海文鉆石卡講義(高數(shù)).doc

一 函數(shù)、極限、連續(xù)1 函數(shù)的性質(zhì)a 有界性(1) 定義：, ，有 .(2) 無界：, ，有 .(3) 無界與無窮：無界的本質(zhì)是有一個子列趨向于無窮；無窮的本質(zhì)是任意的子列趨向無窮。b 奇偶性(1) 定義：偶；奇 。(2) 導(dǎo)函數(shù)：奇導(dǎo)偶，偶導(dǎo)奇.(3) 原函數(shù)：奇原偶, 偶函數(shù)的原函數(shù)有且僅有一個為奇函數(shù).c 周期性(1) 定義：(2) 導(dǎo)函數(shù)：導(dǎo)函數(shù)還是周期函數(shù)并且周期相同d 單調(diào)性(1) 定義：遞增(遞減) 當(dāng)時，均有(2) 導(dǎo)函數(shù)：單增(減)；單增(減). 一 函數(shù)、極限、連續(xù)1 函數(shù)的性質(zhì)a 有界性(1) 定義：, ，有 .(2) 無界：, ，有 .(3) 無界與無窮：無界的本質(zhì)是有一個子列趨向于無窮；無窮的本質(zhì)是任意的子列趨向無窮。b 奇偶性(1) 定義：偶；奇 。(2) 導(dǎo)函數(shù)：奇導(dǎo)偶，偶導(dǎo)奇.(3) 原函數(shù)：奇原偶, 偶函數(shù)的原函數(shù)有且僅有一個為奇函數(shù).c 周期性(1) 定義：(2) 導(dǎo)函數(shù)：導(dǎo)函數(shù)還是周期函數(shù)并且周期相同d 單調(diào)性(1) 定義：遞增(遞減) 當(dāng)時，均有(2) 導(dǎo)函數(shù)：單增(減)；單增(減).例1 設(shè)（A） 偶函數(shù) （B）有界函數(shù) （C） 周期函數(shù) （D）單調(diào)函數(shù)分析：(A) 則是偶函數(shù).(B) 取, 則, 故無界.(C) 若為周期函數(shù),設(shè)周期為, , 故而, 從而 顯然,當(dāng), 顯然, 故而不是周期函數(shù).(D) 設(shè), 故而不是單調(diào)函數(shù). 例2 設(shè)是一個奇的連續(xù)函數(shù)，則下面必定是奇函數(shù)的是( )（A） （B） （C） （D）根據(jù)上面條件無法判斷分析: (A) 是偶函數(shù), 從而(A)是奇函數(shù).(B) 是奇函數(shù), 從而(B)是偶函數(shù).(C) 是奇函數(shù), 偶函數(shù).例3 設(shè)函數(shù)具有二階導(dǎo)數(shù)，并滿足且若 則（ B ）(A) (B) (C) (D) 分析: 顯然是奇函數(shù), 故而 是偶函數(shù)且為周期為1的函數(shù), 則 .2 極限的定義和性質(zhì)a 一元函數(shù)的極限與性質(zhì)(1) :,，當(dāng)時，有.(2) 推論: 若, 則不存在.(3) 當(dāng)有(4) 四則運(yùn)算(略). 它的一個重要推論如下: 若，則 .b 二元函數(shù)(1) :,，當(dāng)時，有.(2) 推論：若按兩路徑趨向于所得極限不同，則不存在.(3) 當(dāng)有例4 設(shè)，求和。分析:例5設(shè)函數(shù)在點(diǎn)（0，0）連續(xù)，且，則點(diǎn)（0,0）是( )（A）極大值點(diǎn) （B）極小值點(diǎn) （C）不是極值點(diǎn) （D）根據(jù)上面條件無法判斷3 一元函數(shù)極限的計算a 四則運(yùn)算和等價無窮小代換.例6 .例7 求b 三大恒等變形1). 含的極限. 若直接計算且, 直接利用公式 將寫成求解.例8 例9 2） 有理化變形 例10 例11 求3) 分子、分母同時除以最大的無窮大常見的無窮比較: 例12 例13 d 洛必達(dá)法則和泰勒定理函數(shù)進(jìn)行泰勒定理展開時, 只要展開到首次不同項即可.例14 設(shè)函數(shù)，則當(dāng)時，是的（ ）（A） 低階無窮小 （B） 高階無窮?。–） 等價無窮小 （D） 同階但不等價的無窮小例15 求.4 二元函數(shù)極限的計算a 利用夾逼準(zhǔn)則、等價無窮小、初等函數(shù)的連續(xù)性等轉(zhuǎn)化為為一元函數(shù)的極限.例16 求例17 求b 選擇不同的路徑得到不同的極限從而極限不存在.例18 請說明是否存在.5 連續(xù)函數(shù)a 定義: .b 運(yùn)算: 連續(xù)的函數(shù)的和、差、積及商（分母不為零），仍連續(xù); 連續(xù)函數(shù)經(jīng)有限次復(fù)合而成的復(fù)合函數(shù)仍連續(xù)。c 閉區(qū)域(區(qū)間)連續(xù)函數(shù)性質(zhì): 有界性、最值性、介值性、零點(diǎn)定理.推論: 設(shè)在連續(xù),且存在, 則在有界.例19(04) 設(shè)函數(shù)在下列哪個區(qū)間內(nèi)有界( )A (-1,0) B (0,1) C (1,2) D (2,3)例20 設(shè)在連續(xù)，求證存在使得. 二 微分學(xué)1 導(dǎo)數(shù)與偏導(dǎo)數(shù)的定義、性質(zhì)a 導(dǎo)數(shù)定義: 1) 存在.2) 存在在可微在連續(xù).3) 若, 在連續(xù)，則存在 若, 在連續(xù), 則存在.b 偏導(dǎo)數(shù)定義: ,.1) 在可微2) 例1 設(shè), 則在原點(diǎn)偏導(dǎo)數(shù)有( )(A) 偏導(dǎo)存在，偏導(dǎo)不存在 (B) 偏導(dǎo)不存在，偏導(dǎo)也不存在(C) 偏導(dǎo)不存在, 偏導(dǎo)存在 (D) 偏導(dǎo)存在，偏導(dǎo)也存在例2 討論二元函數(shù) 在處的連續(xù)性、偏導(dǎo)是否存在和可微性例3 可導(dǎo), ,則是存在的( )條件A 充要 B 充分非必要 C 必要非充分 D 即非充分也非必要2 顯函數(shù)求導(dǎo)公式a 常見的求導(dǎo)公式: 四則運(yùn)算和復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)(略).b微分方法求導(dǎo)(偏導(dǎo)數(shù)): 利用微分形式不變性求出微分, 自變量微分的系數(shù)就是所要求的導(dǎo)數(shù).c連環(huán)相乘的對數(shù)求導(dǎo)法: 設(shè),兩邊取對數(shù) 從而例4 設(shè) 求和.例5 設(shè), 求.例6 設(shè)求3 特殊函數(shù)的求導(dǎo)方法a參數(shù)函數(shù)求導(dǎo)法: ; .b反函數(shù)求導(dǎo)法: ; c變上限函數(shù)求導(dǎo)法則: 其他形式的變上限函數(shù)通過四則運(yùn)算或者換元變成上面的形式.d 分段函數(shù)的求導(dǎo)方法: 定義是唯一的途徑.例7 設(shè)在和上連續(xù)，和分別為在和的原函數(shù)，令 又在上連續(xù)，問是否為在的一個原函數(shù)？例8 設(shè)滿足，求它的反函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)例9 求常數(shù)a，b使函數(shù)處處可導(dǎo)，并求出導(dǎo)數(shù)例10 設(shè)在（，+ ）連續(xù)且，求例11 設(shè)f（x）在（，+）連續(xù)，又，求例12 設(shè)，求4 隱函數(shù)求導(dǎo)公式: 兩邊同時求導(dǎo)或者求微分.例13 設(shè)有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，又函數(shù)及分別由下列兩式確定 和，求.例14 設(shè), 證明. 5 極值問題a 顯函數(shù)極值問題先求出駐點(diǎn)()或者導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)(偏導(dǎo)不存在考研不要求)；再進(jìn)行判斷，一元函數(shù)可以用在可疑點(diǎn)附近的領(lǐng)域判斷或者在可疑點(diǎn)的值判斷, 二元函數(shù)只能用二階偏導(dǎo)判斷.b隱函數(shù)極值問題先求可疑點(diǎn)，再判斷但是隱函數(shù)只能用二階導(dǎo)數(shù)判斷.c 條件極值1)方法1: 消去條件，將條件問題直接轉(zhuǎn)化為無條件問題.2)方法2: 利用Lagrange法將條件問題直接轉(zhuǎn)化無條件問題.例15求函數(shù)在約束條件和的最大值與最小值例16 求方程所確定的隱函數(shù)的極值. 例17設(shè)函數(shù)由方程確定，試求的駐點(diǎn)，并判斷是否為極值.例18 求單調(diào)區(qū)間和最值.例19 設(shè)在x = 0某鄰域連續(xù)，則在x = 0處 （A）不可導(dǎo) （B）可導(dǎo)且（C）有極大值 （D）有極小值6 有界閉區(qū)域上的最值先求內(nèi)部可能點(diǎn)，再求邊界可能點(diǎn). 一元函數(shù)的邊界可能點(diǎn)即為左右端點(diǎn), 二元函數(shù)轉(zhuǎn)化為求滿足邊界方程的可能條件極值點(diǎn), 一般利用Lagrange乘子法. 其次，求出所有可能點(diǎn)對應(yīng)的函數(shù)值，其中的最大值就為總體最大值，最小值就為總體最小值.例20 求的最值.7 中值定理的證明問題a) 直接證明型: 參數(shù)放在等式右邊，左邊為或 的形式，直接利用拉格朗日或者柯西中值定理。例21 證明.例22 證明b) 構(gòu)造函數(shù)型: 構(gòu)造函數(shù)利用洛爾定理.1) 簡單型：直接可以寫出要構(gòu)造的函數(shù)，如下面的幾個形式:，2) 標(biāo)準(zhǔn)型：. 構(gòu)造的函數(shù)為.例23 設(shè)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且滿足：，證明：至少存在一點(diǎn)，使得,.例24 設(shè)，在上皆連續(xù)，內(nèi)皆可導(dǎo)，且，則存在，使. 8 函數(shù)的零點(diǎn)問題a) 一般若是討論根的個數(shù)問題. 主要步驟如下：1) 寫出方程對應(yīng)的函數(shù) 2)利用導(dǎo)數(shù)列表研究函數(shù)的單調(diào)性3) 分析各個單調(diào)區(qū)間端點(diǎn)值(或極限值)的符號(事實(shí)上就是零點(diǎn)定理)，得到根的個數(shù).b) 根的唯一型問題. 主要步驟如下：1) 寫出方程對應(yīng)的函數(shù) 2）證明函數(shù)在區(qū)間上具有單調(diào)性. 3）證明區(qū)間端點(diǎn)值(或極限值)的異號。例25 當(dāng)取下列哪個值時，函數(shù)恰有兩個不同的零點(diǎn) ( )(A) 2 (B) 4 (C) 6 (D) 8例26 設(shè)有方程，其中為正整數(shù)，證明此方程存在惟一正根，并求。9 輔助函數(shù)法證明不等式步驟1：設(shè)置一個自變量,構(gòu)造自變量的函數(shù)；步驟2：對函數(shù)求導(dǎo)，求最值, 將最值和要證明的值做比較。注: 同一問題可以構(gòu)造很多函數(shù)，選擇導(dǎo)數(shù)比較簡單的函數(shù)。例27 若，證明 。例28 若，證明。例29 證明當(dāng)時有 .10 導(dǎo)數(shù)、偏導(dǎo)數(shù)的簡單幾何應(yīng)用a) 切線： , 切點(diǎn)的斜率為該點(diǎn)對應(yīng)的導(dǎo)數(shù).b) 曲線的切向量及切線和法平面方程(數(shù)學(xué)一)1) 曲線方程為, 的切向量為，2）曲線方程，處切向量c) 曲面的法向量及切平面和法線方程(數(shù)學(xué)一)1) ,處的法向量2) 若曲面方程為，寫成之后，其法向量，此指向與軸正向夾角為銳角.例30 函數(shù)在附近有定義且則（A）（B）曲面在點(diǎn)的法向量為.（C）曲線在點(diǎn)的切向量為.（D）曲線在點(diǎn)的切向量為.三 積 分1 積分的基本性質(zhì)與定義a) 定積分1）定義: . 右端點(diǎn): 左端點(diǎn): 2) 定積分的主要性質(zhì) . . 若 則.特別的：又有但兩個函數(shù)不全相等，則. 中值定理. 設(shè)在上連續(xù)，則存在使得. b) 二重積分1）定義: . 2) 二重積分的主要性質(zhì) . , 其中. 若 則.特別的：又有但兩函數(shù)不全相等，則. 中值定理. 設(shè)在上連續(xù)，則存在使得. c) 定積分和二重積分都是數(shù).例1 等于( )( A ) ( B ) ( C ) ( D ) 例2 求.例3 設(shè)閉區(qū)域：。是上的連續(xù)函數(shù)且 ，求例4 比較與的大小.2 積分計算中的對稱與周期方法a) 定積分的對稱與周期.1) 2) 設(shè)以為周期，則. 特別的: 在上面的條件下還有.3) 二重積分的對稱性 關(guān)于軸對稱 關(guān)于軸對稱 關(guān)于軸對稱 . 若還有, 則例5 設(shè)函數(shù)，（1）當(dāng)為正整數(shù)，且時，證明：；（2）求.例6 設(shè)，則下面的二重積分為0的是（）（A） (B） (C） (D) 例4 設(shè)區(qū)域?yàn)镈上的正值連續(xù)函數(shù)，a，b為常數(shù)，求？3 定積分(反常積分)的計算方法a) 常見方法.1)基本思想： 牛萊公式2)基本方法： 湊(湊微分)、代(代換法)、分(分部積分法).例5 .例6 求積分.b) 特殊技巧1）對直接不好積分的函數(shù), 采用積分變量替換的方法，一般情形下做替換時要注意積分區(qū)間不變. 常用的替換為：等等.2) 直接求解或者配對相加求解.例7 對實(shí)數(shù)，求例8 設(shè)，在區(qū)間上連續(xù)，為偶函數(shù)，且滿足條件（為常數(shù)）.（1）證明：；（2）能利用（1）的結(jié)論計算.4 二重積分的計算a) 常規(guī)計算方法.1)選擇坐標(biāo)積分. 極坐標(biāo): ; 為圓型區(qū)域.2) 選擇積分順序. 極坐標(biāo)一般先后.直角坐標(biāo): 首個積分必須能算出來, 順便考慮使劃分的區(qū)域盡量少.例9設(shè)D為圓域x2 + y2R2，則例10 求，其中D由直線以及曲線 圍成例12 交換的積分順序.例13 求.b) 特殊技巧(可以處理乘積型積分不等式)1）交換積分順序 2) 配對相加求解.例13 在區(qū)間連續(xù)，證明.例14 證明.5 特殊函數(shù)的積分a) 變上限函數(shù)的定積分: 分部積分法或者轉(zhuǎn)化為二重積分.b) 分段函數(shù)積分.1) 寫出各區(qū)域分段函數(shù).2) 畫出積分區(qū)域，對其進(jìn)行其劃分.3）各區(qū)域積分相加.例16 求. 例17 .例18 計算.例19 計算積分6 積分的應(yīng)用a) 面積 b) 體積 ; 例20 求由與確定的平面圖形繞直線旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積.例21 已知拋物線（其中）在第一象限內(nèi)與直線相切，且此拋物線與軸所圍成的平面圖形的面積為，（1）問和何值時，達(dá)最大值?（2）求出此最大值.7 積分型等式、不等式的證明a) 等式若兩邊都為積分: 一般采取換元法或者分部積分法證明.b) 等式或不等式兩邊不含中值點(diǎn): 往往采取構(gòu)造輔助函數(shù)方法證明.c) 上面兩個方法不行時(如含有中值點(diǎn)、絕對值等): 一般采取積分中值定理、微分中值定理證明(Lagrange和Taylor).例22 設(shè)f（x）在a，b有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，證明：例23 設(shè)在有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，.證明：例24當(dāng)時，證明（為自然數(shù)）的最大值不超過.例25 且單調(diào)遞增，證明.四 微分方程、差分方程1 一階微分方程的求解a) 可分離: ， 則.b) 齊次： ，令 則.c) 一階線性方程1）解的結(jié)構(gòu)：為齊次線性方程的特解，則線性組合齊次線性通解. 若非齊次的特解，則是此非齊次線性方程的通解。2）解的表述： 則例1 求的通解。例2 例3 已知函數(shù)在任意點(diǎn)x處的增量，且當(dāng)時，是比較高階的無窮小，則（ ）（A）2 （B） （C） （D）2 二階線性微分方程a) 解的結(jié)構(gòu).1) ，為齊次線性方程的兩特解，則也是解.特別地,與線性無關(guān)時，則方程的通解為。若非齊次的特解，則是此非齊次線性方程的通解。2）疊加原理：若y1是方程的一個解，y2是方程的一個解，則y1 + y2就是方程的一個解b) 常系數(shù)微分方程1）齊次線性微分方程特征根線性無關(guān)二解實(shí)根實(shí)根復(fù)根2）非齊次線性微分方程：r與，的關(guān)系特解y*的形式r，rr=，rr=，r=不是特征根是特征根例4 是二階常線性微分方程的三個解，求此微分方程.例5 求微分方程的通解.3 積分方程和函數(shù)方程統(tǒng)統(tǒng)轉(zhuǎn)化為微分方程, 若可導(dǎo)直接求導(dǎo)，未已知可導(dǎo)用導(dǎo)數(shù)定義.例6 設(shè)函數(shù)連續(xù)，求解方程：例7 設(shè)，其中，在內(nèi)滿足以下條件，且，（1） 求所滿足的一階微分方程 （2）求出的表達(dá)式例8 設(shè), 且，求.五 無窮級數(shù) (數(shù)學(xué)一、三)1 常數(shù)項級數(shù)的基本概念a) 稱為數(shù)項級數(shù), 稱為第項或通項.b) , 若（存在），則稱級數(shù)收斂，其和為，記作；若極限不存在，稱級數(shù)發(fā)散.2 收斂的基本性質(zhì)a) 和皆收斂，則收斂;收斂，發(fā)散，則發(fā)散； 發(fā)散，發(fā)散，情況不明.b) 在級數(shù)中增加或減少或變更有限項則級數(shù)的收斂性不變.c) 與收斂性相同.d) 對收斂級數(shù)的項任意加括號所得到的新級數(shù)仍收斂，而且其和不變. 但是發(fā)散級數(shù)任意加括號，不一定發(fā)散它可能收斂.e) 級數(shù)收斂的必要條件是.3 正項級數(shù)和判別法a) 若則稱為正項級數(shù). 收斂有上界 b) 比較判別法一般: 成立,收斂,則收斂;若發(fā)散,則發(fā)散。極限: 設(shè)， 若 1）當(dāng)時，與同時收斂或發(fā)散。2）當(dāng)時，若收斂，則收斂。 3）當(dāng)時，若收斂，則收斂.c) 比值判別法（達(dá)朗倍爾）設(shè)，而 1）當(dāng)時，則收斂; 2）當(dāng)時（包括），則發(fā)散; 3）當(dāng)時，此判別法無效.注：對于多項式形式的級數(shù)，本方法必定不能判斷收斂性.d) 根值判別法（柯西）（數(shù)學(xué)三不考）設(shè)，而 1）當(dāng)時，則收斂; 2）當(dāng)時（包括），則發(fā)散; 3）當(dāng)時，此判別法無效.注: 比值判別法和根值判別法在很大程度上是等價的，根據(jù)所給級數(shù)的形狀有不同的選擇。含階層的通項往往用比值判別法，含指數(shù)為的通項往往用根植判別法.e) 判斷程序: 必要條件,比較極限(等價代換),比值根值,比較,積分.例1討論級數(shù)的收斂性.例2 討論的收斂性.例3 討論級數(shù)的收斂性.例4 討論 的收斂性.4 交錯級數(shù)及其萊布尼茲判別法a)定義 若，稱為交錯級數(shù)。b) 萊布尼茲判別法.設(shè)交錯級數(shù)滿足： 1） 2），則收斂，且.例5 討論級數(shù)的收斂性.例6 討論級數(shù)5 絕對收斂與條件收斂a) 定義： 若收斂, 稱絕對收斂；若收斂，發(fā)散，稱為條件收斂。b) 關(guān)系：若收斂，則一定收斂；反之不然。c ) 絕對收斂級數(shù)中無窮多項任意交換順序，得到級數(shù)仍是絕對收斂，且其和不變。例7 設(shè)條件收斂,則該級數(shù)正項或負(fù)項構(gòu)成的級數(shù)，即或是