數(shù)學模型-市場經(jīng)濟中蜘蛛網(wǎng)模型.pptVIP

1 一 抵押貸款買房問題 相關(guān)背景 名流花園用薪金 買高品質(zhì)住房對于大多數(shù)工薪階層的人士來說 想買房 簡直是天方夜譚 現(xiàn)在有這樣一棟 自備款只需七萬人民幣 其余由銀行貸款 分五年還清 相當于每月只需付1200人民幣 那么 這對于您還有什么問題呢 誰都希望有一套屬于自己的住房 但又沒有足夠的資金一次買下 這就產(chǎn)生了貸款買房的問題 下面是1991年1月1日某大城市晚報上登的一則廣告 任何人看了這則廣告都會產(chǎn)生許多疑問 且不談廣告上沒有談住房面積 設(shè)施等 人們關(guān)心的是 如果一次付款買這套房要多少錢呢 銀行貸款的利息是多少呢 為什么每個月要付1200元呢 是怎么算出來的 2 分析與建模 需要借多少錢 用記 月利率用記R 貸款通常按復(fù)利計 每月還多少錢用x記 借期記為N個月 而一開始的借款為A0 所以該問題可用數(shù)學表達式表示如下 1 1 因為我們都知道 若知道了一次付款買房的價格 如果自己只能支付一部分款 那就要把其余的款項通過借貸方式來解決 只要知道利息 就可以算出5年還清 每月要付多少錢才能按時還清貸款 從而也就可以對是否要去買該廣告中所說的房子做出決策了 若用記第k個月時尚欠的款數(shù) 則一個月后 加上利息 欠款 不過又還了x元所以總的款數(shù)為 3 由 利用數(shù)學歸納法 知 故 這就是 x R之間的顯式關(guān)系 是迭代關(guān)系 1 1 的解 4 針對廣告中的情形 N 5年 60個月 每月還款x 1200元 已知 但即一次性付款購買價減去70000元后剩下的要另外去借的款 并沒有告訴你 此外銀行貸款利率R也沒有告訴你 著造成我們決策的困難 然而 由 1 2 可知60個月后還清 即 0 從而得 1 3 1 3 式表示N 60 x 1200給定時和R之間的關(guān)系式 如果我們已經(jīng)知道一行的貸款利息R 就可以算出 例如 若R 0 01 則由 1 3 式子可算得 52946元 如果該房地產(chǎn)公司說一次性付款的房價小于70000 53946 123946元的話 你就應(yīng)自己去銀行貸款 事實上 利用Matlab等數(shù)學軟件可把 1 3 式的圖形畫出來 從而可進行估算決策 5 例1某校一對年輕夫婦為買房要用銀行貸款60000元 月利率0 01 貸款期25年 300月 這對年輕夫婦希望知道每月還多少錢 25年后就可以還清 假設(shè)這對夫婦每月可有節(jié)余700元 是否可以去買房呢 現(xiàn)在 60000 R 0 01 k 300 利用Matlab等數(shù)學軟件 容易算得x 632元 700元 著說明該夫婦有買房能力 6 例二 恰此時這對夫婦看到某借貸公司的一則廣告 若借款60000元 22年還清 只要 解先就 i ii 兩條作一個粗略的分析 可先孤立分析 i 和 ii 看看能否縮短歸還期 分析 i 這時 60000不變 x 316 月利率變?yōu)榘朐吕士纱致缘卣J為剛好是原R的一半 即R 0 005 這樣取R是否合理 請思考實際情況是怎么樣的 于是由 1 2 式求出的歸還期N 即由求N 利用Matlab數(shù)學軟件可解得 i 每半個月還316元 ii 由于文書工作多了的關(guān)系要你預(yù)付3個月的款 即316 6 1896元 這對夫婦想 提前3年還清當然是好事 每半個月還316元 那一個月不正好是632元 只不過多跑一趟去交款罷了 要預(yù)付1896元 當然使人不高興 但提前3年還清省下來的錢可是22752元喲 是1896元的十幾倍啊 這家公司是慈善機構(gòu)呢還是仍然要賺我們的錢呢 這對夫婦請你給他們一個滿意的回答 7 即N 598 半個月 24 92年 即只能提前大約1個月還清 由此可見 該借貸公司如果只有第1個條件的話 那他只能是慈善機構(gòu)了 當然在實際生活中的貸款買房問題要復(fù)雜的多 但上述問題的數(shù)學方法仍然具有指導性 分析 ii 這時 60000 1896 58104 這時你只借了58104元 而不是60000元 可以按問題中銀行貸款的條件算一算 即令x 632元 每月還款 R 0 01 月息 求使得 0的N 來看看能否提前還清 利用Matlab數(shù)學軟件 經(jīng)計算得N 21 09年 即實際上提前將近四年就可還清 該公司只要去同樣的銀行貸款 即使半個月收來的316元不動 再過半個月合在一起去交給銀行 它還可坐收第22年的款近7000元 更何況它可以利用收到的貸款去做短期 半個月內(nèi) 的投資賺取額外的錢 當你把這種初步分析告訴這對年輕夫婦后 他們一定會恍然大悟 從而作出正確的決策 1 4 8 市場經(jīng)濟中的蜘蛛網(wǎng)模型 在自由貿(mào)易市場上你注意過這樣的現(xiàn)象嗎 一個時期由于豬肉的上市量遠大于需求 銷售不暢導致價格下降 農(nóng)民覺得養(yǎng)豬賠錢 于是轉(zhuǎn)而經(jīng)營其他農(nóng)副產(chǎn)品 過一段時間后豬肉上市量大減 供不應(yīng)求導致物價上漲 原來的飼養(yǎng)戶看到有利可圖 有重操舊業(yè) 這樣下一個時期會出重現(xiàn)供大于求 價格下降的 9 局面 在沒有外面干預(yù)的情況下 這種現(xiàn)象將如此循環(huán)下去 在完全自由競爭的市場經(jīng)濟中上述現(xiàn)象通常是不可避免的 因為商品的價格是由消費者的需求關(guān)系決定的 商品數(shù)量越多價格越低 而下一時期商品的數(shù)量由生產(chǎn)者的供求關(guān)系決定 商品價格越低生產(chǎn)的數(shù)量就越少 這樣的需求和供應(yīng)關(guān)系決定了市場經(jīng)濟中商品的價格和數(shù)量必然是震蕩的 在現(xiàn)實世界里這樣的震蕩出現(xiàn)不同的形式 有的振幅漸小 10 趨向平穩(wěn) 有的則振幅越來越大導致經(jīng)濟崩潰 當然政府會對后者采取干預(yù)手段 這一節(jié)我們先用圖形方法建立所謂 蛛網(wǎng)模型 對上述現(xiàn)象進行分析 討論市場經(jīng)濟趨于穩(wěn)定的條件 用差分方程建模 對結(jié)果進行解釋 并適當推廣 11 蛛網(wǎng)模型記第k時段商品的數(shù)量為xk k 1 2 這里我們把時間離散化為時段 一個時段相當于商品的一個生產(chǎn)周期 如蔬菜 水果可以是1年 肉類則是一個飼養(yǎng)周期 同一時段商品的價格yk取決于數(shù)量xk 設(shè)yk f xk 1 它反映消費者對這種商品的需求關(guān)系 稱為需求函數(shù) 因為商品的數(shù)量越多價格越 12 低 所以在圖8 1中用一條下降曲線f表示它 f為需求曲線 下意識段商品的數(shù)量xk 1由上一時段價格yk決定 設(shè)xk 1 h yk 或yk g xk 1 2 它反映生產(chǎn)者的供應(yīng)關(guān)系 稱供應(yīng)函數(shù) 因為價格越高生產(chǎn)產(chǎn)量才越大 所以在圖中供應(yīng)曲線是一條上升曲線 13 圖中兩個曲線相交于P0 x0 y0 點 P0是平衡點 因為一段對某個k有xk x0 則由 1 2 可知yk y0 xk 1 x0 yk 1 y0 即商品的數(shù)量和價格將永遠保持在p0 x0 y0 點 但在實際生活中的種種干擾使得x y不可能停止在P0點 不妨設(shè)x1偏離x0 如圖8 1 我們分析隨著k的增加xk yk的變化 14 圖8 1需求曲線f和供應(yīng)曲線g p0是穩(wěn)定的平衡點 15 數(shù)量x1給定后 價格y1由曲線f上的P1點決定 下一個時段的x2由曲線g上P2點決定 y2又由f上的P3點決定 這樣得到一些列的點P1 x1 y1 P2 x2 y1 P3 x2 y2 P4 x3 y2 在圖8 1上這些點將按箭頭所示方向趨向于P0 x0 y0 這表明P0是穩(wěn)定平衡點 意味著市場經(jīng)濟 商品的數(shù)量和價格 將趨向穩(wěn)定 但是 如果需求函數(shù)和供應(yīng) 16 函數(shù)由圖8 2的曲線所示 則類似的分析發(fā)現(xiàn) 市場經(jīng)濟將按照P1 P2 P3 P4 的規(guī)律變化而遠離P0 即P0不是穩(wěn)定的平衡點 市場經(jīng)濟趨向不穩(wěn)定 17 圖8 2P0是不穩(wěn)定的平衡點 18 圖8 1和圖8 2中折線P1P2P3P4 形似蛛網(wǎng) 于是 這種需求曲線和供應(yīng)曲線分析市場經(jīng)濟穩(wěn)定性的圖示法在經(jīng)濟學上稱為蛛網(wǎng)模型 實際上 需求曲線f和供應(yīng)曲線g的具體形式通常是根據(jù)各個階段商品數(shù)量和價格的一些列統(tǒng)計資料x1 y1 x2 y2 得到的 一般地說 f取決于消費者對這種商品的需求程度和他們的消費水平 g則與生產(chǎn)者的生產(chǎn)能力 經(jīng)營水平 19 等因素有關(guān) 一旦需求曲線和供應(yīng)曲線被確定下來 如何判斷它們的交點 平衡點P0得穩(wěn)定性呢 從圖8 1和圖8 2不難看出 當市場經(jīng)濟偏離P0點不大 x1 x0 較小 時 P0點得穩(wěn)定取決于f和g在P0的斜率 記f在P0點斜率的絕對值 因為它是下降的 為Kf g在P0點的斜率 20 為Kg 則當Kf Kg 3 時P0是穩(wěn)定點的 圖8 1 而當Kf Kg 4 時P0點是不穩(wěn)定的 圖8 2 由此可見 需求曲線越平 供應(yīng)線越陡 越有利于經(jīng)濟穩(wěn)定 在對這種現(xiàn)象作出 21 解釋之前 我們先利用差分方程將蜘蛛網(wǎng)模型的結(jié)果用公式表示出來 差分方程形式在P0點附近取函數(shù)f和h的線性近似 設(shè) 1 2 式分別近似為yk y0 xk x0 0 5 xk 1 x0 yk y0 0 6 22 消去yk 5 6 可合并為xk 1 kxk 1 k x0 k 1 2 7 7 是一階線性差分方程 對k遞推不難得到xk 1 kx1 1 8 23 由此可得 當k 時xk x0 使得P0穩(wěn)定的條件是 1或 1而k 時 xk 即P0點不是穩(wěn)定點的條件是 1或 1注意到 5 6 式中 的定義 有Kf kg 所以條件 24 9 10 與蛛網(wǎng)模型的 3 4 式是一致的 模型解釋首先考察 得含義 需求函數(shù)f的斜率 取絕對值 表示商品供應(yīng)量減少1個單位時價格的上漲幅度 供應(yīng)函數(shù)h的斜率 表示價格上漲1個單位時 下一時期 商品供應(yīng)的增加量 所以 的數(shù)值反映消費者對商品需求的敏感度 如果這 25 這種商品時生活必需品 消費者處于持幣待購狀態(tài) 商品量少缺 人們立即蜂擁購買 那么 會比較大 反之 若這種商品非必需品 消費者購買心理穩(wěn)定 或者消費水平低下 則 值小 的數(shù)值反映生產(chǎn)經(jīng)營者對商品價格的敏感度 如果他們目光短淺 熱衷于追逐于一時的高利潤 價格稍有 26 上漲立即大量增加生產(chǎn) 那么 值會比較大 反之 若他們素質(zhì)較高 有長遠的計劃 則 較小 根據(jù) 的意義很容易對商場經(jīng)濟穩(wěn)定與否的條件 9 10 做出解釋 當供應(yīng)函數(shù)g 即 固定式 越小 需求曲線越平 表明消費者對商品需求的敏感程度越小 使 9 式成立 越利于經(jīng)濟穩(wěn)定 當需求函數(shù)f 27 即 固定時 越小 供應(yīng)曲線越陡 表明生產(chǎn)者對價格的敏感程度越小 使 9 式成立 越利于經(jīng)濟穩(wěn)定 反之 當 較大 表明消費者對商品的需求和生產(chǎn)者對商品的價格都很敏感 則會導致經(jīng)濟不穩(wěn)定 從上述分析還可以看到 當市場經(jīng)濟趨向不穩(wěn)定時政府有兩種干預(yù)辦法 一種辦法是使 盡量小 極端情 28 情況是 0 即需求曲線水平 這時不論供應(yīng)曲線如何 即不論 多大 總是穩(wěn)定的 這相當于政府控制物價 無論商品數(shù)量多少 命令價格不得改變 另外一種辦法是使 盡量小 極端情況 0 即供應(yīng)曲線豎直 于是不論需求曲線如何變化 即不管 多大 也總是穩(wěn)定的 這相當于控 29 制市場上商品數(shù)量 當供應(yīng)少于需求時 政府從外地購買或調(diào)撥 投入市場 當供過于求時 政府收購過剩部分 維持商品上市不變 模型的推廣如果生產(chǎn)者的管理水平更高一些 他們在決定商品生產(chǎn)數(shù)量xk 1時 不是僅根據(jù)前一時期的價格yk 而是更具前兩個時期的價格yk和yk 1 為了簡單起見不妨設(shè)取二者的平均值 yk yk 1 2 30 于是供應(yīng)函數(shù) 2 式表示為 11 在P0點附近取線性近似時 6 式表示為 12 31 含義不變 又設(shè)需求函數(shù)仍為 1 5 式表示 則由 5 12 式得到 13 13