高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第四章 三角函數(shù)、解三角形 4.1 任意角、弧度制及任意角的三角函數(shù)課件 理.ppt

第四章三角函數(shù) 解三角形 4 1任意角 弧度制及任意角的三角函數(shù) 內(nèi)容索引 基礎(chǔ)知識自主學(xué)習(xí) 題型分類深度剖析 思想與方法系列 思想方法感悟提高 練出高分 基礎(chǔ)知識自主學(xué)習(xí) 1 角的概念 1 任意角 定義 角可以看做平面內(nèi)繞著它的端點(diǎn)從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所成的 分類 角按旋轉(zhuǎn)方向分為 和 2 所有與角 終邊相同的角 連同角 在內(nèi) 構(gòu)成的角的集合是s 3 象限角 使角的頂點(diǎn)與坐標(biāo) 重合 角的始邊與 重合 那么 角的終邊 除端點(diǎn)外 在第幾象限 就說這個(gè)角是第幾象限角 如果角的終邊在坐標(biāo)軸上 就認(rèn)為這個(gè)角不屬于任何一個(gè)象限 一條射線 圖形 正角 負(fù)角 零角 k 360 k z 原點(diǎn) x軸的正半軸 知識梳理 1 答案 2 弧度制 1 定義 把長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫做1弧度的角 用符號rad表示 讀作弧度 正角的弧度數(shù)是一個(gè) 負(fù)角的弧度數(shù)是一個(gè) 零角的弧度數(shù)是 正數(shù) 負(fù)數(shù) 0 r 答案 3 任意角的三角函數(shù)任意角 的終邊與單位圓交于點(diǎn)p x y 時(shí) sin cos tan x 0 三個(gè)三角函數(shù)的初步性質(zhì)如下表 y x r r k k z 答案 4 三角函數(shù)線如下圖 設(shè)角 的終邊與單位圓交于點(diǎn)p 過p作pm x軸 垂足為m 過a 1 0 作單位圓的切線與 的終邊或終邊的反向延長線相交于點(diǎn)t mp om at 答案 判斷下面結(jié)論是否正確 請?jiān)诶ㄌ栔写?或 1 銳角是第一象限的角 第一象限的角也都是銳角 2 角 的三角函數(shù)值與其終邊上點(diǎn)p的位置無關(guān) 答案 思考辨析 8 所以y 0 且y2 64 所以y 8 考點(diǎn)自測 2 解析答案 1 2 3 4 5 但是角度制與弧度制不能混用 所以只有 正確 解析答案 1 2 3 4 5 3 教材改編 已知2弧度的圓心角所對的弦長為2 那么這個(gè)圓心角所對的弧長是 解析答案 1 2 3 4 5 解析由題意知角 的終邊與240 角的終邊相同 又 p x y 在角 的終邊上 解析答案 1 2 3 4 5 解析 2cosx 1 0 由三角函數(shù)線畫出x滿足條件的終邊范圍 如圖陰影所示 解析答案 1 2 3 4 5 返回 題型分類深度剖析 例1 1 已知角 的終邊在如圖所示陰影表示的范圍內(nèi) 不包括邊界 則角 用集合可表示為 題型一角及其表示 解析答案 二或四 解析答案 思維升華 思維升華 1 利用終邊相同的角的集合可以求適合某些條件的角 方法是先寫出與這個(gè)角的終邊相同的所有角的集合 然后通過對集合中的參數(shù)k賦值來求得所需的角 2 利用終邊相同的角的集合s 2k k z 判斷一個(gè)角 所在的象限時(shí) 只需把這個(gè)角寫成 0 2 范圍內(nèi)的一個(gè)角 與2 的整數(shù)倍的和 然后判斷角 的象限 m n m n n m m n 跟蹤訓(xùn)練1 解析答案 解析答案 因此必有m n 答案 675 或 315 2 已知角 45 在區(qū)間 720 0 內(nèi)與角 有相同終邊的角 解析由終邊相同的角的關(guān)系知 k 360 45 k z 取k 2 1 得 675 或 315 解析答案 例2已知一扇形的圓心角為 半徑為r 弧長為l 1 若 60 r 10cm 求扇形的弧長l 題型二弧度制的應(yīng)用 解析答案 2 已知扇形的周長為10cm 面積是4cm2 求扇形的圓心角 解析答案 3 若扇形周長為20cm 當(dāng)扇形的圓心角 為多少弧度時(shí) 這個(gè)扇形的面積最大 解由已知得 l 2r 20 所以當(dāng)r 5時(shí) s取得最大值25 此時(shí)l 10 2 即當(dāng)扇形的圓心角 為2弧度時(shí) 這個(gè)扇形的面積最大 解析答案 思維升華 思維升華 應(yīng)用弧度制解決問題的方法 1 利用扇形的弧長和面積公式解題時(shí) 要注意角的單位必須是弧度 2 求扇形面積最大值的問題時(shí) 常轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問題 利用配方法使問題得到解決 3 在解決弧長問題和扇形面積問題時(shí) 要合理地利用圓心角所在的三角形 1 將表的分針撥快10分鐘 則分針旋轉(zhuǎn)過程中形成的角的弧度數(shù)是 解析將表的分針撥快應(yīng)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn) 為負(fù)角 又因?yàn)閾芸?0分鐘 跟蹤訓(xùn)練2 解析答案 2 已知扇形的周長為4cm 當(dāng)它的半徑為 cm和圓心角為 弧度時(shí) 扇形面積最大 解析設(shè)扇形圓心角為 半徑為r 則2r r 4 當(dāng)r 1時(shí) s扇形 max 1 此時(shí) 2 2 1 解析答案 命題點(diǎn)1三角函數(shù)定義的應(yīng)用 題型三三角函數(shù)的概念 解析答案 則q點(diǎn)的坐標(biāo)為 解析答案 命題點(diǎn)2三角函數(shù)值的符號例4 1 若sin 0且tan 0 則 是第 象限角 解析 sin 0 的終邊落在第三 四象限或y軸的負(fù)半軸上 又tan 0 在第一象限或第三象限 故 在第三象限 三 解析答案 二 解析答案 命題點(diǎn)3三角函數(shù)線 則oc與od圍成的區(qū)域 圖中陰影部分 即為角 終邊的范圍 解析答案 思維升華 思維升華 1 利用三角函數(shù)的定義 求一個(gè)角的三角函數(shù)值 需確定三個(gè)量 角的終邊上任意一個(gè)異于原點(diǎn)的點(diǎn)的橫坐標(biāo)x 縱坐標(biāo)y 該點(diǎn)到原點(diǎn)的距離r 2 根據(jù)三角函數(shù)定義中x y的符號來確定各象限內(nèi)三角函數(shù)的符號 理解并記憶 一全正 二正弦 三正切 四余弦 3 利用三角函數(shù)線解三角不等式時(shí)要注意邊界角的取舍 結(jié)合三角函數(shù)的周期性正確寫出角的范圍 1 已知角 的余弦線是單位長度的有向線段 那么角 的終邊在 x軸上 y軸上 直線y x上 直線y x上 角 的終邊在x軸上 跟蹤訓(xùn)練3 解析答案 2 已知角 的終邊經(jīng)過點(diǎn) 3a 9 a 2 且cos 0 sin 0 則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 解析 cos 0 sin 0 角 的終邊落在第二象限或y軸的正半軸上 2 3 解析答案 返回 思想與方法系列 思維點(diǎn)撥點(diǎn)p轉(zhuǎn)動(dòng)的弧長是本題的關(guān)鍵 可在圖中作三角形 尋找p點(diǎn)坐標(biāo)和三角形邊長的關(guān)系 思想與方法系列 6 數(shù)形結(jié)合思想在三角函數(shù)中的應(yīng)用 思維點(diǎn)撥 解析答案 解析如圖所示 過圓心c作x軸的垂線 垂足為a 過p作x軸的垂線與過c作y軸的垂線交于點(diǎn)b 因?yàn)閳A心移動(dòng)的距離為2 所以xp 2 cb 2 sin2 yp 1 pb 1 cos2 答案 2 sin2 1 cos2 2 函數(shù)y lg 3 4sin2x 的定義域?yàn)?解析 3 4sin2x 0 利用三角函數(shù)線畫出x滿足條件的終邊范圍 如圖陰影部分所示 解析答案 返回 溫馨提醒 思維點(diǎn)撥 溫馨提醒 返回 1 解決和旋轉(zhuǎn)有關(guān)的問題要抓住旋轉(zhuǎn)過程中角的變化 結(jié)合弧長公式 三角函數(shù)定義尋找關(guān)系 2 利用三角函數(shù)線解三角不等式要在單位圓中先作出臨界情況 然后觀察適合條件的角的位置 思想方法感悟提高 1 在利用三角函數(shù)定義時(shí) 點(diǎn)p可取終邊上任一點(diǎn) 如有可能取終邊與單位圓的交點(diǎn) 則op r一定是正值 2 三角函數(shù)符號是重點(diǎn) 也是難點(diǎn) 在理解的基礎(chǔ)上可借助口訣 一全正 二正弦 三正切 四余弦 3 在解簡單的三角不等式時(shí) 利用單位圓及三角函數(shù)線是一個(gè)小技巧 方法與技巧 1 注意易混概念的區(qū)別 象限角 銳角 小于90 的角是概念不同的三類角 第一類是象限角 第二 第三類是區(qū)間角 2 角度制與弧度制可利用180 rad進(jìn)行互化 在同一個(gè)式子中 采用的度量制度必須一致 不可混用 3 已知三角函數(shù)值的符號確定角的終邊位置不要遺漏終邊在坐標(biāo)軸上的情況 失誤與防范 返回 練出高分 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 400 360 40 從而 正確 315 360 45 從而 正確 答案3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 若一圓弧長等于其所在圓的內(nèi)接正三角形的邊長 則其圓心角 0 的弧度數(shù)為 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 解析設(shè)p 4a 3a a 0 是角 終邊上任意一點(diǎn) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 5 給出下列命題 第二象限角大于第一象限角 三角形的內(nèi)角是第一象限角或第二象限角 不論是用角度制還是用弧度制度量一個(gè)角 它們與扇形的半徑的大小無關(guān) 若sin sin 則 與 的終邊相同 若cos 0 則 是第二或第三象限的角 其中正確命題的個(gè)數(shù)是 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 解析舉反例 第一象限角370 不小于第二象限角100 故 錯(cuò) 當(dāng)三角形的內(nèi)角為90 時(shí) 其既不是第一象限角 也不是第二象限角 故 錯(cuò) 正確 當(dāng)cos 1 時(shí)既不是第二象限角 也不是第三象限角 故 錯(cuò) 綜上可知只有 正確 答案1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 角 的終邊在第四象限 又角 與角 的終邊相同 所以角 是第四象限角 所以sin 0 tan 0 所以y 1 1 1 1 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 9 一個(gè)扇形oab的面積是1cm2 它的周長是4cm 求圓心角的弧度數(shù)和弦長ab 解設(shè)扇形的半徑為rcm 弧長為lcm 如圖 過o作oh ab于h 則 aoh 1rad ah 1 sin1 sin1 cm ab 2sin1 cm 所以圓心角的弧度數(shù)為2 弦長ab為2sin1cm 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 10 已知角 的終邊上有一點(diǎn)p x 1 x 0 且tan x 求sin cos 解 的終邊過點(diǎn) x 1 x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 故tan 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 12 給出下列各函數(shù)值 sin 1000 cos 2200 tan 10 其中符號為負(fù)的是 解析與 1000 終邊相同的角是80 所以 1000 是第一象限角 則sin 1000 0 與 2200 終邊相同的角是 40 所以 2200 是第四象限角 則cos 2200 0 所以 10是第二象限角 則tan 10 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 13 已知點(diǎn)p sin cos tan 在第一象限 則在 0 2 內(nèi) 的取值范圍是 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 故角 是第二或第三象限角 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11