2018版高中數(shù)學(xué)三角函數(shù)1.6三角函數(shù)模型的簡單應(yīng)用導(dǎo)學(xué)案新人教A版.docx

1.6 三角函數(shù)模型的簡單應(yīng)用學(xué)習(xí)目標(biāo)1.會用三角函數(shù)解決一些簡單的實(shí)際問題.2.體會三角函數(shù)是描述周期變化現(xiàn)象的重要函數(shù)模型.知識點(diǎn)利用三角函數(shù)模型解釋自然現(xiàn)象在客觀世界中，周期現(xiàn)象廣泛存在，潮起潮落、星月運(yùn)轉(zhuǎn)、晝夜更替、四季輪換，甚至連人的情緒、體力、智力等心理、生理狀況都呈現(xiàn)周期性變化.思考現(xiàn)實(shí)世界中的周期現(xiàn)象可以用哪種數(shù)學(xué)模型描述？答案三角函數(shù)模型.梳理(1)利用三角函數(shù)模型解決實(shí)際問題的一般步驟：第一步：閱讀理解，審清題意.讀題要做到逐字逐句，讀懂題中的文字，理解題目所反映的實(shí)際背景，在此基礎(chǔ)上分析出已知什么、求什么，從中提煉出相應(yīng)的數(shù)學(xué)問題.第二步：收集、整理數(shù)據(jù)，建立數(shù)學(xué)模型.根據(jù)收集到的數(shù)據(jù)找出變化規(guī)律，運(yùn)用已掌握的三角函數(shù)知識、物理知識及相關(guān)知識建立關(guān)系式，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為一個與三角函數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)問題，即建立三角函數(shù)模型，從而實(shí)現(xiàn)實(shí)際問題的數(shù)學(xué)化.第三步：利用所學(xué)的三角函數(shù)知識對得到的三角函數(shù)模型予以解答.第四步：將所得結(jié)論轉(zhuǎn)譯成實(shí)際問題的答案.(2)三角函數(shù)模型的建立程序如圖所示：類型一三角函數(shù)模型在物理中的應(yīng)用例1已知電流I與時間t的關(guān)系為IAsin(t).(1)如圖所示的是IAsin(t)(0，|)在一個周期內(nèi)的圖象，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)求IAsin(t)的解析式；(2)如果t在任意一段的時間內(nèi)，電流IAsin(t)都能取得最大值和最小值，那么的最小正整數(shù)值是多少？解(1)由圖可知A300，設(shè)t1，t2，則周期T2(t2t1)2.150.又當(dāng)t時，I0，即sin0，而|0)，300942，又N*，故所求最小正整數(shù)943.反思與感悟此類問題的解決關(guān)鍵是將圖形語言轉(zhuǎn)化為符號語言，其中，讀圖、識圖、用圖是數(shù)形結(jié)合的有效途徑.跟蹤訓(xùn)練1一根細(xì)線的一端固定，另一端懸掛一個小球，當(dāng)小球來回?cái)[動時，離開平衡位置的位移S(單位：cm)與時間t(單位：s)的函數(shù)關(guān)系是S6sin(2t).(1)畫出它的圖象；(2)回答以下問題：小球開始擺動(即t0)，離開平衡位置是多少？小球擺動時，離開平衡位置的最大距離是多少？小球來回?cái)[動一次需要多少時間？解(1)周期T1(s).列表：t012t226sin(2t)360603描點(diǎn)畫圖：(2)小球開始擺動(即t0)，離開平衡位置為3 cm.小球擺動時離開平衡位置的最大距離是6 cm.小球來回?cái)[動一次需要1 s(即周期).類型二三角函數(shù)模型在生活中的應(yīng)用例2某游樂園的摩天輪最高點(diǎn)距離地面108米，直徑長是98米，勻速旋轉(zhuǎn)一圈需要18分鐘.如果某人從摩天輪的最低處登上摩天輪并開始計(jì)時，那么：(1)當(dāng)此人第四次距離地面 米時用了多少分鐘？(2)當(dāng)此人距離地面不低于(59)米時可以看到游樂園的全貌，求摩天輪旋轉(zhuǎn)一圈中有多少分鐘可以看到游樂園的全貌？解(1)如圖，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)此人登上摩天輪t分鐘時距地面y 米，則tt. 由y108cost49cost59(t0).令49cost59，得cost，t2k，故t18k3，kZ，故t3，15，21，33.故當(dāng)此人第四次距離地面 米時用了33分鐘.(2)由題意得49cost5959，即cost.故不妨在第一個周期內(nèi)求即可，所以t，解得t，故3.因此摩天輪旋轉(zhuǎn)一圈中有3分鐘可以看到游樂園的全貌.反思與感悟解決三角函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用問題必須按照一般應(yīng)用題的解題步驟執(zhí)行：(1)認(rèn)真審題，理清問題中的已知條件與所求結(jié)論；(2)建立三角函數(shù)模型，將實(shí)際問題數(shù)學(xué)化；(3)利用三角函數(shù)的有關(guān)知識解決關(guān)于三角函數(shù)的問題，求得數(shù)學(xué)模型的解；(4)根據(jù)實(shí)際問題的意義，得出實(shí)際問題的解；(5)將所得結(jié)論返回、轉(zhuǎn)譯成實(shí)際問題的答案.跟蹤訓(xùn)練2如圖所示，一個摩天輪半徑為10 m，輪子的底部在距離地面2 m處，如果此摩天輪按逆時針轉(zhuǎn)動，每30 s轉(zhuǎn)一圈，且當(dāng)摩天輪上某人經(jīng)過點(diǎn)P處(點(diǎn)P與摩天輪中心高度相同)時開始計(jì)時.(1)求此人相對于地面的高度關(guān)于時間的關(guān)系式；(2)在摩天輪轉(zhuǎn)動的一圈內(nèi)，大約有多長時間此人相對于地面的高度不小于17 m.解(1)設(shè)在t s時，摩天輪上某人在高h(yuǎn) m處.這時此人所轉(zhuǎn)過的角為 t t，故在t s時，此人相對于地面的高度為h10sin t12(t0).(2)由10sint1217，得sint，則t.故此人有10 s相對于地面的高度不小于17 m.1.一根長l cm的線，一端固定，另一端懸掛一個小球，小球擺動時離開平衡位置的位移s(cm)與時間t(s)的函數(shù)關(guān)系式為s3cos，其中g(shù)是重力加速度，當(dāng)小球擺動的周期是1 s時，線長l_ cm.答案解析T1， 2，l.2.某城市一年中12個月的平均氣溫與月份的關(guān)系可近似地用三角函數(shù)yaAcos(x1，2，3，12)來表示，已知6月份的月平均氣溫最高，為28，12月份的月平均氣溫最低，為18，則10月份的平均氣溫為_.答案20.5解析由題意可知A5，a23，從而y5cos23.故10月份的平均氣溫值為y5cos2320.5.3.一個單擺的平面圖如圖.設(shè)小球偏離鉛錘方向的角為(rad)，并規(guī)定當(dāng)小球在鉛錘方向右側(cè)時為正角，左側(cè)時為負(fù)角.作為時間t(s)的函數(shù)，近似滿足關(guān)系式Asin(t)，其中0.已知小球在初始位置(即t0)時，且每經(jīng)過 s小球回到初始位置，那么A_；關(guān)于t的函數(shù)解析式是_.答案sin(2t)，t0，)解析當(dāng)t0時，Asin，A.又周期T，解得2.故所求的函數(shù)解析式是sin(2t)，t0，).4.某實(shí)驗(yàn)室一天的溫度(單位：)隨時間t(單位：h)的變化近似滿足函數(shù)關(guān)系：f(t)102sin(t)，t0，24).(1)求實(shí)驗(yàn)室這一天的最大溫差；(2)若要求實(shí)驗(yàn)室溫度不高于11，則在哪段時間實(shí)驗(yàn)室需要降溫？解(1)因?yàn)閒(t)102sin(t)，又0t24，所以t11時實(shí)驗(yàn)室需要降溫.由(1)得f(t)102sin(t)，故有102sin(t)11，即sin(t).又0t24，因此t，即10t時，BON，hOABN3030sin()，當(dāng)00，0)的圖象如圖所示，則當(dāng)t秒時，電流強(qiáng)度是_安. 答案5解析由圖象可知A10，周期T2()，100，I10sin(100t)，當(dāng)t秒時，I10sin(2)5(安).9.設(shè)某人的血壓滿足函數(shù)式p(t)11525sin(160t)，其中p(t)為血壓(mmHg)，t為時間(min)，則此人每分鐘心跳的次數(shù)是_.答案80解析T(分)，f80(次/分).10.下圖表示相對于平均海平面的某海灣的水面高度h(m)在某天024時的變化情況，則水面高度h關(guān)于時間t的函數(shù)解析式為_.答案h6sin t，t0，24解析根據(jù)題圖設(shè)hAsin(t)，則A6，T12，12，.點(diǎn)(6，0)為“五點(diǎn)”作圖法中的第一點(diǎn)，60，h6sin(t)6sin t，t0，24.11.某時鐘的秒針端點(diǎn)A到中心點(diǎn)O的距離為5 cm，秒針均勻地繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，當(dāng)時間t0時，點(diǎn)A與鐘面上標(biāo)12的點(diǎn)B重合，將A、B兩點(diǎn)的距離d(cm)表示成t(s)的函數(shù)，則d_，其中t0，60.答案10sin 解析將解析式可寫為dAsin(t)的形式，由題意易知A10，當(dāng)t0時，d0，得0；當(dāng)t30時，d10，可得，所以d10sin .12.設(shè)偶函數(shù)f(x)Asin(x)(A0，0，0)的部分圖象如圖所示，KLM為等腰直角三角形，KML90，KL1，則f()的值為_.答案解析取K，L的中點(diǎn)N，則MN，因此A.由T2得.函數(shù)為偶函數(shù)，0，f(x)cos x，f()cos .三、解答題13.如圖，一個水輪的半徑為4 m，水輪圓心O距離水面2 m，已知水輪每分鐘轉(zhuǎn)動5圈，如果當(dāng)水輪上點(diǎn)P從水中浮現(xiàn)時(圖中點(diǎn)P0)開始計(jì)算時間. (1)將點(diǎn)P距離水面的高度z(m)表示為時間t(s)的函數(shù)；(2)點(diǎn)P第一次到達(dá)最高點(diǎn)大約需要多少時間？解(1)如圖所示建立直角坐標(biāo)系，設(shè)角是以O(shè)x為始邊，OP0為終邊的角. OP每秒鐘內(nèi)所轉(zhuǎn)過的角為，則OP在時間t(s)內(nèi)所轉(zhuǎn)過的角為t.由題意可知水輪逆時針轉(zhuǎn)動，得z4sin2.當(dāng)t0時，z0，得sin ，即.故所求的函數(shù)關(guān)系式為z4sin2.(2)令z4sin26，得sin1，令t，得t4，故點(diǎn)P第一次到達(dá)最高點(diǎn)大約需要4 s.四、探究與拓展14.有一沖擊波，其波形為函數(shù)ysin的圖象，若其在區(qū)間0，t上至少有2個波峰，則正整數(shù)t的最小值是()A.5 B.6 C.7 D.8答案C15.如圖所示，某地夏天從814時的用電量變化曲線近似滿足函數(shù)yAs