江蘇省13市2015年中考數(shù)學試題分類匯編解析：探索型問題 (2).doc

江蘇省13市2015年中考數(shù)學試題分類解析匯編（20專題）專題15：探索型問題1. （2015年江蘇泰州3分）如圖，中，AB=AC，D是BC的中點，AC的垂直平分線分別交 AC、AD、AB于點E、O、F，則圖中全等的三角形的對數(shù)是【 】A. 1對 B. 2對 C. 3對 D. 4對【答案】D.【考點】等腰三角形的性質；線段垂直平分線的性質；全等三角形的判定. 【分析】AB=AC，D是BC的中點，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質，易得.EF是AC的垂直平分線，根據(jù)線段垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等的性質，易得.綜上所述，圖中全等的三角形的對數(shù)是4對.故選D.2. （2015年江蘇揚州3分）如圖，若銳角ABC內接于O，點D在O外（與點C在AB同側）， 則下列三個結論：；中，正確的結論為【 】A. B. C. D. 【答案】D. 【考點】圓周角定理；三角形外角性質；銳角三角函數(shù)的性質.【分析】如答圖，設與O相交于點，連接.，.正弦、正切函數(shù)值隨銳角的增大而增大，余弦函數(shù)值隨銳角的增大而減小， ， .正確的結論為.故選D.3. （2015年江蘇常州2分）將一張寬為4cm的長方形紙片（足夠長）折疊成如圖所示圖形，重疊部分是一個三角形，則這個三角形面積的最小值是【 】A. cm2 B.8 cm2 C. cm2 D. 16cm2【答案】B【考點】翻折變換（折疊問題）；等腰直角三角形的性質.【分析】如答圖，當ACAB時，三角形面積最小，BAC=90，ACB=45，AB=AC=4cm.SABC=44=8cm2故選B4. （2015年江蘇宿遷3分）在平面直角坐標系中，點A，B的坐標分別為（3，0），（3，0），點P在反比例函數(shù)的圖象上，若PAB為直角三角形，則滿足條件的點P的個數(shù)為【 】A. 2個 B. 4個 C. 5個 D. 6個【答案】D【考點】反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征；圓周角定理；分類思想和數(shù)形結合思想的應用【分析】如答圖，若PAB為直角三角形，分三種情況：當PAB=90時，P點的橫坐標為3，此時P點有1個；當PBA=90時，P點的橫坐標為3，此時P點有1個；當APB=90，以點O 為圓心AB長為直徑的圓與的圖象交于4點，此時P點有4個綜上所述，滿足條件的P點有6個故選D1. （2015年江蘇無錫2分）某商場在“五一”期間舉行促銷活動，根據(jù)顧客按商品標價一次性購物總額，規(guī)定相應的優(yōu)惠方法：如果不超過500元，則不予優(yōu)惠；如果超過500元，但不超過800元，則按購物總額給予8折優(yōu)惠；如果超過800元，則其中800元給予8折優(yōu)惠，超過800元的部分給予6折優(yōu)惠促銷期間，小紅和她母親分別看中一件商品，若各自單獨付款，則應分別付款480元和520元；若合并付款，則她們總共只需付款 元 【答案】838或910【考點】函數(shù)模型的選擇與應用；函數(shù)思想和分類思想的應用【分析】由題意知：小紅付款單獨付款480元，實際標價為480或4800.8=600元，小紅母親單獨付款520元，實際標價為5200.8=650元，如果一次購買標價480+650=1130元的商品應付款8000.8+（1130800）0.6=838元；如果一次購買標價600+650=1250元的商品應付款8000.8+（1250800）0.6=910元答案為：838或9102. （2015年江蘇徐州3分）如圖，正方形ABCD的邊長為1，以對角線AC為邊作第二個正方形，再以對角線AE為邊作第三個正方形AEGH，如此下去，第n個正方形的邊長為 【答案】.【考點】探索規(guī)律題（圖形的變化類）；正方形的性質. 【分析】根據(jù)正方形的性質，知：第一個正方形ABCD的邊長為，第二個正方形ACEF的邊長為，第三個正方形AEGH的邊長為，第四個正方形的邊長為，第個正方形的邊長為.3. （2015年江蘇鹽城3分）如圖，在矩形ABCD中，AB=4，AD=3，以頂點D為圓心作半徑為r的圓，若要求另外三個頂點A、B、C中至少有一個點在圓內，且至少有一個點在圓外，則r的取值范圍是 【答案】.【考點】矩形的性質；勾股定理；點與圓的位置關系；分類思想的應用.【分析】如答圖，連接， AB=4，AD=3，根據(jù)勾股定理，得BD=5.，當時，點A、B、C中至少有一個點在圓內，且至少有一個點在圓外.r的取值范圍是.4. （2015年江蘇鹽城3分）設ABC的面積為1，如圖將邊BC、AC分別2等份，、相交于點O，AOB的面積記為；如圖將邊BC、AC分別3等份，、相交于點O，AOB的面積記為；， 依此類推，則可表示為 (用含的代數(shù)式表示，其中為正整數(shù))【答案】.【考點】探索規(guī)律題（圖形的變化類）；平行的判定和性質；相似三角形的判定和性質；等底或等高三角形面積的性質.【分析】如答圖，連接，可知.在圖中，由題意，得，且，.和的邊上高的比是.又，.在圖中，由題意，得，且，.和的邊上高的比是.又，.在圖中，由題意，得，且，.和的邊上高的比是.又，.依此類推， 可表示為，.5. （2015年江蘇常州2分）數(shù)學家歌德巴赫通過研究下面一系列等式，作出了一個著名的猜想4=2+2； 12=5+7；6=3+3 14=3+11=7+7；8=3+5； 16=3+13=5+11；10=3+7=5+5 18=5+13=7+11；通過這組等式，你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律是 （請用文字語言表達）【答案】所有大于2的偶數(shù)都可以寫成兩個素數(shù)之和.【考點】探索規(guī)律型題（數(shù)字的變化類）.【分析】根據(jù)以上等式得出規(guī)律，此規(guī)律用文字語言表達為：所有大于2的偶數(shù)都可以寫成兩個素數(shù)之和.6. （2015年江蘇淮安3分）將連續(xù)正整數(shù)按如下規(guī)律排列：第1列第2列第3列第4列第5列第1行1234第2行8765第3行9101112第4行16151413第5行17181920若正整數(shù)565位于第行，第列，則 【答案】147.【考點】探索規(guī)律題（數(shù)字的變化類循環(huán)問題）.【分析】分別根據(jù)行和列的循環(huán)規(guī)律求解：行的排列規(guī)律是4個數(shù)一行，而，.列的排列規(guī)律是按照12345432列的順序8個數(shù)一循環(huán)， 而，.7. （2015年江蘇南通3分）關于x的一元二次方程的兩個不相等的實數(shù)根都在1和0之間（不包括1和0），則a的取值范圍是 【答案】.【考點】一元二次方程與二次函數(shù)的關系；一元二次方程根的判別式；二次函數(shù)的性質；分類思想和數(shù)形結合思想的應用.【分析】關于的一元二次方程的兩個不相等的實數(shù)根，且.設實數(shù)根都在1和0之間，當a0時，如答圖1，由圖可知， 當時，；但，矛盾，此種情況不存在.當a0時，如答圖2，由圖可知， 當時，即.綜上所述，a的取值范圍是.8. （2015年江蘇宿遷3分）如圖，在平面直角坐標系中，點P的坐標為（0，4），直線與x軸、y軸分別交于點A，B，點M是直線AB上的一個動點，則PM長的最小值為 【答案】.【考點】單動點問題；直線上點的坐標與方程的關系；垂線段最短的性質；勾股定理；相似三角形的判定和性質【分析】根據(jù)垂線段最短得出PMAB時線段PM最短，分別求出PB、OB、OA、AB的長度，利用PBMABO，即可求出答案如答圖，過點P作PMAB，則：PMB=90，當PMAB時，PM最短，直線與x軸、y軸分別交于點A，B，點A的坐標為（4，0），點B的坐標為（0，3）.在RtAOB中，AO=4，BO=3，根據(jù)勾股定理，得AB=5.BMP=AOB=90，ABO=PBM， PBMABO. ，即：，解得.1. （2015年江蘇連云港10分）已知如圖，在平面直角坐標系xOy中，直線與x軸、y軸分別交于A，B兩點，P是直線AB上一動點，P的半徑為1（1）判斷原點O與P的位置關系，并說明理由；（2）當P過點B時，求P被y軸所截得的劣弧的長；（3）當P與x軸相切時，求出切點的坐標【答案】解：（1）原點O在P外理由如下：直線與x軸、y軸分別交于A，B兩點，點.在RtOAB中，OBA=30，如答圖1，過點O作OHAB于點H，在RtOBH中，1，原點O在P外.（2）如答圖2，當P過點B時，點P在y軸右側時，PB=PC，PCB=OBA=30.P被y軸所截的劣弧所對的圓心角為：1803030=120.弧長為：.同理：當P過點B時，點P在y軸左側時，弧長同樣為：.當P過點B時，P被y軸所截得的劣弧的長為：.（3）如答圖3，當P與x軸相切時，且位于x軸下方時，設切點為D，PDx軸，PDy軸. APD=ABO=30.在RtDAP中，此時點D的坐標為：（，0）.當P與x軸相切時，且位于x軸上方時，根據(jù)對稱性可以求得此時切點的坐標為：（，0）.綜上所述，當P與x軸相切時，切點的坐標為：（，0）或（，0）【考點】圓和一次函數(shù)的的綜合題；單動點問題；直線上點的坐標與方程的關系；銳角三角函數(shù)定義；特殊角的三角函數(shù)值；點與圓的位置關系的判定；扇形弧長的計算；直線與圓相切的性質；分類思想的應用【分析】（1）作輔助線“過點O作OHAB于點H”，由直線與x軸、y軸分別交于A，B兩點，可求得點A、B的坐標，從而根據(jù)銳角三角函數(shù)定義和特殊角的三角函數(shù)值求得OBA=30，進而應用三角函數(shù)可求得OH的長，繼而根據(jù)點與圓的位置關系的判定求得結論.（2）分點P在y軸右側和點P在y軸左側兩種情況討論：求得P被y軸所截的劣弧所對的圓心角，則可求得弧長.（3）分P位于x軸下方和P位于x軸上方兩種情況討論即可.2. （2015年江蘇連云港12分）在數(shù)學興趣小組活動中，小明進行數(shù)學探究活動，將邊長為2的正方形ABCD與邊長為的正方形AEFG按圖1位置放置，AD與AE在同一直線上，AB與AG在同一直線上（1）小明發(fā)現(xiàn)DGBE，請你幫他說明理由（2）如圖2，小明將正方形ABCD繞點A逆時針旋轉，當點B恰好落在線段DG上時，請你幫他求出此時BE的長（3）如圖3，小明將正方形ABCD繞點A繼續(xù)逆時針旋轉，將線段DG與線段BE相交，交點為H，寫出GHE與BHD面積之和的最大值，并簡要說明理由【答案】解：（1）四邊形ABCD和四邊形AEFG都為正方形，AD=AB，DAG=BAE=90，AG=AE，ADGABE（SAS）.AGD=AEB.如答圖1，延長EB交DG于點H，在ADG中，AGD+ADG=90，AEB+ADG=90.在EDH中，AEB+ADG+DHE=180，DHE=90. DGBE.（2）四邊形ABCD和四邊形AEFG都為正方形，AD=AB，DAB=GAE=90，AG=AE，DAB+BAG=GAE+BAG，即DAG=BAE，ADGABE（SAS）.DG=BE.如答圖2，過點A作AMDG交DG于點M，則AMD=AMG=90，BD為正方形ABCD的對角線，MDA=45.在RtAMD中，MDA=45，AD=2，.在RtAMG中，根據(jù)勾股定理得：，.（3）GHE和BHD面積之和的最大值為6，理由如下：對于EGH，點H在以EG為直徑的圓上，當點H與點A重合時，EGH的高最大；對于BDH，點H在以BD為直徑的圓上，當點H與點A重合時，BDH的高最大.GHE和BHD面積之和的最大值為2+4=6【考點】面動旋轉問題；正方形的性質；全等三角形的判定和性質；三角形內角和定理；等腰直角三角形的性質，勾股定理；數(shù)形結合思想的應用【分析】（1）由四邊形ABCD與四邊形AEFG為正方形，利用正方形的性質得到兩對邊相等，且夾角相等，利用SAS得到ADGABE，利用全等三角形對應角相等得AGD=AEB，作輔助線“延長EB交DG于點H”，利用等角的余角相等得到DHE=90，從而利用垂直的定義即可得DGBE.（2）由四邊形ABCD與四邊形AEFG為正方形，利用正方形的性質得到兩對邊相等，且夾角相等，利用SAS得到ADGABE，利用全等三角形對應邊相等得到DG=BE，作輔助線“過點A作AMDG交DG于點M”，則AMD=AMG=90，在RtAMD中，根據(jù)等腰直角三角形的性質求出AM的長，即為DM的長，根據(jù)勾股定理求出GM的長，進而確定出DG的長，即為BE的長.（3）GHE和BHD面積之和的最大值為6，理由為：對兩個三角形，點H分別在以EG為直徑的圓上和以BD為直徑的圓上，當點H與點A重合時，兩個三角形的高最大，即可確定出面積的最大值3. （2015年江蘇連云港14分）如圖，已知一條直線過點（0，4），且與拋物線交于A，B兩點，其中點A的橫坐標是2（1）求這條直線的函數(shù)關系式及點B的坐標（2）在x軸上是否存在點C，使得ABC是直角三角形？若存在，求出點C的坐標，若不存在，請說明理由；（3）過線段AB上一點P，作PMx軸，交拋物線于點M，點M在第一象限，點N（0，1），當點M的橫坐標為何值時，MN+3MP的長度最大？最大值是多少？【答案】解：（1）點A是直線與拋物線的交點，且橫坐標為2，.A點的坐標為（2，1）.設直線AB的函數(shù)關系式為，將（0，4），（2，1）代入得，解得.直線AB的函數(shù)關系式為.直線與拋物線相交，聯(lián)立，得，解得：或.點B的坐標為（8，16）.（2）如答圖1，過點B作BGx軸，過點A作AGy軸，交點為G，由A（2，1），B（8，16）根據(jù)勾股定理，得AB2=325設點C（，0），根據(jù)勾股定理，得，若BAC=90，則，即，解得：.若ACB=90，則，即，解得：=0或=6.若ABC=90，則，即，解得：=32.點C的坐標為（，0），（0，0），（6，0），（32，0）.（3）如答圖2，設MP與y軸交于點Q，設， 在RtMQN中，由勾股定理得，又點P與點M縱坐標相同，點P的橫坐標為.又，268， 當M的橫坐標為6時，的長度的最大值是18【考點】二次函數(shù)綜合題；待定系數(shù)的應用；曲線上點的坐標與方程的關系；直角三角形存在性問題；勾股定理；二次函數(shù)的最值；分類思想和方程思想的應用【分析】（1）首先求得點A的坐標，然后利用待定系數(shù)法確定直線的解析式，從而求得直線與拋物線的交點坐標.（2）作輔助線“過點B作BGx軸，過點A作AGy軸，交點為G”，分若BAC=90，ACB=90，ABC=90三種情況根據(jù)勾股定理列方程確定點C的坐標.（3）設MP與y軸交于點Q，設，首先在RtMQN中，由勾股定理得，然后根據(jù)點P與點M縱坐標相同得到點P的橫坐標，從而得到，根據(jù)二次函數(shù)的最值原理求解即可4. （2015年江蘇蘇州10分）如圖，已知二次函數(shù)（其中0m1）的圖像與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側），與y軸交于點C，對稱軸為直線l設P為對稱軸l上的點，連接PA、PC，PA=PC（1）ABC的度數(shù)為 ；（2）求P點坐標（用含m的代數(shù)式表示）；（3）在坐標軸上是否存在點Q（與原點O不重合），使得以Q、B、C為頂點的三角形與PAC相似，且線段PQ的長度最??？如果存在，求出所有滿足條件的點Q的坐標；如果不存在，請說明理由【答案】解：（1）45.（2）如答圖1，過點作軸于點，設l與軸交于點，根據(jù)題意，得拋物線的對稱軸為，設點的坐標為，PA=PC，.，即.解得.P點坐標為.（3）存在點Q滿足題意.P點坐標為，.，.是等腰直角三角形.以Q、B、C為頂點的三角形與PAC相似，是等腰直角三角形.由題意知，滿足條件的點Q的坐標為或.當點Q的坐標為時，如答圖2，若PQ與垂直，則，解得，即.若PQ與不垂直，則有，0m1，當時，取得最小值，取得最小值.，.當時，點Q的坐標為，取得最小值.當點Q的坐標為時，如答圖3，若PQ與垂直，則，解得，即.若PQ與不垂直，則有，0m1，當時，取得最小值，取得最小值.，.當時，點Q的坐標為，取得最小值.綜上所述，點Q的坐標為或時，的長度最小.【考點】二次函數(shù)綜合題；相似三角形的存在性問題；二次函數(shù)的性質；曲線上點的坐標與方程的關系；等腰直角三角形的判定和性質；勾股定理；相似三角形的性質；實數(shù)的大小比較；分類思想的應用.【分析】（1）令，則，點C的坐標為，令，即，解得，0m1，點A在點B的左側，點B的坐標為. .BOC=90，是等腰直角三角形.OBC=45.（2）過點作軸于點，設l與軸交于點，求出拋物線的對稱軸為，則可設點的坐標為，由PA=PC即，根據(jù)勾股定理得到，解出即可求解.（3）根據(jù)相似和是等腰直角三角形證明是等腰直角三角形，由題意知，滿足條件的點Q的坐標為或，從而分點Q的坐標為或兩種情況討論即可.5. （2015年江蘇泰州12分）如圖，正方形ABCD的邊長為8cm，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA 上的動點，且AE=BF=CG=DH.（1）求證：四邊形EFGH是正方形；（2）判斷直線EG是否經(jīng)過一個定點，并說明理由；（3）求四邊形EFGH面積的最小值.【答案】解：（1）證明：四邊形ABCD是正方形，.，.四邊形EFGH是菱形.，.四邊形EFGH是正方形.（2）直線EG經(jīng)過定點-正方形ABCD的中心. 理由如下：如答圖，連接，、相交于點，四邊形ABCD是正方形，ABDC.，四邊形BGDE是平行四邊形.，即點是正方形ABCD的中心.直線EG經(jīng)過定點-正方形ABCD的中心.（3）設，則，當時，四邊形EFGH面積的最小值為32.【考點】單動點和定值問題；正方形的判定和性質；全等三角形的判定和性質；平行四邊形的判定和性質；勾股定理；二次函數(shù)的應用（實際問題）.【分析】（1）由證明，即可證明四邊形EFGH是一個角是直角的菱形-正方形.（2）作輔助線“連接，、相交于點”構成平行四邊形BGDE，根據(jù)平行四邊形對角線互分的性質即可證明直線EG經(jīng)過定點-正方形ABCD的中心.（3）設，根據(jù)正方形的性質和勾股定理得到關于的二次函數(shù)，應用二次函數(shù)最值原理求解即可.6. （2015年江蘇無錫8分）（1）甲、乙、丙、丁四人做傳球游戲：第一次由甲將球隨機傳給乙、丙、丁中的某一人，從第二次起，每一次都由持球者將球再隨機傳給其他三人中的某一人求第二次傳球后球回到甲手里的概率（請用“畫樹狀圖”或“列表”等方式給出分析過程）（2）如果甲跟另外n（n2）個人做（1）中同樣的游戲，那么，第三次傳球后球回到甲手里的概率是 （請直接寫出結果）【答案】解：（1）畫樹狀圖如下：共有9種等可能的結果，其中符合要求的結果有3種，P（第2次傳球后球回到甲手里）=（2）【考點】列表法或樹狀圖法；概率；探索規(guī)律題（數(shù)字的變化類）.【分析】（1）畫樹狀圖或列表，根據(jù)圖表，可得總結果與傳到甲手里的情況，根據(jù)傳到甲手里的情況比上總結果，可得答案.（2）根據(jù)第一步傳的總結果是，第二步傳的總結果是，第三步傳的總結果是，傳給甲的結果是，根據(jù)概率的意義，第三次傳球后球回到甲手里的概率是.7. （2015年江蘇無錫10分）已知：平面直角坐標系中，四邊形OABC的頂點分別為O(0，0)、A（5，0）、B(m，2)、C(m5，2)（1）問：是否存在這樣的m，使得在邊BC上總存在點P，使OPA90？若存在，求出m的取值范圍，若不存在，請說明理由；（2）當AOC與OAB的平分線的交點Q在邊BC上時，求m的值【答案】解：（1）存在，OA=BC=5，BCOA.如答圖1，以OA為直徑作D，與直線BC分別交于點E、F，則OEA=OFA=90，過點D作DGEF于G，連接DE，則DE=OD=2.5，DG=2，EG=GF，.E（1，2），F(xiàn)（4，2）.由解得，當時，邊BC上總存在這樣的點P，使OPA=90.（2）如答圖2，BC=OA=5，BCOA，四邊形OABC是平行四邊形. OCAB.AOC+OAB=180.OQ平分AOC，AQ平分OAB，AOQ=AOC，OAQ=OAB.AOQ+OAQ=90. AQO=90.以OA為直徑作D，與直線BC分別交于點E、F，則OEA=OFA=90，點Q只能是點E或點F.當Q在F點時，OF、AF分別是AOC與OAB的平分線，BCOA，CFO=FOA=FOC，BFA=FAO=FAB. CF=OC，BF=AB.而OC=AB，CF=BF，即F是BC的中點而F點為 （4，2），此時m的值為6.5.當Q在E點時，同理可求得此時m的值為3.5.綜上所述，m的值為3.5或6.5【考點】圓的綜合題；垂徑定理；圓周角定理；平行四邊形的判定和性質；坐標與圖形性質；勾股定理；分類思想的應用.【分析】（1）由四邊形四個點的坐標易得OA=BC=5，BCOA，以OA為直徑作D，與直線BC分別交于點E、F，根據(jù)圓周角定理得OEA=OFA=90，如圖1，作DGEF于G，連DE，則DE=OD=2.5，DG=2，根據(jù)垂徑定理得EG=GF，利用勾股定理可計算出EG=1.5，于是得到E（1，2），F(xiàn)（4，2），即點P在E點和F點時，滿足條件，此時，即1m9時，邊BC上總存在這樣的點P，使OPA=90；（2）如圖2，先判斷四邊形OABC是平行四邊形，再利用平行線的性質和角平分線定義可得到AQO=90，以OA為直徑作D，與直線BC分別交于點E、F，則OEA=OFA=90，于是得到點Q只能是點E或點F，當Q在F點時，證明F是BC的中點而F點為 （4，2），得到m的值為6.5；當Q在E點時，同理可求得m的值為3.58. （2015年江蘇無錫10分）如圖，C為AOB的邊OA上一點，OC6，N為邊OB上異于點O的一動點，P是線段05上一點，過點P分別作PQOA交OB于點Q，PMOB交OA于點M（1）若AOB=60，OM=4，OQ=1，求證：05OB；（2）當點N在邊OB上運動時，四邊形OMPQ始終保持為菱形；問：的值是否發(fā)生變化？如果變化，求出其取值范圍；如果不變，請說明理由；設菱形OMPQ的面積為S1，NOC的面積為S2，求的取值范圍【答案】解：（1）證明：如答圖，過點P作PEOA于點E，PQOA，PMOB，四邊形OMPQ為平行四邊形.OQ=1，AOB=60，PM=OQ=1，PME=AOB=60. PCE=30. CPM=90，又PMOB，05O=CPM=90，即05OB.（2）的值不發(fā)生變化，理由如下：設，四邊形OMPQ為菱形，.PQOA，NQP=O.又QNP=ONC，NQPNOC.，即， 化簡,得.不變化.如答圖,過點P作PEOA于點E，過點N作NFOA于點F，設，則,PMOB，MCP=O.又PCM=NCO，CPM05O. .0x6，根據(jù)二次函數(shù)的圖象可知， 【考點】相似形綜合題；單動點問題；定值問題；銳角三角函數(shù)定義；特殊角的三角函數(shù)值；相似三角形的判定和性質；二次函數(shù)的性質；平行四邊形的判定和性質；菱形的性質.【分析】（1）作輔助性線，過點P作PEOA于E，利用兩組對邊平行的四邊形為平行四邊形得到OMPQ為平行四邊形，利用平行四邊形的對邊相等，對角相等得到PM=OQ=1，PME=AOB=60，進而求出PE與ME的長，得到CE的長，求出tanPCE的值，利用特殊角的三角函數(shù)值求出PCE的度數(shù)，得到PM于NC垂直，而PM與ON平行，即可得到05與OB垂直.（2）的值不發(fā)生變化，理由如下：設OM=x，ON=y，根據(jù)OMPQ為菱形，得到PM=PQ=OQ=x，QN=yx，根據(jù)平行得到NQP與NOC相似，由相似得比例即可確定出所求式子的值. 作輔助性線，過點P作PEOA于點E，過點N作NFOA于點F，表示出菱形OMPQ的面積為S1，NOC的面積為S2，得到，由PM與OB平行，得到CPM與05O相似，由相似得比例求出所求式子的范圍即可9. （2015年江蘇徐州8分）如圖，平面直角坐標系中，將含30的三角尺的直角頂點C落在第二象限. 其斜邊兩端點A、B分別落在x軸、y軸上，且AB=12cm（1）若OB=6cm求點C的坐標；若點A向右滑動的距離與點B向上滑動的距離相等，求滑動的距離；（2）點C與點O的距離的最大值= cm.【答案】解：（1）如答圖1，過點C作y軸的垂線，垂足為D，在RtABC中，AB=12，BAC=30，BC=6.在RtAOB中，AB=12， OB=6，BAO=30，ABO=60.又CBA=60，CBD=60，BCD=30.BD=3，CD=OD=9.點C的坐標為.如答圖2，設點A向右滑動的距離，根據(jù)題意得點B向動的距離.在RtAOB中，AB=12， OB=6，.在AO B中，由勾股定理得，解得，（舍去）.滑動的距離為（2）12【考點】面動問題；含30度角直角三角形的性質；勾股定理；點的坐標；二次函數(shù)最值的應用；方程思想的應用.【分析】（1）作輔助線“過點C作y軸的垂線，垂足為D”，應用含30度角直角三角形的性質求出CD和BD的長，即可求出點C的坐標.設點A向右滑動的距離，用表示出和的長，在AO B中，應用勾股定理列方程求解即可.（2）設點C的坐標為，如答圖3，過點C作CEx軸，CDy軸， 垂足分別為E，D，則OE=x，OD=y.ACEBCE=90，DCBBCE=90，ACE=DCB.又AEC=BDC=90，ACE BCD.，即. .當取最大值，即點C到y(tǒng)軸距離最大時，有最大值，即OC取最大值，如圖，即當轉到與y軸垂時. 此時OC=1210. （2015年江蘇徐州12分）如圖，在平面直角坐標系中，點A（10，0），以OA為直徑在第一象限內作半圓，B為半圓上一點，連接AB并延長至C，使BC=AB，過C作CDx軸于點D,交線段OB于點E，已知CD=8，拋物線經(jīng)過O、E、A三點.（1）OBA= ；（2）求拋物線的函數(shù)表達式；（3）若P為拋物線上位于第一象限內的一個動點，以P、O、A、E為頂點的四邊形面積記作S，則S取何值時，相應的點P有且只有3個？【答案】解：（1）90.（2）如答圖1，連接OC， 由（1）知OBAC，又AB=BC，OB是的垂直平分線.OC=OA=10.在RtOCD中，OC=10，CD=8，OD=6.C(6，8)，B(8，4).OB所在直線的函數(shù)關系為.又E點的橫坐標為6，E點縱坐標為3，即E(6，3)拋物線過O(0，0)，E(6，3) ，A(10，0)，設此拋物線的函數(shù)關系式為，把E點坐標代入得，解得.此拋物線的函數(shù)關系式為，即（3）設點，若點P在CD的左側，延長OP交CD于Q，如答圖2，OP所在直線函數(shù)關系式為：，當x=6時，即Q點縱坐標為.S四邊形POAE= SOAE SOPE= SOAE SOQESPQE=.若點P在CD的右側，延長AP交CD于Q，如答圖3，A(10，0)，設AP所在直線方程為：y=kxb，把P和A坐標代入得，解得.AP所在直線方程為：.當x=6時，即Q點縱坐標為.QE=.S四邊形POAE= SOAE SAPE= SOAE SAQE SPQE=.當P在CD右側時，四邊形POAE的面積最大值為16，此時點P的位置就一個，令，解得，.當P在CD左側時，四邊形POAE的面積等于16的對應P的位置有兩個.綜上知，以P、O、A、E為頂點的四邊形面積S等于16時，相應的點P有且只有3個【考點】二次函數(shù)綜合題；單動點問題；圓周角定理；線段垂直平分線的性質；勾股定理；待定系數(shù)洪都拉斯應用；曲線上點的坐標與方程的關系；分類思想、轉換思想和方程思想的應用.【分析】（1）根據(jù)直徑所對的圓周角定理直接得出結論.（2）作輔助線：連接OC，根據(jù)線段垂直平分線的性質和勾股定理求出點E、A的坐標，從而應用待定系數(shù)法求出拋物線的函數(shù)關系式.（3）設點，分點P在CD的左側和右側兩種情況求出S四邊形POAE關于的二次函數(shù)關系式，根據(jù)二次函數(shù)的最值原理求解即可.11. （2015年江蘇鹽城12分）如圖，在平面直角坐標系xOy中，將拋物線的對稱軸繞著點P（，2）順時針旋轉45后與該拋物線交于A、B兩點，點Q是該拋物線上的一點.（1）求直線AB的函數(shù)表達式；（2）如圖，若點Q在直線AB的下方，求點Q到直線AB的距離的最大值；（3）如圖，若點Q在y軸左側，且點T（0，t）（t2）是直線PO上一點，當以P、B、Q為頂點的三角形與PAT相似時，求所有滿足條件的t的值.【答案】解：（1）如答圖1，設直線AB與軸的交點為M，P（，2），.設直線AB的解析式為，則，解得.直線AB的解析式為.（2）如答圖2，過點Q作軸的垂線QC，交AB于點C，再過點Q作直線AB的垂線，垂足為點D，根據(jù)條件可知，是等腰直角三角形.設，則，.當時，點Q到直線AB的距離的最大值為.（3），中必有一角等于45.由圖可知，不合題意.若，如答圖3，過點B作軸的平行線與軸和拋物線分別交于點，此時，.根據(jù)拋物線的軸對稱性質，知，是等腰直角三角形.與相似，且，也是等腰直角三角形.i）若，聯(lián)立，解得或. .，此時，.ii）若，此時，.若，是情況之一，答案同上.如答圖4，5，過點B作軸的平行線與軸和拋物線分別交于點，以點為圓心，為半徑畫圓，則都在上，設與y軸左側的拋物線交于另一點.根據(jù)圓周角定理，點也符合要求.設，由得解得或，而，故.可證是等邊三角形，.則在中，.i）若，如答圖4，過點作軸于點，則，.，此時，.ii）若，如答圖5，過點作軸于點，設，則.，.，此時，.綜上所述，所有滿足條件的t的值為或或或.【考點】二次函數(shù)綜合題；線動旋轉和相似三角形存在性問題；待定系數(shù)法的應用；曲線上點的坐標與方程的關系；等腰直角三角形的判定和性質；含30度角直角三角形的性質；二次函數(shù)最值；勾股定理；圓周角定理；分類思想、數(shù)形結合思想、方程思想的應用.【分析】（1）根據(jù)旋轉的性質得到等腰直角三角形，從而得到解決點M的坐標，進而應用待定系數(shù)法即可求得直線AB的解析式.（2）作輔助線“過點Q作軸的垂線QC，交AB于點C，再過點Q作直線AB的垂線，垂足為點D”，設，求出關于的二次函數(shù)，應用二次函數(shù)最值原理即可求解.（3）分，三種情況討論即可.12. （2015年江蘇揚州12分）如圖，直線線段于點，點在上，且，點是直線上的動點，作點關于直線的對稱點，直線與直線相交于點，連接.（1）如圖1，若點與點重合，則= ，線段與的比值為 ； （2）如圖2，若點與點不重合，設過三點的圓與直線相交于，連接.求證：；（3）如圖3，則滿足條件的點都在一個確定的圓上，在以下兩小題中選做一題：如果你能發(fā)現(xiàn)這個確定圓的圓心和半徑，那么不必寫出發(fā)現(xiàn)過程，只要證明這個圓上的任意一點Q，都滿足QA=2QB；如果你不能發(fā)現(xiàn)這個確定圓的圓心和半徑，那么請取幾個特殊位置的點，如點在直線上、點與點重合等進行探究，求這個圓的半徑.【答案】解：（1）30；2.（2）證明：點關于直線的對稱點，.是圓內接四邊形的外角，.如答圖1，連接交于點，過點作交于點，點關于直線的對稱點，是的垂直平分線.，.，.（3）兩小題中選做一題：如答圖2，在的延長線上取點，使，以點為圓心，2為半徑畫圓，取圓上任一點，連接，在上取點，使，連接，作點關于直線的對稱點，連接交于點，過點作交于點，點關于直線的對稱點，是的垂直平分線. .又，.點、重合.，.若點在線段上，由知，點與點重合，點與點重合，這個圓的半徑為2.若點在射線的延長線上，由知，點與點重合，這個圓的半徑為2.等.【考點】開放型；單動點和軸對稱問題；軸對稱的性質；銳角三角函數(shù)定義；特殊角的三角函數(shù)值；圓內接四邊形的性質；等腰三角形的判定；線段垂直平分線的性質；平行線分線段成比例的性質.【分析】（1），.，線段與的比值為2.（2）一方面證明得到；另一方面，由是圓內接四邊形的外角得到，從而得到，進而根據(jù)等角對等邊的判定得證.作輔助線“連接交于點，過點作交于點”，應用線段垂直平分線的性質和平行線分線段成比例的性質證明.（3）如答圖2，在的延長線上取點，使，以點為圓心，2為半徑畫圓，取圓上任一點，連接，在上取點，使，連接，作點關于直線的對稱點，連接交于點，過點作交于點，此圓即為所求定圓.取特殊點探討，答案不唯一.13. （2015年江蘇常州10分）設是一個平面圖形，如果用直尺和圓規(guī)經(jīng)過有限步作圖（簡稱尺規(guī)作圖），畫出一個正方形與的面積相等（簡稱等積），那么這樣的等積轉化稱為的“化方”（1）閱讀填空如圖，已知矩形ABCD，延長AD到E，使DE=DC，以AE為直徑作半圓延長CD交半圓于點H，以DH為邊作正方形DFGH，則正方形DFGH與矩形ABCD等積理由：連接AH，EHAE為直徑，AHE=90，HAE+HEA=90DHAE，ADH=EDH=90HAD+AHD=90AHD=HED，ADH ，即DH2=ADDE又DE=DCDH2= ，即正方形DFGH與矩形ABCD等積（2）操作實踐平行四邊形的“化方”思路是，先把平行四邊形轉化為等積的矩形，再把矩形轉化為等積的正方形如圖，請用尺規(guī)作圖作出與等積的矩形（不要求寫具體作法，保留作圖痕跡）（3）解決問題三角形的“化方”思路是：先把三角形轉化為等積的 （填寫圖形名稱），再轉化為等積的正方形如圖，ABC的頂點在正方形網(wǎng)格的格點上，請作出與ABC等積的正方形的一條邊（不要求寫具體作法，保留作圖痕跡，不通過計算ABC面積作圖）（4）拓展探究n邊形（n3）的“化方”思路之一是：把n邊形轉化為等積的n1邊形，直至轉化為等積的三角形，從而可以化方如圖，四邊形ABCD的頂點在正方形網(wǎng)格的格點上，請作出與四邊形ABCD等積的三角形（不要求寫具體作法，保留作圖痕跡，不通過計算四邊形ABCD面積作圖）【答案】解：（1）HDE；ADDC.（2）如答圖1，矩形ANMD即為與等積的矩形.（3）矩形.如答圖2，CF為與ABC等積的正方形的一條邊.（4）如答圖3，BCE是與四邊形ABCD等積的三角形.，【考點】閱讀理解型問題；尺規(guī)作圖（復雜作圖）；全等、相似三角形的判定和性質；平行四邊形的性質；矩形的性質；正方形的性質；圓周角定理；轉換思想和數(shù)形結合思想的應用【分析】（1）首先根據(jù)相似三角形的判定方法，可得ADHHDE；根據(jù)等量代換，可得DH2=ADDC，據(jù)此判斷即可（2）過點D作DMBC，交BC的延長線于點M，以點M為圓心，AD長為半徑畫弧，交BC于點N，連接AN，則易證DCMABN，因此，矩形ANMD即為與等積的矩形. （3）三角形的“化方”思路是：先把三角形轉化為等積的矩形，再轉化為等積的正方形首先以三角形的底為矩形的長，以三角形的高的一半為矩形的寬，將ABC轉化為等積的矩形BCMN；然后延長BC到E，使CE=CM，以BE為直徑作圓延長CM交圓于點F，則CF即為與ABC等積的正方形的一條邊（4）連接AC，過點D作DEAC交BA的延長線于點E，連接CE，則BCE是與四邊形ABCD等積的三角形.14. （2015年江蘇常州10分）如圖，一次函數(shù)的圖象與x軸、y軸分別相交于點A、B，過點A作x軸的垂線l，點P為直線l上的動點，點Q為直線AB與OAP外接圓的交點，點P、Q與點A都不重合（1）寫出點A的坐標；（2）當點P在直線l上運動時，是否存在點P使得OQB與APQ全等？如果存在，求出點P的坐標；如果不存在，請說明理由（3）若點M在直線l上，且POM=90，記OAP外接圓和OAM外接圓的面積分別是S1、S2，求的值【答案】解（1）（4，0）.（2）存在理由如下：如答圖1所示：將x=0代入得：，OB=4.由（1）可知OA=4.在RtBOA中，由勾股定理得：BOQAQP，QA=OB=4，BQ=PA，PA= 點P的坐標為（4，）（3）如答圖2所示：OPOM，1+3=90又2+1=90，2=3又OAP=OAM=90，OAMPAO.設AP=m，則：，在RtOAP中，.在RtOAM中，.【考點】圓的綜合題；單動點問題；直線上點的坐標與方程的關系；勾股定理；全等三角形的性質；相似三角形的判定和性質【分析】（1）將y=0代入，求得x的值，從而得到點A的坐標.（2）首先根據(jù)題意畫出圖形，然后在RtBOA中，由勾股定理求得AB的長度，由全等三角形的性質求得QA的長度，從而得到BQ的長，然后根據(jù)PA=BQ求得PA的長度，從而可求得點P的坐標.（3）首先根據(jù)題意畫出圖形，設AP=m，由OAMPAO，可求得AM的長度，然后根據(jù)勾股定理可求得兩圓的直徑（用含m的式子表示），然后利用圓的面積公式求得兩圓的面積，最后代入所求代數(shù)式求解即可15. （2015年江蘇淮安12分）閱讀理解：如圖，如果四邊形ABCD滿足AB=AD，CB=CD，B=D=900,那么我們把這樣的四邊形叫做“完美箏形”.將一張如圖所示的“完美箏形”紙片ABCD先折疊成如圖所示的形狀，再展開得到圖，其中CE、CF為折痕，BCD=ECF=FCD，點B為點B的對應點，點D為點D的對應點，連接EB、FD相交于點O.簡單應用：（1）在平行四邊形、矩形、菱形、正方形四種圖形中，一定為“完美箏形”的是 ；（2）當圖中的時，AEB ；（3）當圖中的四邊形AECF為菱形時，對應圖中的“完美箏形”有 個（包含四邊形ABCD）.拓展提升： 當圖中的時，連接AB，請?zhí)角驛BE的度數(shù)，并說明理由.【答案】解：簡單應用：（1）正方形.（2）80.（3）5.拓展提升：，理由如下：如答圖，連接，且AB=AD，四邊形ABCD是正方形. .由折疊對稱的性質，得，點在以為直徑的圓上.由對稱性，知，.【考點】新定義和閱讀理解型問題；折疊問題；正方形的判定和性質；折疊對稱的性質；圓周角定理；等腰直角三角形的性質.【分析】簡單應用：（1）根據(jù)“完美箏形”的定義，知只有正方形是“完美箏形”.（2