淺析物體平衡問(wèn)題的解題方略.doc

物體平衡問(wèn)題的解題方略忻傳森（浙江省天臺(tái)平橋中學(xué) 317203）（本文已全文發(fā)表于物理通報(bào)2004年第6期）物體平衡是一種重要的物理模型，其實(shí)質(zhì)是力的平衡。研究對(duì)象的確定與變換、力的等效處理、平衡力之間的制約關(guān)系是我們?cè)诮鉀Q物體平衡問(wèn)題時(shí)進(jìn)行解題決策的三個(gè)基本著眼點(diǎn)。一、研究對(duì)象的選取和變換1、整體法、隔離法的應(yīng)用和研究對(duì)象的轉(zhuǎn)換粗糙光滑（圖1）OAPQB整體法和隔離法是重要的思想方法。在不涉及系統(tǒng)內(nèi)力時(shí)應(yīng)優(yōu)先考慮運(yùn)用整體法，其優(yōu)點(diǎn)是研究對(duì)象少，求解過(guò)程往往簡(jiǎn)單而巧妙。而隔離法的運(yùn)用則可把系統(tǒng)的內(nèi)力轉(zhuǎn)化為某一個(gè)體所受的外力。實(shí)際應(yīng)用時(shí)，要求靈活轉(zhuǎn)換研究對(duì)象，交替使用整體法和隔離法，以取得最簡(jiǎn)潔的解題思路。例1、有一個(gè)直角支架AOB，AO水平放置，表面粗糙；OB豎直放置，表面光滑。AO上套有小環(huán)P，OB上套有小環(huán)Q，質(zhì)量均為m，兩環(huán)由一根質(zhì)量可忽略、不可伸長(zhǎng)的細(xì)繩相連，并在某一位置平衡（如圖1）。現(xiàn)將P環(huán)向左移一小段距離，當(dāng)兩環(huán)再次達(dá)到平衡，那么將移動(dòng)后的平衡狀態(tài)和原來(lái)的平衡狀態(tài)比較，AO桿對(duì)P環(huán)的支持力和細(xì)繩上的拉力T的大小變化情況如何？解析 首先通過(guò)整體分析法可知，支持力 始終不變。再轉(zhuǎn)換研究對(duì)象，隔離環(huán)Q進(jìn)行分析，在豎直方向有，其中環(huán)P左移后，繩與豎直方向的夾角變小，因此T將變小。2、剛體平衡轉(zhuǎn)化為質(zhì)點(diǎn)平衡根據(jù)三力匯交原理，物體在共面的三個(gè)力作用下處于平衡狀態(tài)時(shí)，這三個(gè)力若不平行則必共點(diǎn)。因此物體受到三個(gè)非平行力作用的平衡問(wèn)題（包含力矩平衡），可將其轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的質(zhì)點(diǎn)平衡（即共點(diǎn)力平衡）來(lái)處理。當(dāng)物體在四個(gè)力作用下平衡時(shí)，可先將其中的兩個(gè)力合成，然后再按三力平衡時(shí)的處理方法轉(zhuǎn)化為質(zhì)點(diǎn)平衡處理。例2、如圖2所示勻質(zhì)桿AB重為G，一端靠在光滑豎直墻上，另一端放在粗糙的水平地面上，靜止的桿與地面成角，求地面對(duì)桿的作用力和墻對(duì)桿的作用力。解析 題中桿的實(shí)際受力如圖2甲。本題通常要用力平衡和力矩平衡結(jié)合解題，現(xiàn)在我們可以把它轉(zhuǎn)化為質(zhì)點(diǎn)平衡來(lái)處理。首先若不考慮桿的轉(zhuǎn)動(dòng)而只考慮桿的平動(dòng)平衡，則桿的受力可看作如圖2乙的情況，即轉(zhuǎn)化為了共點(diǎn)力平衡問(wèn)題，由平衡條件得，。地面對(duì)桿的作用力f和N2 的合力記為F，物體又可等效為受F、G、N1 三個(gè)力作用，三力匯交于O點(diǎn)，這樣就將非共點(diǎn)力平衡轉(zhuǎn)化為了共點(diǎn)力平衡問(wèn)題 （如圖2丙）。由平衡條件得，。fA甲丙（圖2）BGN1N2FOOFN1G乙N1GfN2O又由圖甲中的的幾何關(guān)系易得，。由此三式即可解得，因此地面和墻的對(duì)桿的作用力分別為， 二、力的等效處理在解平衡問(wèn)題時(shí)，為使問(wèn)題變得更為簡(jiǎn)單化有序化以便于把握、表達(dá)式更為簡(jiǎn)潔有效、解題過(guò)程更為簡(jiǎn)捷，經(jīng)常要利用矢量運(yùn)算法則（平行四邊形定則）對(duì)力進(jìn)行合成和分解的等效處理，再列式計(jì)算。1、合成法和分解法甲乙丙（圖3）ABOF1F2TTG1G2F1F2合成法通常是指將物體所受的多個(gè)外力通過(guò)合成的方法簡(jiǎn)化成更少的力，并使在合成方向上受力平衡。分解法則是將一個(gè)力根據(jù)作用效果來(lái)分解，并使在分解的方向上受力平衡。例3、如圖3所示，重物的質(zhì)量m，輕繩AO與BO的A端、B端是固定的，平衡時(shí)AO水平、BO與水平面夾角為，則繩AO的拉力F1和繩BO的拉力F2分別是多大？解析 （1）、用合成法解本題。結(jié)點(diǎn)O受三個(gè)力F1、F2和的作用。F1、F2的合力與mg是平衡力，再由圖中的三角關(guān)系可知，（2）、用分解法來(lái)解。將T沿F1、F2的反方向分解得到G1、G2，然后再由平衡條件F1=G1和F2=G2即可求得F1和F2 。 2、正交分解法正交分解法是指將各力分解為相互垂直的兩組，并使每一組都滿足平衡關(guān)系，形式為Fx = 0，F(xiàn)y = 0。正交分解方向的選取可不必考慮力的作用效果，但為簡(jiǎn)明分解過(guò)程和簡(jiǎn)化解題步驟，建立坐標(biāo)系的原則是使不在坐標(biāo)軸上的力盡可能的少。如例3中可沿水平方向和豎直方向建立坐標(biāo)系，將不在軸上的OB繩的張力F2向坐標(biāo)軸上分解，然后由平衡關(guān)系即可求得F1和F2。3、力系的簡(jiǎn)化有時(shí)要通過(guò)對(duì)力的合成和分解處理，使物體的受力情況變得更為有序化和簡(jiǎn)單化，使問(wèn)題更便于解決，如以上的例2和例3，此處再舉一例。例4、在豎直墻等高處的A、B兩點(diǎn)分別固定兩等長(zhǎng)輕繩AO、BO的一端，然后用輕桿CO把AOB支成水平面，C支在AB中點(diǎn)D的正下方墻上且可自由轉(zhuǎn)動(dòng)，如圖甲所?，F(xiàn)在O點(diǎn)懸掛重為G的物體，已知，則AO繩的拉力T為多大？（圖4）甲乙CDO600ABCOD解析 本題涉及三維空間，要求有一定的空間想象能力，要在審題時(shí)，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)相關(guān)的平面進(jìn)行受力分析。由AO、BO等長(zhǎng)的關(guān)系可知兩繩拉力相等，再由可知兩繩拉力的合力沿OD方向且大小等于T。這樣就相當(dāng)于在OD處有一根輕繩來(lái)取代AO、BO兩根繩，只需求出OD繩拉力即可。COD在同一豎直平面內(nèi)，這樣就轉(zhuǎn)化為了平面力系的平衡問(wèn)題，如圖4乙所示，不難解得。三、平衡力的幾何特征及其應(yīng)用平衡物體所受力的幾何特征也是我們解決平衡物體的重要依據(jù)。對(duì)于受三個(gè)共點(diǎn)力作用而處于平衡狀態(tài)的物體來(lái)說(shuō)，這三個(gè)力（用有向線段來(lái)表示）可構(gòu)成一個(gè)封閉的三角形對(duì)于多力平衡則是封閉的多邊形。這種“封閉性”在幾何上反映了力平衡的特征，與力的平衡方程是互為充要的。利用這種表示平衡關(guān)系的矢量三角形，我們可以啟動(dòng)所有解三角形的有關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)來(lái)求解平衡問(wèn)題。例如對(duì)直角三角形可利用三角函數(shù)或勾股定理，對(duì)任意三角形可利用正弦定理或余弦定理，還可利用三角形的相似關(guān)系，有些問(wèn)題還需要利用這種矢量三角形及其動(dòng)態(tài)變化（即圖解法）來(lái)定性或定量地分析各力的變化規(guī)律。例5、如圖5甲所示，質(zhì)量為m的球放在傾角為的光滑斜面上，試分析擋板AO與斜面的傾角多大時(shí)，擋板AO所受壓力最小，為多大？乙甲Omg（圖5）N1N2N1N2Amg解析 以球?yàn)檠芯繉?duì)象，球受到的重力mg、斜面對(duì)它的支持力N1和擋板對(duì)它支持力N2構(gòu)成一個(gè)封閉的三角形，如圖5乙所示。當(dāng)變化時(shí)，mg大小方向都不變，N1方向不變而大小變化，而N2的大小方向均變化。由圖可以看出，N2與N1垂直，即時(shí)，N2有最小值，此即擋板AO所受壓力的最小值。四、尋找約束關(guān)系和幾何關(guān)系N（圖6）mgfmOh在力學(xué)體系中，常存在著一些限制各質(zhì)點(diǎn)自由運(yùn)動(dòng)的條件，我們稱之為約束。因此各質(zhì)點(diǎn)的受力關(guān)系和空間位置關(guān)系，并不是相互獨(dú)立的，而是通過(guò)一些約束關(guān)系把它們聯(lián)系著。在力學(xué)解題中必須充分分析和利用這些約束關(guān)系和幾何關(guān)系提供的輔助方程，如果不能正確地運(yùn)用這些關(guān)系，往往不能順利地解題。對(duì)于一個(gè)平衡問(wèn)題，如果力學(xué)定理（平衡方程）正確用上后還不能解出，必然是約束關(guān)系沒(méi)有充分運(yùn)用的緣故。例6、有一只甲殼蟲在一半徑為R的半球形碗中向上爬，已知?jiǎng)幽Σ烈驍?shù)為（并設(shè)最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力）。求它能爬到的最大高度。解析 甲殼蟲爬到最大高度時(shí)，恰能處于靜止?fàn)顟B(tài)，所受的摩擦力為最大靜摩擦力， fm =N 。由平衡條件有，fm = mg sin，N = mg cos又由圖中的幾何關(guān)系可得，h = R（1cos）由以上關(guān)系可解得最大高度為：本題在求解時(shí)，除了要運(yùn)用平衡力之間的基本制約關(guān)系平衡方程外，還要充分分析和利用力之間的其它約束關(guān)系方向的約束關(guān)系、大小的制約關(guān)系（f =N）及空間位置的幾何關(guān)系。另外，在有些問(wèn)題中，約束關(guān)系和幾何關(guān)系具有一種對(duì)稱性，充分利用這一關(guān)系，經(jīng)?？墒菇忸}變得更為簡(jiǎn)潔和巧妙。（圖7）ACBD例7、如圖7所示，4個(gè)相同的物塊A、B、C、D質(zhì)量均為m，現(xiàn)用兩塊相同的木板將它們緊壓在一起，處于靜止?fàn)顟B(tài)，接觸面豎直。試分析兩木板與A、D間及中央兩物塊B、C間的摩擦力。解析 根據(jù)題中研究對(duì)象在性質(zhì)和構(gòu)造上的對(duì)稱性，左板與A之間、右板與D之間具有相同的摩擦力，然后通過(guò)分析整體的平衡關(guān)系易知該摩擦力大小為 f = 2mg ，方向豎直向上。而B、C之間不應(yīng)存在摩擦力，因?yàn)楦鶕?jù)對(duì)稱性，B、C的受力情