萬有引力定律及應用.doc

第4講萬有引力定律及應用一、開普勒三定律的內容、公式定律內容圖示或公式開普勒第一定律(軌道定律)所有行星繞太陽運動的軌道都是橢圓，太陽處在橢圓的一個焦點上開普勒第二定律(面積定律)對任意一個行星來說，它與太陽的連線在相等的時間內掃過的面積相等開普勒第三定律(周期定律)所有行星的軌道的半長軸的三次方跟它的公轉周期的二次方的比值都相等k，k是一個與行星無關的常量自測1(2016全國卷14)關于行星運動的規(guī)律，下列說法符合史實的是()A.開普勒在牛頓定律的基礎上，導出了行星運動的規(guī)律B.開普勒在天文觀測數據的基礎上，總結出了行星運動的規(guī)律C.開普勒總結出了行星運動的規(guī)律，找出了行星按照這些規(guī)律運動的原因D.開普勒總結出了行星運動的規(guī)律，發(fā)現(xiàn)了萬有引力定律答案B解析開普勒在天文觀測數據的基礎上總結出了行星運動的規(guī)律，但沒有找出行星運動按照這些規(guī)律運動的原因，而牛頓發(fā)現(xiàn)了萬有引力定律.二、萬有引力定律1.內容自然界中任何兩個物體都相互吸引，引力的方向在它們的連線上，引力的大小與物體的質量m1和m2的乘積成正比，與它們之間距離r的二次方成反比.2.表達式FG，G為引力常量，G6.671011Nm2/kg2.3.適用條件(1)公式適用于質點間的相互作用，當兩個物體間的距離遠大于物體本身的大小時，物體可視為質點.(2)質量分布均勻的球體可視為質點，r是兩球心間的距離.4.天體運動問題分析(1)將天體或衛(wèi)星的運動看成勻速圓周運動，其所需向心力由萬有引力提供.(2)基本公式：Gma自測2我國發(fā)射的“天宮一號”和“神舟八號”在對接前，“天宮一號”的運行軌道高度為350 km，“神舟八號”的運行軌道高度為343 km.它們的運行軌道均視為圓周，則()A.“天宮一號”比“神舟八號”速度大B.“天宮一號”比“神舟八號”周期長C.“天宮一號”比“神舟八號”角速度大D.“天宮一號”比“神舟八號”加速度大答案B解析航天器在圍繞地球做勻速圓周運動的過程中由萬有引力提供向心力，根據萬有引力定律和勻速圓周運動知識得Gmmr2mr2ma，解得v，T，a，而“天宮一號”的軌道半徑比“神舟八號”的軌道半徑大，可知選項B正確.三、宇宙速度1.第一宇宙速度(1)第一宇宙速度又叫環(huán)繞速度，其數值為7.9 km/s.(2)第一宇宙速度是人造衛(wèi)星在地面附近環(huán)繞地球做勻速圓周運動時具有的速度.(3)第一宇宙速度是人造衛(wèi)星的最小發(fā)射速度，也是人造衛(wèi)星的最大環(huán)繞速度.(4)第一宇宙速度的計算方法.由Gm得v；由mgm得v.2.第二宇宙速度使物體掙脫地球引力束縛的最小發(fā)射速度，其數值為11.2 km/s.3.第三宇宙速度使物體掙脫太陽引力束縛的最小發(fā)射速度，其數值為16.7 km/s.自測3教材P48第3題金星的半徑是地球的0.95倍，質量為地球的0.82倍，金星表面的自由落體加速度是多大？金星的“第一宇宙速度”是多大？答案8.9 m/s27.3 km/s解析根據星體表面忽略自轉影響，重力等于萬有引力知mg故()2金星表面的自由落體加速度g金g地0.82()2 m/s28.9 m/s2由萬有引力充當向心力知得v所以0.93v金0.937.9 km/s7.3 km/s.命題點一開普勒三定律的理解和應用1.行星繞太陽的運動通常按圓軌道處理.2.開普勒行星運動定律也適用于其他天體，例如月球、衛(wèi)星繞地球的運動.3.開普勒第三定律k中，k值只與中心天體的質量有關，不同的中心天體k值不同.但該定律只能用在同一中心天體的兩星體之間.例1(多選)(2017全國卷19)如圖1，海王星繞太陽沿橢圓軌道運動，P為近日點，Q為遠日點，M、N為軌道短軸的兩個端點，運行的周期為T0，若只考慮海王星和太陽之間的相互作用，則海王星在從P經過M、Q到N的運動過程中()圖1A.從P到M所用的時間等于B.從Q到N階段，機械能逐漸變大C.從P到Q階段，速率逐漸變小D.從M到N階段，萬有引力對它先做負功后做正功答案CD解析由行星運動的對稱性可知，從P經M到Q點的時間為T0，根據開普勒第二定律可知，從P到M運動的速率大于從M到Q運動的速率，可知從P到M所用的時間小于T0，選項A錯誤；海王星在運動過程中只受太陽的引力作用，故機械能守恒，選項B錯誤；根據開普勒第二定律可知，從P到Q階段，速率逐漸變小，選項C正確；海王星受到的萬有引力指向太陽，從M到N階段，萬有引力對它先做負功后做正功，選項D正確.變式1火星和木星沿各自的橢圓軌道繞太陽運行，根據開普勒行星運動定律可知()A.太陽位于木星運行軌道的中心B.火星和木星繞太陽運行速度的大小始終相等C.火星與木星公轉周期之比的平方等于它們軌道半長軸之比的立方D.相同時間內，火星與太陽連線掃過的面積等于木星與太陽連線掃過的面積答案C解析由開普勒第一定律(軌道定律)可知，太陽位于木星運行軌道的一個焦點上，A錯誤.火星和木星繞太陽運行的軌道不同，運行速度的大小不可能始終相等，B錯誤.根據開普勒第三定律(周期定律)知所有行星軌道的半長軸的三次方與它的公轉周期的平方的比值是一個常數，C正確.對于某一個行星來說，其與太陽連線在相同的時間內掃過的面積相等，不同行星在相同時間內掃過的面積不相等，D錯誤.變式2(多選)如圖2所示，近地人造衛(wèi)星和月球繞地球的運行軌道可視為圓.設衛(wèi)星、月球繞地球運行周期分別為T衛(wèi)、T月，地球自轉周期為T地，則()圖2A.T衛(wèi)T月 C.T衛(wèi)r同r衛(wèi)，由開普勒第三定律k，可知，T月T同T衛(wèi)，又同步衛(wèi)星的周期T同T地，故有T月T地T衛(wèi)，選項A、C正確.變式3如圖3所示，一顆衛(wèi)星繞地球沿橢圓軌道運動，A、B是衛(wèi)星運動的遠地點和近地點.下列說法中正確的是()圖3A.衛(wèi)星在A點的角速度大于B點的角速度B.衛(wèi)星在A點的加速度小于B點的加速度C.衛(wèi)星由A運動到B過程中動能減小，勢能增加D.衛(wèi)星由A運動到B過程中引力做正功，機械能增大答案B解析由開普勒第二定律知，衛(wèi)星與地球的連線在相等的時間內掃過的面積相等，故衛(wèi)星在遠地點轉過的角度較小，由知，衛(wèi)星在A點的角速度小于B點的角速度，選項A錯誤；設衛(wèi)星的質量為m，地球的質量為M，衛(wèi)星的軌道半徑為r，由萬有引力定律得Gma，解得a，由此可知，r越大，加速度越小，故衛(wèi)星在A點的加速度小于B點的加速度，選項B正確；衛(wèi)星由A運動到B的過程中，引力做正功，動能增加，勢能減小，選項C錯誤；衛(wèi)星由A運動到B的過程中，只有引力做功，機械能守恒，選項D錯誤.命題點二萬有引力定律的理解1.萬有引力與重力的關系地球對物體的萬有引力F表現(xiàn)為兩個效果：一是重力mg，二是提供物體隨地球自轉的向心力F向.(1)在赤道上：Gmg1m2R.(2)在兩極上：Gmg0.(3)在一般位置：萬有引力G等于重力mg與向心力F向的矢量和.越靠近南、北兩極，g值越大，由于物體隨地球自轉所需的向心力較小，常認為萬有引力近似等于重力，即mg.2.星球上空的重力加速度g星球上空距離星體中心rRh處的重力加速度為g，mg，得g.所以.3.萬有引力的“兩點理解”和“兩個推論”(1)兩點理解兩物體相互作用的萬有引力是一對作用力和反作用力.地球上的物體受到的重力只是萬有引力的一個分力.(2)兩個推論推論1：在勻質球殼的空腔內任意位置處，質點受到球殼的萬有引力的合力為零，即F引0.推論2：在勻質球體內部距離球心r處的質點(m)受到的萬有引力等于球體內半徑為r的同心球體(M)對其的萬有引力，即FG.例2如圖4所示，有人設想通過“打穿地球”從中國建立一條過地心的光滑隧道直達阿根廷.如只考慮物體間的萬有引力，則從隧道口拋下一物體，物體的加速度()圖4A.一直增大B.一直減小C.先增大后減小D.先減小后增大答案D解析設地球的平均密度為，物體在隧道內部離地心的距離為r，則物體m所受的萬有引力FGGmr，此處的重力加速度aGr，故選項D正確.例3由中國科學院、中國工程院兩院院士評出的2012年中國十大科技進展新聞，于2013年1月19日揭曉，“神九”載人飛船與“天宮一號”成功對接和“蛟龍”號下潛突破7 000米分別排在第一、第二.若地球半徑為R，把地球看做質量分布均勻的球體.“蛟龍”下潛深度為d，“天宮一號”軌道距離地面高度為h，“蛟龍”號所在處與“天宮一號”所在處的加速度之比為()A. B. C. D.答案C解析令地球的密度為，則在地球表面，重力和地球的萬有引力大小相等，有：gG.由于地球的質量為：MR3，所以重力加速度的表達式可寫成：gGR.根據題意有，質量分布均勻的球殼對殼內物體的引力為零，故在深度為d的地球內部，受到地球的萬有引力即為半徑等于(Rd)的球體在其表面產生的萬有引力，故“蛟龍”號的重力加速度gG(Rd)，所以有.根據萬有引力提供向心力Gma，“天宮一號”的加速度為a，所以，故C正確，A、B、D錯誤.變式4“神舟十一號”飛船于2016年10月17日發(fā)射，對接“天宮二號”.若飛船質量為m，距地面高度為h，地球質量為M，半徑為R，引力常量為G，則飛船所在處的重力加速度大小為()A.0 B. C. D.答案B命題點三天體質量和密度的估算天體質量和密度常用的估算方法使用方法已知量利用公式表達式備注質量的計算利用運行天體r、TGmrM只能得到中心天體的質量r、vGmMv、TGmGmrM利用天體表面重力加速度g、RmgM密度的計算利用運行天體r、T、RGmrMR3當rR時利用近地衛(wèi)星只需測出其運行周期利用天體表面重力加速度g、RmgMR3例4假設地球可視為質量均勻分布的球體.已知地球表面重力加速度在兩極的大小為g0，在赤道的大小為g，地球自轉的周期為T，引力常量為G.地球的密度為()A. B. C. D.答案B解析物體在地球的兩極時，mg0G，物體在赤道上時，mgm()2RG，又MR3，聯(lián)立以上三式解得地球的密度，故選項B正確，選項A、C、D錯誤.變式5觀察“嫦娥三號”在環(huán)月軌道上的運動，發(fā)現(xiàn)每經過時間t通過的弧長為l，該弧長對應的圓心角為(弧度)，如圖5所示.已知引力常量為G，“嫦娥三號”的環(huán)月軌道可近似看成是圓軌道，由此可推導月球的質量為()圖5A.2 B. C. D.答案B解析“嫦娥三號”在環(huán)月軌道上運動的線速度為：v，角速度為；根據線速度和角速度的關系式：vr，可得其軌道半徑r；“嫦娥三號”做勻速圓周運動，萬有引力提供向心力，mv，解得M，故選B.變式6據報道，天文學家新發(fā)現(xiàn)了太陽系外的一顆行星.這顆行星的體積是地球的a倍，質量是地球的b倍.已知近地衛(wèi)星繞地球運行的周期約為T，引力常量為G.則該行星的平均密度為()A. B. C. D.答案C解析萬有引力提供近地衛(wèi)星繞地球運行的向心力：Gm，且地，聯(lián)立得地.而，因而星.命題點四衛(wèi)星運行參量的分析衛(wèi)星運行參量相關方程結論線速度vGmvr越大，v、a越小，T越大角速度Gm2r周期TGm2r T2向心加速度aGmaa例5(多選)“天舟一號”貨運飛船于2017年4月20日在文昌航天發(fā)射中心成功發(fā)射升空.與“天宮二號”空間實驗室對接前，“天舟一號”在距地面約380 km的圓軌道上飛行，則其()A.角速度小于地球自轉角速度B.線速度小于第一宇宙速度C.周期小于地球自轉周期D.向心加速度小于地面的重力加速度答案BCD解析根據萬有引力提供向心力得，Gm(Rh)2mm(Rh)ma，解得，v，T，a，由題意可知，“天舟一號”的離地高度小于同步衛(wèi)星的離地高度，則“天舟一號”的角速度大于同步衛(wèi)星的角速度，也大于地球的自轉角速度，“天舟一號”的周期小于地球的自轉周期，選項A錯誤，C正確；由第一宇宙速度為可知，“天舟一號”的線速度小于第一宇宙速度，選項B正確；由地面的重力加速度g可知，“天舟一號”的向心加速度小于地面的重力加速度，選項D正確.變式7(2017全國卷14)2017年4月，我國成功發(fā)射的天舟一號貨運飛船與天宮二號空間實驗室完成了首次交會對接，對接形成的組合體仍沿天宮二號原來的軌道(可視為圓軌道)運行.與天宮二號單獨運行時相比，組合體運行的()A.周期變大 B.速率變大C.動能變大 D.向心加速度變大答案C變式8(2017河北石家莊二模)2016年10月19日凌晨，神舟十一號飛船與天宮二號對接成功，如圖6.兩者對接后一起繞地球運行的軌道可視為圓軌道，運行周期為T，已知地球半徑為R，對接體距地面的高度為kR，地球表面的重力加速度為g，引力常量為G，下列說法正確的是()圖6A.對接后，飛船的線速度大小為B.對接后，飛船的加速度大小為C.地球的密度為D.對接前，飛船通過自身減速使軌道半徑變大靠近天宮二號實現(xiàn)對接答案B解析對接前，飛船通過自身加速使軌道半徑變大從而靠近天宮二號實現(xiàn)對接，D錯誤.對接后，飛船的軌道半徑為kRR，線速度大小v，A錯誤.由ma及GMgR2得a，B正確.由m2(k1)R及MR3得地球的密度，C錯誤.1.關于行星運動定律和萬有引力定律的建立過程，下列說法正確的是()A.第谷通過整理大量的天文觀測數據得到行星運動規(guī)律B.開普勒指出，地球繞太陽運動是因為受到來自太陽的引力C.牛頓通過比較月球公轉的向心加速度和地球赤道上物體隨地球自轉的向心加速度，對萬有引力定律進行了“月地檢驗”D.卡文迪許在實驗室里通過幾個鉛球之間萬有引力的測量，得出了引力常量的數值答案D2.關于環(huán)繞地球運行的衛(wèi)星，下列說法正確的是()A.分別沿圓軌道和橢圓軌道運行的兩顆衛(wèi)星，不可能具有相同的周期B.沿橢圓軌道運行的一顆衛(wèi)星，在軌道不同位置可能具有相同的速率C.在赤道上空運行的兩顆地球同步衛(wèi)星，它們的軌道半徑有可能不同D.沿不同軌道經過北京上空的兩顆衛(wèi)星，它們的軌道平面一定會重合答案B解析分別沿圓軌道和橢圓軌道運行的兩顆衛(wèi)星，可能具有相同的周期，故A錯誤；沿橢圓軌道運行的一顆衛(wèi)星，在軌道對稱的不同位置具有相同的速率，B正確；根據萬有引力提供向心力，列出等式m(Rh)，其中R為地球半徑，h為同步衛(wèi)星離地面的高度，由于同步衛(wèi)星的周期必須與地球自轉周期相同，所以T為一定值，根據上面等式得出：同步衛(wèi)星離地面的高度h也為一定值，故C錯誤；沿不同軌道經過北京上空的兩顆衛(wèi)星，它們的軌道平面不一定重合，故D錯誤.3.組成星球的物質靠引力吸引在一起隨星球自轉.如果某質量分布均勻的星球自轉周期為T，萬有引力常量為G，為使該星球不至于瓦解，該星球的密度至少是()A. B. C. D.答案B解析根據萬有引力提供向心力有：GmR，根據密度公式有：，聯(lián)立可得密度為，B正確.4.(2018河南洛陽模擬)北斗衛(wèi)星導航系統(tǒng)(BDS)是中國自行研制的全球衛(wèi)星導航系統(tǒng)，該系統(tǒng)由35顆衛(wèi)星組成，衛(wèi)星的軌道有三種：地球同步軌道、中軌道和傾斜軌道.其中，同步軌道半徑大約是中軌道半徑的1.5倍，那么同步衛(wèi)星與中軌道衛(wèi)星的周期之比約為()A. B. C. D.2答案C解析開普勒第三定律同樣適用于衛(wèi)星與行星間的運動關系，當軌道為圓軌道時，公式中的a為半徑r，則有，得.5.(多選)2011年中俄聯(lián)合實施探測火星計劃，由中國負責研制的“螢火一號”火星探測器與俄羅斯研制的“福布斯土壤”火星探測器一起由俄羅斯“天頂”運載火箭發(fā)射前往火星.已知火星的質量約為地球質量的，火星的半徑約為地球半徑的.下列關于火星探測器的說法中正確的是()A.發(fā)射速度只要大于第一宇宙速度即可B.發(fā)射速度只有達到第三宇宙速度才可以C.發(fā)射速度應大于第二宇宙速度而小于第三宇宙速度D.火星探測器環(huán)繞火星運行的最大速度為地球第一宇宙速度的答案CD解析根據三個宇宙速度的意義，可知選項A、B錯誤，選項C正確；已知M火，R火，則，選項D正確.6.過去幾千年來，人類對行星的認識與研究僅限于太陽系內，行星“51 peg b”的發(fā)現(xiàn)拉開了研究太陽系外行星的序幕.“51 peg b”繞其中心恒星做勻速圓周運動，周期約為4天，軌道半徑約為地球繞太陽運動半徑的，該中心恒星與太陽的質量比約為()A. B.1 C.5 D.10答案B解析根據萬有引力提供向心力，有Gmr，可得M，所以恒星質量與太陽質量之比為()3()21，故選項B正確.7.(2018廣東中山質檢)長期以來“卡戎星(Charon)”被認為是冥王星唯一的衛(wèi)星，它的公轉軌道半徑r119 600 km，公轉周期T16.39天.2006年3月，天文學家新發(fā)現(xiàn)兩顆冥王星的小衛(wèi)星，其中一顆的公轉軌道半徑r248 000 km，則它的公轉周期T2最接近于()A.15天 B.25天 C.35天 D.45天答案B解析根據開普勒第三定律得，所以T2T125天，選項B正確，選項A、C、D錯誤.8.衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運動，其軌道半徑為r，運動周期為T，地球半徑為R，引力常量為G，下列說法中正確的是()A.衛(wèi)星的線速度大小為vB.地球的質量為MC.地球的平均密度為D.地球表面重力加速度大小為g答案D9.地球的公轉軌道接近圓，但彗星的運行軌道則是一個非常扁的橢圓，如圖1.天文學家哈雷曾經在1682年跟蹤過一顆彗星，他算出這顆彗星軌道的半長軸等于地球公轉軌道半徑的18倍，并預言這顆彗星將每隔一定時間就會出現(xiàn).哈雷的預言得到證實，該彗星被命名為哈雷彗星.哈雷彗星最近出現(xiàn)的時間是1986年，它下次將在哪一年飛近地球()圖1A.2042年 B.2052年C.2062年 D.2072年答案C解析根據開普勒第三定律k，可得，且r彗18r地，得T彗54T地，又T地1年，所以T彗54 年76年，故選C.10.(2017北京理綜17)利用引力常量G和下列某一組數據，不能計算出地球質量的是()A.地球的半徑及重力加速度(不考慮地球自轉)B.人造衛(wèi)星在地面附近繞地球做圓周運動的速度及周期C.月球繞地球做圓周運動的周期及月球與地球間的距離D.地球繞太陽做圓周運動的周期及地球與太陽間的距離答案D解析不考慮地球的自轉，地球表面物體受到的萬有引力等于重力，即mg，得M地，所以根據A中給出的條件可