第01章 質(zhì)點運動學.doc

第1章 質(zhì)點運動學質(zhì)點力學以具有質(zhì)量而形狀和大小可忽略的物理模型質(zhì)點為研究對象，由質(zhì)點運動學和質(zhì)點動力學兩部分構(gòu)成。質(zhì)點運動學是討論如何定義和用數(shù)學語言描述物體的運動規(guī)律。本章從運動的相對性出發(fā)，引入基本定義位置矢量、位移、速度和加速度等物理量來描述質(zhì)點在空間的位置及位置變化，涉及一般曲線運動和圓周運動，同時闡述了在自然坐標系中法向加速度和切向加速度的物理意義，以及相對運動的一般規(guī)律。1.1 基本要求 1、理解質(zhì)點模型及參考系和坐標系的概念；2、掌握位置矢量、運動方程和軌道方程的概念及其計算；3、明確位移和路程、速度和速率的區(qū)別，掌握位移、速度和加速度等物理量的意義和計算；4、掌握圓周運動的角量描述和計算；5、掌握法向加速度和切向加速度的概念和計算；6、理解運動的相對性原理，能分析簡單的質(zhì)點相對運動問題。1.2 重點概念及主要公式 1 運動的一般描述(1) 質(zhì)點 具有質(zhì)量而形狀和大小可忽略的物理模型；(2)參照系 是為描述物體的運動而選取的標準參照物；(3)坐標系 為定量的描述物體的位置和位置隨時間的變化而在參照系中建立的計算系統(tǒng)；(4)位置矢量 是用于描述質(zhì)點在空間位置的物理量。在直角坐標系中 的大小為 方向 一般用方向余弦表示， （圖1-1a）質(zhì)點在xoy平面內(nèi)運動時， （圖1-1b）位置矢量具有矢量性；在不同時刻，位置矢量一般不相同，因此具有瞬時性；對不同的參照系，同一質(zhì)點某時刻的位置矢量是不同的，因此具有相對性。位置矢量的單位為米（m）。(5)運動方程 隨時間的變化關(guān)系式稱為運動方程。在直角坐標系中表示為 或表示為 (6)軌跡方程質(zhì)點運動時，其在空間位置各點所連成的曲線稱為軌跡，描述該曲線的方程就是軌跡方程。從運動方程中消去時間t，即可求得軌跡方程。(7)位移 表示某時間內(nèi)質(zhì)點位置矢量改變的物理量。 位移是矢量，具有大小和方向，在直角坐標系中， (8)路程 質(zhì)點運動時其軌跡的長度，路程是標量，只有大小，沒有方向。 (9)速度和速率 描述物體位置（路程）改變快慢的物理量 平均速度 物體位置快慢的粗略描述注 平均速度一定要指明在哪一段時間內(nèi)的平均速度瞬時速度 物體位置快慢的精確描述平均速率 物體路程快慢的粗略描述 瞬時速率 物體路程快慢的精確描述 速度描述的是質(zhì)點位移對時間的變化率，是矢量，有大小和方向；速率指質(zhì)點所經(jīng)歷的路程對時間的變化率，是標量，只有大小，沒有方向。兩者意義不同，但它們的瞬時值相同。有某時刻瞬時速率與該時刻瞬時速度的大小相等 速度和速率的單位 (10)加速度 描述物體速度改變快慢的物理量 平均加速度 物體速度改變的粗略描述瞬時加速度 物體速度改變的精確描述加速度在自然坐標中的表示切向加速度 加速度沿軌跡切向方向的分量，反映速度大小的變化。法向加速度 加速度沿軌跡法向方向的分量，反映速度方向的變化。 其中，為質(zhì)點運動軌跡的曲率半徑，圓周運動中，為圓的半徑。 2 圓周運動(1)角位置 質(zhì)點的位置矢量和參考方向之間的夾角。(2)角位移 表示某段時間內(nèi)角位置的改變，逆時針方向為正，順時針方向為負；單位：弧度（rad）。(3)角速度 描述質(zhì)點的角位置隨時間變化的物理量。(4)角加速度 描述質(zhì)點的角速度隨時間變化的物理量。(5)角量與線量的關(guān)系 ， ， 3 相對運動設有二個參考系和， 系相對于系的速度為，質(zhì)點A相對于參考系的速度為，相對于系的速度為，則有、分別稱為絕對速度、相對速度、牽連速度。質(zhì)點A相對于系的加速度為，相對于系的加速度為，系相對于系的加速度為，則有、分別稱為絕對加速度、相對加速度、牽連加速度。1.3 常見及疑難問題答疑1 位移、路程有什么異同？在什么情況下它們的大小相等？豎直上拋公式中S是路程還是位移？答：這二個量都是描述質(zhì)點位置變動情況的物理量。位移描述的是質(zhì)點在空間位置的變化，指明其位置改變的大小和方向。位移是矢量，大小為初位置到末位置的直線距離，方向從初位置指向末位置。路程是質(zhì)點運動路徑的長度，是標量，只有大小，沒有方向。當質(zhì)點作定向直線運動時，在同一段時間內(nèi)，二者的量值相等。豎直上拋公式中的S是位移的大小。2 位置矢量和位移有何區(qū)別？和意義相同嗎？ 答：位置矢量是從坐標原點指向質(zhì)點所在位置的一個有向線段，描述了某時刻質(zhì)點的位置，而位移是初位置引向末位置的有向線段，反映了質(zhì)點位置的變化，兩者意義不同。末位置的位置矢量和初位置的位置矢量之差即為該段時間內(nèi)的質(zhì)點的位移，若取初位置為坐標原點，則末位置的位置矢量和位移一致。質(zhì)點的瞬時速度為該時刻位置矢量對時間的一階導數(shù)，而不是位移對時間的導數(shù)。是矢量增量的模，為矢量模的增量，兩者意義不同。表示位移的大小，等于位置矢量大小的改變量。3 質(zhì)點的運動方程為。在計算質(zhì)點的速度和加速度時，有人先求出，然后根據(jù)和而求得結(jié)果；又有人先求出速度和加速度的分量，再合成求得結(jié)果，即及。哪一種方法正確？為什么？答：后一種方法正確。因為速度，前一種方法只考慮了位置矢量的量值隨時間的變化，沒有反映出的方向隨時間的變化。同樣可知，對加速度的求法也是后一種方法正確。4 河中有一條船，岸上有人用繩通過定滑輪拖船，如果拉繩的速率v是均勻的，問船運動的速率u是否也是均勻的，誰的速率大，為什么？答：盡管拉繩速率是均勻的，但由于定滑輪后繩上各點同時參與沿AB方向的運動和沿BO方向的運動，因此，船運動的速率u不等于拉繩的速率v。船運動過程中，隨時間是變化的，故不能簡單的用u=vcos求船速。設某時刻t，船在位置B處。建立坐標系如圖所示，設船到定滑輪的距離用l表示，AO為h，BO為x，在直角三角形ABO中，兩邊同時對時間t求導，考慮到h是常量，拉繩的速率 船的速率在拉繩過程中，v 不變，距離x 變小，船速越來越快。船的加速度負號表示加速度的方向與坐標軸的方向相反，船作變加速直線運動。5 有人用步槍瞄準遠處樹上的梨，扣動扳機，在子彈出膛時梨恰好脫離樹枝而自由下落，問子彈能擊中梨嗎？為什么？（不計空氣阻力）答：能擊中。 子彈和梨都具有相對地面的重力加速度g。但如果以梨為參考系來觀察子彈，子彈卻是作勻速直線運動，由于梨是在子彈的勻速直線運動的直線上，因此，子彈必能擊中梨。6、物體在某一時刻開始運動，在t時間后，經(jīng)任一路徑回到出發(fā)點，此時速度的大小和開始時相同，但方向不同，試問在t時間內(nèi)平均速度是否為零？平均加速度是否為零？答 平均速度是t時間內(nèi)物體的位移與時間t的比值。而在這段時間內(nèi)位移為零，所以平均速度為零。 平均加速度是t時間內(nèi)物體速度的增量與t的比值，由于初末速度的方向不同，所以不為零，平均加速度也不為零。7、物體的合速度的數(shù)值是否可以等于分速度的值，或者甚至小于分速度的值？ 答 可以。若物體的合速度由兩個分速度合成，當這兩個分速度之間的夾角在和之間，合成速度的值，就可能等于分速度的值，甚至小于分速度的值。8、一只兔子向著一棵大白菜走去，它每秒鐘所走的距離是從它的鼻尖到大白菜的剩余距離之半，問兔子可否到達大白菜？它的平均速度的極限值為多少？答 設l為兔子開始距大白菜的距離，兔子每秒鐘走的距離顯然是、，為等比級數(shù)衰減，只有t趨于無限大時其總合才等于l，也就是說只有時間為無限大才能走到大白菜處，所以兔子是不能走到大白菜處。 因為的極限值為，故兔子的平均速度的極限值為零。9、圓周運動中質(zhì)點的加速度是否一定和速度方向垂直？任意曲線運動的加速度是否一定不與速度方向垂直？答 不管是圓周運動還是任意曲線運動，質(zhì)點的加速度均為切向加速度和法向加速度的矢量和。 在勻速圓周運動中，速度的大小不變，質(zhì)點的加速度為法向加速度，其方向與速度方向垂直，指向圓心。在變速圓周運動中，速度的大小也隨時間變化，質(zhì)點的加速度不但有法向分量還有切向分量，因此，加速度的方向不垂直于速度方向（切向），不指向圓心（法向）。在勻速率曲線運動中，只要速度方向有變化，加速度只能有法向分量，一定與沿曲線切向的速度方向垂直，并指向質(zhì)點所在處曲線的曲率中心；在變速曲線運動中，切向加速度不為零，故加速度一定不與速度方向垂直，但一定指向軌跡的凹側(cè)。10、有人說，考慮到地球的運動，一棟樓房的運動速率在夜里比白天大。這是相對什么參考系說的？答 在太陽參考系中，地球上的一棟樓房的運動速度是地球繞太陽的公轉(zhuǎn)速度與地球的自轉(zhuǎn)速度之和，即。所謂白天就是所研究的物體面向太陽，黑夜就是物體背向太陽。無論白天還是黑夜，地球的自轉(zhuǎn)速度都是相同的。由于白天時自轉(zhuǎn)速度與公轉(zhuǎn)速度的方向相反，故樓房的速率低些；黑夜時自轉(zhuǎn)速度與公轉(zhuǎn)速度的方向一致，故樓房的速率高些。1.4 解題要點及例題詳解 1 已知運動方程，求位置矢量、位移、速度、加速度及軌跡方程等解題要點 根據(jù)運動學中物理量的定義，使用數(shù)學知識解題。例1-1一質(zhì)點坐平面曲線運動，已知其運動方程為(m)，(m)。求：質(zhì)點運動的軌跡方程；時的位置矢量；第2內(nèi)的位移和平均速度；第2內(nèi)的平均速率；時的速度和加速度；時刻的切向加速度和法向加速度；時質(zhì)點所在處軌跡的曲率半徑。解：從運動方程中消去時間,得軌跡方程大小為方向由與軸正向夾角表示。第二秒內(nèi)的位移為大小 方向與軸正向成 平均速度大小 方向為 在第2內(nèi)質(zhì)點經(jīng)歷的路程為所以在第2s內(nèi)的平均速率為由，當時大小 ，方向為 加速度 即為恒矢量，其大小為，方向沿軸負向。由質(zhì)點在時刻的速率 得切向加速度 法向加速度 時刻的 ，由 得 時的為例1-2一直尺，其端點與沿直線導槽和滑動，端以勻速向下運動。求直尺上點的速度和加速度。（設， ）解：有圖分析，得B和M的位置矢量 由式得可得 由式得代入可得*例1-3、細桿繞端點O在平面內(nèi)作勻角速旋轉(zhuǎn)，角速度為。桿上一小環(huán)（可視為質(zhì)點）相對桿作勻速運動，相對速度為。設時刻小環(huán)位于桿的端點O證明小環(huán)的運動軌跡為阿基米德螺線；試求小環(huán)在任意時刻的速度和加速度。解： 本題采用平面極坐標較為方便。 因和為常量，故小環(huán)的運動方程為消去，得小環(huán)運動的軌跡方程為式中為常量，與成正比，此即阿基米德螺線的極坐標方程。在平面極坐標中，小環(huán)速度的兩分量為徑向速度 橫向速度 所以時刻的速度為其大小 速度方向指向軌跡（阿基米德螺線）的切線方向。在平面極坐標系中，小環(huán)加速度的兩個分量為徑向加速度 橫向加速度 所以時刻的加速度為其大小為 2 已知加速度和初始條件，求運動方程和速度解題要點 根據(jù)加速度和速度的定義，利用積分學知識解題。例1-4一質(zhì)點在軸方向運動，其加速度和時間的關(guān)系為a=-6t，設t=0時刻，質(zhì)點在坐標原點以初速度為12m/s向x軸正方向運動，求 任意時刻質(zhì)點的位置和速度；沿x軸正方向質(zhì)點最多走多遠？何時又回到出發(fā)點？ 在1到3秒內(nèi)質(zhì)點的位移和路程。解：質(zhì)點的加速度 a=-6t上式可變?yōu)?左右兩邊同時積分，利用初始條件 t=0時，v=12，得 解出 由上式得， t=1, t=3, 當質(zhì)點的速度為零時，質(zhì)點開始返回， v=0, 解得 t=2（負根舍去）t=2, 質(zhì)點運動到x軸正方向的最遠處，x=16（m）再次回到出發(fā)點，x=0，t=3.46(s)1到3秒內(nèi)質(zhì)點的位移 1到3秒內(nèi)質(zhì)點的路程 例1-5一質(zhì)點沿軸作加速運動，在時刻，其位置和初速度分別為和當，求時刻的速度及運動方程；當，求時刻的速度及運動方程；當，求時刻的速度及運動方程。解：由 得 積分 而 ，積分 運動方程 由 得 積分 再由 得 積分 運動方程 由 得積分 此式的不是的函數(shù)，我們要求。現(xiàn)把上式改寫為令 ， 得由 可得積分 把上式的兩邊平方后，經(jīng)整理，并把，及代入，可得此式即為運動方程。由 可得時刻的為3 圓周運動解題要點 根據(jù)運動學中物理量的定義，選擇角坐標或自然坐標解題。例1-6、一質(zhì)點從靜止出發(fā)沿半徑為m的圓周運動，切向加速度m/s2, 求：經(jīng)多少時間它的總加速度的方向與半徑成45；在上述時間內(nèi)，質(zhì)點所經(jīng)過的路程及角位移各為多少?解：總加速度的方向與半徑成45，將R=3代入，得 v=3,解得 t=1(s)路程 角位移 例1-7、一質(zhì)點A沿半徑的圓周運動，其角坐標與 的關(guān)系為，式中的以弧度計，以秒計，求：第1秒內(nèi)的平均速度；秒及秒時刻的瞬時速度及；第1秒內(nèi)的平均加速度。解： 秒時，；秒時，。所以在第1秒質(zhì)點的位移為則在第1秒的平均速度 從上式可知 當時，；時，；時，。質(zhì)點作逆時針方向運動，質(zhì)點作順時針方向運動。時，；時，。 4 相對運動解題要點 根據(jù)題意合理選擇兩個相對運動的坐標系，用矢量表示出質(zhì)點對應坐標系中的速度（絕對速度、相對速度、牽連速度）或加速度（絕對加速度、相對加速度、牽連加速度）。例1-8羅盤顯示飛機頭指向正東，空氣流速表的讀數(shù)為，此時風向正南，風速。求：飛機相對地的速度；若飛行員想朝正東飛行，機頭應指向什么方向？解：這是一個相對運動的問題。選地為系，空氣為系，空氣相對地流動的速度就是風速，飛機為質(zhì)點。由題意可知 ， 現(xiàn)要求，根據(jù)，畫速度矢量圖，如圖1-7（a） (a) (b)圖1-7飛機對地的速度大小為，方向東偏北。由題意可畫速度矢量圖，如圖1-12（b），機頭的方向為1.5 能力訓練能力訓練（1）一、 選擇題:1下列說法正確的是：A）加速度恒定不變時，質(zhì)點的運動方向也不變；B）平均速率等于平均速度的大?。籆）當質(zhì)點的速度為零時，其加速度必為零；D）質(zhì)點作曲線運動時, 質(zhì)點速度大小的變化是因為有切向加速度，速度方向的變化是因為有法向加速度。2質(zhì)點作曲線運動，某時刻的位置矢量為，速度，則瞬時速率是_，切向加速度的大小_，總加速度大小_。A） B） C） D） E） F）3兩個質(zhì)點沿x軸作直線運動，如圖1-8所示為質(zhì)點的x-t圖（圖中曲線均為拋物線），問哪一個說法正確？A）； B）； C）； D）。4一質(zhì)點從靜止出發(fā)繞半徑R的圓周作勻變速圓周運動，角加速度為，當該質(zhì)點走完一周回到出發(fā)點，所經(jīng)歷的時間為：A）； B）； C）； D）條件不夠不能確定。5如圖1-9所示，墻和地面都為光滑，當桿滑止如圖位置時，端速度大小為，方向水平向右，此時端速度大小為： 18A）； B）； C）； D）。6已知質(zhì)點的運動方程為則它的加速度的大小和方向分別為：A） B）C） C）7一質(zhì)點在平面上作曲線運動，設t時刻的瞬時速度為，瞬時速率為V，0t這段時間內(nèi)的平均速度為，平均速率為，它們之間有如下的關(guān)系：A） ，； B），； C），； D），。二、填充題:1質(zhì)點以初速度4米/秒沿x方向作直線運動，其加速度和時間的關(guān)系為a=3+4t，則t=3秒時的速度大小為_。2一質(zhì)點作斜拋運動，初速度的大小為 ，與水平方向成角，忽略空氣阻力，在最高點A處的速度大小= ，加速度大小 = ；法向加速度大小 ，切向加速度 。3質(zhì)點在xoy平面內(nèi)作運動，任意時刻的位置矢量為，其中是正常數(shù)。速度=_，速率=_，運動軌跡方程為_。4一質(zhì)點在某一時刻的位置矢量為，速度為，在時間內(nèi)，經(jīng)任一路徑回到出發(fā)點, 此時的速度為，其大小與相同，方向相反，則在時間內(nèi)的位移= ，平均速度= ，平均加速度= 。5一質(zhì)點在平面內(nèi)運動, 其，；、為大于零的常數(shù)，則該質(zhì)點作 。6一質(zhì)點在水平面上作勻速率曲線運動，其軌跡如圖1-10所示，則該質(zhì)點在 點的加速度值最大，在該點的切向加速度的值為 。7質(zhì)點沿軸作直線運動，其運動方程為(SI)，則質(zhì)點在時刻的速度= ，加速度為零時，該質(zhì)點的速度 。三、計算題:1一質(zhì)點在平面內(nèi)運動，其運動方程為 式中、以m計，以秒s計，求：(1) 以為變量，寫出質(zhì)點位置矢量的表達式；(2) 軌跡方程；(3) 在s及 s時刻的位置矢量；計算在12s這段時間內(nèi)質(zhì)點的位移、平均速度、平均速率；(4) 時刻的速度表達式；(5) 計算在12s這段時間內(nèi)質(zhì)點的平均加速度；在s及s時刻的瞬時加速度。 2質(zhì)點的位置矢量，其中R、h均為正常數(shù)。求：質(zhì)點任意時刻的速度和加速度；質(zhì)點任意時刻的切向加速度、法向加速度和當前位置的軌道曲率半徑；簡要描述質(zhì)點的運動。3質(zhì)點作斜拋運動，不計空氣阻力，求在時刻的法向加速度及切向加速度 。4一質(zhì)點在平面內(nèi)運動，其運動方程為 式中、以m計，以秒s計。問在何時刻質(zhì)點的切向加速度為零，且此時的法向加速度為多少？5質(zhì)點沿x軸運動，已知其加速度為，式中為大于零的常數(shù)。在時刻質(zhì)點的坐標為 ，初速度為 ，求質(zhì)點的速度公式及運動方程。6質(zhì)點作半徑為R的圓周運動，其經(jīng)過的路程s和時間t的關(guān)系為，其中b和c是大于零的常數(shù)，從t=0開始到切向加速度和法向加速度大小相等時所經(jīng)歷的時間。7一質(zhì)點沿半徑為m的圓周作逆時針方向的圓周運動，在時刻質(zhì)點處在點，如圖1-11所示，質(zhì)點在0這段時間內(nèi)所經(jīng)過的路程為式中以m計，以s計，求：(1) 在時刻質(zhì)點的角速度及角加速度；(2) 在01s這段時間內(nèi), 質(zhì)點的位移、平均速度、平均加速度、平均速率；(3) 在s時刻的加速度。*8在豎直平面內(nèi)，一光滑銅絲被彎成如圖1-12所示的曲線。一小球（可看作為質(zhì)點）穿在銅絲上，可沿它無摩擦地滑動。已知其切向加速度為，是曲線的切向方向與水平方向的夾角，證明質(zhì)點在各處的速率與其縱坐標有如下的關(guān)系：，式中和分別為初速度大小和初位置。能力訓練（2）一.選擇題1一質(zhì)點作定向直線運動，下列說法正確的是：A）質(zhì)點位置矢量的方向一定恒定，位移方向一定恒定；B）質(zhì)點位置矢量的方向不一定恒定，位移方向一定恒定；C）質(zhì)點位置矢量的方向一定恒定，位移方向不一定恒定；D）質(zhì)點位置矢量的方向不一定恒定，位移方向不一定恒定。2質(zhì)點沿軌道AB作曲線運動，速率逐漸減小，如圖1-13所示，問哪一個圖表示了在C處的加速度？圖1-133 如圖1-14所示為質(zhì)點沿直線運動的at圖，且已知時，則直線下部分的面積表示：A）0t1這段時間內(nèi)質(zhì)點所通過的路程；B）0t1這段時間內(nèi)質(zhì)點所通過的位移；C）t1時刻質(zhì)點的速度大小；D）0t1這段時間內(nèi)質(zhì)點的平均速度大小。4已知半徑為R1的圓作圓周運動，其角位置，則在2時它的速度的大小為A）20m/sB）18m/sC）9m/sD）12m/s5一物體從某一確定高度以初速率被水平拋出，不計空氣阻力，當它落地時的速率為V，則它在空中運動的時間為：A）； B）； C）； D）。6一質(zhì)點在xoy平面內(nèi)作勻速率正弦曲線運動，如圖1-15所示，在如下的說法中正確的是：A）質(zhì)點在a、c處的加速度的值為零；B）質(zhì)點在各處的加速度大小都相等；C）質(zhì)點在b、d處的加速度的值最大；D）質(zhì)點在b、d處的加速度的值為零。7某人騎自行車以速率向西行駛，今有風以相同速率從北偏東30吹來，則人感到風從哪個方向吹來：A）北偏東30； B）南偏東30；C）北偏西30； D）西偏南30。二.填充題:1有人騎自行車沿筆直的公路行駛，其-圖如圖1-16所示，其中三角形的面積等于三角形的面積, 則自行車所經(jīng)歷的路程 ，自行車的位移 。2質(zhì)點沿x軸作直線運動，其加速度m/s2，在時刻，m，則該質(zhì)點的運動方程為 。 3質(zhì)點沿半徑為r的圓周運動，速率， c為常數(shù)，則質(zhì)點走過的路程s與時間的關(guān)系為_，t 時刻的法向加速度=_,切向加速度=_。4質(zhì)點沿x軸作直線運動，其加速度（m/