導數(shù)的應用.doc

導數(shù)的應用教學目標：1、理解導數(shù)定義，會運用導數(shù)在運動學、幾何學方面的意義解決一些簡單問題；2、了解可導函數(shù)單調(diào)性與其導數(shù)的關系，會運用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值等性質(zhì)； 3、會將一些數(shù)列、三角、不等式、解析幾何等問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題并用導數(shù)解決，提高導數(shù)的應用意識。教學過程：一、函數(shù)在某點處的導數(shù)的定義和意義1、函數(shù)在點處可導存在，記為。2、問題1：半徑為的金屬圓盤受熱膨脹，已知半徑以的速度均勻增大，則當它的半徑等于時，圓盤面積增長的速度是多少？ 分析：函數(shù)在某點處的導數(shù)的意義即該點處函數(shù)值的瞬時變化率。在運動過程中對應瞬時速度，在幾何學中則對應曲線的切線的斜率。解法一：時，半徑等于時，圓盤面積增長的速度是。解法二：令秒后金屬圓盤的半徑為，面積為，則， ，時， ，半徑等于時，圓盤面積增長的速度是。解法三：，而，時，。3、問題2：已知函數(shù)的圖象與軸相切，則。解：時，圖象與軸相切于點，。二、利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性1、問題3：（00高考改編）已知，若在上是單調(diào)函數(shù)，則確定其單調(diào)性并求出的范圍。解法一：任取且；則；時，在上是單調(diào)遞減函數(shù)；而時，但，在上不是單調(diào)函數(shù)；綜上，當且僅當時，在上是單調(diào)遞減函數(shù)。解法二：，當且僅當時，恒成立，在上是單調(diào)遞減函數(shù)；而時，的符號可正可負，不是單調(diào)區(qū)間；綜上，當且僅當時，在上是單調(diào)遞減函數(shù)。注意：本題也可以比較和的圖象得到答案，體會確定函數(shù)單調(diào)性的多種途徑。另外，同學們可再利用導數(shù)討論在上的值域。體會導數(shù)作為一個重要的工具，它給研究函數(shù)帶來的便利。三、導數(shù)的綜合應用1、問題4：數(shù)列滿足，則數(shù)列中第項最大。2、問題5：用導數(shù)證明：（1）若，則。 （2）已知：兩定點A，B相距，求證：過點A、B的圓的劣弧中，半徑越大則弧長越短。分析：一些不等式、數(shù)列、三角、幾何問題可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，再利用導數(shù)來研究相應函數(shù)，進而解決問題。這種做法的關鍵在于合理構(gòu)造函數(shù)。解：（1）設，則，時恒有，因此，在上單調(diào)遞減，時，即；再設（下略）（2）設過點A、B的圓的劣弧所對圓心角為，則半徑，所以弧長，；，時，在上單調(diào)遞增；若過點A、B的兩段圓的劣弧所在圓半徑分別為且，劣弧所對圓心角分別為，由知，因此，過點A、B的圓的劣弧中，半徑越大則弧長越短。回顧：若不以為自變量建立函數(shù)，而以半徑R為自變量，則，難以證明其單調(diào)性，所以，構(gòu)造函數(shù)必須是合理的。四、小結(jié)：1、 解決運動的瞬時速度、加速度問題有助于加深對導數(shù)定義的理解；2、 確定函數(shù)單調(diào)性、單調(diào)區(qū)間的方法有：利用單調(diào)函數(shù)的定義、利用函數(shù)圖象、利用復合函數(shù)的性質(zhì)、利用可導函數(shù)的單調(diào)性與其導數(shù)的關系；確定了單調(diào)性，求函數(shù)值域就比較方便了。3、導數(shù)的綜合應用關鍵在于正確、合理建立函數(shù)關系式。五、課后練習1、 兩輛汽車從A地同時發(fā)車，甲車沿正東方向直線行駛，小時后距A地公里，乙車沿北偏西方向直線行駛，小時后距A地公里，求發(fā)車兩小時后，兩車相離的速度和加速度。2、 向球形氣球每秒充氣，當氣球半徑為時，半徑增長的速度為。3、 已知函數(shù)的圖象與直線相切，則。4、已知函數(shù) ，(1) 若在上是增函數(shù)，求的取值范圍