高中數(shù)學 4.2參數(shù)方程配套課件 北師大版選修4.ppt

第二節(jié)參數(shù)方程 三年21考高考指數(shù) 1 了解參數(shù)方程 了解參數(shù)的意義 2 能選擇適當?shù)膮?shù)寫出直線 圓和橢圓的參數(shù)方程 1 直線 圓和橢圓的參數(shù)方程是高考考查的重點 ?？疾槔脜?shù)方程解決最大值 最小值問題 2 高考多以填空題的形式考查 1 參數(shù)方程參數(shù)方程的概念一般地 在取定的坐標系中 如果曲線上任意一點的坐標 x y 都是某個變數(shù)t的函數(shù) 并且對于t取的每一個允許值 由這個方程組所確定的點p x y 都在這條曲線上 那么這個方程組就叫作這條曲線的參數(shù)方程 聯(lián)系x y之間關系的變數(shù)t叫作 簡稱 參變數(shù) 參數(shù) 相對于參數(shù)方程 我們把直接用坐標 x y 表示的曲線方程f x y 0叫作曲線的普通方程 即時應用 判斷下列命題是否正確 請在括號中填寫 或 1 方程x2 y2 a2 a 0 方程是參數(shù)方程 2 參數(shù)方程與含參方程一樣 解析 方程x2 y2 a2 a 0 表示圓心在原點的圓系 方程表示共漸近線的雙曲線系 曲線的參數(shù)方程 t為參數(shù) t r 表示一條確定的曲線 含有參數(shù)的方程表示具有某一共同屬性的曲線系 兩者是有區(qū)別的 所以 1 2 均錯 答案 1 2 2 直線 圓錐曲線的普通方程和參數(shù)方程 直線 圓 x a 2 y b 2 r2 y y0 tan x x0 點斜式 t為參數(shù) 為參數(shù) 橢圓 雙曲線 為參數(shù) 為參數(shù) a b 0 a 0 b 0 t為參數(shù) p 0 拋物線 y2 2px p 0 即時應用 判斷下列命題是否正確 請在括號中填寫 或 1 若經(jīng)過點p0 x0 y0 傾斜角是 的直線l的參數(shù)方程為 t為參數(shù) 則直線的斜率為tan 2 若圓的參數(shù)方程為 為參數(shù) 則圓心為 2 1 半徑為3 解析 1 經(jīng)過點p0 x0 y0 傾斜角是 的直線l的參數(shù)方程為即 t為參數(shù) t r 當傾斜角時 直線的斜率 當傾斜角時 直線的參數(shù)方程為直線的斜率不存在 所以 1 不正確 2 將圓的參數(shù)方程 為參數(shù) 化為普通方程為 x 2 2 y 1 2 9 所以圓心為 2 1 半徑為3 所以 2 正確 答案 1 2 3 普通方程與參數(shù)方程普通方程用 直接表示點的坐標之間的關系 參數(shù)方程是借助于 間接地反映點的坐標之間的關系 代數(shù)式 參數(shù) 即時應用 1 參數(shù)方程 為參數(shù) 且滿足0 的普通方程為 2 參數(shù)方程 為參數(shù) 且滿足 的普通方程為 解析 1 參數(shù)方程 為參數(shù) 且滿足0 的普通方程為x2 y2 1 0 y 1 表示上半圓 2 參數(shù)方程 為參數(shù) 且滿足 的普通方程為x2 y2 1 0 x 1 表示右半圓 答案 1 x2 y2 1 0 y 1 2 x2 y2 1 0 x 1 參數(shù)方程化為普通方程 方法點睛 參數(shù)方程與普通方程互化的方法及注意事項 1 把參數(shù)方程化為普通方程 需要根據(jù)其結構特征 選取適當?shù)南麉⒎椒?常見的消參方法有 代入消參法 加減消參法 平方和 差 消參法 乘法消參法等 2 把曲線c的普通方程f x y 0化為參數(shù)方程的關鍵 一是適當選取參數(shù) 二是確保互化前后方程的等價性 例1 1 若直線l y x b與曲線 為參數(shù) 且 有公共點 則實數(shù)b的取值范圍是 2 若直線l t為參數(shù) 與曲線 為參數(shù) 且0 有兩個不同的交點 則實數(shù)b的取值范圍是 解題指南 本題中參數(shù)方程表示圓的一部分 所以可以通過數(shù)形結合法解答 規(guī)范解答 1 曲線 為參數(shù) 且表示圓心在原點 半徑為1的右半圓 如圖 直線l y x b與曲線有公共點 直線l應介于兩直線l1 l2之間 當直線y x b經(jīng)過點 0 1 時 b 1 當直線y x b與半圓相切時 解得所以要使直線y x b與半圓有公共點 必有答案 2 直線l t為參數(shù) 的普通方程為y x b 曲線 為參數(shù) 且0 表示以原點為圓心 1為半徑的上半圓 如圖 直線y x b與曲線有兩個不同的交點 直線l應介于兩直線l1 l2之間 當直線y x b經(jīng)過點 0 1 時 b 1 當直線y x b與半圓相切時 解得所以要使直線y x b與半圓有兩個不同的交點 必有答案 互動探究 1 若把本例 1 中的 有公共點 改為 有兩個不同的交點 則實數(shù)b的取值范圍是 解析 由本例 1 可知 當直線y x b經(jīng)過點 0 1 時 b 1 當直線y x b與半圓相切時 解得所以要使直線y x b與半圓有兩個不同的交點 必有答案 反思 感悟 化參數(shù)方程為普通方程 關鍵是消去參數(shù) 建立關于x y的二元方程f x y 0 常用的消參數(shù)公式有 變式備選 2012 深圳模擬 參數(shù)方程 m是參數(shù) 表示的曲線的普通方程是 解析 由題意 得又故曲線的普通方程為x2 y2 1 y 1 答案 x2 y2 1 y 1 圓的參數(shù)方程 方法點睛 將圓的普通方程化為參數(shù)方程 1 圓x2 y2 r2的參數(shù)方程為 為參數(shù) 2 圓 x a 2 y b 2 r2的參數(shù)方程為 為參數(shù) 提醒 1 參數(shù) 的幾何意義是om與x軸正方向的夾角 m為圓上的點 2 隨著選取的參數(shù)不同 參數(shù)方程的形式也有不同 但表示的曲線是相同的 3 在建立曲線的參數(shù)方程時 要注明參數(shù)及參數(shù)的取值范圍 例2 已知x y滿足x2 y 1 2 1 則 1 3x 4y的最大值為 最小值為 2 x 3 2 y 3 2的取值范圍是 解題指南 設圓的參數(shù)方程 將問題轉化為三角函數(shù)的問題解決 規(guī)范解答 由圓的普通方程x2 y 1 2 1得圓的參數(shù)方程為 為參數(shù) 1 3x 4y 3cos 4sin 4 4 5sin 其中tan 且 的終邊過點 4 3 5 5sin 5 1 4 5sin 9 3x 4y的最大值為9 最小值為 1 答案 9 1 2 x 3 2 y 3 2 cos 3 2 sin 4 2 26 8sin 6cos 26 10sin 其中tan 且 的終邊過點 4 3 10 10sin 10 16 26 10sin 36 x 3 2 y 3 2的取值范圍是 16 36 答案 16 36 互動探究 若本例條件不變 則的取值范圍是 解析 方法一 由于 為參數(shù) sin kcos k 3 即其中tan k 且 的終邊過點 1 k 依題意 得解得所以的取值范圍是 方法二 由于所以問題可以看成圓x2 y 1 2 1上的動點p x y 與定點a 1 2 的連線的斜率 斜率存在時 設直線y 2 k x 1 與圓相切 則圓心 0 1 到直線kx y k 2 0的距離為1 即解得 過a 1 2 的直線的斜率不存在時 即x 1 與圓相切 結合圖形 得的取值范圍是答案 反思 感悟 1 解決與圓有關的最大值和最小值問題 常常設出圓的參數(shù)方程 轉化為求三角函數(shù)的最大值和最小值問題來解決 2 注意運用三角恒等式 輔助角公式求最值 其中且角 的終邊經(jīng)過點 a b 變式備選 如果實數(shù)x y滿足x2 y2 2x y 0 那么x2 y2的最大值為 最小值為 解析 將x2 y2 2x y 0配方 得 x 1 2 y 2 4 它表示圓心為 1 半徑為2的圓 所以圓的參數(shù)方程為 為參數(shù) 0 2 x2 y2 1 2cos 2 2sin 2 4 sin cos 8 8sin 8 當即時 x2 y2 max 16 當即時 x2 y2 min 0 答案 160 極坐標方程和參數(shù)方程的綜合問題 方法點睛 直線的參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義 1 設e表示直線向上的方向的單位向量 如圖 當參數(shù)t 0時 與方向相同 當參數(shù)t 0時 與方向相反 因此 總有 t 所以參數(shù)t為點m0 x0 y0 到直線上點m x y 的有向線段的數(shù)量 即方向 長度 這就是參數(shù)t的幾何意義 2 常用公式 根據(jù)直線的參數(shù)方程中t的幾何意義 有以下結論 設a b是直線上任意兩點 它們對應的參數(shù)分別為ta和tb 則 線段ab的中點所對應的參數(shù)值等于 例3 1 已知曲線c的極坐標方程是 4cos 以極點為平面直角坐標系的原點 極軸為x軸的正半軸 建立平面直角坐標系 直線l的參數(shù)方程是 t為參數(shù) 則直線l與曲線c相交所成的弦的弦長為 2 若經(jīng)過點p 1 2 傾斜角為的直線l與曲線 3相交于a b兩點 則 pa pb pa pb 解題指南 1 將參數(shù)方程化為普通方程 利用直線與圓的位置關系計算弦長 2 求出直線的參數(shù)方程 代入曲線的普通方程 利用直線的參數(shù)方程的幾何意義以及一元二次方程的根與系數(shù)的關系計算 規(guī)范解答 1 由曲線c的極坐標方程 4cos 化為直角坐標方程 得x2 y2 4x 0 即 x 2 2 y2 4 直線l的參數(shù)方程化為普通方程為x y 1 0 曲線c的圓心 2 0 到直線l的距離為所以直線l與曲線c相交所成的弦的弦長為答案 2 直線l的參數(shù)方程為 t為參數(shù) 代入圓的直角坐標方程x2 y2 9 整理 得設點a b對應的參數(shù)分別是t1 t2 則由t1與t2的符號相反 得 pa pb t1 t2 t1 t2 pa pb t1 t2 4 答案 互動探究 若本例 1 條件不變 則直線l與曲線c的相交弦的中點坐標為 解析 將直線方程y x 1代入圓的方程x2 y2 4x 0 整理 得2x2 6x 1 0 設相交弦ab的端點坐標分別為a x1 y1 b x2 y2 則由根與系數(shù)的關系得x1 x2 3 y1 y2 x1 x2 2 1 所以相交弦ab的中點坐標為答案 反思 感悟 利用直線的參數(shù)方程研究直線與圓錐曲線的位置關系以及弦長計算 可以使問題簡便 方法是 把l t為參數(shù) 代入圓錐曲線c f x y 0 消去x y得到關于t的一元二次方程at2 bt c 0 a 0 其中 b2 4ac 當 0時 l與c有兩個公共點 此時方程at2 bt c 0有兩個不同的實數(shù)根t1 t2 把參數(shù)t1 t2代入l的參數(shù)方程 即可求得l與c的兩個交點m1 m2的坐標 進而可求得 m1m2 變式備選 1 2011 陜西高考 直角坐標系xoy中 以原點為極點 x軸的正半軸為極軸建立極坐標系 設點a b分別在曲線和曲線c2 1上 則 ab 的最小值為 解析 曲線c1的普通方程是 x 3 2 y 4 2 1 曲線c2的普通方程是x2 y2 1 由于兩圓的圓心距為兩圓的半徑都為