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幾何重數(shù)小于等于代數(shù)重數(shù)證明及P190.3設(shè)是維歐氏空間V上的一個線性變換，是的一個特征值，試證：的幾何重數(shù)小于等于代數(shù)重數(shù).設(shè)1，2, 3, 4 是線性空間V的一組基，已知線性變換A在這組基下的矩陣為 A= 1 0 2 1-1 2 1 3 1 2 5 5 2 -2 1 -2求 (1) A 在基1=1-2 2+ 4；2=32- 3- 4 ； 3=3+ 4；4=2 4 下的矩陣；（2）A 的核與值域；（3）在A的核中選取一組基，把它擴充為V的一組基，并求A在這組基下的矩陣；（4） 在A 的值域中選取一組基，把它擴充為V的一組基，并求A在這組基下的矩陣。 解：（1） 因為1，2, 3, 4=1，2, 3, 4 1 0 0 0 -2 3 0 0 0 -1 1 01 -1 1 2=1，2, 3, 4P所以 A（1，2, 3, 4)=A1，2, 3, 4P=1，2, 3, 4AP=1，2, 3, 4P-1AP故A在基 1，2, 3, 4 下的矩陣為P-1AP, 因此， P-1AP= 1 0 0 0 23 13 0 0 23 13 1 0 -12 0 -12 12 1 0 2 1-1 2 1 3 1 2 5 5 2 -2 1 -2 1 0 0 0 -2 3 0 0 0 -1 1 01 -1 1 2 =13 6 -9 9 6 2 -4 10 10 8 -16 40 40 0 3 -21 -24 （2） 解：(2)設(shè) A,則A=0,故 Ax1x2x3x4=0計算知且上述齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系為,因而是ker(A)的一組基,kerA=L(1,2).顯然,矩陣的前兩列線性無關(guān),構(gòu)成矩陣的列向量組的一個極大無關(guān)組,因而RA=AV=LA1, A2, A3, A4=L( A1, A2) 其中A1=1-2+3+24, A2=22+23-24是AV的一組基.(3) 取ker(A)的基把它擴充成的基,基到基的過渡矩陣為,A在基下的矩陣為.(1) 取AV的基A1, A2把它擴

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