合約決策條件下的一種二層報童問題模型.doc

合約決策條件下的一種二層報童問題模型摘要：本文研究了以供應(yīng)商為領(lǐng)導(dǎo)層、零售商為從屬層的合約決策下報童問題的二層規(guī)劃模型，并討論了它在合約談判中的作用?？紤]到顧客需求和市場價格具有高度的不確定性，供應(yīng)商和零售商為了回避風(fēng)險而達到最大的期望利潤，雙方通?？梢圆捎煤炗喓霞s的方式來進行交易。為此，我們建立了一個合約決策條件下報童問題的二層規(guī)劃模型并計算了數(shù)值結(jié)果。供應(yīng)商和零售商可以依據(jù)該模型的最優(yōu)解通過談判確定合約決策變量值以獲取較高的期望利潤。關(guān)鍵詞：報童問題，二層規(guī)劃，合約談判，不確定性0引言報童問題即單周期庫存問題(Single-Period Problem), 是供應(yīng)鏈管理中最重要的模型之一，其歷史可以追溯到1888年著名經(jīng)濟學(xué)家Edgeworth應(yīng)用它解決銀行的現(xiàn)金流(cash-flow)問題，1955年，Whitin首次建立了受價格影響的報童問題模型（詳見Petruzzi等1）。目前, 報童問題在生產(chǎn)、服務(wù)、管理和金融等領(lǐng)域成功地取得了廣泛的應(yīng)用。有關(guān)報童問題及其擴展問題的研究見Silver 2 和Khouja 3給出的綜述報告。與眾多擴展模型相比, 經(jīng)典報童問題模型是最簡單最基本的問題, 它可以描述為：報童每天早晨以單位批發(fā)價從報社買進報紙，然后以單位零售價出售，晚上將沒有賣掉的報紙當(dāng)作廢品以價格（）處理掉。同時假設(shè)：（1）報童擁有購買足夠多報紙的資金；（2）報紙過剩只能以低于零售價的價格處理；（3）報紙供應(yīng)不足，會遭受缺貨懲罰。報童應(yīng)該如何確定訂購量而獲得最高的利潤呢？顯然，報童應(yīng)該根據(jù)市場需求量來確定訂購量，而市場需求量是隨機的。假設(shè)報童通過經(jīng)驗已經(jīng)掌握了市場需求量的隨機規(guī)律，我們就可以建立優(yōu)化模型來求解報童問題了。由于市場價格和顧客需求具有高度的不確定性，供應(yīng)商和零售商（即報童）面臨來自于市場價格和顧客需求兩方面的風(fēng)險。而合約能夠為零售商提供購買量和價格的雙重保護，同時供應(yīng)商也有了最低利益保障。因此，在供應(yīng)鏈管理領(lǐng)域, 合約問題得到了廣泛的關(guān)注和研究。然而, 目前對合約報童問題的研究都是將合約訂購量(或合約價格)作為協(xié)調(diào)參數(shù)考慮的，這是一種帶有決策者的主觀意識的決策，并不能真正反映客觀實際中的一些問題,可能會使供應(yīng)商與零售商遭受一定的損失。為此我們將合約訂購量、合約價格等作為決策變量，根據(jù)市場需求量情況，供應(yīng)商既考慮市場價格也要對合約價格作出決策，同時，零售商決策市場訂購量與合約訂購量。由此，基于二層規(guī)劃模型的思想，我們將建立具有合約決策的二層報童問題模型。數(shù)值結(jié)果表明，該問題的研究既能夠為供應(yīng)商和零售商提供談判的依據(jù)也有助于提高供應(yīng)鏈渠道（channel）的利潤。1 經(jīng)典報童問題經(jīng)典報童問題研究在概率需求下零售商的決策問題，零售商尋找產(chǎn)品的最優(yōu)訂購量以獲取最大的期望利潤。經(jīng)典報童問題中,零售商的利潤函數(shù)為： （1）其中隨機變量是市場需求量， 是單位產(chǎn)品的零售價格，是單位產(chǎn)品的批發(fā)價格，是訂購量，是單位產(chǎn)品的缺貨懲罰，是單位產(chǎn)品的處理價格。由于是隨機變量，零售商的期望利潤為： （2）其中是市場需求量的概率密度函數(shù)，是市場需求量的分布函數(shù)，記。設(shè)最優(yōu)訂購量是，容易證明是凹函數(shù)，再由一階最優(yōu)性條件可以得到: （3）上式被稱為臨界分位點公式, 我們可以通過它求出最優(yōu)解。2二層報童問題目前在一些行業(yè)（如電力）中，市場的激烈競爭使得市場格局發(fā)生了很大的變化, 供應(yīng)商與零售商之間既有合作又有競爭，不能再作為一個垂直統(tǒng)一的經(jīng)濟個體去研究。而經(jīng)典報童問題沒有考慮供應(yīng)商與零售商決策之間的相互影響，因此，有必要對供應(yīng)商與零售商之間的層次遞階關(guān)系及其決策的相互影響加以研究。二層報童問題是二層規(guī)劃在報童問題中的應(yīng)用，二層規(guī)劃是一種具有二層遞階結(jié)構(gòu)的系統(tǒng)優(yōu)化問題。上下層決策者在約束條件下各自優(yōu)化其目標函數(shù)，上層的決策影響下層，但不能控制下層；下層通過其最優(yōu)解(或目標最優(yōu)值)反饋給上層而影響上層的決策。Dempe4、Colson等5和王廣民等6綜述了二層規(guī)劃問題的理論、方法和應(yīng)用。二層報童問題的研究已經(jīng)有20余年的歷史， 1985年，Pasternack7首次提出了具有二層結(jié)構(gòu)的報童問題來研究供應(yīng)商與零售商利益關(guān)系，Iyer和Bergen8，Emmons和Gilbert9分別考慮了以供應(yīng)商為領(lǐng)導(dǎo)層，零售商為從屬層，目標函數(shù)是各自的期望利潤的二層報童問題。他們考慮的都是一個供應(yīng)商和一個零售商的情形，Yang等10考慮了一個供應(yīng)商和兩個零售商情況下的二層報童問題，分析了零售商之間的一些競爭行為。Lau 等11研究了不對稱市場信息對供應(yīng)商和零售商的影響，隨后研究了需求為隨機變量時多零售商的二層報童問題模型（見文12）， 后來他們研究了隨機不對稱信息對供應(yīng)商和零售商的影響(見文13)。最近，Ji和Shao14針對需求是模糊變量時的報童問題，建立了相應(yīng)的二層報童問題模型.這些成功的應(yīng)用使得報童問題得到了更多的關(guān)注，二層報童問題在建立模型和應(yīng)用過程中也出現(xiàn)了許多尚待研究的問題，所以報童問題的研究不僅具有理論意義而且還具有重要的實用價值，是一項具有發(fā)展前途的研究課題，需要我們更加深入地去研究和總結(jié)。文14還分析了供應(yīng)商不同的批量折扣策略以及零售商相應(yīng)的最優(yōu)策略，零售商的訂購量達到一定的數(shù)量后可以享受優(yōu)惠價格，從而零售商能夠用更低的批發(fā)價格購買產(chǎn)品，供應(yīng)商的產(chǎn)品銷售量也增加了。可見，折扣措施使交易雙方受益，合約也有這樣的作用，下面將研究需求是隨機變量時合約決策下的二層報童問題。3合約決策條件下的二層報童問題現(xiàn)貨價格受需求的影響具有高度的不確定性，供應(yīng)商和零售商面臨顧客需求量和市場價格兩方面的風(fēng)險。合約規(guī)定了產(chǎn)品的單價、購買數(shù)量、違約懲罰、交易時間和交易地點等，能夠為零售商提供訂購量與價格的雙重保護，而作為擁有合約價格決策權(quán)的供應(yīng)商也有了最低利益保障。萬仲平等15,16研究了合約決策在電力市場中的應(yīng)用，首次提出了一個用于合約交易競價策略的隨機二層規(guī)劃模型。李善良和朱道立17利用委托代理理論考慮了兩類不對稱信息逆向信息和道德風(fēng)險并存下的供應(yīng)鏈線性合約。Sethi, Yan和Zhang18研究了供應(yīng)鏈管理和庫存論中的合約問題，對數(shù)量柔性合約問題利用二階段規(guī)劃的思想作了一定的描述。在一個交易周期內(nèi)，數(shù)量柔性合約(quantity-flexibility contracts)允許零售商在兩個階段訂購產(chǎn)品。第一個階段發(fā)生在銷售季節(jié)開始之前的一段時期，我們稱之為交貨期（lead time），供應(yīng)商與零售商簽定合約價格為訂購量為的訂購合約；第二個階段發(fā)生在銷售季節(jié)開始的時候，此時零售商獲得了新的市場信息之并對需求預(yù)測作更新。零售商確定實際訂購量，若實際訂購量大于，合約允許零售商再以價格追加訂購單位產(chǎn)品，其中。文18建立了該問題的二階段規(guī)劃模型，第一個階段以訂購量為決策變量，最大化零售商整個周期的利潤；第二個階段以追加訂購量和現(xiàn)貨市場購買量為決策變量，最大化零售商在第二階段的利潤。本文選取供應(yīng)商為領(lǐng)導(dǎo)層，零售商為從屬層，利用二層規(guī)劃研究合約決策下的二層報童問題，供應(yīng)商和零售商在決策相互影響的情況下，通過求解模型確定最優(yōu)決策變量值，以此作為依據(jù)，通過談判確定對自己最為有利的合約。下面介紹下文將要用到的符號： 現(xiàn)貨市場單位產(chǎn)品批發(fā)價格 隨機變量 單位產(chǎn)品合約批發(fā)價格 決策變量 單位產(chǎn)品合約保留價格 零售商的現(xiàn)貨市場購買量 決策變量 零售商的合約訂購量 決策變量 零售商的合約執(zhí)行購買量 決策變量 模型的設(shè)計者通常假設(shè)簽訂合約的雙方都具有良好的信譽，從而確保合約的執(zhí)行。事實上，理性的簽約者在利益的驅(qū)動下可能會違約, 一方的違約對另一方的利益會構(gòu)成侵害，我們需要設(shè)計一個合適的懲罰機制來避免違約, 根本目的是為零售商提供購買量和價格的雙重保護，同時使得供應(yīng)商也有最低利益保障。因此, 我們規(guī)定: 在合約簽訂之后, 零售商向供應(yīng)商支付“定金”, “定金”以單位保留價格根據(jù)合約訂購量來支付,在日后的合約交易中,零售商可以靈活選擇合約執(zhí)行購買量，并再次為合約執(zhí)行購買量支付單位合約價格, 假設(shè)供應(yīng)商不能夠違約。本文的模型考慮到了現(xiàn)貨市場交易的存在,它是對合約市場交易的補充。3.1 模型現(xiàn)貨市場模型在現(xiàn)貨市場中，現(xiàn)貨價格是隨機變量，假設(shè)是市場需求量的函數(shù)。零售商根據(jù)決定訂購量。如果不簽訂合約而只在現(xiàn)貨市場交易，供應(yīng)商與零售商的最優(yōu)決策可以通過求解如下的模型而得到：供應(yīng)商的利潤函數(shù)為： (4a)其中，是零售商的最大期望利潤函數(shù)問題的解： (4b)其中，是供應(yīng)商生產(chǎn)能力的上限或者市場需求量上限。3.2供應(yīng)商問題假設(shè)供應(yīng)商面對的市場需求量和市場批發(fā)價格是不確定的，并且產(chǎn)品易腐爛或無法儲存。我們假設(shè)供應(yīng)商不回收已經(jīng)售出的產(chǎn)品。要研究的問題是供應(yīng)商如何確定適當(dāng)?shù)暮霞s價格以獲取最大利潤。為了簡化模型，我們假設(shè)產(chǎn)品的單位生產(chǎn)成本為常數(shù)，可以簡單看作需求的函數(shù)，并假設(shè)合約執(zhí)行之后供應(yīng)商生產(chǎn)的產(chǎn)品恰能滿足零售商的現(xiàn)貨市場需求量，供應(yīng)商的利潤函數(shù)為： （5）其中第一項是供應(yīng)商在現(xiàn)貨市場中的收入，第二項與第三項是合約交易的收入, 第四項是生產(chǎn)成本， 是生產(chǎn)上限或市場需求量上限。由于是市場需求量的函數(shù)，對（5）求期望，得到供應(yīng)商的期望利潤函數(shù)： （6）3.3 零售商問題零售商為了獲取最大利潤，根據(jù)現(xiàn)貨市場單位產(chǎn)品批發(fā)價格的分布規(guī)律，確定最優(yōu)的合約訂購量，合約執(zhí)行訂購量和現(xiàn)貨市場購買量。這里假設(shè)零售商可以將過剩的產(chǎn)品以價格處理（此處“處理”不是指供應(yīng)商的回收）。零售商的利潤函數(shù)為： （7）當(dāng)供不應(yīng)求時，第一項是現(xiàn)貨市場收入，第二項是合約收入，第三項第四項和第五項是成本，最后一項是缺貨懲罰；當(dāng)供過于求時，第一項是零售商的收入，第二項是處理過剩產(chǎn)品收入，第三項第四項和第五項是成本。對（7）求期望，得到零售商的期望利潤函數(shù)： （8）3.4模型合約決策下的二層規(guī)劃模型我們采取供應(yīng)商為領(lǐng)導(dǎo)層，零售商為從屬層，使用3.2和3.3中的定義以及約束條件，可以建立如下的二層規(guī)劃模型： （9）其中 ， ，的定義見(5)式與(7)式。模型的上層目標函數(shù)和約束函數(shù)有下層的決策變量，下層的目標函數(shù)和約束函數(shù)也有上層的決策變量。上層首先決策，下層根據(jù)上層的決策做出反應(yīng)。4 數(shù)值結(jié)果例1 考慮2001年Lau12(第663頁)給出的一個算例：某種不可儲存產(chǎn)品的市場需求量服從上的均勻分布， 零售價格元，供應(yīng)商成本元，處理價格元，缺貨懲罰元。為研究本文的問題的方便我們對此例做改動，假設(shè)：生產(chǎn)或市場需求量上限，單位保留價格元，考察現(xiàn)貨市場的逆需求函數(shù)為不同情形（見表1）時，供應(yīng)商與零售商依據(jù)模型簽訂合約的最優(yōu)決策與最大期望利潤各為多少？計算結(jié)果見表1：10表1 模型與Lau12的決策及其結(jié)果比較表Lau124.6463.0021.70情形13.631063.1863.18228.4022.10情形23.65111.8650.8950.89228.3021.72情形34.68180.9500209.6095.96情形43.11118.2554.0254.02223.3857.56 ：Lau12考慮的是一個供應(yīng)商與兩個零售商的情形，其是與兩個零售商交易之和，本文為了比較的方便，計算了供應(yīng)商單獨與這一個零售商交易所得收入。通過表1可以看出，模型能夠結(jié)合現(xiàn)貨、合約兩個市場作出最優(yōu)決策，而Lau12沒有研究現(xiàn)貨市場。我們發(fā)現(xiàn)隨著給出的現(xiàn)貨價格的降低， 供應(yīng)商的最大期望利潤也有所降低，令人高興的是此時零售商的期望利潤有了大幅的增加，從而提高了渠道(channel)的利潤。下面的例子研究引入合約交易與只在現(xiàn)貨市場進行交易相比有何變化。例2 假設(shè)市場需求量服從50,200上的均勻分布，零售價格元，供應(yīng)商的成本元，處理價格元，缺貨懲罰元，生產(chǎn)或市場需求量上限，單位保留價格元，考察現(xiàn)貨市場的逆需求函數(shù)為不同情形（見表2）時，1) 供應(yīng)商與零售商只在現(xiàn)貨市場交易的最優(yōu)決策與最大期望利潤各為多少?2) 供應(yīng)商與零售商依據(jù)模型簽訂合約的最優(yōu)決策與最大期望利潤各為多少?計算結(jié)果見表2：表2 模型與模型的決策及其結(jié)果比較表逆需求函數(shù)模型模型72.50236.8046.17模型2.83085.0885.08242.0479.38模型87.50241.8286.26模型2.7511.6775.8175.81241.9086.37模型102.50231.78134.10模型2.32102.5000231.78134.10從表2可以得出以下下結(jié)論：1） 現(xiàn)貨市場價格高的時候?qū)?yīng)商有利，反之則對零售商有利；2） 如果現(xiàn)貨市場價格很高，零售商將不從現(xiàn)貨市場購買產(chǎn)品而全部選擇合約交易；如果現(xiàn)貨市場價格很低，零售商將選擇只在現(xiàn)貨市場交易；3） 當(dāng)現(xiàn)貨市場價格很低時，模型與模型的效果是相同的，但是當(dāng)現(xiàn)貨市場價格很高時，模型能夠使得供應(yīng)商與零售商的利潤均比不簽約時有所提高；現(xiàn)實生活中，受企業(yè)規(guī)模和供需關(guān)系等因素的影響，供應(yīng)商與零售商在市場中的力量未必均衡。市場力量大的主體必然在談判時充分利用自己的優(yōu)勢而爭取更高的利潤。下文研究我們的模型如何為談判提供客觀依據(jù)。例3考慮供應(yīng)商在市場中占主導(dǎo)地位的情形下，盡管雙方已經(jīng)將合約價格定為，供應(yīng)商仍然可以利用自己的市場力量，通過談判要求零售商訂購一定數(shù)量的產(chǎn)品以使得供應(yīng)商的期望利潤有所提高。但是，當(dāng)供應(yīng)商提出的訂購要求偏離零售商的最優(yōu)訂購量太多的時候，零售商會因為利潤太低或無利可圖而拒絕交易。而零售商的利潤低到多少會拒絕簽約，就要看雙方在市場中的影響力和一些主觀因素了。表3列出了當(dāng)市場的逆需求函數(shù)為時可能的談判結(jié)果，此時合約價格為，零售商的最優(yōu)訂購量為。談判過程中，供應(yīng)商提出不同的訂購要求會對雙方的利潤產(chǎn)生不同的影響，零售商的訂購量越大供應(yīng)商的利潤越高，實際訂購要求偏離最優(yōu)訂購量越多，零售商的利潤越低。表3 供應(yīng)商占主導(dǎo)地位的談判結(jié)果表8085.089095100105110226.4242.04254.7268.85283297.15311.378.679.3878.6377.475.3472.4468.7 如果零售商在市場中占主導(dǎo)地位，他可以通過談判影響供應(yīng)商的合約定價，而自己則根據(jù)定價作出最優(yōu)的反應(yīng)以獲得最高的利潤。供應(yīng)商為了獲得訂單，也將妥協(xié)把批發(fā)價格降低到一個自己可以接受的水平，降低的程度與零售商的影響力有關(guān)。表4列出了逆需求函數(shù)為時的一些可能的談判結(jié)果：表4 零售商占主導(dǎo)地位的談判結(jié)果表2.82.171778385.088995101107234.3238.7240.7242.04240.3237.5232.3224.767.1170.1373.5279.3877.5682.5688.8096.56 如例3所描述的那樣，供應(yīng)商和零售商為了獲取更高的利潤，市場力量大的主體在談判過程中將向?qū)Ψ教岢鰧ψ约河欣臈l件。而這些條件要基于二層報童問題模型的最優(yōu)解提出，如果偏離最優(yōu)解的程度很大，另一方會因為利潤太低或無利可圖而拒絕交易?？梢娧芯慷訄笸瘑栴}模型，對供需雙方的簽約談判有重要意義。5 結(jié)論 本文提出了具有合約決策報童問題的二層規(guī)劃模型，該模型的最優(yōu)解可以作為供應(yīng)商與零售商談判的依據(jù)。供應(yīng)商和零售商以最優(yōu)解為依據(jù)通過談判而簽定合約，供應(yīng)商和零售商的利潤比不簽合約時有所提高。盡管本文考慮的情況比較簡單，但是具有一定的理論意義和實際價值，該問題還可以在多供應(yīng)商多零售商問題、多周期問題做更為深入的研究。參考文獻1. 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