八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè) 5.1 矩形（第1課時(shí)）例題選講課件 （新版）浙教版.ppt

第5章特殊平行四邊形 5 1矩形 第1課時(shí) 矩形的性質(zhì) 例1如圖 已知矩形abcd中 對(duì)角線ac bd相交于點(diǎn)o e f是對(duì)角線bd上的兩點(diǎn) 且bf de 1 按邊分類 aob是三角形 2 猜想線段ae cf的大小關(guān)系 并證明你的猜想 分析 1 由矩形的性質(zhì)可得oa ob oc od 2 若猜想ae cf 則可以證明這兩條線段所在的兩個(gè)三角形全等 即 ade cbf 也可以證明ae cf所在的四邊形aecf是平行四邊形 解 1 等腰 2 ae cf 證明 如圖 連結(jié)af ce 由四邊形abcd是矩形 得oa oc ob od de bf oe of 四邊形aecf是平行四邊形 ae cf 注意點(diǎn) 證明兩條線段相等的方法有很多 通常的思路是 1 當(dāng)兩條線段位于一個(gè)三角形中時(shí) 可以借助于 等角對(duì)等邊 來證明 2 兩條線段不在一個(gè)三角形中時(shí) 可以借助于兩三角形全等來證明 3 當(dāng)兩條線段是一個(gè)四邊形的兩條對(duì)邊時(shí) 可以借助于證明這個(gè)四邊形是平行四邊形來證明等 變式 如圖 在矩形abcd中 ac bd相交于o ae平分 bad 交bc于e 若 cae 15 求 boe的度數(shù) 答案 四邊形abcd是矩形 abc bad 90 ac bd ao co ac bo do bd ao bo ae平分 bad bae bad 45 又 cae 15 bao bae cae 60 aob是等邊三角形 ob ab abo 60 obe abc abo 90 60 30 bea 90 bae 45 bae ab be ob be boe 75 與矩形有關(guān)的折疊問題 例2如圖 把矩形紙片abcd沿ef折疊 使點(diǎn)b落在邊ad上的點(diǎn)b 處 點(diǎn)a落在點(diǎn)a 處 1 求證 b e bf 2 設(shè)ae a ab b bf c 試猜想a b c之間的一種關(guān)系 并給予說明 分析 1 可由 b fe bfe b ef 得b e b f bf 2 由于b e bf c a b ab b a e ae a 故由勾股定理可求得a b c之間的關(guān)系 證明 1 四邊形abcd是矩形 ad bc bfe b ef 由題意可得 b fe bfe b f bf b fe b ef b e b f bf 2 a2 b2 c2 理由 a a 90 b e2 a b 2 a e2 由 1 可知b e bf c 由已知可知a b ab b a e ae a a2 b2 c2 注意點(diǎn) 圖中折疊矩形 則 b fe是一個(gè)等腰三角形 這一結(jié)論在解決折疊問題時(shí)有很重要的作用 矩形的綜合問題 例3如圖 在矩形abcd中 e f分別是邊ab cd上的點(diǎn) ae cf 連結(jié)ef bf ef與對(duì)角線ac交于點(diǎn)o 且be bf bef 2 bac 1 求證 oe of 2 若bc 2 求ab的長(zhǎng) 分析 1 根據(jù)矩形的對(duì)邊平行可得ab cd 再根據(jù)兩直線平行 內(nèi)錯(cuò)角相等求出 bac fco 然后利用 角角邊 證明 aoe和 cof全等 再根據(jù)全等三角形即可得證 2 連結(jié)ob 根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得bo ef 再根據(jù)矩形的性質(zhì)可得oa ob 根據(jù)等邊對(duì)等角的性質(zhì)可得 bac abo 再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理列式求出 abo 30 即 bac 30 根據(jù)直角三角形30 角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半求出ac 再利用勾股定理列式計(jì)算即可求出ab 證明 1 在矩形abcd中 ab cd bac fco 在 aoe和 cof中 aoe cof aas oe of 2 如圖 連結(jié)ob be bf oe of bo ef 在rt beo中 bef abo 90 由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊上的一半可知 oa ob oc bac abo 又 bef 2 bac 即2 bac bac 90 解得 bac 30 bc 2 ac 2bc 4 ab 6 ae cf bac fco aoe cof 注意點(diǎn) 本題要結(jié)合基本圖形 運(yùn)用了矩形的性質(zhì) 全等三角形的判定與性質(zhì) 等腰三角形三線合一的性質(zhì) 直角三角形30 角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半 作輔助線并求出 bac 30 是解題的關(guān)鍵 例1如圖 把一張矩形紙片abcd沿ef折疊后 點(diǎn)c d分別落在c d 的位置上 ec 交ad于點(diǎn)g 已知 efg 58 那么 beg 錯(cuò)答 由于ad bc 所以 cef efg 58 再根據(jù)折疊 得 beg gef 61 正答 beg 180 2 58 64 錯(cuò)因 矩形的折疊問題是中考的常見題型 要注意折疊后的圖形與原圖的折疊部分關(guān)于折疊線成軸對(duì)稱 此解法折疊對(duì)應(yīng)的兩個(gè)角 cef feg找錯(cuò)了 造成錯(cuò)誤 由于矩形紙片abcd沿ef折疊 所以 cef feg 而ad bc 所以 cef efg 58 所以 beg 180 2 58 64 故填64 例2在矩形abcd中 已知ab a 對(duì)角線ac與bd相交所成的銳角為60 試求矩形對(duì)角線的長(zhǎng) 錯(cuò)答 如圖1 在矩形abcd中 aob 60 根據(jù)矩形的對(duì)角線相等且互相平分 得到ob oc acb 30 ac 2ab 2a 正答 1 當(dāng)ab邊是矩形中較短邊時(shí) 如錯(cuò)解 求得對(duì)角線ac的長(zhǎng)為2a 2 當(dāng)ab邊是矩形中較長(zhǎng)邊時(shí) 如圖2 在矩形abcd中 aod 60 根據(jù)矩形的對(duì)角線相等且