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關(guān)于一個數(shù)論問題的證明（2011.10.18）這個問題可能對大家的數(shù)論知識有所幫助，我感覺我的方法比較通俗易懂，但它涉及了多項式思想和組合數(shù)有關(guān)公式，這里關(guān)鍵是解決思路，這時學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的根本。祝學(xué)習(xí)輕松愉快！如果你們有更好的解法，請分享。命題：若有奇素因子，則必有異于的奇素因子證明：因為奇素因子，所以為奇數(shù)，且所以當(dāng)為偶數(shù)時，為奇數(shù)；當(dāng)為奇數(shù)時，由于為奇數(shù)，且所以為奇數(shù)個奇數(shù)的和，故和為奇數(shù)。所以為的奇數(shù)因子。因此只能有奇因子。下面證明這個結(jié)論設(shè)，則此多項式按展開后，得一個關(guān)于的次多項式，因為為大于等于3的素數(shù)，所以為偶數(shù)，故為正整數(shù)所以為正整數(shù)由只能有奇因子可知，只有奇數(shù)因子所以必為奇數(shù)，又因為奇數(shù)且不能被整除，所以的因子都不等于又因為的因子皆為奇數(shù)，故其必含奇素因子。其奇素因子也不等于。這就證明了本題的結(jié)論。下面證明香港05年奧賽試題試題：存在無窮多個不含平方因子的正整數(shù)，使得證明：設(shè)，因為，則，由結(jié)論至必存在異于的奇素因子，設(shè)為，即因為、 為奇素數(shù)（正整數(shù)即可）所以由知，由知 所以，而為奇素數(shù)，且故、一定不含完全平方因子，上述過程可以無限的進(jìn)行下去，因此存在無窮多個不含平方因子的正整數(shù)，使得。本題

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