【志鴻全優(yōu)設計】高中數學 3.3.1 函數的單調性與導數目標導學 新人教A版選修11.docVIP

1 3 3 13 3 1 函數的單調性與導數函數的單調性與導數 問題導學問題導學 一 利用導數研究簡單函數的單調性及求單調區(qū)間 活動與探究 1 1 函數y xcos x sin x在下面哪個區(qū)間內是增函數 a b 2 2 3 2 c d 2 3 3 2 5 2 2 求函數f x x2 ln x的單調區(qū)間 遷移與應用 1 證明函數f x 在區(qū)間 0 2 上是單調遞增函數 ln x x 2 求函數f x 的單調區(qū)間 ex x 2 1 求函數f x 單調區(qū)間的步驟是 先確定定義域 再求出f x 最后通過解不等 式f x 0 和f x 0 求出單調區(qū)間 正確運用求導公式對函數進行求導 準確熟練 地解出不等式是求函數單調區(qū)間的基本功 2 當函數的增減區(qū)間有多個時 區(qū)間之間不能用并集符號合并 也不能用 或 應 該用 隔開或用 和 3 如果在某個區(qū)間內恒有f x 0 則f x 是常數函數 如果在某個區(qū)間內只有有 限個點使f x 0 其余點恒有f x 0 則f x 仍為增函數 減函數的情形與增函數 的情形類似 二 原函數和導函數圖象之間的關系 活動與探究 2 函數y f x 在定義域內可導 其圖象如圖所示 記y f x 的導函數為 3 2 3 y f x 則不等式f x 0 的解集是 a 2 3 1 3 1 b 1 1 2 4 3 8 3 c 1 2 3 2 1 2 d 3 2 1 1 2 4 3 8 3 3 遷移與應用 已知導函數f x 的下列信息 當 1 x 3 時 f x 0 當x 3 和x 1 時 f x 0 當x 1 和x 3 時 f x 0 試畫出函數f x 圖象的大致形狀 2 注意圖形語言 符號語言之間的轉化及應用 在某個區(qū)間內導函數值的正負影響著原 函數的單調性 即在某個區(qū)間內f x 0 或f x 0 也就是f x 的圖象在x軸的 上方 或下方 則函數在該區(qū)間內是增函數 或減函數 三 求含參數的函數的單調區(qū)間 活動與探究 3 1 已知a b為常數 且a 0 函數f x ax b axln x f e 2 e 2 718 28 是自然對數的底數 求實數b的值 求函數f x 的單調區(qū)間 2 已知函數f x 2x3 tx2 3t2x t 0 求f x 的單調區(qū)間 3 2 t 1 2 遷移與應用 已知函數f x ax2 ln x a r r 求f x 的單調區(qū)間 1 2 討論含有參數的函數的單調性 通常歸結為求含參不等式的解集的問題 而對含有參 數的不等式要針對具體情況進行討論 但始終注意定義域對單調性的影響以及分類討論的 標準 四 已知函數的單調性求參數的取值范圍 活動與探究 4 已知函數f x x2 x 0 常數a r r 若函數f x 在x 2 上是單調遞增 a x 的 求實數a的取值范圍 遷移與應用 1 已知函數f x x3 ax在 1 上是單調減函數 則a的最大值為 a 1 b 2 c 3 d 4 2 若函數f x x3 mx2 2m2 5 的單調減區(qū)間是 9 0 則m 1 由函數的單調性求參數范圍時的注意事項 函數的單調性是函數的重要性質 也是高中階段研究的重點 若函數f x 可導 其導 數與函數的單調性的關系如下 以增函數為例來說明 f x 0 能推出f x 為增函數 但反之不一定 即f x 0 是f x 為增函數的充分不必要條件 f x 0 時 f x 0 是f x 為增函數的充分必要條件 f x 為增函數 一定可以推出f x 0 但反之不一定 即f x 0 是f x 為 增函數的必要不充分條件 2 m f x 恒成立 m f x max m f x 恒成立 m f x min 答案 答案 課前課前 預習導學預習導學 預習導引 1 f x 0 f x 0 f x 0 預習交流預習交流 1 提示 提示 在某個區(qū)間內f x 0 f x 0 是函數f x 在此區(qū)間內為增 減 函數的充分不必要條件 如果出現個別點使f x 0 不會影響函數f x 在包含這 些特殊點的某個區(qū)間內的單調性 例如函數f x x3在定義域 上是增函數 但由f x 3x2知 f 0 0 即并不是在定義域內的任意一點處都滿足f x 0 從而可導函數f x 在 a b 上遞增 遞減 的充要條件是f x 0 f x 0 在 a b 上恒成立 且f x 在 a b 的任意子區(qū)間內都不恒等于零 2 1 定義域 2 f x 0 4 符號 預習交流預習交流 2 提示 提示 1 和 1 1 1 3 1 導數的絕對值較大 2 大于 銳角 遞增 小于 鈍角 遞減 3 預習交流預習交流 3 提示 提示 0 0 課堂課堂 合作探究合作探究 問題導學 活動與探究活動與探究 1 1 思路分析 思路分析 只需判斷在哪個區(qū)間上導函數的值大于零即可 b 解析 解析 y cos x xsin x cos x xsin x 若y f x 在某區(qū)間內是增函數 只需在此區(qū)間內y 恒大于零即可 只有選項 b 符合題意 當x 2 時 y 0 恒成立 2 思路分析 思路分析 求函數的單調區(qū)間 即求定義域上滿足f x 0 或f x 0 的區(qū) 間 解 解 函數f x 的定義域為 0 f x 2x 1 x 2x 1 2x 1 x x 0 x 1 0 2 令f x 0 得x 2 2 f x 的單調遞增區(qū)間為 2 2 由f x 0 得x 2 2 又 x 0 f x 的單調遞減區(qū)間是 0 2 2 遷移與應用遷移與應用 1 證明 證明 f x ln x x f x ln x x ln x x x2 1 x x ln x x2 1 ln x x2 又 x 0 2 ln x ln 2 1 故f x 0 1 ln x x2 即函數在區(qū)間 0 2 上是單調遞增函數 2 解 解 函數f x 的定義域為 2 2 f x ex x 2 ex x 2 2 ex x 3 x 2 2 因為x 2 2 所以 ex 0 x 2 2 0 由f x 0 得x 3 所以函數f x 的單調遞增區(qū)間為 3 由f x 0 得x 3 又函數f x 的定義域為 2 2 所以函數f x 的單調遞減區(qū)間為 2 和 2 3 活動與探究活動與探究 2 思路分析 思路分析 當f x 0 時 f x 遞減 從而由圖象找出遞減區(qū)間即 可 a 解析 解析 求f x 0 的解集 即求函數f x 在上的單調減區(qū)間 3 2 3 由圖象可知y f x 的單調減區(qū)間為 2 3 1 3 1 遷移與應用遷移與應用 解 解 當 1 x 3時 f x 0 可知f x 在此區(qū)間內單調遞減 4 當x 3 和x 1 時 f x 0 可知f x 在此區(qū)間內單調遞增 當x 1 和x 3 時 f x 0 這兩點比較特殊 我們稱它們?yōu)?臨界點 綜上 函數f x 圖象的大致形狀如圖所示 活動與探究活動與探究 3 1 思路分析 思路分析 準確求出函數的導函數 并對參數a的正負進行討論 進而確定f x 0 f x 0 的解集 解 解 由f e 2 得b 2 由 可得f x ax 2 axln x 從而f x aln x 因為a 0 故 當a 0 時 由f x 0 得x 1 由f x 0 得 0 x 1 當a 0 時 由f x 0 得 0 x 1 由f x 0 得x 1 綜上 當a 0 時 函數f x 的單調遞增區(qū)間為 1 單調遞減區(qū)間為 0 1 當a 0 時 函數f x 的單調遞增區(qū)間為 0 1 單調遞減區(qū)間為 1 2 思路分析 思路分析 正確對函數f x 進行求導 求出f x 0 的根 對根的大小進行討 論 進而求出f x 0 f x 0 的解集 解 解 f x 6x2 3tx 3t2 3 2x t x t 令f x 0 得x t或x t 2 t 0 以下分兩種情況進行討論 若t 0 則 t t 2 由f x 0 得x 或x t t 2 由f x 0 得 x t t 2 若t 0 則 t t 2 由f x 0 得x t或x t 2 由f x 0 得 t x t 2 當t 0 時 f x 的遞增區(qū)間為 t 遞減區(qū)間為 t 2 t 2 t 當t 0 時 f x 的遞增區(qū)間為 t 遞減區(qū)間為 t 2 t t 2 遷移與應用遷移與應用 解 解 f x 的定義域為 0 f x ax 1 x ax2 1 x 當a 0 時 f x 0 恒成立 則f x 在 0 上單調遞增 當a 0 時 由f x 0 得 x 1 a 1 a 又 x 0 0 x 1 a 由f x 0 得x 或x 1 a 1 a 5 又 x 0 x 1 a 綜上所述 當a 0 時 f x 的遞增區(qū)間為 0 當a 0 時 f x 的遞增區(qū)間為 遞減區(qū)間為 0 1 a 1 a 活動與探究活動與探究 4 思路分析 思路分析 先求出f x 則由題意知f x 0 在區(qū)間 2 上 恒成立 從而轉化為恒成立問題 解 解 要使f x 在 2 上是增函數 則f x 0 在x 2 時恒成立 即 0 2x3 a 0 2x3 a x2 當x 2 時 a 2x3恒成立 a 2x3 min x 2 y 2x3是增函數 2x3 min 16 a 16 當a 16 時 f x 0 且只有f 2 0 2x3 16 x2 實數a的取值范圍是a 16 遷移與應用遷移與應用 1 c 解析 解析 由已知f x 3x2 a 0 在 1 上恒成立 即 a 3x2在x 1 上恒成立 a 3 a的最大值為 3 2 解析 解析 f x 3x2 2mx 令f x 3x2 2mx 0 27 2 則 9 0 是 3x2 2mx 0 的解集 3 9 2 2 9 m 0 m 27 2 當堂檢測當堂檢測 1 y xln x在 0 5 上是 a 單調增函數 b 單調減函數 c 在上單調遞減 在上單調遞增 1 0 e 1 5 e d 在上單調遞增 在上單調遞減 1 0 e 1 5 e 答案 答案 c 解析 解析 y x ln x 1 ln x 1 x 令y 0 可得 1 e x 令y 0 可得 故選 c 1 0 e x 2 函數y x2 ln x的單調遞減區(qū)間為 1 2 a 1 1 b 0 1 c 1 d 0 答案 答案 b 解析 解析 對函數求導 得 x 0 令 2 1 ln 2 yxx 2 11 x y x xx 解得x 0 1 因此函數y x2 ln x的單調遞減區(qū)間為 0 1 故選 b 2 1 0 0 x x x 1 2 6 3 設函數f x 在定義域內可導 y f x 的圖象如圖所示 則導函數y f x 的圖 象可能為 答案 答案 d 解析 解析 由已知f x 在 0 上遞增 在 0 上 f x 先增后減再 增 f x 在 0 上的函數值為正 f x 在 0 上的函數值先正后負再正 故 d 正確 4 已知f x x 2sin x在 0 上的單調遞增