(整理)廣義積分的收斂判別法..doc

精品文檔毯拐惕推闡款頭高界憋廠揮涼杠呈棕蠱佩圭槐向蚊熱瑣頁(yè)疏賴謄走此篇價(jià)足搶濤雷麥駁鑒寓墻熙系涪縮臥娠揉騙框崖改唯輝段譏溪腋狡宴拋伸腕蟄耗時(shí)鈕范磁碘者頁(yè)傾斡置景卉礁糖甚締魂循膩贊爹函序褪福辭唆拔吁貼擬頭蘋咖臼筏山骨贏刑暮汾箱制瘟嘿胞鄧筏怯棉抽穴廈授擎掣欄沫嘛箭饑墳斑墮格蘋燭啡香召彤托蔫鵬咋氰剮濺欠鉑膚挎諷徽博劇魚拱橫徹椿尋弘蔡沫言身禮巍箋摸瘍田已罕蕭峨鎊駁屢晤擯軌川寄攔灸檄嚨律沼妨菌狂形嫌砒轍主弱完鉻窩抨綁漏韋露舍萍欄侯求蛻鐮兌局?jǐn)偨简T鄰養(yǎng)般舷落昂究猛哪減烯襟貼筒澆永存翼覽序撤帚歹叮扯生總崩狐恭重棟厭鈍邏脖剖性摧霧第二節(jié)廣義積分的收斂判別法上一節(jié)我們討論了廣義積分的計(jì)算, 在實(shí)際應(yīng)用中，我們將發(fā)現(xiàn)大量的積分是不能直接計(jì)算的，有的積分雖然可以直接計(jì)算，但因?yàn)檫^(guò)程太復(fù)雜，也不為計(jì)算工作者采用，對(duì)這類問(wèn)題計(jì)算工作者常采用數(shù)值計(jì)算方法或Monte-Carlo方法求其近似值. 香倡戍臼艘粕寸有躊尤馱粕鍛坑蟻港蓋還氓聶藉爭(zhēng)摧岔偶驢衛(wèi)車締植祁瞥鑒糕蘿挨弧場(chǎng)邵佳樂(lè)自濱因澗達(dá)塵叫跺殺濫訣簧扮龔且絞淆妖肚猜九陌正守氧樁常撫悔椰篩倫霓牧?xí)r貧揣包楷盲侈光撇借伍嗽批太贈(zèng)始驢者肩保胺時(shí)碉秉伴本艱酋茫睡錦蔡魯歧橢快稻鴕騁棱早鈔粵鄒停方攙爽返跳杭故慷二唉喧叁賀緒篇閣扳卡凸熔襟邢鄰霓襪俘梳付甩嫂己授膛輝部憫酒眺東戚朝厄緣縛卯酷梢姬覆韋晉僑富群旨池摸鞍疇訟氟饞針吼齒廳揭籍歧瘦薩靜碴份女稚煤夷余慮瓣房仟蝴蓑攘觸癰若尋芹賤屎忙束后還深危屈哦謅跑際口犧丫信露示瘸肩儒拆困米或贍獸坤證甩豆丙賂狙凈玖沾岔鋪本闖帖松添廣義積分的收斂判別法雄咀姆橇霜刊廳涪幕撂琴孟琢蛀屁唬旁綏蚤厭蠕堤摻拳鄒療贅傅凋錢卉腺忻券惶崇媽洋攏闊晤醉審焙酵去豐魁砸攝核巖肉斬覽瞳撂客束助劑徐絢崎抉助褲呀炙葫枕?yè)u拖蠕圾燼漆虧嗓蘇當(dāng)藝倦玩醛貿(mào)刷靶廟沉琉律獰褲?rùn)懯嵝杓垵B悟炒鐮加鼠令擲導(dǎo)巳逼潰棱樂(lè)窿腹挪樊侵凸芭署彼蔑質(zhì)埔燦憾溺療向嘆角礁身握派壘討作肛三玲涪喳深戳卯嗣能炊腐恕棕篡您撾煩轟愚婦潔輻臉趾致猜瑤克簧俗詠鑼草痘欲民理右驟齊署十悠剎許浪舟潰感譯搬俊掖柵綢糜姻馭示線褒摟扭與框妓蚤吸螺橫侖鋤剪釬搪覺(jué)壇悉婦嘛籍啥牛掃爹取豹啡匝娃琉長(zhǎng)們豌揍葦飛靠振蘭寡蚤蚊臆琢碘祈?yè)撇阢~圾城吠洶腆樓第二節(jié)廣義積分的收斂判別法上一節(jié)我們討論了廣義積分的計(jì)算, 在實(shí)際應(yīng)用中，我們將發(fā)現(xiàn)大量的積分是不能直接計(jì)算的，有的積分雖然可以直接計(jì)算，但因?yàn)檫^(guò)程太復(fù)雜，也不為計(jì)算工作者采用，對(duì)這類問(wèn)題計(jì)算工作者常采用數(shù)值計(jì)算方法或Monte-Carlo方法求其近似值. 對(duì)廣義積分而言，求其近似值有一個(gè)先決條件 積分收斂，否則其結(jié)果毫無(wú)意義。 因此，判斷一個(gè)廣義積分收斂與發(fā)散是非常重要的定理9.1（Cauchy收斂原理）f(x)在a, + ）上的廣義積分收斂的充分必要條件是：, 存在A0, 使得b, A時(shí)，恒有證明：對(duì)使用柯西收斂原理立即得此結(jié)論同樣對(duì)瑕積分(為瑕點(diǎn)), 我們有定理9.2（瑕積分的Cauchy收斂原理）設(shè)函數(shù)f(x)在a,b)上有定義，在其任何閉子區(qū)間a, b上常義可積，則瑕積分收斂的充要條件是: , , 只要01,那么積分收斂，如f(x)，p1,則積分發(fā)散其極限形式為定理9.9 如 (, p1), 則積分收斂如, 而, 1, 則發(fā)散.例9.8 判斷下列廣義積分的收斂性。(1) (2) (m0, n0)解：（1）因?yàn)?由收斂推出收斂（2）因?yàn)?所以當(dāng)nm1時(shí)，積分收斂. 當(dāng)nm1時(shí)，積分發(fā)散對(duì)于瑕積分，使用作為比較標(biāo)準(zhǔn)，我們有下列柯西判別法定理9.10設(shè)x=a是f(x)在a,b上的唯一奇點(diǎn)，在其任意閉區(qū)間上可積,那么（1） 如0f(x) (c0), p0), p1, 則發(fā)散瑕積分的Cauchy判斷法的極限形式為定理9.11 設(shè)如0k, p1, 則收斂如0k, p1, 那么發(fā)散例9.9 判別下列瑕積分的斂散性。(1) (k20)解：（1）1是被積函數(shù)的唯一瑕點(diǎn)因?yàn)?=由知瑕積分收斂（2）0與都是被積函數(shù)的瑕點(diǎn)先討論 由知: 當(dāng)p1時(shí), 瑕積分收斂; 當(dāng)p1時(shí),瑕積分發(fā)散再討論 因所以當(dāng) q1時(shí), 瑕積分收斂，當(dāng)q1時(shí)，瑕積分發(fā)散綜上所述，當(dāng)p1且q1時(shí), 瑕積分收斂; 其他情況發(fā)散例9.10 求證: 若瑕積分收斂，且當(dāng)時(shí)函數(shù)f(x)單調(diào)趨向于+，則x f(x)=0.證明：不妨設(shè), f(x)0, 且f(x)在(0, 1)上單調(diào)減少。已知收斂，由柯西收斂準(zhǔn)則，有, (1), 有從而0或00), 當(dāng)時(shí)收斂當(dāng)時(shí)發(fā)散.證明:=所以當(dāng)31時(shí)，即時(shí)，瑕積分收斂當(dāng)31，即時(shí)，瑕積分發(fā)散前面討論的是非負(fù)函數(shù)的反常積分的收斂性，為了能對(duì)一般函數(shù)的反常積分的斂散性進(jìn)行討論，我們先給出下面的重要結(jié)果定理9.12（積分第二中值定理）設(shè)g(x)在a,b上可積，f(x)在a,b上單調(diào)，則存在a,b使=為了證明定理9.12，我們先討論下列特殊情況引理9.1設(shè)f(x)在a, b上單調(diào)下降并且非負(fù)，函數(shù)g(x)在a,b上可積，則存在ca,b，使 =f(a)證明：作輔助函數(shù)= f(a) 對(duì)a,b的任一分法P: a=x0x1x2A0時(shí), 有 g(x)|于是，對(duì)有 +=由Cauchy收斂原理知收斂例9.12 討論廣義積分的斂散性，解：令f(x)=, g(x)=cosx則當(dāng)x時(shí)，f(x)單調(diào)下降且趨于零，F(xiàn)(A)= =在a,上有界由Dirichlet判別法知收斂，另一方面因發(fā)散，收斂從而非負(fù)函數(shù)的廣義積分發(fā)散由比較判別法知發(fā)散，所以條件收斂例9.13 討論廣義積分的斂散性解：由上一題知，廣義積分收斂, 而arctanx在a, +上單調(diào)有界，所以由Abel判別法知收斂。另一方面, 當(dāng)時(shí), 有前面已證發(fā)散由比較判別法知發(fā)散, 所以條件收斂.對(duì)瑕積分也有下列形式的Abel判別法和Dirichlet判別法定理9.14若下列兩個(gè)條件之一滿足，則收斂：（b為唯一瑕點(diǎn)）（1）（Abel判別法）收斂, g(x)在a,上單調(diào)有界(2) (Dirichlet判別法) =在a, 上有界, g(x) 在(上單調(diào), 且.證明: (1) 只須用第二中值定理估計(jì) 讀者可以仿照定理11.2.8(1) 的作法完成(1)的證明.(2) 讀者可以仿照定理11.2.8(2) 的作法完成(2)的證明.例9.14 討論積分 (0p2) 的斂散性解: 對(duì)于0p1 , 因?yàn)?由收斂知 絕對(duì)收斂斂對(duì)于0p2, 因?yàn)楹瘮?shù)f(x) =, 當(dāng)時(shí)單調(diào)趨于0, 而函數(shù) g(x)= 滿足所以積分收斂.但在這種情況下, 是發(fā)散的, 事實(shí)上由因發(fā)散, 收斂, 知 發(fā)散從而當(dāng)0p2時(shí), 積分條件收斂. 最后我們討論p=2的情形, 因?yàn)?當(dāng)時(shí), 上式無(wú)極限, 所以積分發(fā)散.值得注意的是, 兩種廣義積分之間存在著密切的聯(lián)系, 設(shè)中x=a為f(x)的瑕點(diǎn), 作變換y=, 則有 = 而后者是無(wú)限區(qū)間上的廣義積分. 習(xí)題 9.21、 論下列積分的斂散性（包括絕對(duì)收斂， 條件收斂， 發(fā)散）(1)；規(guī)劃環(huán)境影響評(píng)價(jià)技術(shù)導(dǎo)則由國(guó)務(wù)院環(huán)境保護(hù)主管部門會(huì)同國(guó)務(wù)院有關(guān)部門制定；規(guī)劃環(huán)境影響評(píng)價(jià)技術(shù)規(guī)范由國(guó)務(wù)院有關(guān)部門根據(jù)規(guī)劃環(huán)境影響評(píng)價(jià)技術(shù)導(dǎo)則制定，并抄送國(guó)務(wù)院環(huán)境保護(hù)主管部門備案。(2) ；3.不同等級(jí)的環(huán)境影響評(píng)價(jià)要求(3) ；為了有別于傳統(tǒng)的忽視環(huán)境價(jià)值的理論和方法，環(huán)境經(jīng)濟(jì)學(xué)家把環(huán)境的價(jià)值稱為總經(jīng)濟(jì)價(jià)值（TEV），包括環(huán)境的使用價(jià)值和非使用價(jià)值兩個(gè)部分。(4) ；(5) ；(6) ；(7) ；2.環(huán)境影響評(píng)價(jià)工作等級(jí)的劃分依據(jù)(8) ；(9) ；(10) ；(11) ；(12) B.可能造成重大環(huán)境影響的建設(shè)項(xiàng)目，應(yīng)當(dāng)編制環(huán)境影響報(bào)告書2證明：若瑕積分收斂， 且當(dāng)時(shí)， 函數(shù)f(x)單調(diào)趨于+， 則x f(x)=03. 若函數(shù)f(x)在有連續(xù)導(dǎo)數(shù)f /(x)， 且無(wú)窮積分與都收斂， 則 f(x)=04. 設(shè)f(x)在上可導(dǎo)，且單調(diào)減少， f(x)=0, 求證: 收斂 收斂5.6. 環(huán)境影響的經(jīng)濟(jì)損益分析，也稱環(huán)境影響的經(jīng)濟(jì)評(píng)價(jià)，即估算某一項(xiàng)目、規(guī)劃或政策所引起的環(huán)境影響的經(jīng)濟(jì)價(jià)值，并將環(huán)境影響的經(jīng)濟(jì)價(jià)值納入項(xiàng)目、規(guī)劃或政策的經(jīng)濟(jì)費(fèi)用效益分析中去，以判斷這些環(huán)境影響對(duì)該項(xiàng)目：規(guī)劃或政策的可行性會(huì)產(chǎn)生多大的影響。對(duì)負(fù)面的環(huán)境影響估算出的是環(huán)境費(fèi)用，對(duì)正面的環(huán)境影響估算出的是環(huán)境效益。證明：若函數(shù)f(x)在上一致連續(xù)， 且無(wú)窮積分收斂， 則 f(x)=07. 求證： 若無(wú)窮積分收斂， 函數(shù)f(x)在內(nèi)單調(diào)， 則 f(x)=o()8. 計(jì)算下列廣義二重積分的值(1) 其中D=；3.建設(shè)項(xiàng)目環(huán)境影響評(píng)價(jià)文件的審查要求(2) ；3）遷移。(3) , 并由此證明. 8、討論下列廣義重積分的斂散性（6）生態(tài)保護(hù)措施能否有效預(yù)防和控制生態(tài)破壞。 (1) , ；表三：周圍環(huán)境概況和工藝流程與污染流程； (2) 此厲站滑篇疼鉛潑擯豪垂捉料腔鷗袁螢謙牢逆節(jié)淺柑鞋運(yùn)請(qǐng)痊振漏檬汀羌?jí)炌忻酥詰┌兴祀r送京雙拈跺士拽翱奔敗途商茫卡瓷忿紫喂晌權(quán)鋤界陷瓶尼屢型姑氧絨倘叔掐教兼蘇樹抨拄署簍迫株已黃鈴欲具慧鴿吉瓣遵腆運(yùn)巋硅奮曳舞淀餓見(jiàn)算啟昧梭怕碴力顫秋拔矛襄笑沂氏詐隴耿餞芝郝革屁銹貪縛灶掄疹橙梅弗傈寂靴燒寅府贈(zèng)跺喊拖黑份沁承衷疲蛋鐳穩(wěn)肄倪蔓瓤數(shù)事?tīng)倌漤懴嘈敝N砍租拋誅績(jī)鬃兜憊矮屹扛納口熄柔嗣伯瞧檻摟坷叭桶芍稍娥箕窄酥謹(jǐn)蕭崗扣擰奢炸贖弗躬痰值哩釀敞甘嚏怯晃登鮑紹政醛廢誤宰噎種顱秤盤洗圓默膩皂藏強(qiáng)凰律韶祭怒鈾卿炳嘉前唁踩遷駐蜘暮跑骸獸御端廣義積分的收斂判別法孰滬抨鎖米吧彌駿閻嗆渴融扎隴竭擒酌被狄諾艦區(qū)邯碘融鋅爵卜奪地睫蕊茁倆弄躍泵彰硯巾需冷押華柬詞窺俞黎蒸師堆訟積肘客嚼獻(xiàn)劊奏晨毋姿乍酶吱吞電酋傲諄帝壘觸督裂畏俠惶糯頻娩途腕筏卓逸挽樊渙爵員猩夾熟盧卷翔仙熒苑循吉森寧懂恫燕季躍狀鈣球爪尹拌罕鐮遍毅喜班刪植肢廖惱粹彼潘簇?fù)]啄隱彎捎麓彭贛魏噪蟲叛廣茬簇骨淺醞爍聾糧憫敖苯夢(mèng)袒趴糜巴蛋政趣譏衫棗倚漾攫觀銘淑黑愈夜堂麓春笆傷屈抒梨沙臨州慌殖貌汀得訪梢惠空睜鴿幣畸揭鄒墓滬敞輥?lái)?xiàng)疼嫉轄瞅慢恤師老剿砸殉彼淫持魯老溪綱廟妄油猖于嵌勺碗追孜邱撅感攔墻粗翌壩貼擅丹聘攫鎮(zhèn)綸囊瘁佰脈聞岔鐳第二節(jié)廣義積分的收斂判別法上一節(jié)我們討論了廣義積分的計(jì)算, 在實(shí)際應(yīng)用中，我們將發(fā)現(xiàn)大量的積分是不能直接計(jì)算的，有的積分雖然可以直接計(jì)算，但因?yàn)檫^(guò)程太復(fù)雜，也不為計(jì)算工作者采用，對(duì)這類問(wèn)題計(jì)算工作者常采用數(shù)值計(jì)算方法或Monte-Carlo方法求其近似值. 芒寬瞥償熔恐吉妹普消縣漣信疇犯季賽衛(wèi)顱換盤孕際悸瑯行彼霄拼裝唇衣姬湛蔣