布萊克斯科爾斯期權(quán)定價模型PPT課件.ppt

第七章布萊克 斯科爾斯期權(quán)定價模型 一 期權(quán) 一 期權(quán)概念期權(quán) Option 一種提供未來選擇權(quán)的交易合約 購買期權(quán)的人可以獲得一種在指定時間內(nèi)按協(xié)議價格買進(jìn)或賣出一定數(shù)量的某種金融資產(chǎn)的權(quán)力 期權(quán)合約的要素 UnderlyingassetanditspriceSExerciseprice strikeprice XExpirationdate maturitydate T todayis0 EuropeanorAmerican 一 期權(quán) 二 期權(quán)合約的特點(diǎn) 期權(quán)合約交易的是一種買賣證券的權(quán)力 而不是交易證券本身 期權(quán)的買方有權(quán)力買進(jìn)或賣出 但沒有義務(wù)買進(jìn)或者賣出 期權(quán)的賣方有義務(wù)履行合約 卻沒有權(quán)利要求執(zhí)行合約 期權(quán)買方要向期權(quán)賣方支付一定的費(fèi)用 這就是期權(quán)費(fèi) Premiun 或期權(quán)價格 OptionPrice 期權(quán)交易具有風(fēng)險與收益形式上不對稱的性質(zhì) 交易所中交易的大部分期權(quán)合約是標(biāo)準(zhǔn)化合約 一 期權(quán) 三 期權(quán)的主要分類 1 CallOption Givesownertherighttopurchaseanasset theunderlyingasset foragivenprice exerciseprice onorbeforeagivendate expirationdate 2 PutOption Givesownertherighttosellanassetforagivenpriceonorbeforetheexpirationdate 3 EuropeanOption Givesownertherighttoexercisetheoptiononlyontheexpirationdate 4 AmericanOption Givesownertherighttoexercisetheoptiononorbeforetheexpirationdate 一 期權(quán) 思考 期權(quán)與期貨的主要區(qū)別 一 期權(quán) 四 期權(quán)的價格和價值1 期權(quán)合約涉及三個價格 期權(quán)合約標(biāo)的證券當(dāng)前的市場價格S 期權(quán)合約到期執(zhí)行時標(biāo)的證券的執(zhí)行價格X 期權(quán)合約的價格 即期權(quán)費(fèi)P 一 期權(quán) 2 期權(quán)價值期權(quán)價值由內(nèi)涵價值和時間價值兩部分組成 V IV TV內(nèi)涵價值IV 是指期權(quán)本身具有的價值 是合約購買者行使期權(quán)所能獲得的金額 反映了期權(quán)敲定價格 X 與證券市價 S 之間的差異 看漲期權(quán)的IV max S X 0 看跌期權(quán)的IV max X S 0 時間價值TV 是指期權(quán)買方在有效期內(nèi)可選擇有利時機(jī)執(zhí)行期權(quán)而產(chǎn)生的價值 有效期越長 時間價值越大 一 期權(quán) 五 期權(quán)價格的合理界限1 假設(shè) 沒有交易費(fèi)用 所有交易利潤 減去交易損失后 具有相同的稅率可以按無風(fēng)險利率借入和貸出資金一旦有套利機(jī)會出現(xiàn) 市場參與者隨時準(zhǔn)備利用這些套利機(jī)會 一 期權(quán) 2 符號S 股票現(xiàn)價 X 期權(quán)執(zhí)行價 T 期權(quán)的到期時間 ST 在T時刻股票價格 r T時期到期的投資的無風(fēng)險利率 連續(xù)復(fù)利 一 期權(quán) C 購買一股股票的美式看漲期權(quán)的價格 P 出售一股股票的美式看跌期權(quán)的價格 c 購買一股股票的歐式看漲期權(quán)的價格 p 出售一股股票的歐式看跌期權(quán)的價格 一 期權(quán) 3 期權(quán)價格的基本性質(zhì) 1 任何情況下 期權(quán)的價值都是非負(fù)的 2 在到期日 美式期權(quán)與歐式期權(quán)的價值相等 且看漲期權(quán)的價值等于到期日標(biāo)的資產(chǎn)價格減去行權(quán)價 看跌期權(quán)的價值等于行權(quán)價減去標(biāo)的資產(chǎn)價格 3 美式期權(quán)的價值不小于其行權(quán)時的內(nèi)在價值 4 在其他條件不變的情況下 后延到期日將提高美式期權(quán)的價值 5 美式期權(quán)的價值高于具有同一標(biāo)的資產(chǎn)和到期日的歐式期權(quán)的價值 隨著有效期的增加 歐式看漲期權(quán)和歐式看跌期權(quán)的價值并不一定增加 一 期權(quán) 6 其他條件相同時 行權(quán)價越高 買權(quán)價值越低 賣權(quán)價值越高 7 任何一份買權(quán)的價值不可能高于標(biāo)的資產(chǎn)的當(dāng)前價格 8 到期日無限 行權(quán)價為0的期權(quán)價格為標(biāo)的資產(chǎn)的當(dāng)前價格 9 標(biāo)的資產(chǎn)的價格為0時 看漲期權(quán)的價格為0 一 期權(quán) 4 期權(quán)價格的上限 1 股票價格是期權(quán)價格的上限 S C S c 如果不存在這一關(guān)系 則套利者購買股票并賣出看漲期權(quán) 可以輕易獲得無風(fēng)險利潤 2 美式看跌期權(quán)或歐式看跌期權(quán)的持有者有權(quán)以X的價格出售一股股票 3 歐式看跌期權(quán) 在T時刻 期權(quán)的價值不會超過X 所以有 如果不存在這一關(guān)系 則套利者出售期權(quán)并將所得收入以無風(fēng)險利率進(jìn)行投資 可以輕易獲得無風(fēng)險收益 一 期權(quán) 4 期權(quán)的價格下限 1 不付紅利股票的歐式期權(quán)歐式看漲期權(quán)的下限 歐式看跌期權(quán)的下限 2 紅利的影響歐式看漲期權(quán)的下限 歐式看跌期權(quán)的下限 其中 D表示期權(quán)有效期內(nèi)紅利的現(xiàn)值 一 期權(quán) 注 1 提前執(zhí)行不付紅利美式看漲期權(quán)是不明智的 2 不付紅利的美式看跌期權(quán)可能提前執(zhí)行 3 在紅利的影響下 美式看漲期權(quán)可能提前執(zhí)行 Return 二 隨機(jī)過程 如果某變量的值以某種不確定的方式隨時間變化 則稱該變量遵循某種隨機(jī)過程 stochasticprocess 描述布朗運(yùn)動的隨機(jī)過程的定義是維納 wiener 給出的 因此布朗運(yùn)動又稱維納過程 布朗運(yùn)動是馬爾科夫隨機(jī)過程的一種特殊形式 二 隨機(jī)過程 一 馬爾科夫過程 MarkovStochasticprocess 1 無記憶性 只有變量的當(dāng)前值才與未來預(yù)測有關(guān) 變量過去的歷史和變量從過去到現(xiàn)在的演變方式與未來預(yù)測無關(guān)2 如果股價過程是馬爾科夫過程 那么股價在未來某時刻的概率分布不依賴于股價過去的路徑 只取決于該證券現(xiàn)在的值 3 股價過程是馬爾科夫過程等于股票市場的弱有效性 二 隨機(jī)過程 二 標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動或維納過程 變量z是一個隨機(jī)變量 設(shè)一個小的時間間隔長度為 t 定義 z為在 t時間內(nèi)z的變化 要使z遵循維納過程 z必須滿足兩個基本性質(zhì) 性質(zhì)1 z與 t的關(guān)系滿足方程式 其中 為服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布中抽取的一個隨機(jī)值 性質(zhì)2 對于任何兩個不同時間間隔 t z的值相互獨(dú)立 二 隨機(jī)過程 從性質(zhì)1 得知 z具有正態(tài)分布 z的均值 0 z的標(biāo)準(zhǔn)差 z的方差 t性質(zhì)2則隱含z遵循馬爾科夫過程 即變量對過去沒有記憶效應(yīng) 二 隨機(jī)過程 維納過程 長時間段內(nèi) 的增量 在任一長度為T的時間間隔內(nèi) 遵循維納過程的隨機(jī)變量值的增加具有均值為0 標(biāo)準(zhǔn)差為的正態(tài)分布 正態(tài)分布的可加性 當(dāng) t 0時 我們就可以得到極限的標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動或維納過程 二 隨機(jī)過程 例 假設(shè)一個遵循維納過程的變量z 其最初值為25 以年為單位計(jì)時 那么 則有 在第一年末 變量值服從均值為25 標(biāo)準(zhǔn)差為1 0的正態(tài)分布 在第二年末 Z將服從均值為25 標(biāo)準(zhǔn)差為或1 414的正態(tài)分布 分析 之所以第2年末標(biāo)準(zhǔn)差變?yōu)?是因?yàn)樽兞恐翟谖磥砟骋淮_定時刻的不確定性 用標(biāo)準(zhǔn)差來表示 是隨著時間長度的平方根而增加的 二 隨機(jī)過程 二 隨機(jī)過程 二 隨機(jī)過程 二 隨機(jī)過程 三 普通布朗運(yùn)動或一般維納過程 漂移率 DriftRate 單位時間內(nèi)變量z均值的變化值 方差率 VarianceRate 單位時間變量z的方差變動比率 1 標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動的漂移率為0 方差率為1 0 漂移率為0意味著在未來任意時刻z的均值都等于它的當(dāng)前值 方差率為1 0意味著在一段長度為T的時間段后 z的方差為1 0 T 二 隨機(jī)過程 2 變量x的普通布朗運(yùn)動 令漂移率為a 方差率為b2 則 dx adt bdz其中a和b為常數(shù) dz遵循標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動 這個過程指出變量x關(guān)于時間和dz動態(tài)過程 第一項(xiàng)adt為確定項(xiàng) 它說明了x變量單位時間的漂移率期望值為a 如果缺省bdz項(xiàng) 方程變?yōu)?dx adt dx dt a x x0 at其中 x0為x在零時刻的值 經(jīng)過長度為T的時間段后 x增加的值為aT 第二項(xiàng)bdz是隨機(jī)項(xiàng) 它表明對x的動態(tài)過程添加的噪音或波動率 這些噪聲或波動率的值為維納過程的b倍 二 隨機(jī)過程 短時間 t后 x值的變化 x為 其中 是取自標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的隨機(jī)抽樣值 因此 x具有正態(tài)分布 且 x的均值 a t x的標(biāo)準(zhǔn)差 b x的方差 b2 t 二 隨機(jī)過程 例 假設(shè)某公司的現(xiàn)金頭寸遵循一般維納過程 每年漂移率為20 每年方差為900 最初的現(xiàn)金頭寸為50萬 那么 則有 在第6個月末 該頭寸將服從正態(tài)分布 均值為60 標(biāo)準(zhǔn)差為 30 0 5 21 21的正態(tài)分布 在第1年末 該頭寸將服從正態(tài)分布 均值為70 標(biāo)準(zhǔn)差為30 分析 隨機(jī)變量值在未來某一確定時刻的不確定性 用標(biāo)準(zhǔn)差來表示 是隨著時間長度的平方根增加而增加的 二 隨機(jī)過程 二 隨機(jī)過程 四 幾何布朗運(yùn)動 1 假定股票價格遵循普通布朗運(yùn)動的不合理性 這種假定表明股票價格S運(yùn)動具有不變的期望漂移率a和方差率b2 S a t b z t時間內(nèi)股價的變化為 S S的均值為a t 方差為b2 t那么 股票的期望收益率 a t S這表明承擔(dān)相同風(fēng)險的情況下 股價高的獲得的收益率低 股價低的獲得的收益率高 這與投資者要求來自股票的期望收益率與股票價格無關(guān)的現(xiàn)實(shí)不一致 二 隨機(jī)過程 2 修正 假定股票價格變化率遵循普通布朗運(yùn)動假設(shè)股價變化率 S S遵循普通布朗運(yùn)動 參數(shù) 為股票在單位時間內(nèi)以連續(xù)復(fù)利表示的股票價格的預(yù)期收益率 作為期望漂移率 參數(shù) 2表示股票收益率單位時間的方差 作為方差率 這兩個參數(shù)假設(shè)為常數(shù)則可將式 S a t b z轉(zhuǎn)換為適合描述股票價格運(yùn)動的布朗運(yùn)動形式 S S t z 二 隨機(jī)過程 S S t z其中 為 S S的期望漂移率 t是 t時間后 S S的期望漂移 S t是 t時間后S的期望漂移 因此 S的瞬態(tài)期望漂移率 instantaneousvariancerate 為 S 2為 S S變化的方差率 2 t是 t時間后 S S變化的方差 2S2 t是經(jīng)過 t后S實(shí)際變化的方差 因此 S的瞬態(tài)方差率 instantaneousvariancerate 為 2S2 二 隨機(jī)過程 股票價格 可以用瞬態(tài)期望漂移率 S和瞬態(tài)方差率為 2S2的幾何布朗運(yùn)動來表達(dá) 表示為 即幾何布朗運(yùn)動是描述股票價格行為最廣泛使用的一種模型 只要假設(shè)股價變動率遵循布朗運(yùn)動 則股價本身就遵循幾何布朗運(yùn)動 換言之 只要假定股價變動率服從正態(tài)分布 則股價本身服從對數(shù)正態(tài)分布 二 隨機(jī)過程 例 設(shè)一種不付紅利股票遵循幾何布朗運(yùn)動 其波動率為每年20 預(yù)期收益率以連續(xù)復(fù)利計(jì)為每年18 其目前的市價為50元 求6個月后該股票價格變化值的概率分布 解 0 18 0 20 其股價過程為 dS S 0 18dt十0 20dz在隨后短時間間隔后的股價變化為 S S 0 18 t 0 20 由于6個月等于0 5年 因此 S 50 0 09 0 1414 4 5 7 07 上式表示6個月后股價的增加值是均值為4 5元 標(biāo)準(zhǔn)差為7 07元的正態(tài)分布的隨機(jī)抽樣值 二 隨機(jī)過程 五 伊藤過程若把變量x的漂移率和方差率當(dāng)作變量x和時間t的函數(shù) 得到另一種類型隨機(jī)過程 即著名的Ito過程 Itoprocess 即伊藤過程 1 Ito引理假設(shè)隨機(jī)變量x的值遵循Ito過程 dx a x t dt b x t dz其中 dz是一個維納過程 a與b是x和t的函數(shù) 變量x的漂移率為a和方差率為b2 即Ito過程的期望漂移率和方差率都隨時間變化而變化 二 隨機(jī)過程 若X遵循Ito過程 G是上述隨機(jī)變量X t的函數(shù) 則G X t 遵循下面的運(yùn)動過程 其中dz是維納過程 因此G也遵循Ito過程 它的漂移率是 方差率是 伊藤引理 它將證券定價與衍生證券定價結(jié)合到一起 二 隨機(jī)過程 2 股價過程證券價格的變化可用漂移率為 S和方差率為 2S2的伊藤過程來表示 兩邊同時除以S得到 幾何布朗運(yùn)動 衍生證券的價格G S t 遵循以下過程 2020 2 4 38 二 隨機(jī)過程 3 股價過程 對數(shù)正態(tài)分布定義 G lnS 證券價格的對數(shù)lnS的變化遵循的隨機(jī)過程 由于 得出G的過程為 上式說明lnS服從正態(tài)分布 S服從對數(shù)正態(tài)分布 令t時刻的G為lnS T時刻的G為lnST 是正態(tài)分布函數(shù) 即 二 隨機(jī)過程 例 設(shè)一種不付紅利股票遵循幾何布朗運(yùn)動 其波動率為每年20 預(yù)期收益率以連續(xù)復(fù)利計(jì)為每年18 其目前的市價為50元 求6個月后該股票價格變化值的概率分布 解 6個月后股價的概率分布為 由于一個正態(tài)分布變量取值位于均值左右兩個標(biāo)準(zhǔn)差范圍內(nèi)的概率為95 因此 置信度為95 時 3 992 1 96 0 141 3 71 3 992 1 96 0 141 4 2683 71 lnST 4 268即 40 85 ST 71 38因此 6個月后A股票價格落在40 85元到71 38元之間的概率為95 二 隨機(jī)過程 總結(jié) 與描述證券價格變化有關(guān)的隨機(jī)過程 標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動或維納過程 遵循該隨機(jī)過程的隨機(jī)變量值的增加具有均值為0 方差為T的正態(tài)分布 2 普通布朗運(yùn)動或一般維納過程 遵循該隨機(jī)過程的隨機(jī)變量的均值漂移率的期望值為a 方差率的期望值為b2 兩參數(shù)均為常數(shù) dx adt bdz 二 隨機(jī)過程 3 幾何布朗運(yùn)動 適用于描述股票價格運(yùn)動 是伊藤過程的一種特定形式 遵循該隨機(jī)過程的隨機(jī)變量的均值漂移率的期望值為 S 方差率的期望值為 2S2 變量 特定為股票價格波動的標(biāo)準(zhǔn)差 變量 特定為股票價格的預(yù)期收益率 這兩個參數(shù)假設(shè)為常數(shù)4 伊藤過程 適用于描述衍生證券價格運(yùn)動 遵循該隨機(jī)過程的隨機(jī)變量的均值漂移率為a和方差率為b2 但I(xiàn)to過程的期望漂移率和方差率都隨時間變化而變化 而且函數(shù)F X T 也遵循伊藤過程 dx a x t dt b x t dzReturn 三 布萊克 斯科爾斯期權(quán)定價模型 1973年金融學(xué)家F Black和M Scholes發(fā)表了 期權(quán)定價與公司負(fù)債 一文 該論文首次推出了確定歐式期權(quán)價值的解析表達(dá)式 B S歐式期權(quán)定價公式 探討了期權(quán)定價在估計(jì)公司證券價值方面的應(yīng)用 更重要的是它采用的動態(tài)復(fù)制方法成為期權(quán)定價研究的經(jīng)典方法 三 布萊克 斯科爾斯期權(quán)定價模型 一 衍生證券 期權(quán) 定價思路 由于衍生證券價格和標(biāo)的證券價格都受同一種不確定性 dz 影響 若匹配適當(dāng) 這種不確定性就可以相互抵消 布萊克和斯科爾斯建立一個包括一單位衍生證券空頭和若干單位標(biāo)的證券多頭的投資組合 若數(shù)量適當(dāng) 標(biāo)的證券多頭盈利 或虧損 總是會與衍生證券空頭的虧損 或盈利 相抵消 因此在短時間內(nèi)該投資組合是無風(fēng)險的 在無套利機(jī)會的情況下 該投資組合在短期內(nèi)的收益率一定等于無風(fēng)險利率 三 布萊克 斯科爾斯期權(quán)定價模型 二 布萊克 斯科爾斯期權(quán)定價模型的假設(shè)證券價格遵循幾何布朗運(yùn)動 即 和 為常數(shù) 允許賣空標(biāo)的證券 沒有交易費(fèi)用和稅收 所有證券都是完全可分的 在衍生證券有效期內(nèi)標(biāo)的證券沒有現(xiàn)金收益支付 不存在無風(fēng)險套利機(jī)會 證券交易是連續(xù)的 價格變動也是連續(xù)的 在衍生證券有效期內(nèi) 無風(fēng)險利率r為常數(shù) 三 布萊克 斯科爾斯期權(quán)定價模型 三 布萊克 斯科爾斯微分方程的推導(dǎo)1 基礎(chǔ)證券的運(yùn)動模型 由于假設(shè)證券價格S遵循幾何布朗運(yùn)動 因此有 dS Sdt十 Sdz其在一個小的時間間隔 t中 S的變化值 S為 S S t S z 1 確定項(xiàng) 風(fēng)險項(xiàng) 三 布萊克 斯科爾斯期權(quán)定價模型 2 衍生工具的運(yùn)動模型 假設(shè)f是依賴于S的衍生證券的價格 則f一定是S和t的函數(shù) 由伊藤引理可得 在一個小的時間間隔 t中 f的變化值 f為 2 三 布萊克 斯科爾斯期權(quán)定價模型 從上面分析看出 1 和 2 中的 z相同 都等于因此只要選擇適當(dāng)?shù)难苌C券和標(biāo)的證券的組合就可以消除不確定性 為了消除 z 我們可以構(gòu)建一個包括一單位衍生證券空頭和單位標(biāo)的證券多頭的組合 三 布萊克 斯科爾斯期權(quán)定價模型 令 代表該投資組合的價值 則 組合 的價值為 3 在 t時間之后 該投資組合的價格發(fā)生變化 為 4 將式 1 2 代入 4 可得 5 三 布萊克 斯科爾斯期權(quán)定價模型 4 無套利定價由于式 5 中不含有 z 該組合的價值在一個小時間間隔 t后必定沒有風(fēng)險 因此該組合在 t中的瞬時收益率一定等于 t中的無風(fēng)險收益率 因此 在沒有套利機(jī)會的條件下 r t 6 三 布萊克 斯科爾斯期權(quán)定價模型 5 布菜克 斯科爾斯微分分程把式 3 和 5 代入 6 得 變換可得 7 布菜克 斯科爾斯微分分程 它適用于其價格取決標(biāo)的證券價格S的所有衍生證券的定價 三 布萊克 斯科爾斯期權(quán)定價模型 股票衍生工具都滿足上述方程 不同工具的差異體現(xiàn)在邊界條件上 歐式買權(quán) 當(dāng)t T時 f max S X 歐式賣權(quán) 當(dāng)t T時 f max X S 三 布萊克 斯科爾斯期權(quán)定價模型 6 注意組合的風(fēng)險性當(dāng)S和t變化時 的值也會變化 因此上述投資組合的價值并不是永遠(yuǎn)無風(fēng)險的 它只是在一個很短的時間間隔 t中才是無風(fēng)險的 從式 7 可以看出 衍生證券的價值決定公式中出現(xiàn)的變量為標(biāo)的證券當(dāng)前市價 S 時間 t 證券價格的波動率 和無風(fēng)險利率 它們?nèi)际强陀^變量 獨(dú)立于主觀變量 風(fēng)險收益偏好 而受制于主觀的風(fēng)險收益偏好的標(biāo)的證券預(yù)期收益率 并未包括在衍生證券的價值決定公式中 這意味著 無論風(fēng)險收益偏好狀態(tài)如何 都不會對f的值產(chǎn)生影響 三 布萊克 斯科爾斯期權(quán)定價模型 四 布萊克 斯科爾斯期權(quán)定價公式1 風(fēng)險中性定價原理 1 風(fēng)險中性假設(shè) 在一個假想的風(fēng)險中性世界里 所有的市場參與者都是風(fēng)險中性的 所有資產(chǎn)不論其風(fēng)險大小或者是否有風(fēng)險 預(yù)期收益率都相同 等于無風(fēng)險利率 而且所有資產(chǎn)現(xiàn)在的均衡價格都等于其未來收益的預(yù)期值按無風(fēng)險利率折現(xiàn)后的現(xiàn)值 三 布萊克 斯科爾斯期權(quán)定價模型 2 風(fēng)險中性定價原理 任何基于其他交易證券的衍生產(chǎn)品都可以在投資者風(fēng)險中性的假設(shè)下定價 所有證券的預(yù)期收益率為無風(fēng)險利率 無風(fēng)險利率是任何預(yù)期的未來現(xiàn)金流的最合適的折現(xiàn)率 3 風(fēng)險中性定價步驟 假設(shè)標(biāo)的資產(chǎn)的預(yù)期收益率為無風(fēng)險利率 計(jì)算風(fēng)險中性的概率 計(jì)算期權(quán)或衍生品在到期的預(yù)期收益 以無風(fēng)險利率將預(yù)期收益折現(xiàn) 三 布萊克 斯科爾斯期權(quán)定價模型 2 歐式看漲期權(quán)的精確公式在風(fēng)險中性的條件下 歐式看漲期權(quán)到期時 T時刻 的期望值為 其中 T為期權(quán)到期時刻 ST為期權(quán)到期時的股票價格 X為期權(quán)合約中事先約定買賣股票的執(zhí)行價格 三 布萊克 斯科爾斯期權(quán)定價模型 其中 表示風(fēng)險中性條件下的期望值 根據(jù)風(fēng)險中性定價原理 歐式看漲期權(quán)的價格f等于將此期望值按無風(fēng)險利率進(jìn)行貼現(xiàn)后的現(xiàn)值 即 8 這是上述布萊克和斯科爾斯微分方程的重要的邊界條件 三 布萊克 斯科爾斯期權(quán)定價模型 在風(fēng)險中性條件下 我們還需要用r取代下式中的 替換為 考慮到前述的邊界條件 求解前面的微分方程可得 9 其中 N d 為累計(jì)正態(tài)分布函數(shù) 即隨機(jī)變量小于d的概率 三 布萊克 斯科爾斯期權(quán)定價模型 3 歐式看跌期權(quán)的精確公式由于 根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)的特性 N x 1 N x 根據(jù)歐式看漲期權(quán)和看跌期權(quán)的平價關(guān)系 可得看跌期權(quán)的價格P為 三 布萊克 斯科爾斯期權(quán)定價模型 注 歐式看漲期權(quán)和看跌期權(quán)的平價在時間t 0 構(gòu)造兩個投資組合A和B tT組合A 一份看漲期權(quán)多頭ff X貸出一筆現(xiàn)金Xe r T r 組合B 一份看跌期權(quán)多頭PP ST買入一股股票S 三 布萊克 斯科爾斯期權(quán)定價模型 在T時 當(dāng)ST X 執(zhí)行看漲期權(quán) 用X去買股票即變成ST不執(zhí)行看跌期權(quán) 剩余ST當(dāng)ST X 看漲期權(quán)自動作廢 剩X執(zhí)行看跌期權(quán) 變成X所以 無論什么情況下兩個組合當(dāng)前價格都相等 即 三 布萊克 斯科爾斯期權(quán)定價模型 例 考慮一種期權(quán) 還有6個月有效期 股票現(xiàn)價為 42 期權(quán)執(zhí)行價格為 40 無風(fēng)險利率為10 連續(xù)復(fù)利 股票價格波動率為每年20 請計(jì)算該股票期權(quán)價格 解 已知S 42 X 40 r 0 10 0 2 t T 0 5 三 布萊克 斯科爾斯期權(quán)定價模型 因此 若該期權(quán)為看漲期權(quán) 則其價值f為 若該期權(quán)為看跌期權(quán) 則其價值p為 查表可得 N 0 7693 0 7791 N 0 6278 0 7349N 0 7693 0 2209 N 0 6278 0 2651因此 f 4 76 p 0 81 三 布萊克 斯科爾斯期權(quán)定價模型 4 對B S公式理解 1 上式右邊的第二項(xiàng) e r T t XN d2 是構(gòu)建無套利組合時加入的一個單位衍生證券空頭的現(xiàn)值 價值貼現(xiàn) 由于該頭寸是空頭 所以符號為負(fù) 可以理解為組合中的負(fù)債價值 N d2 是在風(fēng)險中性世界中ST大于X的概率 即是歐式看漲期權(quán)被執(zhí)行的概率 XN d2 是執(zhí)行價格乘以行權(quán)的概率 是概率折扣后到期行權(quán)獲得的價值 是T時刻的終值 e r T t XN d2 是上面終值XN d2 貼現(xiàn)到當(dāng)前的現(xiàn)值 它構(gòu)成當(dāng)前期權(quán)價格的一部分 三 布萊克 斯科爾斯期權(quán)定價模型 2 上式右邊的第一項(xiàng)SN d1 是構(gòu)建無套利組合時加入的若干個單位的標(biāo)的證券的多頭的現(xiàn)值 由于該頭寸是多頭 所以符號為正 可以理解為組合中的資產(chǎn)價值 無套利資產(chǎn)組合中必然同時存在多頭和空頭 否則風(fēng)險無法對沖 N d1 可以看作是組合中股票的數(shù)量 不超過1 SN d1 就是股票的市值 考慮到在風(fēng)險中性條件下 ST實(shí)際上是S按無風(fēng)險利率增長在T時的終值 ST Ser T t 或S e r T t ST因此SN d1 可以變換為 SN d1 e r T t STN d1 期權(quán)定價公式 9 可以相應(yīng)表示為 三 布萊克 斯科爾斯期權(quán)定價模型 3 d1和d2的性質(zhì)當(dāng)股票價格S變得很大時 d1和d2變得很大 N d1 和N d2 趨近于1 則 看漲期權(quán)價格f S Xe r T t 看跌期權(quán)價格p為0 因?yàn)镹 d1 和N d2 趨近于0 三 布萊克 斯科爾斯期權(quán)定價模型 當(dāng)股價波動率 趨近于0時 有兩種情況 當(dāng)S Xe r T t 時 d1和d2趨向于正無窮大 N d1 和N d2 趨近于1 看漲期權(quán)價格f為 S Xe r T t 看跌期權(quán)價格p為0 當(dāng)S Xe r T t 時 d1和d2趨向于負(fù)無窮大 N d1 和N d2 趨近于0 看漲期權(quán)價格f為0 看跌期權(quán)價格p為 Xe r T t S總之 只要 趨近于0 一定有 看漲期權(quán)價值總為 Max S Xe r T t 0 看跌期權(quán)價值總為 Max Xe r T t S 0 Return 三 布萊克 斯科爾斯期權(quán)定價模型