專題：勾股定理折疊問(wèn)題.ppt

勾股定理折疊問(wèn)題中應(yīng)用 1 如圖 Rt ABC中 C 90 AC 6 AB 10 D為BC上一點(diǎn) 將AC沿AD折疊 使點(diǎn)C落在AB上 求CD的長(zhǎng) 一 三角形的折疊 2 如圖 Rt ABC中 C 90 D為AB上一點(diǎn) 將 ABC沿DE折疊 使點(diǎn)B與點(diǎn)A重合 若AC 4 BC 8 求CE的長(zhǎng) 若AC 24 BC 32 求折痕DE的長(zhǎng) 若折疊后使點(diǎn)B與點(diǎn)A重合 求點(diǎn)C的坐標(biāo) 解 如圖 1 折疊后點(diǎn)B與點(diǎn)A重合 連接AC 則 ACD BCD 設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為 0 m m 0 則BC OB OC 4 m 于是AC BC 4 m 在Rt AOC中 由勾股定理 得AC2 OC2 OA2 即 4 m 2 m2 22 解得m 點(diǎn)C的坐標(biāo)為 若折疊后點(diǎn)B落在邊OA上的點(diǎn)為B 設(shè)OB x OC y 試寫(xiě)出y關(guān)于x的函數(shù)解析式 并確定y的取值范圍 如圖 2 折疊后點(diǎn)B落在OA邊上的點(diǎn)為B 連接B C B D 則 B CD BCD 由題設(shè)OB x OC y 則B C BC OB OC 4 y 在Rt B OC中 由勾股定理 得B C2 OC2 OB 2 二 矩形的折疊 如圖 折疊矩形紙片ABCD 先折出折痕 對(duì)角線 BD 再折疊 使AD落在對(duì)角線BD上 得折痕DG 若AB 2 BC 1 求AG 2 為了向建國(guó)六十周年獻(xiàn)禮 某校各班都在開(kāi)展豐富多彩的慶?；顒?dòng) 八年級(jí) 3 班開(kāi)展了手工制作競(jìng)賽 每個(gè)同學(xué)都在規(guī)定時(shí)間內(nèi)完成一件手工作品 陳莉同學(xué)在制作手工作品的第一 二個(gè)步驟是 先裁下了一張長(zhǎng)寬 的矩形紙片ABCD 將紙片沿著直線AE折疊 點(diǎn)D恰好落在BC邊上的F處 請(qǐng)你根據(jù) 步驟解答下列問(wèn)題 1 找出圖中 FEC的余角 2 計(jì)算EC的長(zhǎng) 如圖 矩形紙片ABCD中 AB 4cm BC 8cm 現(xiàn)將A C重合 使紙片折疊壓平 設(shè)折痕為EF 求DF的長(zhǎng) 求重疊部分 AEF的面積 求折痕EF的長(zhǎng) 著色部分的面積為多少 例3 矩形ABCD中 AB 6 BC 8 先把它對(duì)折 折痕為EF 展開(kāi)后再沿BG折疊 使A落在EF上的A1 求第二次折痕BG的長(zhǎng) A B C D E F A1 G 提示 先證明正三角形AA1B 4 如圖 把矩形紙片ABCD沿EF折疊 使點(diǎn)B落在邊AD上的點(diǎn)B 處 點(diǎn)A落在點(diǎn)A 處 1 求證 B E BF 2 設(shè)AE a AB b BF c 試猜想a b c之間有何等量關(guān)系 并給予證明 如圖 矩形ABCD的邊長(zhǎng)AB 6 BC 8 將矩形折疊 使點(diǎn)C與點(diǎn)A重合 則折痕EF長(zhǎng)為 5 動(dòng)手操作 在矩形紙片ABCD中 AB 3 AD 5 如圖所示 折疊紙片 使點(diǎn)A落在BC邊上的E處 折痕為PQ 當(dāng)點(diǎn)E在BC邊上移動(dòng)時(shí) 折痕的端點(diǎn)P Q也隨之移動(dòng) 若限定點(diǎn)P Q分別在AB AD邊上移動(dòng) 則點(diǎn)E在BC邊上可移動(dòng)的最大距離為 6 把圖一的矩形紙片ABCD折疊 B C兩點(diǎn)恰好重合落在AD邊上的點(diǎn)P處 如圖二 已知 MPN 90 PM 3 PN 4 那么矩形紙片ABCD的面積為 7 如圖 長(zhǎng)方形ABCD中 O F分別為AD CD的中點(diǎn) 且點(diǎn)O是直角坐標(biāo)系的原點(diǎn) AB 2 沿BO將 ABO折疊 點(diǎn)A恰好落在BF上 1 求AD的長(zhǎng)度 2 如圖 若把 BCF繞點(diǎn)F順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90 得到 B C F 求B 的坐標(biāo) 8 2011 內(nèi)江 如圖 在直角坐標(biāo)系中 矩形ABC0的邊OA在x軸上 邊0C在y軸上 點(diǎn)B的坐標(biāo)為 1 3 將矩形沿對(duì)角線AC翻折 B點(diǎn)落在D點(diǎn)的位置 且AD交y軸于點(diǎn)E 那么點(diǎn)D的坐標(biāo)為 三 正方形的折疊 將邊長(zhǎng)為8cm的正方形ABCD折疊 使點(diǎn)D落在BC邊的中點(diǎn)E處 點(diǎn)A落在F處 折痕為MN 求線段CN的長(zhǎng) 求AM 求折痕MN的長(zhǎng) 總結(jié) 折疊的規(guī)律是 折疊部分的圖形 折疊前后 關(guān)于折痕成軸對(duì)稱 兩圖形全等 注意利用線段關(guān)系和勾股定理列方程計(jì)算 2 如圖 ABCD為正方形 E為BC上一點(diǎn) 將正方形折疊 使A點(diǎn)與E點(diǎn)重合 折痕為MN 若EB AB 13 DC CE 10 1 求 ANE的面積 2 求sin ENB的值 3 某班甲 乙 丙三位同學(xué)進(jìn)行了一次用正方形紙片折疊探究相關(guān)數(shù)學(xué)問(wèn)題的課題學(xué)習(xí)活動(dòng) 活動(dòng)情境 如圖2 將邊長(zhǎng)為8cm的正方形紙片ABCD沿EG折疊 折痕EG分別與AB DC交于點(diǎn)E G 使點(diǎn)B落在AD邊上的點(diǎn)F處 FN與DC交于點(diǎn)M處 連接BF與EG交于點(diǎn)P 所得結(jié)論 當(dāng)點(diǎn)F與AD的中點(diǎn)重合時(shí) 如圖1 甲 乙 丙三位同學(xué)各得到如下一個(gè)正確結(jié)論 或結(jié)果 甲 AEF的邊AE cm EF cm 乙 FDM的周長(zhǎng)為16cm 丙 EG BF 你的任務(wù) 小題1 填充甲同學(xué)所得結(jié)果中的數(shù)據(jù) 小題2 寫(xiě)出在乙同學(xué)所得結(jié)果的求解過(guò)程 小題3 當(dāng)點(diǎn)F在AD邊上除點(diǎn)A D外的任何一處 如圖2 時(shí) 試問(wèn)乙同學(xué)的結(jié)果是否發(fā)生變化 請(qǐng)證明你的結(jié)論 丙同學(xué)的結(jié)論還成立嗎 若不成立 請(qǐng)說(shuō)明理由 若你認(rèn)為成立 先證明EG BF 再求出S S為四邊形AEGD的面積 與x AF x 的函數(shù)關(guān)系式 并問(wèn)當(dāng)x為何值時(shí) S最大 最大值是多少 母題 2014成都 如圖 在邊長(zhǎng)為2的菱形ABCD中 A 60 M是AD邊的中點(diǎn) N是AB邊上的一動(dòng)點(diǎn) 將 AMN沿MN所在直線翻折得到 A MN 連接A C 則A C長(zhǎng)度的最小值是 如圖1 連接CM 過(guò)M點(diǎn)作MH CD交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H 則由已知可得 在Rt DHM中 DM 1 HDM 60 又 根據(jù)翻折對(duì)稱的性質(zhì) A M AM 1 最小 此時(shí)點(diǎn)A 落在MC上 如圖2 MA NA 1 變式 2015 自貢 如圖 在矩形ABCD中 AB 4 AD 6 E是AB邊的中點(diǎn) F是線段BC上的動(dòng)點(diǎn) 將 EBF沿EF所在直線折疊得到 EB F 連接B D 則B D的最小值是 解 當(dāng) BFE EFD 點(diǎn)B 在FD上時(shí) 根據(jù)根據(jù)三角形的三邊關(guān)系 兩點(diǎn)之間線段最短 此時(shí)B D的值最小 根據(jù)折疊的性質(zhì) EBF EB F EB FD EB EB E是AB邊的中點(diǎn) AE EB 在Rt EAD和Rt EB D中 Rt EAD和Rt EB D B D AD 6 分析