空間幾何體的表面積和體積公式匯總表.doc

空間幾何體的表面積和體積公式匯總表 1.多面體的面積和體積公式 2.旋轉(zhuǎn)體的面積和體積公式 1、圓柱體: 表面積: 2Rr+2Rh 體積:Rh (R為圓柱體上下底圓半徑,h為圓柱體高) 2、圓錐體: 表面積:R+R(h+R)的平方根 體積:Rh/3 (r為圓錐體低圓半徑,h為其高,3、正方體 a邊長(zhǎng),S6a ,Va4、長(zhǎng)方體 a長(zhǎng) ,b寬 ,c高 S2(ab+ac+bc) Vabc 5、棱柱 S底面積 h高 VSh 6、棱錐 S底面積 h高 VSh/3 7、棱臺(tái) S1和S2上、下底面積 h高 VhS1+S2+(S1S2)1/2/3 8、擬柱體 S1上底面積 ,S2下底面積 ,S0中截面積 h高,Vh(S1+S2+4S0)/6 9、圓柱 r底半徑 ,h高 ,C底面周長(zhǎng) S底底面積 ,S側(cè)側(cè)面積 ,S表表面積 C2r S底r,S側(cè)Ch ,S表Ch+2S底 ,VS底hrh 10、空心圓柱 R外圓半徑 ,r內(nèi)圓半徑 h高 Vh(R2-r2) 11、直圓錐 r底半徑 h高 Vr2h/3 12、圓臺(tái) r上底半徑 ,R下底半徑 ,h高 Vh(RRrr)/3 13、球 r半徑 d直徑 V4/3r3d3/6 14、球缺 h球缺高,r球半徑,a球缺底半徑 Vh(3a+h)/6 h(3r-h)/3 15、球臺(tái) r1和r2球臺(tái)上、下底半徑 h高 Vh3(r1r2)+h/6 16、圓環(huán)體 R環(huán)體半徑 D環(huán)體直徑 r環(huán)體截面半徑 d環(huán)體截面直徑V22Rr 2Dd/4 17、桶狀體 D桶腹直徑 d桶底直徑 h桶高 Vh(2Dd)/12 ,(母線是圓弧形,圓心是桶的中心) Vh(2DDd3d/4)/15 (母線是拋物線形)1.直線在平面內(nèi)的判定(1)利用公理1：一直線上不重合的兩點(diǎn)在平面內(nèi)，則這條直線在平面內(nèi).(2)若兩個(gè)平面互相垂直，則經(jīng)過第一個(gè)平面內(nèi)的一點(diǎn)垂直于第二個(gè)平面的直線在第一個(gè)平面內(nèi)，即若,A，AB，則AB.(3)過一點(diǎn)和一條已知直線垂直的所有直線，都在過此點(diǎn)而垂直于已知直線的平面內(nèi)，即若Aa,ab，A,b，則a.(4)過平面外一點(diǎn)和該平面平行的直線，都在過此點(diǎn)而與該平面平行的平面內(nèi)，即若P，P，Pa,a，則a.(5)如果一條直線與一個(gè)平面平行，那么過這個(gè)平面內(nèi)一點(diǎn)與這條直線平行的直線必在這個(gè)平面內(nèi)，即若a,A，Ab,ba,則b.2.存在性和唯一性定理(1)過直線外一點(diǎn)與這條直線平行的直線有且只有一條；(2)過一點(diǎn)與已知平面垂直的直線有且只有一條；(3)過平面外一點(diǎn)與這個(gè)平面平行的平面有且只有一個(gè)；(4)與兩條異面直線都垂直相交的直線有且只有一條；(5)過一點(diǎn)與已知直線垂直的平面有且只有一個(gè)；(6)過平面的一條斜線且與該平面垂直的平面有且只有一個(gè)；(7)過兩條異面直線中的一條而與另一條平行的平面有且只有一個(gè)；(8)過兩條互相垂直的異面直線中的一條而與另一條垂直的平面有且只有一個(gè).3.射影及有關(guān)性質(zhì)(1)點(diǎn)在平面上的射影自一點(diǎn)向平面引垂線，垂足叫做這點(diǎn)在這個(gè)平面上的射影，點(diǎn)的射影還是點(diǎn).(2)直線在平面上的射影自直線上的兩個(gè)點(diǎn)向平面引垂線，過兩垂足的直線叫做直線在這平面上的射影.和射影面垂直的直線的射影是一個(gè)點(diǎn)；不與射影面垂直的直線的射影是一條直線.(3)圖形在平面上的射影一個(gè)平面圖形上所有的點(diǎn)在一個(gè)平面上的射影的集合叫做這個(gè)平面圖形在該平面上的射影.當(dāng)圖形所在平面與射影面垂直時(shí)，射影是一條線段；當(dāng)圖形所在平面不與射影面垂直時(shí)，射影仍是一個(gè)圖形.(4)射影的有關(guān)性質(zhì)從平面外一點(diǎn)向這個(gè)平面所引的垂線段和斜線段中：(i)射影相等的兩條斜線段相等，射影較長(zhǎng)的斜線段也較長(zhǎng)；(ii)相等的斜線段的射影相等，較長(zhǎng)的斜線段的射影也較長(zhǎng)；(iii)垂線段比任何一條斜線段都短.4.空間中的各種角等角定理及其推論定理若一個(gè)角的兩邊和另一個(gè)角的兩邊分別平行，并且方向相同，則這兩個(gè)角相等.推論若兩條相交直線和另兩條相交直線分別平行，則這兩組直線所成的銳角(或直角)相等.異面直線所成的角(1)定義：a、b是兩條異面直線，經(jīng)過空間任意一點(diǎn)O，分別引直線aa,bb,則a和b所成的銳角(或直角)叫做異面直線a和b所成的角.(2)取值范圍：090.(3)求解方法根據(jù)定義，通過平移，找到異面直線所成的角；解含有的三角形，求出角的大小.5.直線和平面所成的角(1)定義和平面所成的角有三種：(i)垂線 面所成的角 的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角，叫做這條直線和這個(gè)平面所成的角.(ii)垂線與平面所成的角 直線垂直于平面，則它們所成的角是直角.(iii)一條直線和平面平行，或在平面內(nèi)，則它們所成的角是0的角.(2)取值范圍090(3)求解方法作出斜線在平面上的射影，找到斜線與平面所成的角.解含的三角形，求出其大小.最小角定理斜線和平面所成的角，是這條斜線和平面內(nèi)經(jīng)過斜足的直線所成的一切角中最小的角，亦可說，斜線和平面所成的角不大于斜線與平面內(nèi)任何直線所成的角.6.二面角及二面角的平面角(1)半平面 直線把平面分成兩個(gè)部分，每一部分都叫做半平面.(2)二面角 條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角.這條直線叫做二面角的棱，這兩個(gè)平面叫做二面角的面，即二面角由半平面一棱一半平面組成.若兩個(gè)平面相交，則以兩個(gè)平面的交線為棱形成四個(gè)二面角.二面角的大小用它的平面角來度量，通常認(rèn)為二面角的平面角的取值范圍是0180(3)二面角的平面角以二面角棱上任意一點(diǎn)為端點(diǎn)，分別在兩個(gè)面內(nèi)作垂直于棱的射線，這兩條射線所組成的角叫做二面角的平面角.如圖，PCD是二面角-AB-的平面角.平面角PCD的大小與頂點(diǎn)C在棱AB上的位置無關(guān).二面角的平面角具有下列性質(zhì)：(i)二面角的棱垂直于它的平面角所在的平面，即AB平面PCD.(ii)從二面角的平面角的一邊上任意一點(diǎn)(異于角的頂點(diǎn))作另一面的垂線，垂足必在平面角的另一邊(或其反向延長(zhǎng)線)上.(iii)二面角的平面角所在的平面與二面角的兩個(gè)面都垂直，即平面PCD，平面PCD.找(或作)二面角的平面角的主要方法.(i)定義法(ii)垂面法(iii)三垂線法()根據(jù)特殊圖形的性質(zhì)(4)求二面角大小的常見方法先找(或作)出二面角的平面角，再通過解三角形求得的值.利用面積射影定理S=Scos其中S為二面角一個(gè)面內(nèi)平面圖形的面積，S是這個(gè)平面圖形在另一個(gè)面上的射影圖形的面積，為二面角的大小.利用異面直線上兩點(diǎn)間的距離公式求二面角的大小.7.空間的各種距離點(diǎn)到平面的距離(1)定義 面外一點(diǎn)引一個(gè)平面的垂線，這個(gè)點(diǎn)和垂足間的距離叫做這個(gè)點(diǎn)到這個(gè)平面的距離.(2)求點(diǎn)面距離常用的方法：1)直接利用定義求找到(或作出)表示距離的線段；抓住線段(所求距離)所在三角形解之.2)利用兩平面互相垂直的性質(zhì).即如果已知點(diǎn)在已知平面的垂面上，則已知點(diǎn)到兩平面交線的距離就是所求的點(diǎn)面距離.3)體積法其步驟是：在平面內(nèi)選取適當(dāng)三點(diǎn)，和已知點(diǎn)構(gòu)成三棱錐；求出此三棱錐的體積V和所取三點(diǎn)構(gòu)成三角形的面積S；由V=Sh，求出h即為所求.這種方法的優(yōu)點(diǎn)是不必作出垂線即可求點(diǎn)面距離.難點(diǎn)在于如何構(gòu)造合適的三棱錐以便于計(jì)算.4)轉(zhuǎn)化法將點(diǎn)到平面的距離轉(zhuǎn)化為(平行)直線與平面的距離來求.8.直線和平面的距離(1)定義一條直線和一個(gè)平面平行，這條直線上任意一點(diǎn)到平面的距離，叫做這條直線和平面的距離.(2)求線面距離常用的方法直接利用定義求證(或連或作)某線段為距離，然后通過解三角形計(jì)算之.將線面距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)面距離，然后運(yùn)用解三角形或體積法求解之.作輔助垂直平面，把求線面距離轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)線距離.9.平行平面的距離(1)定義 個(gè)平行平面同時(shí)垂直的直線，叫做這兩個(gè)平行平面的公垂線.公垂線夾在兩個(gè)平行平面間的部分，叫做這兩個(gè)平行平面的公垂線段.兩個(gè)平行平面的公垂線段的長(zhǎng)度叫做這兩個(gè)平行平面的距離.(2)求平行平面距離常用的方法直接利用定義求證(或連或作)某線段為距離，然后通過解三角形計(jì)算之.把面面平行距離轉(zhuǎn)化為線面平行距離，再轉(zhuǎn)化為線線平行距離，最后轉(zhuǎn)化為點(diǎn)線(面)距離，通過解三角形或體積法求解之.10.異面直線的距離(1)定義 條異面直線都垂直相交的直線叫做兩條異面直線的公垂線.兩條異面直線的公垂線在這兩條異面直線間的線段的長(zhǎng)度，叫做兩條異面直線的距離.任何兩條確定的異面直線都存在唯一的公垂線段.(2)求兩條異面直線的距離常用的方法定義法 題目所給的條件，找出(或作出)兩條異面直線的公垂線段，再根據(jù)有關(guān)定理、性質(zhì)求出公垂線段的長(zhǎng).此法一般多用于兩異面直線互相垂直的情形.轉(zhuǎn)化法 為以下兩種形式：線面距離面面距離等體積法最值法射影法公式法 公理1：如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi),那么這條直線上的所有的點(diǎn)都在這個(gè)平面內(nèi). 公理2：如果兩個(gè)平面有一個(gè)公共點(diǎn),那么它們有且只有一條通過這個(gè)點(diǎn)的公共直線. 公理3： 過不在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn),有且只有一個(gè)平面. 推論1: 經(jīng)過一條直線和這條直線外一點(diǎn),有且只有一個(gè)平面. 推論2：經(jīng)過兩條相交直線,有且只有一個(gè)平面. 推論3：經(jīng)過兩條平行直線,有且只有一個(gè)平面. 公理4 ：平行于同一條直線的兩條直線互相平行. 等角定理：如果一個(gè)角的兩邊和另一個(gè)角的兩邊分別平行并且方向相同,那么這兩個(gè)角相等. 空間兩直線的位置關(guān)系：空間兩條直線只有三種位置關(guān)系：平行、相交、異面 1、按是否共面可分為兩類： （1）共面： 平行、 相交 （2）異面： 異面直線的定義：不同在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線或既不平行也不相交. 異面直線判定定理：用平面內(nèi)一點(diǎn)與平面外一點(diǎn)的直線,與平面內(nèi)不經(jīng)過該點(diǎn)的直線是異面直線. 兩異面直線所成的角：范圍為 ( 0,90 ) esp.空間向量法 兩異面直線間距離: 公垂線段(有且只有一條) esp.空間向量法 2、若從有無公共點(diǎn)的角度看可分為兩類： （1）有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)相交直線；（2）沒有公共點(diǎn) 平行或異面 直線和平面的位置關(guān)系： 直線和平面只有三種位置關(guān)系：在平面內(nèi)、與平面相交、與平面平行 直線在平面內(nèi)有無數(shù)個(gè)公共點(diǎn) 直線和平面相交有且只有一個(gè)公共點(diǎn) 直線與平面所成的角：平面的一條斜線和它在這個(gè)平面內(nèi)的射影所成的銳角. esp.空間向量法(找平面的法向量) 規(guī)定：a、直線與平面垂直時(shí),所成的角為直角,b、直線與平面平行或在平面內(nèi),所成的角為0角 由此得直線和平面所成角的取值范圍為 0,90 最小角定理: 斜線與平面所成的角是斜線與該平面內(nèi)任一條直線所成角中的最小角 三垂線定理及逆定理: 如果平面內(nèi)的一條直線,與這個(gè)平面的一條斜線的射影垂直,那么它也與這條斜線垂直 esp.直線和平面垂直 直線和平面垂直的定義：如果一條直線a和一個(gè)平面 內(nèi)的任意一條直線都垂直,我們就說直線a和平面 互相垂直.直線a叫做平面 的垂線,平面 叫做直線a的垂面. 直線與平面垂直的判定定理：如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直,那么這條直線垂直于這個(gè)平面. 直線與平面垂直的性質(zhì)定理：如果兩條直線同垂直于一個(gè)平面,那么這兩條直線平行. 直線和平面平行沒有公共點(diǎn) 直線和平面平行的定義：如果一條直線和一個(gè)平面沒有公共點(diǎn),那么我們就說這條直線和這個(gè)平面平行. 直線和平面平行的判定定理：如果平面外一條直線和這個(gè)平面內(nèi)的一條直線平行,那么這條直線和這個(gè)平面平行. 直線和平面平行的性質(zhì)定理：如果一條直線和一個(gè)平面平行,經(jīng)過這條直線的平面和這個(gè)平面相交,那么這條直線和交線平行. 兩個(gè)平面的位置關(guān)系： （1）兩個(gè)平面互相平行的定義：空間兩平面沒有公共點(diǎn) （2）兩個(gè)平面的位置關(guān)系： 兩個(gè)平面平行-沒有公共點(diǎn)； 兩個(gè)平面相交-有一條公共直線. a、平行 兩個(gè)平面平行的判定定理：如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個(gè)平面,那么這兩個(gè)平面平行. 兩個(gè)平面平行的性質(zhì)定理：如果兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交,那么交線平行. b、相交 二面角 （1） 半平面：平面內(nèi)的一條直線把這個(gè)平面分成兩個(gè)部分,其中每一個(gè)部分叫做半平面. （2） 二面角：從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角.二面角的取值范圍為 0,180 （3） 二面角的棱：這一條直線叫做二面角的棱. （4） 二面角的面：這兩個(gè)半平面叫做二面角的面. （5） 二面角的平面角：以二面角的棱上任意一點(diǎn)為端點(diǎn),在兩個(gè)面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線,這