī)律和奇偶數(shù)情況。1+1=2，2+3=5，3+5=8， 5+8=13，這串?dāng)?shù)的規(guī)律是，從第三項起，每一個數(shù)等于前兩個數(shù)的和。根據(jù)奇偶數(shù)的加法性質(zhì)，可以得出這串?dāng)?shù)的奇偶性：奇，奇，偶，奇，奇，偶，奇，奇，偶，容易看出，這串?dāng)?shù)是按“奇，奇，偶”每三個數(shù)為一組周期變化的。 10003=3331，這串?dāng)?shù)的前1000個數(shù)有333組又1個數(shù)，每組的三個數(shù)中有1個偶數(shù)，并且是第3個數(shù)，所以這串?dāng)?shù)到第1000個數(shù)時，共有333個偶數(shù)。練習(xí)8 1.在11，111，1111，11111，這些數(shù)中，任何一個數(shù)都不會是某一個自然數(shù)的平方。這樣說對嗎？2.一本書由17個故事組成，各個故事的篇幅分別是1，2，3，17頁。這17個故事有各種編排法，但無論怎樣編排，故事正文都從第1頁開始，以后每一個故事都從新一頁碼開始。如果要求安排在奇數(shù)頁碼開始的故事盡量少，那么最少有多少個故事是從奇數(shù)頁碼開始的？3.桌子上放著6只杯子，其中3只杯口朝上，3只杯口朝下。如果每次翻轉(zhuǎn)5只杯子，那么至少翻轉(zhuǎn)多少次，才能使6只杯子都杯口朝上？4.70個數(shù)排成一行，除了兩頭的兩個數(shù)以外，每個數(shù)的3倍都恰好等于它兩邊的兩個數(shù)的和，這一行數(shù)的最左邊的幾個數(shù)是這樣的：0，1，3，8，21，問：最右邊的一個數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)？5.學(xué)校組織運(yùn)動會，小明領(lǐng)回自己的運(yùn)動員號碼后，小玲問他：“今天發(fā)放的運(yùn)動員號碼加起來是奇數(shù)還是偶數(shù)？”小明說：“除開我的