三年級(jí)奧數(shù)——周長(zhǎng).doc

三年級(jí)奧數(shù)周長(zhǎng)周長(zhǎng)：封閉圖形一周的長(zhǎng)度就是這個(gè)圖形的周長(zhǎng)面積：物體的表面或封閉圖形的大小，叫做它們的面積基本公式：長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)(長(zhǎng)寬)，面積長(zhǎng)寬正方形的周長(zhǎng)邊長(zhǎng)，正方形的面積邊長(zhǎng)邊長(zhǎng)常用方法：對(duì)于基本的長(zhǎng)方形和正方形圖形，可以直接用公式求出它們的周長(zhǎng)和面積，對(duì)于一些不規(guī)則的比較復(fù)雜的幾何圖形，我們可以采用轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法割補(bǔ)成基本圖形，利用長(zhǎng)方形、正方形周長(zhǎng)及面積計(jì)算的公式求解轉(zhuǎn)化是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法：在轉(zhuǎn)化過(guò)程中要抓住“變”與“不變”兩個(gè)部分轉(zhuǎn)化后的圖形雖然形狀變了，但其周長(zhǎng)和面積不應(yīng)該改變，所以在求解過(guò)程中不能遺漏掉某些線段的長(zhǎng)度或某部分圖形的面積轉(zhuǎn)化的目標(biāo)是將復(fù)雜的圖形轉(zhuǎn)化為周長(zhǎng)或面積可求的圖形尋求正確有效的解題思路：意味著尋找一條擺脫困境、繞過(guò)障礙的途徑因此，我們?cè)诮鉀Q數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，思考的著重點(diǎn)就是要把所需解決的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為已經(jīng)能夠解決的問(wèn)題也就是說(shuō)，在直接求解不容易或很難找到解題途徑的問(wèn)題時(shí)，我們往往轉(zhuǎn)化問(wèn)題的形式，從側(cè)面或反面尋找突破口，知道最終把它轉(zhuǎn)化成一個(gè)或若干個(gè)能解決的問(wèn)題這種解決問(wèn)題的思想在數(shù)學(xué)中叫“化歸”，它是數(shù)學(xué)思維中重要的思想和方法在幾何中，有許多圖形是由一些基本圖形組合、拼湊而成的這樣的圖形我們稱為不規(guī)則圖形不規(guī)則圖形的面積往往無(wú)法直接應(yīng)用公式計(jì)算那么，不規(guī)則圖形的面積怎樣去計(jì)算呢？對(duì)稱、旋轉(zhuǎn)、平移這幾種幾何變換就是解決這類面積問(wèn)題的手段平移：在平面圖形的計(jì)算中，常常要將一個(gè)平面圖形移動(dòng)到平面上的另一個(gè)位置進(jìn)行計(jì)算其中，將圖形沿一個(gè)固定方向的移動(dòng)叫做平移，一個(gè)圖形經(jīng)過(guò)平行移動(dòng)不改變其形狀與大小，所以圖形面積是保持不變的利用圖形的平移，可以使面積計(jì)算問(wèn)題的解法簡(jiǎn)捷明快，頗有新意割補(bǔ)：割補(bǔ)法在我國(guó)古代叫“出入相補(bǔ)原理”，我國(guó)古代魏晉時(shí)期著名的數(shù)學(xué)家劉徽在九章算術(shù)注中就明確地提出“出入相補(bǔ)，各從其類”的出入相補(bǔ)原理這個(gè)原理的內(nèi)容是幾何圖形經(jīng)過(guò)分、合、移、補(bǔ)所拼湊成的新圖形，它的面積不變對(duì)稱：平面圖形中有許多簡(jiǎn)單漂亮的圖形都是軸對(duì)稱圖形軸對(duì)稱圖形沿對(duì)稱軸折疊，軸兩側(cè)可以完全重合也就是說(shuō)，如果一個(gè)圖形是軸對(duì)稱圖形，那么對(duì)稱軸平分這個(gè)圖形的面積熟悉軸對(duì)稱圖形這個(gè)性質(zhì)，對(duì)面積計(jì)算會(huì)有很大幫助代換：在幾何計(jì)算中，對(duì)有關(guān)數(shù)量進(jìn)行適當(dāng)?shù)牡攘看鷵Q也是解決問(wèn)題的已知技巧本講主要通過(guò)求一些不規(guī)則圖形的周長(zhǎng)，體會(huì)一種轉(zhuǎn)化思想，重點(diǎn)在于把不規(guī)則圖形轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形的方法，包括平移、割補(bǔ)、差不變?cè)?，通過(guò)這些方法的學(xué)習(xí)，讓學(xué)生體會(huì)求周長(zhǎng)的技巧，提高學(xué)生的觀察能力、動(dòng)手操作能力、綜合運(yùn)用能力【例1】 下圖表示一塊地，四周都用籬笆圍起來(lái)，轉(zhuǎn)彎處都是直角已知西邊籬笆長(zhǎng)米，南邊籬笆長(zhǎng)米四周籬笆長(zhǎng)多少米？【解析】 因?yàn)檫@塊地的東邊和北邊的籬笆轉(zhuǎn)彎處是直角，可以將東西方向的籬笆平移到最外邊得到線段，將南北方向的籬笆平移到最外邊得到線段，則折線的長(zhǎng)等于折線的長(zhǎng)所以東邊和北邊籬笆的長(zhǎng)分別和西邊、南邊的籬笆長(zhǎng)相等列式為：四周籬笆長(zhǎng)為：(米)【鞏固】(希望杯培訓(xùn)題)右圖的周長(zhǎng)是分米【解析】 把那些與水平方向平行的小線段都”放”下來(lái)，恰好與底邊一致；把豎直方向的小線段都依次”貼到”左邊，恰好貼滿左邊，因此多有的短橫線的長(zhǎng)的和為分米，所有的短豎線的長(zhǎng)的和為分米，圖形的周長(zhǎng)為(分米)【鞏固】 計(jì)算右邊圖形的周長(zhǎng)(單位：厘米)?！窘馕觥?要求這個(gè)圖形的周長(zhǎng)，似乎不可能，因?yàn)槿鄙贄l件。但是，我們仔細(xì)觀察這個(gè)圖形，發(fā)現(xiàn)它的每一個(gè)角都是直角，所以，我們可以將圖中右上缺角處的線段分別向上、向右平行移動(dòng)到虛線處(見(jiàn)右下圖)，這樣正好移補(bǔ)成一個(gè)長(zhǎng)方形。求長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)就易如反掌了。所以圖形的周長(zhǎng)是：(厘米)?！纠?】 下圖中標(biāo)出的數(shù)表示每邊長(zhǎng)，單位是厘米它的周長(zhǎng)是多少厘米？【解析】 平移轉(zhuǎn)化為求長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)，長(zhǎng)方形的長(zhǎng)5+6=11(厘米)，寬1+3=4(厘米)，周長(zhǎng)(11+4)2=30(厘米)，(5+6)+(1+3)2=30(厘米)，它的周長(zhǎng)是30厘米【鞏固】 如下圖是某校的平面圖，已知線段a120米，b130米，c70米，d60米，l250米楊老師每天早晨繞學(xué)校跑3圈，問(wèn)每天跑多少米？【解析】 平移法轉(zhuǎn)化為長(zhǎng)方形再求(120130+60)(70+250)233780(米)【鞏固】 圖、圖都是由完全相同的正方形拼成的，并且圖的周長(zhǎng)是厘米，那么圖的周長(zhǎng)是多少厘米？【解析】 圖的周長(zhǎng)是小正方形邊長(zhǎng)的倍，圖的周長(zhǎng)是小正方形邊長(zhǎng)的倍，因此，圖的周長(zhǎng)為厘米【例3】 下圖的小正方形邊長(zhǎng)為1厘米這個(gè)圖形的外沿的周長(zhǎng)是多少厘米？【解析】 28厘米【例4】 一個(gè)周長(zhǎng)是20厘米的正方形，剪下一個(gè)周長(zhǎng)是6厘米的正方形，剩下的圖形的周長(zhǎng)是(寫(xiě)出所有可能的結(jié)果)【解析】 周長(zhǎng)為6厘米的正方形的邊長(zhǎng)為：(厘米)，周長(zhǎng)為20厘米的正方形的邊長(zhǎng)為(厘米)，在一個(gè)正方形中剪下一個(gè)小正方形有兩種情況：對(duì)于圖1的周長(zhǎng)，與原來(lái)正方形的周長(zhǎng)相等，為20厘米；圖2的周長(zhǎng)，觀察可以發(fā)現(xiàn)，比原來(lái)正方形的周長(zhǎng)多了兩條小正方形的邊，即為：(厘米)【鞏固】 求右圖的周長(zhǎng)【解析】 140厘米【例5】 求下圖的周長(zhǎng)【解析】 通過(guò)平移轉(zhuǎn)化為右上圖，周長(zhǎng)等于大長(zhǎng)方形周長(zhǎng)加上AB、CD的長(zhǎng)，即有周長(zhǎng)為(50+35)2+102=190(厘米)【例6】 (第七屆”小機(jī)靈杯”數(shù)學(xué)競(jìng)賽初賽)下面兩張圖中，周長(zhǎng)較大的是(在橫線上填寫(xiě)表示圖名的字母)【解析】 通過(guò)平移比較發(fā)現(xiàn)比多兩小段邊，得的周長(zhǎng)較大【鞏固】 如下圖，正方形操場(chǎng)邊長(zhǎng)100米，一只螞蟻沿甲地走了一圈，另一只螞蟻沿乙地走了一圈，誰(shuí)走的路長(zhǎng)？它們各走了多少米？【解析】 我們分別求甲、乙的周長(zhǎng)甲的周長(zhǎng)可轉(zhuǎn)化為長(zhǎng)方形周長(zhǎng)(如圖)，即為(100+50+30)2=360(米)再求乙的周長(zhǎng)乙的周長(zhǎng)等于長(zhǎng)方形周長(zhǎng)加上2個(gè)30米，即為(100+50)2+302=360(米)所以它倆走的一樣長(zhǎng)【鞏固】 求右圖所示圖形的周長(zhǎng)(單位：分米)【解析】 這道題最簡(jiǎn)單的方法也是用平移法來(lái)解下面我們來(lái)看一個(gè)基本解法這是一個(gè)組合圖形，由兩個(gè)矩形組成，不要誤認(rèn)為兩個(gè)矩形周長(zhǎng)的和就是組合圖形的周長(zhǎng)仔細(xì)觀察圖形可以發(fā)現(xiàn)：右邊矩形的右邊邊長(zhǎng)可以移到左邊，這樣就可以使左邊的矩形變得完整所以，這個(gè)組合圖形的周長(zhǎng)就是左邊矩形的周長(zhǎng)再加上右邊矩形的一條已知邊長(zhǎng)的倍即：(分米)【例7】 如圖是一個(gè)機(jī)器零件的側(cè)面圖，圖中每一條最短線段長(zhǎng)5厘米，這個(gè)零件高30厘米，求這個(gè)零件側(cè)面的周長(zhǎng)是多少厘米？【解析】 采用平移，零件側(cè)面的周長(zhǎng)等于長(zhǎng)方形周長(zhǎng)加上內(nèi)部10條最短線段長(zhǎng)，即(57+30)2+510=180(厘米)【例8】 下圖是一面磚墻的平面圖，每塊磚長(zhǎng)20厘米，高8厘米，像圖中那樣一層、二層一共擺十層，求擺好后這十層磚墻的周長(zhǎng)是多少？【解析】 我們?nèi)匀豢梢酝ㄟ^(guò)平移轉(zhuǎn)化為長(zhǎng)方形來(lái)求長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是10塊磚的長(zhǎng)度，即2010=200(厘米)，寬是10塊磚的寬度，即810=80(厘米)，所以十層磚墻的周長(zhǎng)是(200+80)2=560(厘米)【鞏固】 把長(zhǎng)2厘米、寬1厘米的長(zhǎng)方形磚塊擺成如圖的形狀，求該圖形的周長(zhǎng)？【解析】 66厘米【例9】 右圖是由個(gè)同樣大小的正方形組成的，如果這個(gè)圖形的面積是平方厘米，那么它的周長(zhǎng)是多少厘米？【解析】 考慮此類問(wèn)題我們即可以局部分析，各個(gè)突破，也可以縱觀全局整體思考每個(gè)正方形的面積為(平方厘米)，所以每個(gè)正方形的邊長(zhǎng)是厘米觀察右圖，這個(gè)圖形的周長(zhǎng)從上下方向來(lái)看是由條正方形的邊組成，從左右方向來(lái)看是由條正方形的邊組成，所以其周長(zhǎng)為厘米【鞏固】 下圖是由邊長(zhǎng)為1厘米的11個(gè)正方形堆成的“土”字圖形試求出其周長(zhǎng)【解析】 周長(zhǎng)是由24條1厘米的邊長(zhǎng)組成，所以周長(zhǎng)=124=24(厘米)【例10】 如圖所示，一個(gè)大長(zhǎng)方形被三條線段分成了四個(gè)小長(zhǎng)方形，各條線段長(zhǎng)度見(jiàn)圖(單位：厘米)求：圖中所有長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)之和【解析】 類似于上題，題目中所說(shuō)的長(zhǎng)方形，并不只包括最小的幾個(gè)長(zhǎng)方形，因此需要先求出每條線段在求和過(guò)程中被累加了多少次因?yàn)闆](méi)從大長(zhǎng)方形的長(zhǎng)上找到一條線段，就能對(duì)應(yīng)地找到大長(zhǎng)方形內(nèi)的一個(gè)長(zhǎng)方形，所以可以利用上一個(gè)問(wèn)題的結(jié)論來(lái)解決這個(gè)問(wèn)題當(dāng)然，要考慮到，每個(gè)長(zhǎng)方形都有兩條長(zhǎng)和兩條寬，因此計(jì)算過(guò)程中應(yīng)該注意不要漏算先考慮大長(zhǎng)方形的長(zhǎng)上各邊：應(yīng)用上一道題目的結(jié)論，每條邊上長(zhǎng)為4、3、1、2的線段分別被計(jì)算了4、6、6、4次然后再考慮大長(zhǎng)方形的寬：因?yàn)楣灿袀€(gè)長(zhǎng)方形，所以長(zhǎng)度為2的寬被計(jì)算了（次）故總周長(zhǎng)可以用下式計(jì)算得到：（厘米）【鋪墊】求圖中所有線段的總長(zhǎng)(單位：厘米)【解析】 要注意到，題目所求的是圖中所有線段的總長(zhǎng)，而圖中的線段，并不僅僅是、四段，還包括、等等，因此不能簡(jiǎn)單地將圖中標(biāo)示的線段長(zhǎng)度進(jìn)行求和同時(shí)應(yīng)該注意到，；，等等因此，為了計(jì)算圖中所有線段的總長(zhǎng)，需要先計(jì)算AB、BC、CD、DE這四條線段分別被累加了幾次這里，可以按照每條線段分別是由幾部分組成的加以討論：由1段組成的線段共有4條，即AB、BC、CD、DE，而求和過(guò)程中AB、BC、CD、DE這四條線段各被累加了1次類似地考慮到，由2段組成的線段共有3條，求和過(guò)程中AB、DE各被累加了1次，BC、CD各被累加了2次由3段組成的線段共有2條，求和過(guò)程中AB、DE各被累加了1次，BC、CD各被累加了2次由4段組成的線段只有AE，其中AB、BC、CD、DE各被計(jì)算了1次綜上所述，AB、DE各被計(jì)算了4次，BC、CD各被計(jì)算了6次因而圖中所有線段的總長(zhǎng)度為：(厘米)【例11】 如圖，正方形的邊長(zhǎng)為，被分割成如下個(gè)小長(zhǎng)方形，求這個(gè)小長(zhǎng)方形的所有周長(zhǎng)之和【解析】 【鞏固】（“希望杯”第一試）如右圖，正方形的邊長(zhǎng)是厘米，過(guò)正方形內(nèi)的任意兩點(diǎn)畫(huà)直線，可把正方形分成個(gè)小長(zhǎng)方形。這個(gè)小長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)之和是多少厘米？【解析】 從總體考慮，在求這個(gè)小長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)之和時(shí)，、這四條邊被用了次，其余四條虛線被用了次，所以個(gè)小長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)之和是：（厘米）?！纠?2】 邊長(zhǎng)是厘米的個(gè)正方形拼成一個(gè)長(zhǎng)方形，這個(gè)長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)是多少？【解析】 想一想，把幾個(gè)正方形拼合在一起，拼出的長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)與所有正方形的周長(zhǎng)相差多少呢？由個(gè)大小相同正方形拼成一個(gè)長(zhǎng)方形，只有一種拼法，就是把三個(gè)正方形排成一排于是拼成的長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是厘米，寬是厘米所以長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)是：(長(zhǎng)寬)(厘米)【鞏固】 兩個(gè)大小相同的正方形拼成了一個(gè)長(zhǎng)方形，長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)比原來(lái)的兩個(gè)正方形周長(zhǎng)的和減少了厘米，原來(lái)一個(gè)正方形的周長(zhǎng)是多少厘米？【解析】 先想一想，減少的厘米相當(dāng)于正方形的幾條邊的邊長(zhǎng)呢？把兩個(gè)正方形拼成一個(gè)長(zhǎng)方形時(shí)，拼成的長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)比原來(lái)兩個(gè)正方形的條邊減少了條邊(如圖所示)而這兩條邊的和正好是減少的厘米，所以，正方形的邊長(zhǎng)是厘米，原來(lái)一個(gè)正方形的周長(zhǎng)是厘米所以原來(lái)一個(gè)正方形的周長(zhǎng)是：(厘米)【總結(jié)】通過(guò)這個(gè)例題，可以看出，求組合圖形及一些特殊圖形的周長(zhǎng)與面積，一定要仔細(xì)觀察，善于發(fā)現(xiàn)其中內(nèi)在的聯(lián)系，找出未知與已知的關(guān)系，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化，從而得到解決下面我們來(lái)學(xué)習(xí)幾種求幾何圖形周長(zhǎng)和面積的技巧【例13】 (年”希望杯”第一試)右圖中的陰影部分是正方形，線段長(zhǎng)厘米，線段長(zhǎng)厘米，則長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)是厘米【解析】 本題需要注意，長(zhǎng)方形的寬應(yīng)等于正方形的邊長(zhǎng)由于圖中陰影部分是個(gè)正方形，其四條邊的邊長(zhǎng)都相等，且等于長(zhǎng)方形的寬的和應(yīng)為長(zhǎng)方形的長(zhǎng)加上正方形的邊長(zhǎng)，所以等于長(zhǎng)方形的長(zhǎng)與寬之和所以長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)為：厘米【鞏固】 如圖，在長(zhǎng)方形中，是正方形已知，求長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)【解析】 通過(guò)觀察發(fā)現(xiàn)是長(zhǎng)方形的長(zhǎng)與寬，所以長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)是()【例14】 如右圖所示，在一個(gè)正方形內(nèi)畫(huà)中、小兩個(gè)正方形，使三個(gè)正方形具有公共頂點(diǎn)，這樣大正方形被分割成了正方形區(qū)域甲，和形區(qū)域乙和丙甲的周長(zhǎng)為厘米，乙的邊長(zhǎng)是甲的周長(zhǎng)的倍，丙的周長(zhǎng)是乙的周長(zhǎng)的倍，那么丙的周長(zhǎng)為多少厘米？長(zhǎng)多少厘米？【解析】 乙的周長(zhǎng)實(shí)際上是正方形的周長(zhǎng)(我們可將乙與甲重合的兩條線段分別向左、向下平移)，同樣的，丙的周長(zhǎng)也就是正方形的周長(zhǎng)由于，所以丙的周長(zhǎng)為厘米，(厘米)【例15】 用若干個(gè)邊長(zhǎng)都是厘米的平行四邊形與三角形(如右圖)拼接成一個(gè)大的平行四邊形，已知大平行四邊形的周長(zhǎng)是厘米，那么平行四邊形和三角形各有多少個(gè)？【解析】 大平行四邊形上、下兩邊的長(zhǎng)為厘米，觀察上邊，每厘米有兩個(gè)平行四邊形的邊，所以共有小平行四邊形個(gè)，而三角形的數(shù)量與小平行四邊形的數(shù)量相等，也是個(gè)【鞏固】 用若干個(gè)邊長(zhǎng)都是厘米的平行四邊形與三角形(如右圖)拼接成一個(gè)大的平行四邊形，已知大平行四邊形的周長(zhǎng)是厘米，那么平行四邊形和三角形各有多少個(gè)？【解析】 大平行四邊形上、下兩邊的長(zhǎng)為厘米，觀察上邊，每厘米有兩個(gè)平行四邊形的邊，所以有三角形個(gè)，小平行四邊形個(gè)【例16】 有個(gè)小長(zhǎng)方形，它們的長(zhǎng)和寬分別相等，用這個(gè)小長(zhǎng)方形拼成的大長(zhǎng)方形(如圖)的面積是平方厘米，求這個(gè)大長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)【解析】 從圖上可以知道，小長(zhǎng)方形的長(zhǎng)的倍等于寬的倍，所以長(zhǎng)是寬的倍每個(gè)小長(zhǎng)方形的面積為平方厘米，所以寬寬，所以寬為厘米，長(zhǎng)為厘米大長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)為厘米【鞏固】 右圖的長(zhǎng)方形被分割成個(gè)正方形，已知原長(zhǎng)方形的面積為平方厘米，求原長(zhǎng)方形的長(zhǎng)與寬【解析】 大正方形邊長(zhǎng)的倍等于小正方形邊長(zhǎng)的倍，所以大正方形的邊長(zhǎng)是小正方形邊長(zhǎng)的倍，大正方形的面積是小正方形面積的倍，所以小正方形面積為平方厘米，所以小正方形的邊長(zhǎng)為厘米，大正方形的邊長(zhǎng)為厘米，原長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為厘米，寬為厘米【例17】 馮大叔給兒子做玩具用個(gè)一樣大的小長(zhǎng)方形拼圖，拼出了如圖甲、乙的兩種圖案：圖案甲是一個(gè)正方形，圖案乙是一個(gè)大的長(zhǎng)方形；圖案甲的中間留下了邊長(zhǎng)是的正方形小洞求小長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬？【解析】 由甲圖可以看出小長(zhǎng)方形的長(zhǎng)加上小正方形的邊長(zhǎng)等于小長(zhǎng)方形的兩個(gè)寬，由乙圖可以看出，設(shè)小長(zhǎng)方形的寬為，