分形幾何及其在巖土工程中的應用.doc

分形理論及其在巖土工程中的應用分形幾何課程論文學 院：專 業(yè)：指導老師： 姓 名： 學 號：聯(lián)系方式：2010年12月分形理論及其在巖土工程中的應用1 引言5歐氏幾何、三角學、微積分學使我們能夠用直線、圓、拋物線等其他簡單曲線來建立現(xiàn)實世界中的形狀模型。比如，零維的點、一維的線、二維的面、三維的立體乃至四維的時空等,它們所描述的幾何對象是規(guī)則和光滑的。而在自然界中存在著大量的復雜事物：變幻莫測的云彩、雄渾壯闊的地貌、回轉曲折的海岸線、動物的神經網絡、不斷分叉的樹枝、縱橫交流的血管、燒結過程中形成的各種尺寸的聚積團等等。面對這些事物和現(xiàn)象，傳統(tǒng)科學顯得束手無策。因為目前還沒有哪一種幾何學能更好地描述自然形態(tài)，象山、云、火這類的自然形態(tài)尚缺少必要的數(shù)學模型。近30 年來，科學家們朦朧地“感覺”到了另一個幾何世界，即關于自然形態(tài)的幾何學，或者說分形幾何學。這種幾何學把自然形態(tài)看作是具有無限嵌套層次的邏輯結構，并且在不同尺度之下保持某種相似的屬性，例如，一塊磁鐵中的每一部分都像整體一樣具有南北兩極，不斷分割下去，每一部分都具有和整體磁鐵相同的磁場。這種自相似的層次結構，適當?shù)姆糯蠡蚩s小幾何尺寸，整個結構不變。于是在變換與迭代的過程中得到描述自然形態(tài)的有效方法(其中L 系統(tǒng)和IFS 方法便是典型的代表)。分形理論是非線性科學的一個重要分支，主要研究的就是自然界和非線性系統(tǒng)中出現(xiàn)的不光滑和不規(guī)則的具有自相似性且沒有特征長度的形狀和現(xiàn)象。2 分形理論的創(chuàng)始和發(fā)展1“分形”(fractal) 一詞由美籍法國數(shù)學家曼德爾布羅特(Benoit B.mandelbrot)教授在1975 年首次提出，其源于拉丁文fractus，原意為“分數(shù)的，不規(guī)則的，破碎的”。我們通常以曼德爾布羅特發(fā)表在1967年科學雜志上的“英國的海岸線有多長統(tǒng)計自相似性與分數(shù)維數(shù)”一文作為“分形”學科誕生的標志。分形理論的發(fā)展大致可分為三個階段：第一階段為1875年至1925年，在此階段人們已認識到幾類典型的分形集，并且力圖對這類集合與經典幾何的差別進行描述、分類和刻畫。1872年，維爾斯特拉斯(Weieratrass)證明了一種連續(xù)函數(shù)維爾斯特拉斯函數(shù)在任意一點均不具有有限或無限導數(shù)。同年，康托爾(Cantor)引入了一類全不連通的緊集，被稱為康托爾三分集。1890年皮亞諾(Peano)構造出填充平面的曲線。皮亞諾曲線以及其它的例子導致了后來拓撲維數(shù)的引入。1904年科切(Koch) 通過初等方法構造了處處不可微的連續(xù)曲線科切曲線(圖1.1)，并且討論了該曲線的性質。圖1.1 Koch) 曲線波瑞（Perrin）在1913年對布朗運動的軌跡圖進行了深入的研究，明確指出布朗運動作為運動曲線不具有導數(shù)。他的這些論述在1920年促使維納(Wiener)建立了很多布朗運動的概率模型。為了表明自然混亂的極端形式，維納采用了“混沌”一詞。由于非常“復雜”的幾何的引入，長度、面積等概念必須重新認識。為了測量這些集合，閔可夫斯基(Minkowski)于1901年引入了閔可夫斯基容度。豪斯道夫(Hausdorff)于1919年引入了豪斯道夫測度和豪斯道夫維數(shù)。這些實際上指出了為了測量一個幾何對象，必須依賴于測量方式以及測量所采取的尺度?？傊?，在分形理論發(fā)展的第一階段，人們已經提出了典型的分形對象及其相關問題并為討論這些問題做了最基本的工作。第二階段大致為1926年到1975年，人們在分形集的性質研究和維數(shù)理論的研究都獲得了豐富的成果。貝希柯維奇(Besicovitch)及其他學者的研究工作貫穿了第二階段。他們研究曲線的維數(shù)、分形集的局部性質、分形集的結構、S-集的分析與幾何性質、以及在數(shù)論、調和分析、幾何測度論中的應用。布利干(Bouligand)于1928年引入了布利干維數(shù)，龐德澤金(Pon- trjagin)與史尼雷爾曼（Schnirelman）于1932年引入了覆蓋維數(shù)，柯爾莫哥洛夫（Kolmo- gorov）與季霍米洛夫(V.Tikhomirov)于1959年引入體維數(shù)。由于維數(shù)可以從不同角度來刻畫集合的復雜性，從而起了重要作用。以塞勒姆(Salem)與柯漢(Kahane)為代表的法國學派從稀薄集的研究出發(fā)，對各種類型的康托爾集及稀薄集作了系統(tǒng)的研究，應用了相應的理論方法和技巧，并在調和分析理論中得到了重要應用。盡管此階段的分形研究成果頗豐，但絕大部分局限于純數(shù)學理論的研究，而未與其它學科發(fā)生聯(lián)系。另一方面，物理、地質、天文學和工程學等學科已產生了大量與分形幾何有關的問題，迫切需要新的思想與有利的工具來處理。正是在這種形勢下，曼德爾布羅特以其獨特的思想,自20世紀60年代以來，系統(tǒng)、深入、創(chuàng)造性地研究了海岸線的結構、具強噪聲干擾的電子通訊、月球的表面、銀河系中星體的分布、地貌生成的幾何性質等典型的自然界的分形現(xiàn)象，并取得了一系列令人矚目的成就。第三階段為1975年至今，是分形幾何在各個領域的應用取得全面發(fā)展，并形成獨立學科的階段。曼德爾布羅特于1977年以分形：形、機遇和維數(shù)為名發(fā)表了他的劃時代的專著。此專著，第一次系統(tǒng)的闡述了分形幾何的思想、內容、意義和方法。此專著的發(fā)表標志著分形幾何作為一個獨立的學科正式誕生，從而把分形理論推進到一個更為迅猛發(fā)展的新階段。5年后，他又出版了另一部著作自然界的分形幾何學，至此分形理論初步形成。由于對科學的杰出貢獻，他榮獲了1985年的Barnard獎?，F(xiàn)在“分形”的研究已經進入了一個深入攻堅與廣泛應用的階段。但是“分形”理論的研究卻存在很大的缺陷，例如：分形嚴格的數(shù)學定義是什么？應該如何對分形進行簡單的計算？重要的生長模型- 擴散置限凝聚生長模型DLA(Diffusion Limited Aggregation)的物理本質是什么，它究竟是按什么規(guī)律在進行生長等。由于非線性數(shù)學工具的匱乏，我們在很多問題上都無法做出定量的刻畫，目前大量的工作還是以計算機模擬為主。3 分形定義及分形維數(shù)3.1 分形的性質描述定義目前對分形并沒有嚴格的數(shù)學定義，只能給出描述性的定義。粗略地說，分形是沒有特征長度,但具有一定意義下的自相似圖形和結構的總稱。英國數(shù)學家肯尼斯法爾科內（Kenneth J.Falconer）在其所著分形幾何的數(shù)學基礎及應用一書中認為，對分形的定義，可以用生物學中對“生命”定義的辦法。即不尋求分形的確切簡明的定義，而是尋求分形的特性，按這種觀點，稱集合F是分形，是指它具有下面典型的性質：（1）F具有精細結構，即在任意小的尺度下，它總有復雜的細節(jié)。（2）F是不規(guī)則的，其整體和局部都不能用傳統(tǒng)的幾何語言來描述；傳統(tǒng)的幾何語言，如歐幾里德幾何語言，只能對那些平滑的直線或曲線進行測量和描述，對分形這種處處不連續(xù)或處處連續(xù)但又處處不光滑的圖形是無法測量和描述的。（3）F通常具有自相似形式，這種自相似可以是近似的或是統(tǒng)計意義的；（4）一般情況下，F(xiàn)在某種方式下定義的分形維數(shù)大于它的拓撲維數(shù)；這是曼德爾布羅特于1982 年為分形所下的定義。分形維數(shù)是度量分形集復雜程度的一個量，它可以是整數(shù)也可以是分數(shù)或小數(shù)。而拓撲維數(shù)值恰恰是與組成分形的基本單元的歐氏維數(shù)值相同，那么分形維數(shù)大于它的拓撲維數(shù)，正好說明了分形用傳統(tǒng)幾何學來度量的話，它是個無限集，是一個趨向無窮的集合。（5）在大多數(shù)情形下，F(xiàn)以非常簡單的方法確定，可能由迭代過程產生。3.2 分形維數(shù)維數(shù)是幾何學和空間理論的基本概念，它源于經典的歐氏空間。在歐氏空間中，直線所構成的空間是一維的，平面是二維的，普通(立體)空間是三維的。人們稱這種維數(shù)為經典維數(shù)或是歐氏維數(shù)，它必須是整數(shù)。歐氏幾何研究的是規(guī)則而光滑的對象,但自然界中更多的是既不規(guī)則又不光滑的研究對象。如果要問雪花、云彩、山脈、江河、樹枝、花朵、以及漩渦等復雜的自然構形的維數(shù)是多少，用經典維數(shù)是難以區(qū)別它們的復雜程度的。在分形幾何中，度量兩個分形集合的“不規(guī)則”程度和“復雜”程度的客觀工具是分形維數(shù)。目前，對分形維數(shù)的定義很多，如：豪斯道夫維數(shù)、相似維數(shù)、容量維數(shù)、信息維數(shù)、關聯(lián)維數(shù)等。有著不同定義的分形維數(shù)，描述分形集的角度也是不同的。在一般情況下，它是一個分數(shù)。當然，它可以是整數(shù)也可以是非整數(shù)。例如，自然界的山，其分形維數(shù)在2.2維左右，但從2.1維到2.5維畫出來的都有一定的山的效果。由于分形客體具有自相似性，所以很自然想到通過對客體的相似維數(shù)來對它進行描述。對于某分形集S，若其局部與整體相似，只要將局部放大一定倍數(shù)總可以得到與整體一致的圖形，稱之為自相似集。對自相似集S來說，定義所謂相似維數(shù)為： ，其中N是組成S的相似子集的個數(shù)，C為相似比例系數(shù)。按此定義，若S為一直線段，那么它可看作是由比例系數(shù)為 c=1/k 的K個直線段構成的，于是， 。若S是個正方形，它可看作是由比例系數(shù) c=1/k 的K2個與之相似的小正方形構成的，那么。也就是說，相似維數(shù)在這種特例之下與通常維數(shù)概念是一致的。4分形理論在巖土工程中的應用盡管巖石力學學科創(chuàng)建已逾半個世紀，在經典力學理論的框架下繁演了諸多的理論模型，但面對復雜的工程巖體材料仍顯得無能為力，計算結果與實際相差甚遠，現(xiàn)有的連續(xù)介質力學理論和離散介質力學理論，均不能很好地描述這種特殊的介質。分形理論用于研究數(shù)學領域和自然界中，經典歐氏幾何無法表述的極其復雜和不規(guī)則幾何形體與現(xiàn)象，并用分形維數(shù)定量刻畫其復雜程度。因此，應用分形理論研究巖石介質變形破壞規(guī)律是具有深遠影響的舉措，近20多年分形理論在巖土工程中得到了較為廣泛的應用。4.1土的微結構分形土的工程性質與土的物質成分、微結構密切相關。在物質成分研究中，粒度成分常起較大的作用，決定了土的滲透、變形、強度等物理力學特性，因而粒度(顆粒級配)常作為土工程分類的主要指標。劉松玉、胡瑞林等研究表明5：土的顆粒分布表現(xiàn)為分形特征。在分析中，采用統(tǒng)計自相似性原理來計算分維，通常以小于某一粒徑(r)的顆粒的累計數(shù)目N(r)來刻劃其分布特征，即：(1)或 (2)式中D為粒度分維。上式與容量維定義一致。它反映了顆粒的均一化程度。D值越大，則均一化程度越差。計算結果表明，我國某地區(qū)土的粒度分維為：膨脹土0.881.22，軟土1.371.45，天然黃土0.821.275。4.2節(jié)理表面的分維巖體力學中，節(jié)理表面形貌特征是控制巖體力學性態(tài)的重要因素。以前用節(jié)理面的平均起伏角i和表面粗糙度系數(shù)JRC來表征。研究表明，節(jié)理面是在天然地質過程中形成的，具有隨機性，其縱剖輪廓線的高低起伏變化表現(xiàn)為統(tǒng)計自相似性，具有分形特征。因此，可以用分維值來反映節(jié)理面的粗糙程度。文獻6用碼尺法測量了不同節(jié)理的分維值。結果表明，分維值能很好地反映節(jié)理的粗糙程度，比起ISRM輪廓線粗糙度系數(shù)JRC的肉眼經驗判別，分維是粗糙程度更客觀的定量尺度。文中根據(jù)波紋的形態(tài)不同，把分維值細化為波紋分維和齒紋分維，為進一步分析節(jié)理剪切力學機制提供了細化參數(shù)。4.3分維和巖石質量系數(shù)的關系巖石質量系數(shù)(RQD)是對巖體中節(jié)理分布密度的評價，其值越大，表示巖石質量較好，節(jié)理分布較稀疏。文獻7認為，以節(jié)理間距菇為橫坐標，間距大于菇的節(jié)理條數(shù)N(x)為縱坐標，取對數(shù)后整理回歸統(tǒng)計，發(fā)現(xiàn)與之間存在顯著的線性關系，即節(jié)理間距分布符合統(tǒng)計自相似性質。有： (3)進一步推導出了節(jié)理間距服從負指數(shù)分布時，RQD值與Df間的關系為： (4)4.4分形損傷2類似巖石的脆性材料與結構，在宏觀裂紋出現(xiàn)之前，已經產生了微觀裂紋或微觀空洞，將材料與結構中的這些微觀缺陷的出現(xiàn)和擴展稱為損傷。實踐證明，宏觀裂紋出現(xiàn)之前，損傷已經影響了材料與結構的強度及壽命。分形領域的研究表明，材料損傷演化過程是一個分形，分形維數(shù)是反映材料損傷程度的某一特征量；不同載荷階段下脆性材料的損傷場，分形維數(shù)不同；材料的損傷演化表現(xiàn)出統(tǒng)計自相似性特征；在比例加載下，無論什么材料，宏觀裂紋頂端的損傷區(qū)形狀和范圍大小，隨時間是以一個時空函數(shù)的相似比變化的，大部分材料的損傷區(qū)是以自相似方式演化的；從微裂紋的分布，單一裂紋的擴展，到材料損傷的演化規(guī)律，處處都可發(fā)現(xiàn)分形損傷的特征和行為。4.5分形斷裂斷裂表面是材料斷裂后留下的關于斷裂過程的記錄，斷口蘊藏著關于斷裂機理的信息，通過研究斷裂表面可以追溯斷裂產生的機理，發(fā)現(xiàn)材料的微結構組成和缺陷。而今，巖石材料的斷口分析已成為材料科學和斷裂力學研究中的一個重要方向。伴隨工程界思想、理論和方法的不斷更新，相關巖石材料斷裂表面的研究，已經由長期的定性分析日漸進入定量分析，并且這些定量分析已成為巖石材料形變和斷裂研究中不可缺少的部分。巖石材料斷裂表面定量分析的方法之一就是用分形來表征斷裂表面，它是巖石材料斷裂表面粗糙度的一種度量。分形理論領域的研究表明，巖石斷裂表面可以用多重分形或各向異性的自相似性分形來準確描述；巖石斷口表面可以看成統(tǒng)計自相似分形，可以用分形來定量地刻劃斷口表面的粗糙性；巖石斷口表面的分維與材料斷裂韌度的關系是負相關的，即材料斷裂韌度隨分維值的增大而降低；巖石材料斷裂后，斷裂表面表現(xiàn)出來的不規(guī)則性，反映了在斷裂時損傷斷裂的能量耗散及微結構效應，根據(jù)斷口的分維可追溯到巖石斷裂時的宏觀力學行為。5 結 語國內分形理論研究領域頗具影響的專家學者，中國工程院謝和平院士最早將分形理論應用到巖石工程領域，創(chuàng)立了“分形一巖石力學”理論，倡導在巖石力學問