數(shù)列高考題匯編.doc

精品文檔 1歡迎下載 高考數(shù)學經(jīng)典試題分類匯編高考數(shù)學經(jīng)典試題分類匯編 數(shù)列數(shù)列 一 選擇題 1 2009 福建卷理 等差數(shù)列 n a的前 n 項和為 n S 且 3 S 6 1 a 4 則公差 d 等于 A 1 B 5 3 C 2 D 3 答案 C 解析 313 3 6 2 Saa 且 311 2 4 d 2aad a 故選 C 2 2009 年廣東卷文 已知等比數(shù)列 n a的公比為正數(shù) 且 3 a 9 a 2 2 5 a 2 a 1 則 1 a A 2 1 B 2 2 C 2 D 2 答案 B 解析 設(shè)公比為q 由已知得 2 284 111 2a qa qa q 即 2 2q 又因為等比數(shù)列 n a的 公比為正數(shù) 所以2q 故 2 1 12 22 a a q 選 B 3 2009 廣東卷 理 已知等比數(shù)列 n a滿足0 1 2 n an 且 2 525 2 3 n n aan 則當1n 時 2123221 logloglog n aaa A 21 nn B 2 1 n C 2 n D 2 1 n 解析 由 2 525 2 3 n n aan 得 n n a 22 2 0 n a 則 n n a2 3212 loglogaa 2 122 12 31lognna n 選 C 4 2009 安徽卷文 已知為等差數(shù)列 則 等于 精品文檔 2歡迎下載 A 1 B 1 C 3 D 7 解析 135 105aaa 即 3 3105a 3 35a 同理可得 4 33a 公差 43 2daa 204 204 1aad 選 B 答案 B 5 2009 江西卷文 公差不為零的等差數(shù)列 n a的前n項和為 n S 若 4 a是 37 aa與的等比 中項 8 32S 則 10 S等于 A 18 B 24 C 60 D 90 答案 C 解析 由 2 437 aa a 得 2 111 3 2 6 adad ad 得 1 230ad 再由 81 56 832 2 Sad 得 1 278ad 則 1 2 3da 所以 101 90 1060 2 Sad 故選 C 6 2009 湖南卷文 設(shè) n S是等差數(shù)列 n a的前 n 項和 已知 2 3a 6 11a 則 7 S等 于 C A 13 B 35 C 49 D 63 解 1726 7 7 7 7 3 11 49 222 aaaa S 故選 C 或由 211 61 31 5112 aada aadd 7 1 6 213 a 所以 17 7 7 7 1 13 49 22 aa S 故選 C 7 2009 遼寧卷文 已知 n a為等差數(shù)列 且 7 a 2 4 a 1 3 a 0 則公差 d A 2 B 1 2 C 1 2 D 2 解析 a7 2a4 a3 4d 2 a3 d 2d 1 d 1 2 答案 B 精品文檔 3歡迎下載 8 2009 遼寧卷理 設(shè)等比數(shù)列 n a 的前 n 項和為 n S 若 6 3 S S 3 則 6 9 S S A 2 B 7 3 C 8 3 D 3 解析 設(shè)公比為 q 則 3 63 33 1 Sq S SS 1 q3 3 q3 2 于是 6 36 9 3 11247 1123 Sqq Sq 答案 B 9 2009 寧夏海南卷理 等比數(shù)列 n a的前 n 項和為 n s 且 4 1 a 2 2 a 3 a成等差數(shù)列 若 1 a 1 則 4 s A 7 B 8 3 15 4 16 解析 4 1 a 2 2 a 3 a成等差數(shù)列 22 1321114 44 44 440 215aaaaa qa qqqq 即 S 選 C 10 2009 四川卷文 等差數(shù)列 n a 的公差不為零 首項 1 a 1 2 a是 1 a和 5 a的等比 中項 則數(shù)列的前 10 項之和是 A 90 B 100 C 145 D 190 答案答案 B B 解析解析 設(shè)公差為d 則 41 1 1 2 dd d 0 解得d 2 10 S 100 11 2009 湖北卷文 設(shè) Rx 記不超過x的最大整數(shù)為 x 令 x x x 則 2 15 2 15 2 15 A 是等差數(shù)列但不是等比數(shù)列 B 是等比數(shù)列但不是等差數(shù)列 C 既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列 D 既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列 答案 B 精品文檔 4歡迎下載 解析 可分別求得 5151 22 51 1 2 則等比數(shù)列性質(zhì)易得三者構(gòu)成等 比數(shù)列 12 2009 湖北卷文 古希臘人常用小石子在沙灘上擺成各種性狀來研究數(shù) 例如 他們研究過圖 1 中的 1 3 6 10 由于這些數(shù)能夠表示成三角形 將其稱為三角形 數(shù) 類似地 稱圖 2 中的 1 4 9 16 這樣的數(shù)成為正方形數(shù) 下列數(shù)中及時三角形數(shù)又 是正方形數(shù)的是 A 289 B 1024 C 1225 D 1378 答案 C 解析 由圖形可得三角形數(shù)構(gòu)成的數(shù)列通項 1 2 n n an 同理可得正方形數(shù)構(gòu)成的 數(shù)列通項 2 n bn 則由 2 n bn nN 可排除 A D 又由 1 2 n n an 知 n a必為奇 數(shù) 故選 C 13 2009 寧夏海南卷文 等差數(shù)列 n a的前 n 項和為 n S 已知 2 11 0 mmm aaa 21 38 m S 則m A 38 B 20 C 10 D 9 答案 C 解析 因為 n a是等差數(shù)列 所以 11 2 mmm aaa 由 2 11 0 mmm aaa 得 2 m a 2 m a 0 所以 m a 2 又 21 38 m S 即 2 12 121 m aam 38 即 精品文檔 5歡迎下載 2m 1 2 38 解得 m 10 故選 C 14 2009 重慶卷文 設(shè) n a是公差不為 0 的等差數(shù)列 1 2a 且 136 a a a成等比數(shù)列 則 n a的前n項和 n S A 2 7 44 nn B 2 5 33 nn C 2 3 24 nn D 2 nn 答案 A 解析設(shè)數(shù)列 n a的公差為d 則根據(jù)題意得 22 22 25 dd 解得 1 2 d 或 0d 舍去 所以數(shù)列 n a的前n項和 2 1 17 2 2244 n n nnn Sn 15 2009 安徽卷理 已知 n a為等差數(shù)列 1 a 3 a 5 a 105 246 aaa 99 以 n S表 示 n a的前n項和 則使得 n S達到最大值的n是 A 21 B 20 C 19 D 18 解析 由 1 a 3 a 5 a 105 得 3 3105 a 即 3 35a 由 246 aaa 99 得 4 399a 即 4 33a 2d 4 4 2 41 2 n aann 由 1 0 0 n n a a 得20n 選 B 16 2009 江西卷理 數(shù)列 n a的通項 222 cossin 33 n nn an 其前n項和為 n S 則 30 S為 A 470 B 490 C 495 D 510 答案 A 解析 由于 22 cossin 33 nn 以 3 為周期 故 222222 222 30 12452829 3 6 30 222 S 22 1010 2 11 32 31 59 10 11 3 9 25470 222 kk kk kk 故選 A 17 2009 四川卷文 等差數(shù)列 n a 的公差不為零 首項 1 a 1 2 a是 1 a和 5 a的等比 中項 則數(shù)列的前 10 項之和是 A 90 B 100 C 145 D 190 答案答案 B B 解析解析 設(shè)公差為d 則 41 1 1 2 dd d 0 解得d 2 10 S 100 精品文檔 6歡迎下載 二 填空題 1 2009 全國卷 理 設(shè)等差數(shù)列 n a的前n項和為 n S 若 9 72S 則 249 aaa 解 n a 是等差數(shù)列 由 9 72S 得 59 9 Sa 5 8a 2492945645 324aaaaaaaaaa 2 2009 浙江理 設(shè)等比數(shù)列 n a的公比 1 2 q 前n項和為 n S 則 4 4 S a 答案 15 解析 對于 44 3 14 441 3 4 1 1 15 1 1 aqsq saa q qaqq 3 2009 浙江文 設(shè)等比數(shù)列 n a的公比 1 2 q 前n項和為 n S 則 4 4 S a 命題意圖 此題主要考查了數(shù)列中的等比數(shù)列的通項和求和公式 通過對數(shù)列知識點的 考查充分體現(xiàn)了通項公式和前n項和的知識聯(lián)系 解析 對于 44 3 14 441 3 4 1 1 15 1 1 aqsq saa q qaqq 4 2009 浙江文 設(shè)等差數(shù)列 n a的前n項和為 n S 則 4 S 84 SS 128 SS 1612 SS 成等差數(shù)列 類比以上結(jié)論有 設(shè)等比數(shù)列 n b的前n項積為 n T 則 4 T 16 12 T T 成等比數(shù)列 答案 812 48 TT TT 命題意圖 此題是一個數(shù)列與類比推理結(jié)合的問題 既考查了數(shù)列中等 差數(shù)列和等比數(shù)列的知識 也考查了通過已知條件進行類比推理的方法和能力 解析 對于等比數(shù)列 通過類比 有等比數(shù)列 n b的前n項積為 n T 則 4 T 812 48 TT TT 16 12 T T 成等比數(shù)列 5 2009 北京文 若數(shù)列 n a滿足 11 1 2 nn aaa nN 則 5 a 前 8 項的和 8 S 用數(shù)字作答 w 解析解析 本題主要考查簡單的遞推數(shù)列以及數(shù)列的求和問題 m 屬于基礎(chǔ)知識 基本運算的 精品文檔 7歡迎下載 考查 121324354 1 22 24 28 216aaaaaaaaa 易知 8 8 21 255 2 1 S 應(yīng)填 255 6 2009 北京理 已知數(shù)列 n a滿足 43412 1 0 N nnnn aaaa n 則 2009 a 2014 a 答案答案 1 0 解析解析 本題主要考查周期數(shù)列等基礎(chǔ)知識 屬于創(chuàng)新題型 依題意 得 20094 503 3 1aa 20142 100710074 252 1 0aaaa 應(yīng)填 1 0 7 2009 江蘇卷 設(shè) n a是公比為q的等比數(shù)列 1q 令1 1 2 nn ban 若 數(shù)列 n b有連續(xù)四項在集合 53 23 19 37 82 中 則6q 解析 考查等價轉(zhuǎn)化能力和分析問題的能力 等比數(shù)列的通項 n a有連續(xù)四項在集合 54 24 18 36 81 四項24 36 54 81 成等比數(shù)列 公比為 3 2 q 6q 9 9 8 2009 山東卷文 在等差數(shù)列 n a中 6 7 253 aaa 則 6 a 解析 設(shè)等差數(shù)列 n a的公差為d 則由已知得 64 72 11 1 dada da 解得 1 3 2 a d 所 以 61 513aad 答案 13 命題立意 本題考查等差數(shù)列的通項公式以及基本計算 9 2009 全國卷 文 設(shè)等比數(shù)列 n a 的前 n 項和為 n s 若 361 4 1ssa 則 4 a 答案 答案 3 3 解析 本題考查等比數(shù)列的性質(zhì)及求和運算 由解析 本題考查等比數(shù)列的性質(zhì)及求和運算 由 361 4 1ssa 得 q3 3 故 a4 a1q3 3 10 2009 湖北卷理 已知數(shù)列 n a滿足 1 a m m 為正整數(shù) 精品文檔 8歡迎下載 1 2 31 n n n nn a a a aa 當為偶數(shù)時 當為奇數(shù)時 若 6 a 1 則 m 所有可能的取值為 11 答案 4 5 32 解析 1 若 1 am 為偶數(shù) 則 1 2 a 為偶 故 2 23 a 224 amm a 當 4 m 仍為偶數(shù)時 46 832 mm aa 故132 32 m m 當 4 m 為奇數(shù)時 43 3 311 4 aam 6 3 1 4 4 m a 故 3 1 4 1 4 m 得 m 4 2 若 1 am 為奇數(shù) 則 21 3131aam 為偶數(shù) 故 3 31 2 m a 必為偶數(shù) 6 31 16 m a 所以 31 16 m 1 可得 m 5 12 2009 全國卷 理 設(shè)等差數(shù)列 n a的前n項和為 n S 若 53 5aa 則 9 5 S S 9 解解 n a 為等差數(shù)列 95 53 9 9 5 Sa Sa 13 2009 遼寧卷理 等差數(shù)列 n a的前n項和為 n S 且 53 655 SS 則 4 a 解析 Sn na1 1 2 n n 1 d S5 5a1 10d S3 3a1 3d 6S5 5S3 30a1 60d 15a1 15d 15a1 45d 15 a1 3d 15a4 答案 3 1 14 2009 寧夏海南卷理 等差數(shù)列 n a 前 n 項和為 n S 已知 1m a 1m a 2 m a 0 21m S 38 則 m 解析 由 1m a 1m a 2 m a 0 得到 1212 21 21 20 0 2213810 2 m mmmmm maa aaaSmam 又 答案 10 精品文檔 9歡迎下載 15 2009 陜西卷文 設(shè)等差數(shù)列 n a的前 n 項和為 n s 若 63 12as 則 n a 答案 2n 解析 由 63 12as 可得 n a的公差 d 2 首項 1 a 2 故易得 n a 2n 16 2009 陜西卷理 設(shè)等差數(shù)列 n a的前 n 項和為 n S 若 63 12aS 則 2 lim n n S n 答案 1 611 22 31 125122 11 1 limlim1 12122 nn n nn aada SSnn Sn n saddnnnn 解析 17 2009 寧夏海南卷文 等比數(shù)列 n a 的公比0q 已知 2 a 1 21 6 nnn aaa 則 n a 的前 4 項和 4 S 答案 15 2 解析 由 21 6 nnn aaa 得 11 6 nnn qqq 即06 2 qq 0q 解得 q 2 又 2 a 1 所以 1 1 2 a 21 21 2 1 4 4 S 15 2 18 2009 湖南卷理 將正 ABC 分割成n 2 n 2 n N 個全等的小正三角形 圖 2 圖 3 分別給出了 n 2 3 的情形 在每個三角形的頂點各放置一個數(shù) 使位于 ABC 的三遍及 平行于某邊的任一直線上的數(shù) 當數(shù)的個數(shù)不少于 3 時 都分別一次成等差數(shù)列 若頂點 A B C 處的三個數(shù)互不相同且和為 1 記所有頂點上的數(shù)之和為 f n 則有 f 2 2 f 3 10 3 f n 1 6 n 1 n 2 答案 10 1 1 2 36 nn 解析 當 n 3 時 如圖所示分別設(shè)各頂點的數(shù)用小寫字母表示 即由條件知 121212 1 abcxxab yybc zzca 精品文檔 10歡迎下載 121212122112 2 2 2xxyyzzabcgxyxzyz 121212 62 2gxxyyzzabc 即 121212 11110 3 1 3233 gfabcxxyyzzg 而 進一步可求得 4 5f 由上知 1 f中有三個數(shù) 2 f中 有 6 個數(shù) 3 f中共有 10 個 數(shù)相加 4 f中有 15 個數(shù)相加 若 1 f n 中有 1 1 n an 個數(shù)相加 可得 f n中 有 1 1 n an 個數(shù)相加 且由 363331045 1 1 2 1 3 2 4 5 3 3333333 fffffff 可得 1 1 3 n f nf n 所以 11113 1 2 1 3333333 nnnnnn f nf nf nf 113211 1 2 3333336 nnn nn 19 2009 重慶卷理 設(shè) 1 2a 1 2 1 n n a a 2 1 n n n a b a nN 則數(shù)列 n b的 通項公式 n b 答案 1 2n 解析 由條件得 11 1 1 1 2 2 22 22 2 11 1 nnn nn nn n aaa bb aa a 且 1 4b 所以數(shù)列 n b是 首項為 4 公比為 2 的等比數(shù)列 則 11 4 22 nn n b 三 解答題 1 2009 年廣東卷文 本小題滿分 14 分 已知點 1 3 1 是函數(shù) 0 aaxf x 且1 a 的圖象上一點 等比數(shù)列 n a的前 n項和為cnf 數(shù)列 n b 0 n b的首項為c 且前n項和 n S滿足 n S 1 n S n S 1 n S 2n 1 求數(shù)列 n a和 n b的通項公式 精品文檔 11歡迎下載 2 若數(shù)列 1 1 nnb b 前n項和為 n T 問 n T 2009 1000 的最小正整數(shù)n是多少 解析 1 1 1 3 fa Q 1 3 x f x 1 1 1 3 afcc 2 21afcfc 2 9 3 2 32 27 afcfc 又數(shù)列 n a成等比數(shù)列 2 2 1 3 4 21 81 2 33 27 a ac a 所以 1c 又公比 2 1 1 3 a q a 所以 1 2 11 2 3 33 nn n a nN 1111nnnnnnnn SSSSSSSS Q 2n 又0 n b 0 n S 1 1 nn SS 數(shù)列 n S構(gòu)成一個首相為 1 公差為 1 的等差數(shù)列 111 n Snn 2 n Sn 當2n 2 2 1 121 nnn bSSnnn 21 n bn nN 2 1 22 33 41 1111 n nn T bbb bb bb b L 1111 1 33 55 7 21 21nn K 111 111 11111 1 232 352 572 2121nn K 11 1 22121 n nn 由 1000 212009 n n T n 得 1000 9 n 滿足 1000 2009 n T 的最小正整數(shù)為 112 2 2009 全國卷 理 本小題滿分 12 分 注意 在試題卷上作答無效 注意 在試題卷上作答無效 在數(shù)列 n a中 11 11 1 1 2 nn n n aaa n I 設(shè) n n a b n 求數(shù)列 n b的通項公式 精品文檔 12歡迎下載 II 求數(shù)列 n a的前n項和 n S 分析分析 I 由已知有 1 1 12 nn n aa nn 1 1 2 nn n bb 利用累差迭加即可求出數(shù)列 n b的通項公式 1 1 2 2 n n b nN II 由 I 知 1 2 2 n n n an n S 1 1 2 2 n k k k k 1 11 2 2 nn k kk k k 而 1 2 1 n k kn n 又 1 12 n k k k 是一個典型的錯位相減法模型 易得 11 1 2 4 22 n kn k kn n S 1 n n 1 2 4 2n n 評析評析 09 年高考理科數(shù)學全國 一 試題將數(shù)列題前置 考查構(gòu)造新數(shù)列和利用錯位相減法 求前 n 項和 一改往年的將數(shù)列結(jié)合不等式放縮法問題作為押軸題的命題模式 具有讓考 生和一線教師重視教材和基礎(chǔ)知識 基本方法基本技能 重視兩綱的導(dǎo)向作用 也可看出命 題人在有意識降低難度和求變的良苦用心 3 2009 浙江文 本題滿分 14 分 設(shè) n S為數(shù)列 n a的前n項和 2 n Sknn nN 其中k是常數(shù) I 求 1 a及 n a II 若對于任意的 mN m a 2m a 4m a成等比數(shù)列 求k的值 解析 當1 1 11 kSan 12 1 1 2 22 1 kknnnknknSSan nnn 經(jīng)驗 1 n 式成立 12 kknan mmm aaa 42 成等比數(shù)列 mmm aaa 4 2 2 即 18 12 14 2 kkmkkmkkm 整理得 0 1 kmk 對任意的 Nm成立 10 kk或 4 2009 北京文 本小題共 13 分 設(shè)數(shù)列 n a的通項公式為 0 n apnq nNP 數(shù)列 n b定義如下 對于正整 數(shù)m m b是使得不等式 n am 成立的所有n中的最小值 精品文檔 13歡迎下載 若 11 23 pq 求 3 b 若2 1pq 求數(shù)列 m b的前 2m項和公式 是否存在p和q 使得32 m bmmN 如果存在 求p和q的取值范圍 如果不存在 請說明理由 解析解析 本題主要考查數(shù)列的概念 數(shù)列的基本性質(zhì) 考查運算能力 推理論證能力 分類討論等數(shù)學思想方法 本題是數(shù)列與不等式綜合的較難層次題 由題意 得 11 23 n an 解 11 3 23 n 得 20 3 n 11 3 23 n 成立的所有n中的最小整數(shù)為 7 即 3 7b 由題意 得21 n an 對于正整數(shù) 由 n am 得 1 2 m n 根據(jù) m b的定義可知 當21mk 時 m bk kN 當2mk 時 1 m bkkN 1221321242mmm bbbbbbbbb 1232341mm 2 13 2 22 m mm m mm 假設(shè)存在p和q滿足條件 由不等式pnqm 及0p 得 mq n p 32 m bmmN 根據(jù) m b的定義可知 對于任意的正整數(shù)m 都有 3132 mq mm p 即 231pqpmpq 對任意的正整數(shù)m都成立 當310p 或310p 時 得 31 pq m p 或 2 31 pq m p 這與上述結(jié)論矛盾 精品文檔 14歡迎下載 當310p 即 1 3 p 時 得 21 0 33 qq 解得 21 33 q 存在p和q 使得32 m bmmN p和q的取值范圍分別是 1 3 p 21 33 q 5 2009 北京理 本小題共 13 分 已知數(shù)集 1212 1 2 nn Aa aaaaa n 具有性質(zhì)P 對任意的 1i jijn ij a a與 j i a a 兩數(shù)中至少有一個屬于A 分別判斷數(shù)集 1 3 4與 1 2 3 6是否具有性質(zhì)P 并說明理由 證明 1 1a 且 12 111 12 n n n aaa a aaa 證明 當5n 時 12345 a a a a a成等比數(shù)列 解析解析 本題主要考查集合 等比數(shù)列的性質(zhì) 考查運算能力 推理論證能力 分 分類討論等數(shù)學思想方法 本題是數(shù)列與不等式的綜合題 屬于較難層次題 由于3 4 與 4 3 均不屬于數(shù)集 1 3 4 該數(shù)集不具有性質(zhì) P 由于 6 6 1 2 3 6 1 2 1 3 1 6 2 3 2 3 1 2 3 6 都屬于數(shù)集 1 2 3 6 該數(shù)集具有性質(zhì) P 12 n Aa aa 具有性質(zhì) P nn a a與 n n a a 中至少有一個屬于 A 由于 12 1 n aaa nnn a aa 故 nn a aA 從而1 n n a A a 1 1a 12 1 n aaa knn a aa 故 2 3 kn a aA kn 由 A 具有性質(zhì) P 可知 1 2 3 n k a A kn a 又 121 nnnn nn aaaa aaaa 21 121 1 nnnn nn nn aaaa aaa aaaa 精品文檔 15歡迎下載 從而 121 121 nnnn nn nn aaaa aaaa aaaa 12 111 12 n n n aaa a aaa 由 知 當5n 時 有 55 23 43 aa aa aa 即 2 5243 aa aa 125 1aaa 34245 a aa aa 34 a aA 由 A 具有性質(zhì) P 可知 4 3 a A a 2 243 a aa 得 34 23 aa A aa 且 3 2 2 1 a a a 34 2 32 aa a aa 5342 2 4321 aaaa a aaaa 即 12345 a a a a a是首項為 1 公比為 2 a成等比數(shù) 列 k s 5 6 2009 江蘇卷 本小題滿分 14 分 設(shè) n a是公差不為零的等差數(shù)列 n S為其前n項和 滿足 2222 23457 7aaaaS 1 求數(shù)列 n a的通項公式及前n項和 n S 2 試求所有的正整數(shù)m 使得 1 2 mm m a a a 為數(shù)列 n a中的項 解析 本小題主要考查等差數(shù)列的通項 求和的有關(guān)知識 考查運算和求解的能力 滿 分 14 分 1 設(shè)公差為d 則 2222 2543 aaaa 由性質(zhì)得 4343 3 d aad aa 因為0d 所以 43 0aa 即 1 250ad 又由 7 7S 得 1 76 77 2 ad 解得 1 5a 2d 2 方法一 1 2 mm m a a a 27 25 23 mm m 設(shè)23mt 則 1 2 mm m a a a 4 2 8 6 tt t tt 所以t為 8 的約數(shù) 精品文檔 16歡迎下載 方法二 因為 122 2 222 4 2 8 6 mmmm m mmm a aaa a aaa 為數(shù)列 n a中的項 故 m 2 8 a 為整數(shù) 又由 1 知 2m a 為奇數(shù) 所以 2 231 1 2 m amm 即 經(jīng)檢驗 符合題意的正整數(shù)只有2m 7 2009 江蘇卷 本題滿分 10 分 對于正整數(shù)n 2 用 n T表示關(guān)于x的一元二次方程 2 20 xaxb 有實數(shù)根的有序數(shù)組 a b的組數(shù) 其中 1 2 a bn a和b可以相等 對于隨機選取的 1 2 a bn a和b可以相等 記 n P為關(guān)于x的一元二次方程 2 20 xaxb 有 實數(shù)根的概率 1 求 2 n T和 2 n P 2 求證 對任意正整數(shù)n 2 有 1 1 n P n 解析 必做題必做題 本小題主要考查概率的基本知識和記數(shù)原理 考查探究能力 滿分 10 分 8 2009 山東卷理 本小題滿分 12 分 精品文檔 17歡迎下載 等比數(shù)列 n a 的前 n 項和為 n S 已知對任意的nN 點 n n S 均在函數(shù) 0 x ybr b 且1 bb r 均為常數(shù) 的圖像上 1 求 r 的值 11 當 b 2 時 記 2 2 log1 nn banN 證明 對任意的nN 不等式 12 12 111 1 n n bbb n bbb 成立 解 因為對任意的nN 點 n n S 均在函數(shù) 0 x ybr b 且1 bb r 均為常數(shù)的圖 像上 所以得 n n Sbr 當1n 時 11 aSbr 當2n 時 111 1 1 nnnnn nnn aSSbrbrbbbb 又因為 n a 為等比數(shù)列 所以 1r 公比為b 1 1 n n abb 2 當 b 2 時 11 1 2 nn n abb 1 22 2 log1 2 log 21 2 n nn ban 則 121 2 n n bn bn 所以 12 12 1113 5 721 2 4 62 n n bbbn bbbn 下面用數(shù)學歸納法證明不等式 12 12 1113 5 721 1 2 4 62 n n bbbn n bbbn 成立 當1n 時 左邊 3 2 右邊 2 因為 3 2 2 所以不等式成立 假設(shè)當nk 時不等式成立 即 12 12 1113 5 721 1 2 4 62 k k bbbk k bbbk 成立 則 當1nk 時 左邊 112 121 11113 5 721 23 2 4 6222 kk kk bbbbkk bbbbkk 22 23 23 4 1 4 1 11 1 1 1 1 1 224 1 4 1 4 1 kkkk kkk kkkk 所以當1nk 時 不等式也成立 由 可得不等式恒成立 命題立意 本題主要考查了等比數(shù)列的定義 通項公式 以及已知 n S求 n a的基本題型 并運用數(shù)學歸納法證明與自然數(shù)有關(guān)的命題 以及放縮法證明不等式 9 2009 山東卷文 本小題滿分 12 分 精品文檔 18歡迎下載 等比數(shù)列 n a 的前 n 項和為 n S 已知對任意的nN 點 n n S 均在函數(shù) 0 x ybr b 且1 bb r 均為常數(shù) 的圖像上 1 求 r 的值 11 當 b 2 時 記 1 4 n n n bnN a 求數(shù)列 n b的前n項和 n T 解 因為對任意的nN 點 n n S 均在函數(shù) 0 x ybr b 且1 bb r 均為常數(shù) 的 圖像上 所以得 n n Sbr 當1n 時 11 aSbr 當2n 時 111 1 1 nnnnn nnn aSSbrbrbbbb 又因為 n a 為等比數(shù)列 所以1r 公比為b 所以 1 1 n n abb 2 當 b 2 時 11 1 2 nn n abb 11 111 44 22 n nn n nnn b a 則 2341 2341 2222 n n n T 34512 12341 222222 n nn nn T 相減 得 234512 1211111 2222222 n nn n T 31 2 11 1 11 22 1 22 1 2 n n n 12 311 422 nn n 所以 11 31133 22222 n nnn nn T 命題立意 本題主要考查了等比數(shù)列的定義 通項公式 以及已知 n S求 n a的基本題型 并運用錯位相減法求出一等比數(shù)列與一等差數(shù)列對應(yīng)項乘積所得新數(shù)列的前n項和 n T 10 2009 全國卷 文 本小題滿分 10 分 已知等差數(shù)列 n a 中 0 16 6473 aaaa求 n a 前 n 項和 n s 解析 本題考查等差數(shù)列的基本性質(zhì)及求和公式運用能力 利用方程的思想可求解 解析 本題考查等差數(shù)列的基本性質(zhì)及求和公式運用能力 利用方程的思想可求解 精品文檔 19歡迎下載 解 設(shè) n a的公差為d 則 11 11 2616 350 adad adad 即 22 11 1 81216 4 adad ad 解得 11 8 8 2 2 aa dd 或 因此 819819 nn Snn nn nSnn nn n 或 11 2009 廣東卷 理 本小題滿分 14 分 已知曲線 22 20 1 2 n Cxnxyn 從點 1 0 P 向曲線 n C引斜率為 0 nn k k 的切線 n l 切點為 nnn P xy 1 求數(shù)列 nn xy與的通項公式 2 證明 13521 1 2sin 1 nn n nn xx xxxx xy 解 1 設(shè)直線 n l 1 xky n 聯(lián)立02 22 ynxx得 0 22 1 2222 nnn kxnkxk 則0 1 4 22 2222 nnn kknk 12 n n kn 12 n n 舍去 2 2 2 2 2 1 1 n n k k x n n n 即 1 n n xn 1 12 1 n nn xky nnn 2 證明 12 1 1 1 1 1 1 1 n n n n n x x n n 12 1 12 12 5 3 3 1 2 12 4 3 2 1 12531 nn n n n xxxx n 精品文檔 20歡迎下載 n n n x x xxxx 1 1 12531 由于 n n n n x x ny x 1 1 12 1 可令函數(shù)xxxfsin2 則xxfcos21 令0 xf 得 2 2 cos x 給定區(qū)間 4 0 則有0 xf 則函數(shù) xf在 4 0 上單調(diào)遞減 0 0 fxf 即xxsin2 在 4 0 恒成立 又 43 1 12 1 0 n 則有 12 1 sin2 12 1 nn 即 n n n n y x x x sin2 1 1 12 2009 安徽卷理 本小題滿分 本小題滿分 1313 分 分 首項為正數(shù)的數(shù)列 n a滿足 2 1 1 3 4 nn aanN I 證明 若 1 a為奇數(shù) 則對一切2 n na 都是奇數(shù) II 若對一切nN 都有 1nn aa 求 1 a的取值范圍 解 本小題主要考查數(shù)列 數(shù)學歸納法和不等式的有關(guān)知識 考查推理論證 抽象概括 運算求解和探究能力 考查學生是否具有審慎思維的習慣和一定的數(shù)學視野 本小題滿分 13 分 解 I 已知 1 a是奇數(shù) 假設(shè)21 k am 是奇數(shù) 其中m為正整數(shù) 則由遞推關(guān)系得 2 1 3 1 1 4 k k a am m 是奇數(shù) 根據(jù)數(shù)學歸納法 對任何nN n a都是奇數(shù) II 方法一 由 1 1 1 3 4 nnnn aaaa 知 1nn aa 當且僅當1 n a 或3 n a 另一方面 若01 k a 則 1 1 3 01 4 k a 若3 k a 則 2 1 33 3 4 k a 根據(jù)數(shù)學歸納法 11 01 01 33 nn aanNaanN 綜合所述 對一切nN 都有 1nn aa 的充要條件是 1 01a 或 1 3a 精品文檔 21歡迎下載 方法二 由 2 1 21 3 4 a aa 得 2 11 430 aa 于是 1 01a 或 1 3a 22 111 1 33 444 nnnnnn nn aaaaaa aa 因為 2 11 3 0 4 n n a aa 所以所有的 n a均大于 0 因此 1nn aa 與 1nn aa 同號 根據(jù)數(shù)學歸納法 nN 1nn aa 與 21 aa 同號 因此 對一切nN 都有 1nn aa 的充要條件是 1 01a 或 1 3a 13 2009 安徽卷文 本小題滿分 12 分 已知數(shù)列 的前 n 項和 數(shù)列 的前 n 項和 求數(shù)列 與 的通項公式 設(shè) 證明 當且僅當 n 3 時 思路 由 1 1 1 2 nn an a ssn 可求出 nn ab和 和 這是數(shù)列中求通項的常用方法之一 在 求出 nn ab和 和后 進而得到 n c 接下來用作差法來比較大小 這也是一常用方法 解析 1 由于 11 4as 當2n 時 22 1 22 2 1 2 1 4 nnn assnnnnn 4 m an nN 又當xn 時 11 26 2 nnnmm bTTb 1 2 nn bb 數(shù)列 n b項與等比數(shù)列 其首項為 1 公比為 1 2 1 1 2 n n b 2 由 1 知 221 11 1 16 2 n n Cabn 2 1 1 2 1 2 21 1 16 1 1 2 1 2 16 2 n n n n n Cn Cn n 由 2 1 1 11 2 n n Cn Cn 得即 2 21012nnn 即3n 又3n 時 2 1 2 1 2 n n 成立 即 1 1 n n C C 由于0 n C 恒成立 因此 當且僅當3n 時 1nn CC 精品文檔 22歡迎下載 14 2009 江西卷文 本小題滿分 12 分 數(shù)列 n a的通項 222 cossin 33 n nn an 其前n項和為 n S 1 求 n S 2 3 4 n n n S b n 求數(shù)列 n b 的前 n 項和 n T 解 1 由于 22 2 cossincos 333 nnn 故 312345632313 222222 222 1245 32 31 3 6 3 222 kkkk Saaaaaaaaa kk k 1331185 94 2222 kkk 3133 49 2 kkk kk SSa 2 323131 49 31 1321 22236 kkk kkkk SSak 故 1 32 36 1 1 3 31 6 34 3 6 n n nk nn Snk nn nk kN 2 3 94 42 4 n n nn Sn b n 2 1 132294 2 444 n n n T 1 12294 4 13 244 n n n T 兩式相減得 12321 99 1999419419 44 3 13 13 8 1 24442422 1 4 n n nnnnn nnn T 故 2321 813 33 22 n nn n T 15 2009 江西卷理 本小題滿分 14 分 各項均為正數(shù)的數(shù)列 n a 12 aa ab 且對滿足mnpq 的正整數(shù) m n p q都 精品文檔 23歡迎下載 有 1 1 1 1 pq mn mnpq aa aa aaaa 1 當 14 25 ab 時 求通項 n a 2 證明 對任意a 存在與a有關(guān)的常數(shù) 使得對于每個正整數(shù)n 都有 1 n a 解 1 由 1 1 1 1 pq mn mnpq aa aa aaaa 得 121 121 1 1 1 1 nn nn aaaa aaaa 將 12 14 25 aa 代入化簡得 1 1 21 2 n n n a a a 所以 1 1 111 13 1 nn nn aa aa 故數(shù)列 1 1 n n a a 為等比數(shù)列 從而 11 13 n n n a a 即 31 31 n n n a 可驗證 31 31 n n n a 滿足題設(shè)條件 2 由題設(shè) 1 1 mn mn aa aa 的值僅與mn 有關(guān) 記為 m n b 則 1 1 1 1 1 1 1 nn n nn aaaa b aaaa 考察函數(shù) 0 1 1 ax f xx ax 則在定義域上有 精品文檔 24歡迎下載 1 1 1 1 1 2 01 1 a a f xg aa a a a 故對 nN 1 n bg a 恒成立 又 2 2 2 1 n n n a bg a a 注意到 1 0 2 g a 解上式得 1 1 2 1 1 2 1 1 2 n g ag ag ag ag a a g ag ag ag a 取 1 1 2 g ag a g a 即有 1 n a 16 2009 天津卷文 本小題滿分 12 分 已知等差數(shù)列 n a的公差 d 不為 0 設(shè) 1 21 n nn qaqaaS 11 21 0 1 NnqqaqaaT n n n n 若15 1 1 31 Saq 求數(shù)列 n a的通項公式 若 3211 SSSda且 成等比數(shù)列 求 q 的值 若 2 2 22 1 1 2 1 1 1Nn q qdq TqSqq n nn 證明 答案 1 34 nan 2 2 q 3 略 解析 1 解 由題設(shè) 15 1 1 2 31 2 1113 SaqqdaqdaaS將 代入解得4 d 所以34 nan Nn 2 解 當 321 2 3211 32 2 SSSdqdqdSdqdSdSda 成等比數(shù)列 所以 31 2 2 SSS 即 322 22 dqdqdddqd 注意到0 d 整理得2 q 3 證明 由題設(shè) 可得 1 n n qb 則 精品文檔 25歡迎下載 12 2 2 3212 n nn qaqaqaaS 12 2 2 3212 n nn qaqaqaaT 得 2 12 2 3 4222 n nnn qaqaqaTS 得 2 22 12 2 3122 n nnn qaqaqaTS 式兩邊同乘以 q 得 2 22 12 2 3122 n nnn qaqaqaTSq 所以 2 2 123 22 1 1 2 2 1 1 q qdq qqqdTqSq n n nn 3 證明 nlklklk baabaabaacc nn 2121 2 12 11 1 1122111 n nn qdblkqdblkdblk 因為0 0 1 bd 所以 1 2211 1 21 n nn qlkqlklk db cc 若 nn lk 取 i n 若 nn lk 取 i 滿足 ii lk 且 jj lk nji 1 由 1 2 及題設(shè)知 ni 1 且 1 2211 1 21 n nn qlkqlklk db cc 當 ii lk 時 1 ii lk 由nq 1 2 1 1 iiqlk ii 即1 11 qlk 1 22 qqqlk 22 11 1 ii ii qqqlk 所以 1 1 1 1 1 1 1 1 1 12 1 21 i i ii q q q qqqqqqq db cc 因此0 21 cc 當 ii lk 時 同理可得 1 1 21 db cc 因此0 21 cc 精品文檔 26歡迎下載 綜上 21 cc 考點定位 本小題主要考查了等差數(shù)列的通項公式 等比數(shù)列通項公式與前 n 項和 等基本知識 考查運算能力和推理論證能力和綜合分析解決問題的能力 17 2009 湖北卷理 本小題滿分 13 分 注意 在試題卷上作答無效 注意 在試題卷上作答無效 已知數(shù)列 n a的前 n 項和 1 1 2 2 n nn Sa n 為正整數(shù) 令2n nn ba 求證數(shù)列 n b是等差數(shù)列 并求數(shù)列 n a的通項公式 令 1 nn n ca n 12 nn Tccc 試比較 n T與 5 21 n n 的大小 并予以證 明 19 19 解析 I 在 1 1 2 2 n nn Sa 中 令 n 1 可得 11 12 n Saa 即 1 1 2 a 當2n 時 21 1111 11 2 22 nn nnnnnnn SaaSSaa 11 n11 1 2a 21 2 nn nnn aaa n 即2 11 2 1 n21 n nnnnn babbb n 即當時 b 又 11 21 ba 數(shù)列 n b是首項和公差均為 1 的等差數(shù)列 于是1 1 12 2 n nnn n n bnnaa II 由 I 得 11 1 2 n nn n can n 所以 23 1111 23 4 1 2222 n n Tn K 2341 11111 2 3 4 1 22222 n n Tn K 由 得 231 11111 1 1 22222 nn n Tn K 1 1 1 11 1 133 42 1 1 1 222 1 2 3 3 2 n n n n n n n n T 535 3 221 3 212212 21 n n nn nnnnn T nnn 于是確定 5 21 n n T n 與的大小關(guān)系等價于比較221 n n 與的大小 精品文檔 27歡迎下載 由 2345 22 1 1 22 2 1 22 3 1 22 4 1 22 5 K 可猜想當3221 n nn 時 證明如下 證法 1 1 當 n 3 時 由上驗算顯示成立 2 假設(shè)1nk 時 1 22 22 21 422 1 1 21 2 1 1 kk kkkkk g 所以當1nk 時猜想也成立 綜合 1 2 可知 對一切3n 的正整數(shù) 都有221 n n 證法 2 當3n 時 0121011 2 1 1 2221 nnnnnn nnnnnnnnn CCCCCCCCCnn K 綜上所述 當1 2n 時 5 21 n n T n 當3n 時 5 21 n n T n 18 2009 四川卷文 本小題滿分 14 分 設(shè)數(shù)列 n a的前n項和為 n S 對任意的正整數(shù)n 都有51 nn aS 成立 記 4 1 n n n a bnN a I 求數(shù)列 n a與數(shù)列 n b的通項公式 II 設(shè)數(shù)列 n b的前n項和為 n R 是否存在正整數(shù)k 使得4 n Rk 成立 若存在 找 出一個正整數(shù)k 若不存在 請說明理由 III 記 221 nnn cbbnN 設(shè)數(shù)列 n c的前n項和為 n T 求證 對任意正整數(shù) n都有 3 2 n T 解析解析 I 當1 n時 111 1 51 4 aSa 又 11 51 51 nnnn aSaS 1 11 1 5 4 即 n nnn n a aaa a 數(shù)列 n a是首項為 1 1 4 a 公比為 1 4 q的等比數(shù)列 1 4 n n a 1 4 4 1 1 4 n n n bnN 3 分 精品文檔 28歡迎下載 II 不存在正整數(shù)k 使得4 n Rk 成立 證明 由 I 知 1 4 5 4 4 1 4 1 1 4 n n n n b 212 212 5552015 1640 8888 4 1 4 1161164 161 164 k kk kkkkkk bb 當 n 為偶數(shù)時 設(shè)2 nm mN 1234212 84 nmm Rbbbbbbmn 當 n 為奇數(shù)時 設(shè)21 nmmN 1234232221 8 1 4844 nmmm Rbbbbbbbmmn 對于一切的正整數(shù) n 都有4 n Rk 不存在正整數(shù)k 使得4 n Rk 成立 8 分 III 由 5 4