非線性物理單擺龐加萊映射ppt課件.ppt

第一章非線性振動(dòng)初步 1 第三節(jié)受迫振蕩1 線性單擺的受迫振動(dòng)2 龐加萊截面3 初識(shí)單擺的復(fù)雜運(yùn)動(dòng) 2 驅(qū)動(dòng)單擺方程驅(qū)動(dòng)力寫(xiě)成指數(shù)這是非齊次線性微分方程 其通解是它的齊次線性方程的通解和它的一個(gè)特解的和1 齊次方程的通解 類似線性阻尼單擺 得 小擺角驅(qū)動(dòng)單擺的通解 1 線性單擺的受迫振動(dòng) 小驅(qū)動(dòng)力的單擺 3 2 非齊次方程的特解 設(shè)求導(dǎo) 消去公因子 代入 小擺角驅(qū)動(dòng)單擺的通解 1 線性單擺的受迫振動(dòng) 小驅(qū)動(dòng)力的單擺 4 代入r j以后特解為 非齊次線性微分方程的通解第一項(xiàng)隨時(shí)間衰減 經(jīng)一段時(shí)間后第一項(xiàng)將衰減到零 最后僅剩下第二部分衰減過(guò)程常稱為過(guò)渡過(guò)程 小擺角驅(qū)動(dòng)單擺的通解 1 線性單擺的受迫振動(dòng) 小驅(qū)動(dòng)力的單擺 5 諧振特性 研究幅頻特性 將分母根號(hào)下對(duì)頻率求導(dǎo)并令其等于零 共振頻率nr小于系統(tǒng)自振頻率w 共振時(shí)的最大振幅為 共振時(shí)最大振幅與阻尼有關(guān) 共振頻率 1 線性單擺的受迫振動(dòng) 小驅(qū)動(dòng)力的單擺 6 龐加萊截面與龐加萊映射 相圖可把非線性系統(tǒng)的狀態(tài)形象地描繪出來(lái) 但是隨阻尼力與驅(qū)動(dòng)力的加入 其相圖也會(huì)變得越來(lái)越復(fù)雜 例如 即使是弱驅(qū)動(dòng)力與弱阻尼單擺 杜芬方程 相圖已復(fù)雜多了 龐加萊在相空間里取一常數(shù)坐標(biāo)截面 稱為龐加萊截面 研究相軌線與該截面的交點(diǎn) 用以分析系統(tǒng)的復(fù)雜行為 在n維相空間里取一個(gè)n 1維面 相軌線通過(guò)截面時(shí)留下點(diǎn)的一幅圖象反映了軌線運(yùn)行情況 人們將這種把時(shí)間上的連續(xù)運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)變?yōu)殡x散的圖象處理方法稱為龐加萊映射 2 龐加萊映射 7 單周期運(yùn)動(dòng) 軌線每次重復(fù)地運(yùn)行在原有軌道上 它總是在截面的同一位置穿過(guò) 截面上只留下一個(gè)點(diǎn) 兩倍周期運(yùn)動(dòng) 每個(gè)周期內(nèi)相軌線兩在不同位置穿過(guò) 截面上留下兩個(gè)點(diǎn) 四周期運(yùn)動(dòng) 每個(gè)周期內(nèi)相軌線四次在不同位置穿過(guò) 截面上就留下四個(gè)點(diǎn) 推廣到無(wú)周期運(yùn)動(dòng) 截面上將出現(xiàn)留下無(wú)窮多點(diǎn) 2 龐加萊映射 龐加萊截面與軌線運(yùn)動(dòng) 8 2 龐加萊映射 龐加萊截面與軌線運(yùn)動(dòng) 單周期運(yùn)動(dòng) 軌線每次重復(fù)地運(yùn)行在原有軌道上 它總是在截面的同一位置穿過(guò) 截面上只留下一個(gè)點(diǎn) 兩倍周期運(yùn)動(dòng) 每個(gè)周期內(nèi)相軌線兩在不同位置穿過(guò) 截面上留下兩個(gè)點(diǎn) 四周期運(yùn)動(dòng) 每個(gè)周期內(nèi)相軌線四次在不同位置穿過(guò) 截面上留下四個(gè)點(diǎn) 無(wú)周期運(yùn)動(dòng) 截面上將出現(xiàn)留下無(wú)窮多點(diǎn) 9 單擺的三維相空間 2 龐加萊映射 阻尼單擺的運(yùn)動(dòng)方程引入新變量 即相位 可得到描述單擺運(yùn)動(dòng)的三維相空間 相角j有周期性 把2np和2 n 1 p平面連接起來(lái) 相空間擴(kuò)展為圓環(huán) 原來(lái)圓形軌線成了在圓環(huán)面的環(huán)線 取某常數(shù)位相 即在該位相處截取一平面 環(huán)線在穿過(guò)時(shí)留下了一個(gè)點(diǎn) 10 單擺的三維相空間 2 龐加萊映射 11 它的相圖有一個(gè)奇怪吸引子 無(wú)周期運(yùn)動(dòng) 相軌線繞著該吸引子一圈又一圈地不停地轉(zhuǎn)動(dòng) 結(jié)果相空間的軌線越來(lái)越復(fù)雜 圖中那一團(tuán)相軌線就是在繞了1000圈后在該吸引子附近的形狀 右下角是龐加萊截面圖 圖形不僅簡(jiǎn)單得多 而且顯示出某種結(jié)構(gòu) 由龐加萊截面圖可見(jiàn) 轉(zhuǎn)子的相軌線盡管極其復(fù)雜 但它不是毫無(wú)規(guī)律的 而是具有某種內(nèi)在的規(guī)律性在內(nèi) 受驅(qū)轉(zhuǎn)子的運(yùn)動(dòng) 2 龐加萊映射 12 3 初識(shí)單擺的復(fù)雜運(yùn)動(dòng) 小驅(qū)動(dòng)力單擺 阻尼單擺方程為 小驅(qū)動(dòng)力作用作小幅度振動(dòng) 13 3 初識(shí)單擺的復(fù)雜運(yùn)動(dòng) 小驅(qū)動(dòng)力單擺 14 3 初識(shí)單擺的復(fù)雜運(yùn)動(dòng) 小驅(qū)動(dòng)力單擺的相軌線方程是橢圓方程 說(shuō)明 1 在小驅(qū)動(dòng)力下單擺的相軌線是閉合橢圓曲線2 說(shuō)明小驅(qū)動(dòng)力受驅(qū)阻尼單擺存在一個(gè)周期吸引子 3 驅(qū)動(dòng)頻率及阻尼力系數(shù)為定值時(shí) 橢圓的半徑驅(qū)動(dòng)力矩F增大而增大 即擺角在增大 小驅(qū)動(dòng)力單擺 15 3 初識(shí)單擺的復(fù)雜運(yùn)動(dòng) 隨著驅(qū)動(dòng)力的增大 相軌線的半徑也增大 這就意味著擺角的增大 使得sin 的小擺角近似已不再適用 相軌線的表達(dá)式將無(wú)法得到 此時(shí)相軌線只能根據(jù)單擺的運(yùn)動(dòng)方程 用數(shù)值計(jì)算來(lái)求得 數(shù)值計(jì)算結(jié)果 下面將給出當(dāng) 1 4 v 2 3為定值時(shí) F由小到大取一系列數(shù)值時(shí)的數(shù)值計(jì)算結(jié)果 16 3 初識(shí)單擺的復(fù)雜運(yùn)動(dòng) 1 附近出現(xiàn)對(duì)稱性破缺a 小擺角的對(duì)稱橢圓在附近變?yōu)榈靶?說(shuō)明這里發(fā)生了對(duì)稱性破缺 b 蛋形的朝向與相角的取值有關(guān) c 這時(shí)單擺仍作單周期運(yùn)動(dòng) 在龐加萊截面上是一個(gè)單點(diǎn) 數(shù)值計(jì)算結(jié)果 17 3 初識(shí)單擺的復(fù)雜運(yùn)動(dòng) 數(shù)值計(jì)算結(jié)果 18 3 初識(shí)單擺的復(fù)雜運(yùn)動(dòng) 數(shù)值計(jì)算結(jié)果 19 3 初識(shí)單擺的復(fù)雜運(yùn)動(dòng) 數(shù)值計(jì)算結(jié)果 2F 1 093附近做準(zhǔn)周期運(yùn)動(dòng) a 當(dāng)驅(qū)動(dòng)力繼續(xù)上升時(shí) 相軌線偏離閉合的單周期軌道 復(fù)雜化起來(lái) b 在F 1 093時(shí)相圖上 相軌線雖在 p p 的單擺勢(shì)谷來(lái)回環(huán)繞 但始終無(wú)法達(dá)到周期重復(fù)狀態(tài) c 在龐加萊截面上 相點(diǎn)處于一條曲線上 可以認(rèn)定系統(tǒng)處于準(zhǔn)周期狀態(tài) 接近正確的周期運(yùn)動(dòng) d 龐加萊截面上的圖形與所取截面的位置 即相角 有關(guān) 20 3 初識(shí)單擺的復(fù)雜運(yùn)動(dòng) 數(shù)值計(jì)算結(jié)果 21 3 初識(shí)單擺的復(fù)雜運(yùn)動(dòng) 數(shù)值計(jì)算結(jié)果 3 F 1 15附近進(jìn)入混沌狀態(tài)a 運(yùn)動(dòng)已擴(kuò)展到勢(shì)谷 兩側(cè)的勢(shì)谷內(nèi) b 運(yùn)動(dòng)會(huì)在一個(gè)勢(shì)谷內(nèi)繞上幾圈 然后隨機(jī)地進(jìn)入到相鄰的勢(shì)谷內(nèi)再繞上幾圈 往復(fù)不已 c 在龐加萊截面上 相點(diǎn)已離開(kāi)曲線擴(kuò)散開(kāi)來(lái) 22 3 初識(shí)單擺的復(fù)雜運(yùn)動(dòng) 數(shù)值計(jì)算結(jié)果 23 3 初識(shí)單擺的復(fù)雜運(yùn)動(dòng) 數(shù)值計(jì)算結(jié)果 24 3 初識(shí)單擺的復(fù)雜運(yùn)動(dòng) 數(shù)值計(jì)算結(jié)果 25 3 初識(shí)單擺的復(fù)雜運(yùn)動(dòng) 數(shù)值計(jì)算結(jié)果 26 3 初識(shí)單擺的復(fù)雜運(yùn)動(dòng) 結(jié)論 綜上所述 受驅(qū)單擺的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)有如下特點(diǎn) 1 在小驅(qū)動(dòng)力下 單擺作規(guī)則的周期運(yùn)動(dòng) 當(dāng)驅(qū)動(dòng)力矩增加到某 臨界值時(shí) 單擺從周期的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)進(jìn)入隨機(jī)運(yùn)動(dòng)狀態(tài) 這種狀態(tài)常被稱為混沌 2 混沌狀態(tài)并不是混亂一片 從相圖上看 相軌線的分布雖然彌散開(kāi)來(lái) 但并不均勻地分布到整個(gè)區(qū)間 而是有疏有密地分布著 在龐加來(lái)截面上 起始時(shí)相點(diǎn)雖然隨機(jī)地分布著 然而在足夠長(zhǎng)的時(shí)間以后 一種由相點(diǎn)描繪的內(nèi)部結(jié)構(gòu)逐步地顯露出來(lái) 3 這些情況說(shuō)明 混沌具有非