專題：勾股定理折疊問題.ppt

勾股定理折疊問題中應用 1 如圖 Rt ABC中 C 90 AC 6 AB 10 D為BC上一點 將AC沿AD折疊 使點C落在AB上 求CD的長 一 三角形的折疊 2 如圖 Rt ABC中 C 90 D為AB上一點 將 ABC沿DE折疊 使點B與點A重合 若AC 4 BC 8 求CE的長 若AC 24 BC 32 求折痕DE的長 若折疊后使點B與點A重合 求點C的坐標 解 如圖 1 折疊后點B與點A重合 連接AC 則 ACD BCD 設點C的坐標為 0 m m 0 則BC OB OC 4 m 于是AC BC 4 m 在Rt AOC中 由勾股定理 得AC2 OC2 OA2 即 4 m 2 m2 22 解得m 點C的坐標為 若折疊后點B落在邊OA上的點為B 設OB x OC y 試寫出y關于x的函數(shù)解析式 并確定y的取值范圍 如圖 2 折疊后點B落在OA邊上的點為B 連接B C B D 則 B CD BCD 由題設OB x OC y 則B C BC OB OC 4 y 在Rt B OC中 由勾股定理 得B C2 OC2 OB 2 二 矩形的折疊 如圖 折疊矩形紙片ABCD 先折出折痕 對角線 BD 再折疊 使AD落在對角線BD上 得折痕DG 若AB 2 BC 1 求AG 2 為了向建國六十周年獻禮 某校各班都在開展豐富多彩的慶?；顒?八年級 3 班開展了手工制作競賽 每個同學都在規(guī)定時間內完成一件手工作品 陳莉同學在制作手工作品的第一 二個步驟是 先裁下了一張長寬 的矩形紙片ABCD 將紙片沿著直線AE折疊 點D恰好落在BC邊上的F處 請你根據(jù) 步驟解答下列問題 1 找出圖中 FEC的余角 2 計算EC的長 如圖 矩形紙片ABCD中 AB 4cm BC 8cm 現(xiàn)將A C重合 使紙片折疊壓平 設折痕為EF 求DF的長 求重疊部分 AEF的面積 求折痕EF的長 著色部分的面積為多少 例3 矩形ABCD中 AB 6 BC 8 先把它對折 折痕為EF 展開后再沿BG折疊 使A落在EF上的A1 求第二次折痕BG的長 A B C D E F A1 G 提示 先證明正三角形AA1B 4 如圖 把矩形紙片ABCD沿EF折疊 使點B落在邊AD上的點B 處 點A落在點A 處 1 求證 B E BF 2 設AE a AB b BF c 試猜想a b c之間有何等量關系 并給予證明 如圖 矩形ABCD的邊長AB 6 BC 8 將矩形折疊 使點C與點A重合 則折痕EF長為 5 動手操作 在矩形紙片ABCD中 AB 3 AD 5 如圖所示 折疊紙片 使點A落在BC邊上的E處 折痕為PQ 當點E在BC邊上移動時 折痕的端點P Q也隨之移動 若限定點P Q分別在AB AD邊上移動 則點E在BC邊上可移動的最大距離為 6 把圖一的矩形紙片ABCD折疊 B C兩點恰好重合落在AD邊上的點P處 如圖二 已知 MPN 90 PM 3 PN 4 那么矩形紙片ABCD的面積為 7 如圖 長方形ABCD中 O F分別為AD CD的中點 且點O是直角坐標系的原點 AB 2 沿BO將 ABO折疊 點A恰好落在BF上 1 求AD的長度 2 如圖 若把 BCF繞點F順時針旋轉90 得到 B C F 求B 的坐標 8 2011 內江 如圖 在直角坐標系中 矩形ABC0的邊OA在x軸上 邊0C在y軸上 點B的坐標為 1 3 將矩形沿對角線AC翻折 B點落在D點的位置 且AD交y軸于點E 那么點D的坐標為 三 正方形的折疊 將邊長為8cm的正方形ABCD折疊 使點D落在BC邊的中點E處 點A落在F處 折痕為MN 求線段CN的長 求AM 求折痕MN的長 總結 折疊的規(guī)律是 折疊部分的圖形 折疊前后 關于折痕成軸對稱 兩圖形全等 注意利用線段關系和勾股定理列方程計算 2 如圖 ABCD為正方形 E為BC上一點 將正方形折疊 使A點與E點重合 折痕為MN 若EB AB 13 DC CE 10 1 求 ANE的面積 2 求sin ENB的值 3 某班甲 乙 丙三位同學進行了一次用正方形紙片折疊探究相關數(shù)學問題的課題學習活動 活動情境 如圖2 將邊長為8cm的正方形紙片ABCD沿EG折疊 折痕EG分別與AB DC交于點E G 使點B落在AD邊上的點F處 FN與DC交于點M處 連接BF與EG交于點P 所得結論 當點F與AD的中點重合時 如圖1 甲 乙 丙三位同學各得到如下一個正確結論 或結果 甲 AEF的邊AE cm EF cm 乙 FDM的周長為16cm 丙 EG BF 你的任務 小題1 填充甲同學所得結果中的數(shù)據(jù) 小題2 寫出在乙同學所得結果的求解過程 小題3 當點F在AD邊上除點A D外的任何一處 如圖2 時 試問乙同學的結果是否發(fā)生變化 請證明你的結論 丙同學的結論還成立嗎 若不成立 請說明理由 若你認為成立 先證明EG BF 再求出S S為四邊形AEGD的面積 與x AF x 的函數(shù)關系式 并問當x為何值時 S最大 最大值是多少 母題 2014成都 如圖 在邊長為2的菱形ABCD中 A 60 M是AD邊的中點 N是AB邊上的一動點 將 AMN沿MN所在直線翻折得到 A MN 連接A C 則A C長度的最小值是 如圖1 連接CM 過M點作MH CD交CD的延長線于點H 則由已知可得 在Rt DHM中 DM 1 HDM 60 又 根據(jù)翻折對稱的性質 A M AM 1 最小 此時點A 落在MC上 如圖2 MA NA 1 變式 2015 自貢 如圖 在矩形ABCD中 AB 4 AD 6 E是AB邊的中點 F是線段BC上的動點 將 EBF沿EF所在直線折疊得到 EB F 連接B D 則B D的最小值是 解 當 BFE EFD 點B 在FD上時 根據(jù)根據(jù)三角形的三邊關系 兩點之間線段最短 此時B D的值最小 根據(jù)折疊的性質 EBF EB F EB FD EB EB E是AB邊的中點 AE EB 在Rt EAD和Rt EB D中 Rt EAD和Rt EB D B D AD 6 分析