廣東省高考數(shù)學 6.4基本不等式配套課件 理 新人教A版.ppt

第四節(jié)基本不等式 三年8考高考指數(shù) 1 了解基本不等式的證明過程 2 會用基本不等式解決簡單的最大 小 值問題 1 主要考查應用不等式求最值和不等式的證明 2 對基本不等式的考查多以選擇題和填空題的形式出現(xiàn) 難度為中低檔題 若出現(xiàn)證明題難度也不會太大 1 基本不等式 1 基本不等式成立的條件是 2 等號成立的條件是 當且僅當 時取等號 3 其中稱為正數(shù)a b的 稱為正數(shù)a b的 a 0 b 0 a b 算術平均數(shù) 幾何平均數(shù) 即時應用 判斷下列不等式是否正確 請在括號中填寫 或 1 a2 b2 2ab a b r a b均不為零 解析 1 由 a b 2 0得a2 b2 2ab 0 即a2 b2 2ab 故 1 正確 2 由 1 可知a2 b2 2ab 即a2 b2 2ab 4ab 即 a b 2 4ab 即故 2 正確 3 由故 3 正確 4 若a b異號 如a 1 b 1 則故 4 錯 答案 1 2 3 4 2 利用基本不等式求最值 1 兩個正數(shù)的和為定值時 它們的積有最大值 即若a b為正實數(shù) 且a b m m為定值 則等號當且僅當 時成立 簡記 和定積最大 2 兩個正數(shù)的積為定值時 它們的和有最小值 即若a b為正實數(shù) 且ab p p為定值 則a b 等號當且僅當 時成立 簡記 積定和最小 a b a b 即時應用 1 已知x 3y 2 x y為正實數(shù) 則xy的最大值為 2 函數(shù)的最大值為 3 已知m 0 n 0且mn 81 則m n的最小值為 解析 1 由得故等號當且僅當x 1 y 時取得 2 x 0 當x 0時 f 0 0 當x 0時 當且僅當即x 1時取等號 所以f x 的最大值為 故m n的最小值為18 答案 利用基本不等式求最值 方法點睛 應用基本不等式求最值的常見類型 1 若直接滿足基本不等式條件 則直接應用基本不等式 2 若不直接滿足基本不等式條件 則需要創(chuàng)造條件對式子進行恒等變形 如構造 1 的代換等 3 若可用基本不等式 但等號不成立 則一般是利用函數(shù)單調性求解 提醒 1 應用基本不等式注意不等式的條件 2 若多次應用基本不等式要注意等號需同時成立 例1 1 2012 無錫模擬 若x 3 則的最小值為 2 已知x y為正實數(shù) 且滿足則xy的最大值為 3 已知a b為正實數(shù)且a b 1 則的最小值為 解題指南 1 將原式等價變形構造出應用基本不等式形式可解 2 直接應用基本不等式求解 3 將與中的1用a b代換整理后利用基本不等式可求 規(guī)范解答 1 由x 3得x 3 0 又等號成立的條件是即答案 2 因為x y為正實數(shù) 所以所以即xy 3 當且僅當時等號成立 答案 3 3 a 0 b 0 a b 1 同理等號成立的條件為答案 9 互動探究 若將本例 1 中x 3去掉 而求的取值范圍 又將如何求解 解析 分情況討論 由題意得x 3 1 當x 3時 由例題可知 2 當x0 等號成立的條件是故的取值范圍是 反思 感悟 1 利用基本不等式求最值的關鍵在于湊 和 或 積 為定值 2 使用基本不等式時容易忽視的是不等式成立的條件 變式備選 若正實數(shù)x y滿足2x y 6 xy 則xy的最小值是 解析 令xy t2 t 0 可得注意到t 0 解得故xy的最小值為18 答案 18 基本不等式的實際應用 方法點睛 利用基本不等式求解實際應用題的方法 1 問題的背景是人們關心的社會熱點問題 如 物價 銷售 稅收 原材料 等 題目往往較長 解題時需認真閱讀 從中提煉出有用信息 建立數(shù)學模型 轉化為數(shù)學問題求解 2 當運用基本不等式求最值時 若等號成立的自變量不在定義域內時 就不能使用基本不等式求解 此時可根據(jù)變量的范圍用對應函數(shù)的單調性求解 例2 某造紙廠擬建一座平面圖形為矩形且面積為162平方米的三級污水處理池 池的深度一定 平面圖如圖所示 如果池四周圍墻建造單價為400元 米 中間兩道隔墻建造單價為248元 米 池底建造單價為80元 米2 水池所有墻的厚度忽略不計 1 試設計污水處理池的長和寬 使總造價最低 并求出最低總造價 2 若由于地形限制 該池的長和寬都不能超過16米 試設計污水池的長和寬 使總造價最低 并求出最低總造價 解題指南 1 由題意設出未知量 構造函數(shù)關系式 變形轉化利用基本不等式求得最值 得出結論 2 先由限制條件確定自變量的范圍 然后判斷 1 中函數(shù)的單調性 利用單調性求最值 得出結論 規(guī)范解答 1 設污水處理池的寬為x米 則長為米 則總造價 元 當且僅當即x 10時取等號 當長為16 2米 寬為10米時總造價最低 最低總造價為38880元 2 由限制條件知 設由函數(shù)性質易知g x 在上是增函數(shù) 當時 此時 g x 有最小值 即f x 有最小值1296 12960 38882 元 當長為16米 寬為米時 總造價最低 為38882元 反思 感悟 1 本例 2 中由于條件限制應用基本不等式結果不成立 從而轉化為應用函數(shù)的單調性求解 這也是此部分內容的常規(guī)解法 2 應用基本不等式解實際應用題時定義域是關鍵涉及到等式能否成立 因而在實際解題時要密切注意定義域的取值范圍 變式訓練 某種汽車 購車費用為10萬元 每年的保險費 養(yǎng)路費 汽油費約為0 9萬元 年維修費第一年是0 2萬元 以后逐年遞增0 2萬元 這種汽車使用多少年時 它的年平均費用最少 解析 由于 年維修費第一年是0 2萬元 以后逐年遞增0 2萬元 可知汽車每年維修費構成以0 2萬元為首項 0 2萬元為公差的等差數(shù)列 因此 汽車使用x年時總的維修費用為萬元 設汽車的年平均費用為y萬元 則有當且僅當即x 10時 y取得最小值 答 汽車使用10年時 它的年平均費用最少 基本不等式與其他知識的綜合應用 方法點睛 基本不等式在其他數(shù)學知識中的應用以函數(shù) 方程 立體幾何 解析幾何 數(shù)列等知識為載體考查基本不等式求最值 是本部分中常見題型 且在高考中也時常出現(xiàn) 其解題的關鍵是正確利用條件轉換成能利用基本不等式求解的形式 同時要注意基本不等式的使用條件 例3 1 2012 杭州模擬 設x y r a 1 b 1 若ax by 4且則的最大值為 2 已知函數(shù)f x log2 k x 4 2 1恒過定點p 且點p在直線上 則3a 2b的最小值為 解題指南 1 用a b表示x y代入后 再利用基本不等式可求 2 求得p點坐標代入直線方程 再用 1 的代換轉化為基本不等式求解 規(guī)范解答 1 由ax by 4得x loga4 y logb4 故又故等號當且僅當即x y 4時等號成立 的最大值為答案 2 由函數(shù)f x log2 k x 4 2 1可知 當x 4時 f x 2 即p點坐標為 4 2 又p在直線上 故即當且僅當3a2 4b2 即時等號成立 3a 2b的最小值為答案 互動探究 若本例 2 中函數(shù)改為f x 2k x 1 1 其余條件不變 又將如何求解 解析 由f x 2k x 1 1可知圖象恒過定點p 1 2 依題意 p在直線上 故即等號當且僅當時取得 所以3a 2b的最小值為 反思 感悟 解決與其他知識綜合的基本不等式題目 難點在于如何從已知條件中尋找基本關系 本例 1 中其關鍵是構建x y與a b的關系得到x loga4 y logb4 從而將成功轉化為a b的關系 再利用基本不等式求解 而對本例 2 中其關鍵點是確定圖象過的定點 確定了這一定點后問題便會迎刃而解 變式備選 設x y滿足約束條件若目標函數(shù)z abx y a 0 b 0 的最大值為8 則a b的最小值為 解析 已知x y滿足約束條件其可行域是一個四邊形 四個頂點是易見目標函數(shù)z abx y a 0 b 0 在 1 4 取最大值8 所以8 ab 4 即ab 4 當且僅當a b 2時 等號成立 所以a b的最小值為4 答案 4 易錯誤區(qū) 忽視題目的隱含條件致誤 典例 2011 江蘇高考 在平面直角坐標系xoy中 過坐標原點的一條直線與函數(shù)f x 的圖象交于p q兩點 則線段pq長的最小值是 解題指南 由已知條件可知兩交點必關于原點對稱 從而設出交點代入兩點間距離公式 整理后應用基本不等式求解即可 規(guī)范解答 由題意可知f x 的圖象關于原點對稱 而與過原點的直線相交 則兩交點必關于原點對稱 故可設兩交點分別為與由兩點間距離公式可得等號當且僅當x2 2 即時取得 答案 4 閱卷人點撥 通過高考中的閱卷數(shù)據(jù)分析與總結 我們可以得到以下誤區(qū)警示和備考建議 1 2012 深圳模擬 當x 0時 下列函數(shù)中 最小值為2的是 解析 選d 當x 0時 y x2 2x 4 x 1 2 3 3 最小值為3 此時最小值為8 此時無