矢量圖解運動問題 (2).doc

專題1 O 曲線運動的動力學解沈晨 專題7曲線運動曲直談中，我們從運動學角度研究了曲線運動，在那里，我們熟悉了描述曲線運動的運動學方法，對圓周運動與拋體運動的運動學規(guī)律做了較深入的研究在這個專題里，我們將從動力學角度研究曲線運動，即掌握各種曲線運動形成及運動狀態(tài)變化的原因，這對于人們能動地掌控曲線運動是至為重要的 牛頓第二定律闡述了力與加速度的普遍關(guān)系，通俗地說就是：什么樣的力產(chǎn)生什么樣的加速度在曲線運動中，我們通常將物體所受外力沿切線方向分量的代數(shù)和Ft稱為切向力，而外力沿法線方向分量的代數(shù)和Fn稱為法向力切向力產(chǎn)生切向加速度、決定曲線運動物體速率變化的快慢，法向力產(chǎn)生法向加速度、決定物體運動方向變化的快慢在益線運動中，牛頓第二定律的切向與法向的分量式(動力學方程)為 當物體所受外力與運動速度方向不在同一直線時，物體一定做曲線運動，其中，若物體所受外力為恒力，物體做勻變速曲線運動，例如拋體運動；若物體所受外力方向與運動方向總垂直，則切向加速度為零，物體做勻速率的曲線運動，例如做等距螺旋線運動的物體；再如物體所受總垂直于速度的方向的外力大小不變，則法向加速度大小不變，這就是勻速圓周運動 動力學方法求解曲線運動的加速度，首先要作好兩項分析，即物體的受力情況分析與運動情況分析，當外力與運動方向不在同一直線的情況下，通常將物體所受各力按運動速度的切向與法向作正交分解，通過建立兩個方向七的牛頓第二定律的分量式求得 例l、如圖lO-1所示，滑塊A的質(zhì)量為M，由于繩子的牽引而沿水平導軌滑動，繩子的另一端纏繞在半徑為r的鼓輪0上，鼓輪以等角速度轉(zhuǎn)動不計導軌與滑塊間的摩擦，求繩子的拉力FT與距離x之間的關(guān)系們略作些盤點首先，在豎直平面內(nèi)發(fā)生的圓周運動，是有重力參與提供向心力的，如果沒有其他切向力，豎直面上的圓周運動肯定是非勻速率的，機械能是守恒的，在水平直徑以上各點均存在一速度的臨界值如圖lO一3所示，小物體連接在輕桿一端，在豎直平面內(nèi)繞桿的另一端做圓周運動，通過水平直徑以上位置，桿與水平線問的夾角為并正沿圓周向上運動時將重力沿切向與法向分解，可知，重力的切向分力mgcos，方向與速度方向相反，說明物體正做減速率地運動；重力的法向分力mgsin與桿的拉力的合力作為向心力，應(yīng)有式中R為圓軌道半徑從該式可知，線速度v越大，沿軌道運動通過該點時的加速度越大，所需向心力越大，這要靠桿的拉力來適調(diào)，因為桿的拉力是微小形變引起的彈力，是一種“適應(yīng)性力”而重力則是恒力若速度v較小，向心加速度較小，致使只須重力的法向分量提供向心力即可，即這時桿上的彈力為零若小物體速度小于vo，桿上彈性拉力將轉(zhuǎn)為支持力，此時有故v=Rgsin是桿牽引小物體在豎直平面內(nèi)做圓周運動時，桿恰無形變，彈力為零桿對小物體的作用效果在“拉”與“推”之間轉(zhuǎn)換的臨界速度，而小物體能在豎直面內(nèi)做完整的圓周運動的條件是到達最高點時的速度v=O 若用繩來替換桿，如圖10一4甲所示，因繩對小物體不可能產(chǎn)生支持力作用，則在達到臨界速度v0時，繩長仍為R但已不張緊，這是物體能在半徑為R的豎直圓軌道運動的臨界狀態(tài)，此后繩完全松弛，小物體只受重力作用而做拋體運動這說明，對應(yīng)于繩與水平線成角的位置，物體可沿圓周運動的最小速度vmin=在最高點，這一臨界速度值應(yīng)為，小物體做完整的豎直平面內(nèi)的圓周運動的條件是通過最高點時的速度不小于Rg再若將桿替換成環(huán)形軌道，如圖104乙所示，小物體沿光滑軌道外側(cè)運動時，由于軌道對小物體只可能產(chǎn)生“頂”的作用效果故v0=尤成為小物體不脫離軌道可取的最大速度，而要在軌道最高點不脫軌，小物體的速度不得超過Rg 例2一長為n的細線系著一小球懸掛在。點靜止不動若使小球獲得一個水平初速度v0=略去空氣阻力證明：小球的運動軌跡經(jīng)過懸點o例3 圖lO一6所示中，A是一帶有豎直立柱的木塊，總質(zhì)量為M，位于水平地面上B是一質(zhì)量為m的小球，通過一不可伸長的輕繩掛于立柱的頂端現(xiàn)拉動小球，使繩伸直并處于水平位置然后讓小球從靜止狀態(tài)自由下擺如在小球與立柱發(fā)生碰撞前，木塊A始終未發(fā)生移動，則木塊與地面間的靜摩擦因數(shù)至少為多大?例4 如圖10一8所示，有一個質(zhì)量均勻的大球殼，正好靜止在桌邊上，球殼與桌子無摩擦，對球殼輕輕一推，使其滾下桌子，試計算球殼脫離桌子的瞬間，球殼中心的速率 例5筑路工人為了提高工作效率，把從山上挖出來的土石，盛在一個籮筐里，沿一條鋼索道滑至山下如索道形狀為x2=4ay的拋物線，且籮筐及它所盛的土石可以看做質(zhì)量為m的質(zhì)點，求籮筐自x=2a處自由滑至拋物線頂點時的速度，并求此時籮筐對鋼索的壓力 在專題6中，我們曾介紹過做直線加速運動的非慣性系與慣性力，我們知道，引入慣性力后，牛頓第二運動定律F+F，=ma即可適用于非慣性系這里，我們介紹“慣性離心力”：做勻角速度轉(zhuǎn)動的非慣性參考系中的慣性力叫做慣性離心力如圖10-11所示，水平轉(zhuǎn)臺以恒定的角速度w相對于慣性參考系(如地面)轉(zhuǎn)動，平臺上一小球用長為L的繩子與轉(zhuǎn)臺的軸相連，地面觀察者看到小球與轉(zhuǎn)臺一起勻速轉(zhuǎn)動，這是因為繩子對小球的拉力提供了球所需的向心力；對于轉(zhuǎn)臺上的觀察者而言，他看到小球是靜止的，他認為小球除受繩子的拉力外，還受到一個大小與F丁相等、方向相反、沿半徑方向背離圓心的力F，由于FT=Fi，故小球靜止這種在相對于慣性參考系具有向心加速度的參考系中所引入的使牛頓定律仍能適用的力就是慣性離心力，與直線加速運動的參考系中的慣性力一樣，慣性離心力是假想的力，是為在勻角速度轉(zhuǎn)動著的非慣性系中簡化力學問題的處理而采用的一種等效方法慣性離心力 相對于勻角速度轉(zhuǎn)動的參考系靜止的物體，引入慣性離心力后，對轉(zhuǎn)動參考系仍能滿足合力為零的力與運動關(guān)系若物體相對于轉(zhuǎn)動參考系做相對運動而不是靜止，則對轉(zhuǎn)動參考系，為使牛頓運動定律適用，除引入慣性離心力外，還要虛設(shè)另一稱為“科里奧利力”的慣性力在專題7例3的講解中，我們曾展示過，當如圖10一12所示半徑為R的圓盤，以角速度繞盤心O轉(zhuǎn)動，而質(zhì)點沿盤上徑向槽以恒定速度“自盤心向外運動，在槽內(nèi)任一位置A(OAr)質(zhì)點加速度由兩方面構(gòu)成：中介參考系以勻速轉(zhuǎn)動的牽連加速度“a牽連=2r(方向指向轉(zhuǎn)動中心O)以及科里奧利加速度2u(方向沿盤面且垂直于u)對地面觀察者而言，這兩個加速度都是由質(zhì)點所受的真實力盤面的摩擦力和槽的左側(cè)壁彈力引起的，對相對盤靜止的觀察者而言，質(zhì)點沿槽做速度為“的勻速直線運動，他的解釋是，質(zhì)點除了受盤面的摩擦力和槽的左側(cè)壁彈力外，還受到慣性離心力一一科里奧利力，于是轉(zhuǎn)動參考系中的觀察者就可以解釋質(zhì)點的運動了：合力為零，質(zhì)點做勻速直線運動 科里奧利力是轉(zhuǎn)動參考系中引入的假想的慣性力，其大小等于引起科里奧利加速度的真實力，方向相反物體在轉(zhuǎn)動平面上沿任何方向運動時，都將受到一個與運動方向垂直的科里奧利力，大小 地球是一個轉(zhuǎn)動的非慣性參考系，地球自轉(zhuǎn)的證據(jù)之一是傅科擺實驗第一次做這個實驗的是法國科學家傅科，他在巴黎一個廟宇的圓屋頂?shù)乃郊苌嫌?7 m的鐵絲下端懸掛了一個大球，讓球在豎直面內(nèi)往復擺動，在球的每一次擺動中，擺動平面都會發(fā)生明顯的偏轉(zhuǎn)，我國北京天文館陳列的傅科擺，它的擺長是lO m，每37 h 1 5min,擺平面轉(zhuǎn)動一周在一些中學，學生們自行設(shè)計傅科擺，作為演示地球自轉(zhuǎn)的校園科技景觀圖示1 0-13是寧波效實中學學生設(shè)計并將建造的大型校園科技景觀傅科擺效果圖 現(xiàn)在我們假設(shè)傅科擺實驗在北極進行如圖1014所示，一個懸掛在北極的傅科擺，給擺球一個水平初速度，擺球開始在初速度所在豎直面內(nèi)往復運動，考察擺平面M，可以發(fā)現(xiàn)它相對地球不斷地旋轉(zhuǎn)，每晝夜轉(zhuǎn)一周，俯視旋轉(zhuǎn)方向為順時針 以太陽為參考系解釋這一現(xiàn)象：擺球受到兩個實際力的作用，重力mg和擺線拉力FT這兩個力都在擺動平面內(nèi)，不可能使擺平面發(fā)生轉(zhuǎn)動，故擺平面是靜止的，但由于地球在逆時針自轉(zhuǎn)，故擺平面相對于地球反向轉(zhuǎn)動；地球上的觀察者要解釋傅科擺現(xiàn)象必須引入科里奧利力：除了重力mg和擺線拉力F-外，擺球還受到一個方向與擺平面、亦即擺球相對地球運動方向垂直的慣性力例如，當圖1014所示的擺球過平衡位置向右運動時，科里奧利力向外，擺球過平衡位置向左運動時，科里奧利力向里這樣，北極的這只傅科擺其擺平面在科里奧利力作用下順時針地轉(zhuǎn)動了例6如圖lO 15所示，在以角速度m繞中心軸。勻速轉(zhuǎn)動的太空實驗室里，一長為z的細線，一端固定在中心軸o，另一端系一質(zhì)量為m的小球，小球在實驗室里以速度v勻速轉(zhuǎn)動，轉(zhuǎn)動方向與相反，求細線上的拉力FT的大小 1長度為f的不可伸長的細線系在豎直軸的頂端，在線的下端懸掛質(zhì)量為m的一重物再在這重物上系同樣長度的另一根線，線的下端懸掛質(zhì)量也為m的另一個重物，如圖10一16所示豎直軸以恒定角速度轉(zhuǎn)動試證明第一根線與豎直線所成角度小于第二根線與豎直線所成角度 2如圖lO 17所示，套管A的質(zhì)量為M，因受繩子牽引沿豎直桿向上滑動繩子另一端繞過離桿距離為L的滑輪B而纏繞在鼓輪c上當鼓輪c轉(zhuǎn)動時，其邊緣上各點的速度大小為v0求繩子拉力和距離x之間的關(guān)系 3橡皮圈掛在釘子上，如圖10 18所示這時它的長度為2h然后使橡皮圈在水平面上旋轉(zhuǎn)起來，當轉(zhuǎn)動角速度達到時，它的長度也為2h求橡皮圈轉(zhuǎn)動的角速度 4如圖lO一19所示，小物塊質(zhì)量為m在半徑為r的圓柱面上沿螺旋線形的滑槽滑動，運動的切向加速度大小為a=gsin，式中為螺旋線的切線與水平面的夾角，求由于小物塊沿槽滑下而使圓柱面繞其中心軸轉(zhuǎn)動的力矩大小 5如圖10-20所示，一輕繩跨越一固定水平光滑細桿，其兩端各系一小球，球d置于地面，球b從水平位置由靜止向下擺動，設(shè)兩球質(zhì)量相同求a球恰要離開地面時跨越細桿的兩繩之間的夾角 6長為L的輕桿上端有一個質(zhì)量為m的小重物A，桿被鉸鏈固接在0點，如圖10-21所示，并處于豎直位置，同時與質(zhì)量為M的物體B互相接觸由于微小擾動使系統(tǒng)發(fā)生運動試問質(zhì)量之比M/m為多少的情況下，桿在脫離物體B的時刻與水平面成角=/6，這時物體B的速度u為多少? 7質(zhì)量均為m的兩個小球固定在長度為L的輕桿兩端，如圖1022所示，直立在相互垂直的光滑墻壁和地板交界處突然發(fā)生微小的擾動使桿無初速倒下，求當桿與豎直方向成角時，A球?qū)Φ淖饔昧?8質(zhì)量為m，半徑為r的圓木擱在兩個高度相同的支架上，如圖lO一23所示右支架固定不動，而左支架以速度V從圓木下面向左滑動求當兩個支點距離AB=2 r時，圓木對固定支架的壓力FNA。(兩支架開始彼此靠得很近，圓木與支架之間的摩擦不計)9一對繞固定水平軸0和o/同步轉(zhuǎn)動的凸輪，使傳送裝置的水平平板發(fā)生運動，如圖10 24所示問凸輪以多大角速度轉(zhuǎn)動時，放在平板上的零件開始移動?當凸輪按順時針方向轉(zhuǎn)動的情況下，零件將向什么方向移動?零件與平板之間的動摩擦因數(shù)為凸輪半徑為r10用手握著一繩端在水平桌面上做半徑為r的勻速圓周運動，圓心為0，繩長為L，質(zhì)量可以忽略，繩的另一端系著一個質(zhì)量為m的小球，恰好也沿著一個以O(shè)點為圓心的大圓在桌面上運動，小球和桌面之間有摩擦，如圖10-25所示求： (1)手對細繩做功的功率P(2)小球與桌面之間的動摩擦因數(shù)11一個半徑r一10 cm的金屬小圓環(huán)，從高度h=20 Cm處掉到桌上，如圖10-26所示，此小圓環(huán)在空氣中繞其中心軸旋轉(zhuǎn)，軸在豎直方向，角速度=2l rad/s圓環(huán)與桌面的碰撞為非彈性的，且碰撞時間很短小圓環(huán)與桌面間摩擦因數(shù)=O.3，求小圓環(huán)與桌面接觸到旋轉(zhuǎn)停止所轉(zhuǎn)的圈數(shù)(取g=10 m/s2) 12有兩個相同的單擺，把一個拴在另一個的下面，使它們各在一個水平面內(nèi)做勻速圓周運動，設(shè)兩條擺線(長L)與豎直線所成的夾角都很小已知在運動過程中兩條擺線一直保持在同一平面內(nèi)，求此平面轉(zhuǎn)動的角速度，以及兩質(zhì)點軌道半徑之比13半徑為R的水平圓臺，可繞通過圓心0的豎直光滑細軸CC轉(zhuǎn)動，如圖10 27所示，圓臺上沿相互垂直的兩個半徑方向刻有槽，質(zhì)量為mA的物體A放在一個槽內(nèi)，物體A與槽底間的靜摩擦因數(shù)為。，質(zhì)量為mB的物體B放在另一槽內(nèi)，此槽是光滑的AB間用一長為L(LR)且不可伸長的輕繩繞過細軸相連試求當圓臺做勻角速率轉(zhuǎn)動且n、B兩物體相對圓臺不動時，轉(zhuǎn)動角速度和物體A到圓心的距離x所應(yīng)滿足的條件(設(shè)此時物體A與槽的側(cè)面之間沒有作用力) 14質(zhì)量為M、半徑為R的光滑勻質(zhì)半球，靜止在光滑水平面上，在球頂有一質(zhì)量為m的質(zhì)點，由靜止沿球面下滑，求m離開M以前的軌跡方程和m繞球心O的角速度 15輪船以等速率V沿赤道向東航行，試計算，由此使船上物體重量產(chǎn)生的相對誤差，地球自轉(zhuǎn)角速度為0 16半徑