第一章 建立數(shù)學(xué)模型.pdf

數(shù)學(xué)模型 華中科技大學(xué)管理學(xué)院 第第一一章章建立數(shù)學(xué)模型建立數(shù)學(xué)模型 1 1 從現(xiàn)實對象到數(shù)學(xué)模型從現(xiàn)實對象到數(shù)學(xué)模型 1 2 數(shù)學(xué)建模的重要意義數(shù)學(xué)建模的重要意義 1 3 數(shù)學(xué)建模示例數(shù)學(xué)建模示例 1 4 數(shù)學(xué)建模的方法和步驟數(shù)學(xué)建模的方法和步驟 1 5 數(shù)學(xué)模型的特點和分類數(shù)學(xué)模型的特點和分類 1 6 怎樣學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)建模怎樣學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)建模 數(shù)學(xué)模型 華中科技大學(xué)管理學(xué)院 玩具玩具 照片照片 飛機飛機 火箭模型火箭模型 實物模型實物模型 水箱中的艦艇水箱中的艦艇 風(fēng)洞中的飛機風(fēng)洞中的飛機 物理模型物理模型 地圖地圖 電路圖電路圖 分子結(jié)構(gòu)圖分子結(jié)構(gòu)圖 符號模型符號模型 模型模型是為了一定目的是為了一定目的 對客觀事物的一部分對客觀事物的一部分 進行簡縮進行簡縮 抽象抽象 提煉出來的提煉出來的原型原型的替代物的替代物 模型模型集中反映了集中反映了原型原型中人們需要的那一部分特征中人們需要的那一部分特征 1 1從現(xiàn)實對象到數(shù)學(xué)模型從現(xiàn)實對象到數(shù)學(xué)模型 我們常見的模型我們常見的模型 數(shù)學(xué)模型 華中科技大學(xué)管理學(xué)院 你碰到過的數(shù)學(xué)模型你碰到過的數(shù)學(xué)模型 航行問題航行問題 用用 x 表示表示船速船速 y 表示水速表示水速 列出方程列出方程 75050 75030 yx yx 答答 船速每小時船速每小時20千米千米 小時小時 甲乙兩地相距甲乙兩地相距750千米千米 船從甲到乙順?biāo)叫行璐瑥募椎揭翼標(biāo)叫行?0小時小時 從乙到甲逆水航行需從乙到甲逆水航行需50小時小時 問船的速度是多少問船的速度是多少 x 20 y 5 求解求解 數(shù)學(xué)模型 華中科技大學(xué)管理學(xué)院 航行問題航行問題建立數(shù)學(xué)模型的基本步驟建立數(shù)學(xué)模型的基本步驟 作出簡化假設(shè)作出簡化假設(shè) 船速船速 水速為常數(shù)水速為常數(shù) 用符號表示有關(guān)量用符號表示有關(guān)量 x y表示船速和水速表示船速和水速 用物理定律用物理定律 勻速運動的距離等于速度乘以勻速運動的距離等于速度乘以 時間時間 列出數(shù)學(xué)式子列出數(shù)學(xué)式子 二元一次方程二元一次方程 求解得到數(shù)學(xué)解答求解得到數(shù)學(xué)解答 x 20 y 5 回答原問題回答原問題 船速每小時船速每小時20千米千米 小時小時 數(shù)學(xué)模型 華中科技大學(xué)管理學(xué)院 數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型 Mathematical Model 和和 數(shù)學(xué)建模數(shù)學(xué)建模 Mathematical Modeling 對于一個對于一個現(xiàn)實對象現(xiàn)實對象 為了一個為了一個特定目的特定目的 根據(jù)其根據(jù)其內(nèi)在規(guī)律內(nèi)在規(guī)律 作出必要的作出必要的簡化假設(shè)簡化假設(shè) 運用適當(dāng)?shù)倪\用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具數(shù)學(xué)工具 得到的一個得到的一個數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu) 建立數(shù)學(xué)模型的全過程建立數(shù)學(xué)模型的全過程 包括表述包括表述 求解求解 解釋解釋 檢驗等檢驗等 數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型 數(shù)學(xué)數(shù)學(xué) 建模建模 數(shù)學(xué)模型 華中科技大學(xué)管理學(xué)院 1 2數(shù)學(xué)建模的重要意義數(shù)學(xué)建模的重要意義 電子計算機的出現(xiàn)及飛速發(fā)展電子計算機的出現(xiàn)及飛速發(fā)展 數(shù)學(xué)以空前的廣度和深度向一切領(lǐng)域滲透數(shù)學(xué)以空前的廣度和深度向一切領(lǐng)域滲透 數(shù)學(xué)建模作為用數(shù)學(xué)方法解決實際問題的第一步數(shù)學(xué)建模作為用數(shù)學(xué)方法解決實際問題的第一步 越來越受到人們的重視越來越受到人們的重視 在一般工程技術(shù)領(lǐng)域數(shù)學(xué)建模仍然大有用武之地在一般工程技術(shù)領(lǐng)域數(shù)學(xué)建模仍然大有用武之地 在高新技術(shù)領(lǐng)域數(shù)學(xué)建模幾乎是必不可少的工具在高新技術(shù)領(lǐng)域數(shù)學(xué)建模幾乎是必不可少的工具 數(shù)學(xué)進入一些新領(lǐng)域數(shù)學(xué)進入一些新領(lǐng)域 為數(shù)學(xué)建模開辟了許多領(lǐng)地為數(shù)學(xué)建模開辟了許多領(lǐng)地 數(shù)學(xué)模型 華中科技大學(xué)管理學(xué)院 數(shù)學(xué)建模的具體應(yīng)用數(shù)學(xué)建模的具體應(yīng)用 分析與設(shè)計分析與設(shè)計 預(yù)報與決策預(yù)報與決策 控制與優(yōu)化控制與優(yōu)化 規(guī)劃與管理規(guī)劃與管理 數(shù)學(xué)建模計算機技術(shù) 知識經(jīng)濟知識經(jīng)濟 如虎添翼如虎添翼 P8 139 數(shù)學(xué)模型 華中科技大學(xué)管理學(xué)院 1 3 數(shù)學(xué)建模示例數(shù)學(xué)建模示例 1 3 1椅子能在不平的地面上放穩(wěn)嗎椅子能在不平的地面上放穩(wěn)嗎 問題分析問題分析 模模 型型 假假 設(shè)設(shè) 通常通常 三只腳著地三只腳著地放穩(wěn)放穩(wěn) 四只腳著地四只腳著地 四條腿一樣長四條腿一樣長 椅腳與地面點接觸椅腳與地面點接觸 四腳四腳 連線呈正方形連線呈正方形 地面高度連續(xù)變化地面高度連續(xù)變化 可視為數(shù)學(xué)上的連續(xù)可視為數(shù)學(xué)上的連續(xù) 曲面曲面 地面相對平坦地面相對平坦 使椅子在任意位置至少三使椅子在任意位置至少三 只腳同時著地只腳同時著地 數(shù)學(xué)模型 華中科技大學(xué)管理學(xué)院 模型構(gòu)成模型構(gòu)成 用數(shù)學(xué)語言把用數(shù)學(xué)語言把椅子位置椅子位置和和四只腳著地四只腳著地的關(guān)系表示出來的關(guān)系表示出來 椅子位置椅子位置利用正方形利用正方形 椅腳連線椅腳連線 的對稱性的對稱性 x B A D C O D C B A 用用 對角線與對角線與x軸的夾角軸的夾角 表示椅子位置表示椅子位置 四只腳著地四只腳著地 距離是距離是 的函數(shù)的函數(shù) 四個距離四個距離 四只腳四只腳 A C 兩腳與地面距離之和兩腳與地面距離之和 f B D 兩腳與地面距離之和兩腳與地面距離之和 g 兩個距離兩個距離 椅腳與地面距離為零椅腳與地面距離為零 正方形正方形ABCD 繞繞O點旋轉(zhuǎn)點旋轉(zhuǎn) 正方形正方形 對稱性對稱性 數(shù)學(xué)模型 華中科技大學(xué)管理學(xué)院 用數(shù)學(xué)語言把用數(shù)學(xué)語言把椅子位置椅子位置和和四只腳著地四只腳著地的關(guān)系表示出來的關(guān)系表示出來 f g 是是連續(xù)函數(shù)連續(xù)函數(shù) 對任意對任意 f g 至少一個為至少一個為0 數(shù)學(xué)數(shù)學(xué) 問題問題 已知已知 f g 是是連續(xù)函數(shù)連續(xù)函數(shù) 對任意對任意 f g 0 且且 g 0 0 f 0 0 證明證明 存在存在 0 使使f 0 g 0 0 模型構(gòu)成模型構(gòu)成 地面為連續(xù)曲面地面為連續(xù)曲面 椅子在任意位置椅子在任意位置 至少三只腳著地至少三只腳著地 D C B A B A D C O 數(shù)學(xué)模型 華中科技大學(xué)管理學(xué)院 模型求解模型求解 給出一種簡單給出一種簡單 粗糙的證明方法粗糙的證明方法 將椅子將椅子旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)900 對角線對角線AC和和BD互換互換 由由g 0 0 f 0 0 知知f 2 0 g 2 0 令令h f g 則則h 0 0和和h 2 0 由由 f g的連續(xù)性知的連續(xù)性知 h為連續(xù)函數(shù)為連續(xù)函數(shù) 據(jù)連續(xù)函數(shù)的基本性據(jù)連續(xù)函數(shù)的基本性 質(zhì)質(zhì) 必存在必存在 0 使使h 0 0 即即f 0 g 0 因為因為f g 0 所以所以f 0 g 0 0 評注和思考評注和思考建模的關(guān)鍵建模的關(guān)鍵 考察四腳呈長方形的椅子考察四腳呈長方形的椅子 和和 f g 的確定的確定 D C B A B A D C O 數(shù)學(xué)模型 華中科技大學(xué)管理學(xué)院 1 3 2 商人們怎樣安全過河商人們怎樣安全過河 問題問題 智力游戲智力游戲 3名商人名商人 3名隨從名隨從 隨從們密約隨從們密約 在河的任一在河的任一 岸岸 一旦隨從的人數(shù)比商一旦隨從的人數(shù)比商 人多人多 就殺人越貨就殺人越貨 但是乘船渡河的方案由商人決定但是乘船渡河的方案由商人決定 商人們怎樣才能安全過河商人們怎樣才能安全過河 問題分析問題分析 多步?jīng)Q策過程多步?jīng)Q策過程 決策決策 每一步每一步 此岸到彼岸或彼岸到此岸此岸到彼岸或彼岸到此岸 船上的人員船上的人員 要求要求 在安全的前提下在安全的前提下 兩岸的隨從數(shù)不比商人多兩岸的隨從數(shù)不比商人多 經(jīng)有經(jīng)有 限步使全體人員過河限步使全體人員過河 河河 小船小船 至多至多2人人 數(shù)學(xué)模型 華中科技大學(xué)管理學(xué)院 模型構(gòu)成模型構(gòu)成 xk 第第k次渡河前此岸的商人數(shù)次渡河前此岸的商人數(shù) yk 第第k次渡河前此岸的隨從數(shù)次渡河前此岸的隨從數(shù) xk yk 0 1 2 3 k 1 2 sk xk yk 過程的狀態(tài)過程的狀態(tài) S x y x 0 y 0 1 2 3 x 3 y 0 1 2 3 x y 1 2 S 允許狀態(tài)集合允許狀態(tài)集合 uk 第第k次渡船上的商人數(shù)次渡船上的商人數(shù) vk 第第k次渡船上的隨從數(shù)次渡船上的隨從數(shù) dk uk vk 決策決策D u v u v 1 2 允許允許決策決策集合集合 uk vk 0 1 2 k 1 2 sk 1 skdk 1 k 狀態(tài)轉(zhuǎn)移律狀態(tài)轉(zhuǎn)移律 求求dk D k 1 2 n 使使sk S 并并按按 轉(zhuǎn)移律轉(zhuǎn)移律由由 s1 3 3 到達到達 sn 1 0 0 多步?jīng)Q策多步?jīng)Q策 問題問題 數(shù)學(xué)模型 華中科技大學(xué)管理學(xué)院 模型求解模型求解 x y 3 32 2 1 1 0 窮舉法窮舉法 編程上機編程上機 圖解法圖解法 狀態(tài)狀態(tài)s x y 16個格點個格點 10個個 點點 允許決策允許決策 移動移動1或或2格格 k奇奇 左下移左下移 k偶偶 右上移右上移 s1 sn 1 d1 d11給出安全渡河方案給出安全渡河方案 評注和思考評注和思考 規(guī)格化方法規(guī)格化方法 易于推廣易于推廣考慮考慮4名商人各帶一隨從的情況名商人各帶一隨從的情況 d1 d11 允許狀態(tài)允許狀態(tài) S x y x 0 y 0 1 2 3 x 3 y 0 1 2 3 x y 1 2 數(shù)學(xué)模型 華中科技大學(xué)管理學(xué)院 背景背景 年年1625 1830 1930 1960 1974 1987 1999 人口人口 億億 5 10 20 30 40 50 60 世界人口增長概況世界人口增長概況 中國人口增長概況中國人口增長概況 年年1908 1933 1953 1964 1982 1990 1995 2000 人口人口 億億 3 0 4 7 6 0 7 2 10 3 11 3 12 0 13 0 研究人口變化規(guī)律研究人口變化規(guī)律控制人口過快增長控制人口過快增長 1 3 3 如何預(yù)報人口的增長如何預(yù)報人口的增長 數(shù)學(xué)模型 華中科技大學(xué)管理學(xué)院 指數(shù)增長模型指數(shù)增長模型 馬爾薩斯提出馬爾薩斯提出 1798 常用的計算公式常用的計算公式 k k rxx 1 0 x t 時刻時刻t的的人口人口 基本假設(shè)基本假設(shè) 人口人口 相對相對 增長率增長率 r 是常數(shù)是常數(shù) r 的定義 單位時間內(nèi)人口增長的比率單位時間內(nèi)人口增長的比率 ttrxtxttx 今年人口今年人口 x0 年增長率年增長率 r k年后人口年后人口 0 0 xxrx dt dx rt extx 0 隨著時間增加隨著時間增加 人口按指數(shù)規(guī)律無限增長人口按指數(shù)規(guī)律無限增長 思考思考 式式1是式是式3的離散近似形式的離散近似形式 式式1 式式3 如何理解 數(shù)學(xué)模型 華中科技大學(xué)管理學(xué)院 參數(shù)估計 求式3的r和x0 將式3簡化為 y rt a 其中 y ln x a lnx0 用最小二乘法 最小二乘法原理 見 經(jīng)濟數(shù)學(xué)手冊 P5 得 r a 結(jié)果及其分析 見P11第1自然段 2 i ii t yt XrY 數(shù)學(xué)模型 華中科技大學(xué)管理學(xué)院 指數(shù)增長模型的應(yīng)用及局限性指數(shù)增長模型的應(yīng)用及局限性 與與19世紀(jì)以前歐洲一些地區(qū)人口統(tǒng)計數(shù)據(jù)吻合世紀(jì)以前歐洲一些地區(qū)人口統(tǒng)計數(shù)據(jù)吻合 適用于適用于19世紀(jì)后遷往加拿大的歐洲移民后代世紀(jì)后遷往加拿大的歐洲移民后代 可用于短期人口增長預(yù)測可用于短期人口增長預(yù)測 不符合不符合19世紀(jì)后多數(shù)地區(qū)人口增長規(guī)律世紀(jì)后多數(shù)地區(qū)人口增長規(guī)律 不能預(yù)測較長期的人口增長過程不能預(yù)測較長期的人口增長過程 1919世紀(jì)后人口數(shù)據(jù)世紀(jì)后人口數(shù)據(jù)人口增長率人口增長率r r不是常數(shù)不是常數(shù) 逐漸下降逐漸下降 見P11圖3 見P11圖4 數(shù)學(xué)模型 華中科技大學(xué)管理學(xué)院 阻滯增長模型阻滯增長模型 Logistic模型模型 人口增長到一定數(shù)量后人口增長到一定數(shù)量后 增長率下降的原因增長率下降的原因 資源資源 環(huán)境等因素對人口增長的阻滯作用環(huán)境等因素對人口增長的阻滯作用 且阻滯作用隨人口數(shù)量增加而變大且阻滯作用隨人口數(shù)量增加而變大 假設(shè)假設(shè) 0 srsxrxrr 固有增長率固有增長率 x很小時很小時 xm 人口容量人口容量 資源資源 環(huán)境能容納的最大數(shù)量環(huán)境能容納的最大數(shù)量 1 m x x rxr r是是x的減函數(shù)的減函數(shù) m x r s 0 m xr 數(shù)學(xué)模型 華中科技大學(xué)管理學(xué)院 rx dt dx 1 m x x rxxxr dt dx dx dt x 0 xmxm 2 如何求出 xm x t x x x e m mrt 11 0 t x 0 x t S形曲線形曲線 x增加先快后慢增加先快后慢 x0 xm 2 阻滯增長模型阻滯增長模型 Logistic模型模型 原本人口增長的規(guī)律 r是x的函數(shù)時 人口增長的規(guī)律 數(shù)學(xué)模型 華中科技大學(xué)管理學(xué)院 參數(shù)估計參數(shù)估計 用指數(shù)增長模型或阻滯增長模型作人口用指數(shù)增長模型或阻滯增長模型作人口 預(yù)報預(yù)報 必須先估計模型參數(shù)必須先估計模型參數(shù) r 或或 r xm 利用統(tǒng)計數(shù)據(jù)用最小二乘法作擬合利用統(tǒng)計數(shù)據(jù)用最小二乘法作擬合 例例 美國人口數(shù)據(jù)美國人口數(shù)據(jù) 單位單位 百萬百萬 1860 1870 1880 1960 1970 1980 1990 31 4 38 6 50 2 179 3 204 0 226 5 251 4 專家估計專家估計 阻滯增長模型阻滯增長模型 Logistic模型模型 r 0 2557 xm 392 1 1 不用式9 而將式8表示為式10 2 式10的左端 dx dt x 見P14 可從表4中計算出來 3 用表4數(shù)據(jù) 擬合r和和s 專家估計人口固有增長率r 0 029 再根據(jù)1960年29 8億人 增長率1 85 即 dx dt x 0 0185 再根據(jù)式8 最后得到xm 見P14中部 數(shù)學(xué)模型 華中科技大學(xué)管理學(xué)院 模型檢驗?zāi)Ｐ蜋z驗 用模型計算用模型計算2000年美國人口年美國人口 與實際數(shù)據(jù)比較與實際數(shù)據(jù)比較 1990 1 1990 1990 1990 2000 m xxrxxxxx 實際為實際為281 4 百萬百萬 5 274 2000 x 模型應(yīng)用模型應(yīng)用 預(yù)報美國預(yù)報美國2010年的人口年的人口 加入加入2000年人口數(shù)據(jù)后重新估計模型參數(shù)年人口數(shù)據(jù)后重新估計模型參數(shù) Logistic 模型在經(jīng)濟領(lǐng)域中的應(yīng)用模型在經(jīng)濟領(lǐng)域中的應(yīng)用 如耐用消費品的售量如耐用消費品的售量 阻滯增長模型阻滯增長模型 Logistic模型模型 r 0 2490 xm 434 0 x 2010 306 0 利用了式8 見P13 數(shù)學(xué)模型 華中科技大學(xué)管理學(xué)院 數(shù)學(xué)建模的基本方法數(shù)學(xué)建模的基本方法 機理分析機理分析 測試分析測試分析 根據(jù)對客觀事物特性的認(rèn)識根據(jù)對客觀事物特性的認(rèn)識 找出反映內(nèi)部機理的數(shù)量規(guī)律找出反映內(nèi)部機理的數(shù)量規(guī)律 將對象看作將對象看作 黑箱黑箱 通過對量測數(shù)據(jù)的通過對量測數(shù)據(jù)的 統(tǒng)計分析統(tǒng)計分析 找出與數(shù)據(jù)擬合最好的模型找出與數(shù)據(jù)擬合最好的模型 機理分析沒有統(tǒng)一的方法機理分析沒有統(tǒng)一的方法 主要通過實例研究主要通過實例研究 Case Studies 來學(xué)習(xí)來學(xué)習(xí) 以下建模主要指機理分析以下建模主要指機理分析 二者結(jié)合二者結(jié)合 用機理分析建立模型結(jié)構(gòu)用機理分析建立模型結(jié)構(gòu) 用測試分析確定模型參數(shù)用測試分析確定模型參數(shù) 1 4數(shù)學(xué)建模的方法和步驟數(shù)學(xué)建模的方法和步驟 數(shù)學(xué)模型 華中科技大學(xué)管理學(xué)院 數(shù)學(xué)建模的一般步驟數(shù)學(xué)建模的一般步驟 模型準(zhǔn)備模型準(zhǔn)備模型假設(shè)模型假設(shè)模型構(gòu)成模型構(gòu)成 模型求解模型求解模型分析模型分析 模型檢驗?zāi)Ｐ蜋z驗 模型應(yīng)用模型應(yīng)用 模模 型型 準(zhǔn)準(zhǔn) 備備 了解實際背景了解實際背景明確建模目的明確建模目的 搜集有關(guān)信息搜集有關(guān)信息掌握對象特征掌握對象特征 形成一個形成一個 比較清晰比較清晰 的的 問題問題 數(shù)學(xué)模型 華中科技大學(xué)管理學(xué)院 模模 型型 假假 設(shè)設(shè) 針對問題特點和建模目的針對問題特點和建模目的 作出合理的作出合理的 簡化的假設(shè)簡化的假設(shè) 在合理與簡化之間作出折中在合理與簡化之間作出折中 模模 型型 構(gòu)構(gòu) 成成 用數(shù)學(xué)的語言用數(shù)學(xué)的語言 符號描述問題符號描述問題 發(fā)揮想像力發(fā)揮想像力使用類比法使用類比法 盡量采用簡單的數(shù)學(xué)工具盡量采用簡單的數(shù)學(xué)工具 數(shù)學(xué)建模的一般步驟數(shù)學(xué)建模的一般步驟 數(shù)學(xué)模型 華中科技大學(xué)管理學(xué)院 模型模型 求解求解 各種數(shù)學(xué)方法各種數(shù)學(xué)方法 軟件和計算機技術(shù)軟件和計算機技術(shù) 如結(jié)果的誤差分析如結(jié)果的誤差分析 統(tǒng)計分析統(tǒng)計分析 模型對數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性分析模型對數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性分析 模型模型 分析分析 模型模型 檢驗檢驗 與實際現(xiàn)象與實際現(xiàn)象 數(shù)據(jù)比較數(shù)據(jù)比較 檢驗?zāi)Ｐ偷暮侠硇詸z驗?zāi)Ｐ偷暮侠硇?適用性適用性 模型應(yīng)用模型應(yīng)用 數(shù)學(xué)建模的一般步驟數(shù)學(xué)建模的一般步驟 數(shù)學(xué)模型 華中科技大學(xué)管理學(xué)院 數(shù)學(xué)建模的全過程數(shù)學(xué)建模的全過程 現(xiàn)實對象的信息現(xiàn)實對象的信息數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型 現(xiàn)實對象的解答現(xiàn)實對象的解答數(shù)學(xué)模型的解答數(shù)學(xué)模型的解答 表述表述 求解求解 解釋解釋 驗證驗證 歸納 演繹 表述表述 求解求解 解釋