三角形專題復(fù)習(xí).doc

姓名 班級(jí) 七年級(jí)專題復(fù)習(xí)（四）三角形一、有關(guān)的基本概念1、定義：由不在同一條直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形。它有三條邊、三個(gè)內(nèi)角和三個(gè)頂點(diǎn)，三角形可用符號(hào)“”表示三角形的一邊與另一邊的 組成的角叫三角形外角2、三種重要的線段三角形一個(gè)角的平分線與這個(gè)角的對(duì)邊相交，這個(gè)角的頂點(diǎn)和交點(diǎn)之間的線段叫做三角形的 在三角形中，連結(jié)一個(gè)頂點(diǎn)和它的 的線段叫做三角形的中線從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)向它的對(duì)邊所在直線畫垂線， 之間的線段叫三角形的高注意：三角形的角平分線不同于一個(gè)角的平分線，前者是一條線段，后者是一條射線。三角形的高線是線段，而線段的垂線是直線；銳角三角形的三條高線都在三角形的內(nèi)部；直角三角形中，有兩條高線恰好是它的兩條邊；鈍角三角形的三條高線中，有兩條高線在三角形的外部，它們的垂足落在邊的延長線上?！纠蠋熖嵝眩阂欢ㄒ⒁?，三角形的高不一定在三角形的內(nèi)部?！咳切蔚娜龡l角平分線交于一點(diǎn)，三條中線交于一點(diǎn)，三角形的三條高所在的直線交于一點(diǎn)注意各定義的推理形式及應(yīng)用。二、三角形的分類1、按邊： 不等邊三角形 三角形 等邊三角形2、按角： 三角形 斜三角形 三、三角形有關(guān)的性質(zhì)（1）邊的性質(zhì)【定理】：三角形的任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊。（2）角的性質(zhì)【定理】：三角形的內(nèi)角和為180，外角和為360；一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和；一個(gè)外角大于任何一個(gè)和它不相鄰的內(nèi)角；直角三角形的兩個(gè)銳角互余。（3）穩(wěn)定性：即三角形的三邊的長度確定后，三角形的形狀大小保持不變?！玖?xí)題訓(xùn)練】訓(xùn)練（一）三角形三邊關(guān)系1以下列各組線段為邊，能組成三角形的是（ ） A3cm， 5cm， 4cm B4cm，6cm，10cm C1cm，1cm，3cm D3cm，4cm，9cm2、有長分別為1cm、2cm、3cm、4cm、5cm的線段，則以其中三條線段為邊可構(gòu)成三角形的概率為 。方法：已知三條線段的長，判斷能否圍成三角形的方法：需滿足兩個(gè)較小數(shù)的和大于最大的數(shù)或最大數(shù)與最小數(shù)的差大于第三個(gè)數(shù)。3、等腰三角形的一邊長等于4cm，一邊長等于9cm，則它的周長是 。4、在等腰三角形中，周長為22cm,一邊長為8cm，則另外兩邊的長分別為 。注意：1、解決邊的問題，一定不要忘記“邊的性質(zhì)”這個(gè)一定隱藏條件。2、考慮問題要全面，注意分類討論的思想。5、一個(gè)三角形的兩邊分別為3和8，周長為偶數(shù)，則第三邊長為 。注意：在三角形中，已知兩邊的長，可以確定第三邊的取值（兩邊之差的絕對(duì)值第三邊兩邊之和）。*變式訓(xùn)練：【知三邊的長（含有字母），求字母的取值范圍。方法：轉(zhuǎn)化為1、2題型】：在ABC中，AB=14，BC=5x，AC=3x，則x的取值范圍 。已知三角形三邊長為a，a+1，a1，則a的取值范圍是_。三角形的周長為9,三邊長都是整數(shù),則滿足條件的三角形共有( )個(gè) A.2 B.3 C.4 D.5*一等腰三角形的周長為10，腰長為x，則x的取值范圍是 。6、若三角形兩邊之比為2:3，三邊都是整數(shù)，且周長為18，求各邊長。6、在ABC中，AB4cm，AC6cm，AD是ABC的中線，則AD的取值范圍是 。（注意“中線加倍法”的應(yīng)用） 7、木工師傅在做完門框后為防止變形，常常像圖3那樣，釘上兩條斜拉的木板條（即圖中的AB、CD兩個(gè)木條），這樣做根據(jù)的數(shù)學(xué)道理是（ ）（A）兩直線相交，只有一個(gè)交點(diǎn) （B）兩點(diǎn)確定一條直線（C）三角形具有穩(wěn)定性 （D）兩點(diǎn)之間，線段最短8、設(shè)a、b、c為ABC的三邊，化簡(jiǎn)訓(xùn)練（二）三角形的角的性質(zhì)1、適合條件的三角形是（ ）A、銳角三角形 B、等邊三角形 C、鈍角三角形 D、直角三角形2、ABC中，A=3B，AC=30，則A= ，B=_，C=_。3、等腰三角形中一個(gè)角為50，則這個(gè)等腰三角形另外兩個(gè)角的度數(shù)為 。 4、已知的三個(gè)內(nèi)角，滿足關(guān)系式則此三角形（）A一定有一個(gè)內(nèi)角為一定有一個(gè)內(nèi)角為一定是直角三角形一定是鈍角三角形5、如圖，在銳角ABC中，CD、BE分別是AB、AC邊上的高，且CD、BE交于一點(diǎn)P，若A=50，則BPC的度數(shù)是（ ）A150 B130 C120 D100 6、下列條件：（1）A+B=C，（2）A：B：C=1：2：3，（3）A=90B，（4）A=B=12C中，其中能確定ABC是直角三角形的條件為 。8、如圖9，ABCD EF的度數(shù)是 。9、如圖5，在ABD中以AD為一邊向ABD形外作ADC，且B、D、C不在同一 條 直線上，若BAC100，B 40，C15，則BDC的度數(shù)為 。10、（2013湘西州）如圖，一副分別含有30和45角的兩個(gè)直角三角板，拼成如下圖形，其中C=90，B=45，E=30，則BFD的度數(shù)是 。11、（2013郴州）如圖，在RtACB中，ACB=90，A=25，D是AB上一點(diǎn)將RtABC沿CD折疊，使B點(diǎn)落在AC邊上的B處，則ADB等于 。12、（2013寧夏）如圖，ABC中，ACB=90，沿CD折疊CBD，使點(diǎn)B恰好落在AC邊上的點(diǎn)E處若A=22，則BDC等于 。三、如圖，在ABC中，AB=AC，BC=BD，AD=DE=EB，你能求出A的度數(shù)嗎？請(qǐng)求出來。方法小結(jié)：1、基本思想：“等邊”在同一個(gè)三角形中常轉(zhuǎn)化為“等角”；2、注意方程思想的應(yīng)用（三角形中求角時(shí)，常利用外角性質(zhì)和已知條件把三個(gè)角用x表示，再利用內(nèi)角和為180列方程。）說明：、注意認(rèn)真觀察圖形，一個(gè)角可能是某個(gè)三角形的內(nèi)角，同時(shí)又是另一個(gè)三角形的外角；有時(shí)需要恰當(dāng)?shù)臉?gòu)造三角形；注意方程思想、整體思想的應(yīng)用。訓(xùn)練（三）三角形中的三條重要線段1、在下圖中，正確畫出AC邊上高的是（ ）A B C D2、如圖，在ABC中，D、E分別是BC、AD的中點(diǎn)，SABC=4cm2，則SABE= 。（題） （4題） （5題）*4、如圖所示，在ABC中，B=C=50，BD=CF，BE=CD，則EDF的度數(shù)是 。*5、已知，如圖在ABC中，AB=AC，BAD=20，且AE=AD,則CDE= 。6、已知：AD是ABC的高線，BAD=60, CAD=20， 則BAC的度數(shù)為 。二、在等腰三角形ABC中，AB=AC，一腰上的中線BD將這個(gè)等腰三角形的周長分為15和6兩部分，求該等腰三角形的腰長及底邊長三、規(guī)律探索題BACDE1 、如圖1，在ABC中，ADBC于點(diǎn)D，AE平分(1)試探究的關(guān)系； 圖 （2）若F是AE上一動(dòng)點(diǎn)若F移動(dòng)到A、E之間的位置時(shí)，F(xiàn)DBD，如圖2所示，此時(shí)的關(guān)系如何？當(dāng)F繼續(xù)移動(dòng)到AE的延長線上時(shí)，如圖3所示，F(xiàn)DBC，中的結(jié)論是否還成立？如果成立，說明理由，如果不成立，寫出新的結(jié)論。2、如圖，ABC中，ABC與ACB的平分線交于點(diǎn)I。若ABC40，ACB60，則BIC 。請(qǐng)?zhí)剿鰾IC與A有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并說明理由。 3如圖，在ABC中，B的平分線與C的外角平分線交于P點(diǎn)求證：A =2P。4、如圖，BD、CD分別是ABC的兩個(gè)外角CBE、BCF的平分線，試探索D與A之間的數(shù)量關(guān)系。說明：可記住1-4的結(jié)論。做填空或選擇可直接應(yīng)用。變式訓(xùn)練：1、直角三角形兩銳角的平分線交成的角的度數(shù)為 。2、直角三角形兩銳角的外角平分線所夾銳角的大小是 。 3、如圖，ABC中，高BD、CE相交于點(diǎn)F，BO、CO分別平分CBF、CFB,若A=50，則BOC的度數(shù)為 。 （3題） （4題）、如圖，ABC的三邊AB、BC、CA長分別是20、30、40，其三條角平分線將ABC分為三個(gè)三角形，則SABOSBCOSCAO等于（ ）A111 B123 C234 D345四、全等三角形1、全等圖形：兩個(gè)能夠完全重合的圖形稱為全等圖形。全等圖形的特征 ：全等圖形的形狀和大小都相等。全等三角形：兩個(gè)能夠完全重合的三角形叫做全等三角形，兩個(gè)全等三角形重合時(shí)，互相重合的邊叫做對(duì)應(yīng)邊，互相重合的頂點(diǎn)叫做對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)，互相重合的角叫做對(duì)應(yīng)角。說明：1）、由定義可知：在旋轉(zhuǎn)、平移、折疊、翻折問題中，會(huì)出現(xiàn)全等三角形。2）、注意全等三角形對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角必須找準(zhǔn)。2、全等三角形的性質(zhì)：定理：全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等。說明：1）、利用全等三角形證明兩個(gè)三角形的邊相等、角相等是一種非常重要的方法；2）、由全等三角形的判定與性質(zhì)易得：全等三角形對(duì)應(yīng)邊上的高、中線、角平分線對(duì)應(yīng)相等。3、全等三角形的判定條件判定兩個(gè)三角形全等，至少需要3個(gè)條件，并且至少一個(gè)是邊。判定方法：（1）一般三角形全等的判別方法有四種方法：【公理】：兩邊及其夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等。即：邊角邊（SAS）；【公理】：兩角及其夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等。即：角邊角(ASA);【定理】：兩角及其中一角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等。即：角角邊(AAS);【公理】：三條邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等。即：邊邊邊(SSS).(2)直角三角形的全等的條件：除了使用SAS、ASA、AAS、SSS判別方法外，還有一種重要的判別方法，也就是斜邊、直角邊（HL）判別方法.說明：1、對(duì)全等三角形的判定有兩個(gè)結(jié)論需記?。海?）兩邊及第三邊（或其中一邊）上的中線對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等。（2）兩邊及其中一邊上的高對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等。6.判別兩個(gè)三角形全等方法的選擇：（1）已知兩邊 2）已知一邊一角3）已知兩角7、作三角形用尺規(guī)作三角形的類型主要有：（1）、己知三角形的三邊； （2）己知三角形的兩邊及夾角； （3）、己知三角形兩角及夾邊； （4）、已知直角三角形的直角邊及斜邊。注意：在作三角形等幾何作圖中，作圖痕跡務(wù)必保留，不能將作圖痕跡抹掉。在作三角形時(shí)，一般按全等的判定方法的順序作，但作法可能不惟一，只要合理，都是正確的。二、應(yīng)用時(shí)注意的問題1.一個(gè)或兩個(gè)條件不能判定兩個(gè)三角形全等。判定三角形全等需三個(gè)條件，且至少一個(gè)是邊；判定直角三角形全等，除直角外，還需兩個(gè)條件，且至少一個(gè)是邊。2、注意：不能把“邊邊角”和“角角角”作為判定兩個(gè)三角形全等的依據(jù)3書寫全等三角形時(shí)一般把對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的字母放在對(duì)應(yīng)的位置.4、用“兩角一邊”證全等時(shí)，必須注意“兩角”與“邊”的位置關(guān)系，即：分清用的是“AAS”還是“ASA”。5、用“兩邊一角”證全等時(shí)，必須保證“角”是“兩邊”的夾角，因?yàn)镾SA不能證明全等。三、證明全等三角形的一般步驟：1、由題中的等角、等邊“找出”可能的全等三角形，有時(shí)需恰當(dāng)?shù)淖鬏o助線“構(gòu)造”全等三角形。2、找直接條件【已知條件、自然條件（公共邊、公共角、對(duì)頂角）】或容易找到的條件，即：對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等 （注意等邊、等角不一定是對(duì)應(yīng)邊或?qū)?yīng)角。）3、把間接條件轉(zhuǎn)化成三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等。四、解決全等三角形的基本思想與方法五、常見的全等圖形1、軸對(duì)稱型：2、相交線型 3、旋轉(zhuǎn)型 4、“K型”： 習(xí)題訓(xùn)練：一、選擇題1如圖，有兩個(gè)長度相等的滑梯（即BC=EF），左邊滑梯的高度AC與右邊滑梯水平方向的長度DF相等，則ABC+DFE的度數(shù)為（）A、75B、60C、90D、120(1題) （3題） （4題）2.下列各組條件中，不能判定ABCABC的一組是（ ）A、A=A,B=B,AB= AB B、A=A ，AB= AB，AC=ACC、A=A，AB= AB，BC= BC D、AB= AB, AC=AC ,BC= BC3如圖,小明把一塊三角形的玻璃打碎成了三塊，現(xiàn)在要到玻璃店去配一塊完全一樣的玻璃，那么最省事的辦法是（ ） A. 帶去 B. 帶去 C. 帶去 D. 帶和去 方法：利用全等三角形的判定方法求解，當(dāng)含有元素滿足判定方法時(shí)即可。4如圖.從下列四個(gè)條件：BCBC， ACAC，ACABCB，ABAB中，任取三個(gè)為條件，余下的一個(gè)為結(jié)論，則最多可以構(gòu)成正確的結(jié)論的個(gè)數(shù)是（ ）A1個(gè) B2個(gè) C3個(gè) D4個(gè)5有以下條件：一銳角與一邊對(duì)應(yīng)相等；兩邊對(duì)應(yīng)相等；兩銳角對(duì)應(yīng)相等。其中能判斷兩直角三角形全等的是（ ）A B、 C、 D、6如果兩個(gè)三角形的兩邊和其中一邊上的高分別對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形的第三邊所對(duì)的角（ ）A、相等 B、不相等 C、互余 D、互補(bǔ)或相等7、判定兩個(gè)三角形全等，給出如下四組條件： 兩邊和一角對(duì)應(yīng)相等；兩角和一邊對(duì)應(yīng)相等； 兩個(gè)直角三角形中斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等；三個(gè)角對(duì)應(yīng)相等；其中能判定這兩個(gè)三角形全等的條件是（ ）A 、 和 B、和 C、和 D、和8、下列說法錯(cuò)誤的是（）A兩條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等；一個(gè)銳角和斜邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等；有一條邊和兩個(gè)角對(duì)在相等的兩個(gè)三角形全等；有兩邊和其中一邊所對(duì)的角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等。9、下列判斷中不正確的是（）A有兩條邊對(duì)應(yīng)相等的直角三角形是全等三角形；有兩邊及第三邊上的中線對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等；所有的等腰直角三角形都是全等的；有一邊及一銳角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形是全等形。10、如圖，某人站在O點(diǎn)，身體與地面垂直，他以相同的視角（視線與人所成的角）分別朝A、B張望了一下，發(fā)現(xiàn)視線剛好觸及A、B兩點(diǎn)，由此可得到O點(diǎn)是AB的中點(diǎn).這一結(jié)論可用判定AOC與BOC全等的方法來說明，現(xiàn)有如下幾種判定依據(jù)：SAS；ASA；AAS；SSS；HL.其中正確的個(gè)數(shù)是（ ）（A）2 （B）3 （C）4 （D）5 （10題） （11題） （12題）11、（2013山東臨沂）如圖，四邊形ABCD中，AC垂直平分BD，垂足為E，下列結(jié)論不一定成立的是（ ）AABADBAC平分BCDCABBDDBECDEC12、（2013貴州安順）如圖，已知AE=CF，AFD=CEB，那么添加一個(gè)條件后，仍無法判定ADFCBE的是（ ）AA=C BAD=CBCBE=DFDADBC二、填空題1、已知OA=OB，點(diǎn)C在OA上，點(diǎn)D在OB上，OC=OD，AD與BC相交于點(diǎn)E，那么圖中全等的三角形共有_對(duì)。ACEB2B1B第2題 （第1題） 2、如圖，1=2，要使ABEACE，還需添加一個(gè)條件是 （填上你認(rèn)為適當(dāng)?shù)囊粋€(gè)條件即可）。二、解答題1、如圖,在正方形ABCD中,E是AD上一點(diǎn),F是BA延長線上的一點(diǎn),AF=A, 線段BE與DF有什么關(guān)系？證明你的結(jié)論.注意：1）、兩條線段的關(guān)系有 種，即： 。 2）、兩條線段平行或垂直，指的是它們所在直線平行或垂直。方法小結(jié)：證明直角的方法有：1）垂直的定義；2）兩個(gè)角相等且互補(bǔ)；3）與直角相等；4）三角形兩個(gè)角互余，則第三個(gè)角是直角；4）與直角相等。變式訓(xùn)練：如圖，AB=12米，CAAB于點(diǎn)A，BDAB于點(diǎn)B，且AC=4米，點(diǎn)P從B向A運(yùn)動(dòng)，每分鐘走1米，點(diǎn)Q從B向D運(yùn)動(dòng)，每分鐘走2米，P、Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，運(yùn)動(dòng)幾分鐘后，CAP和PQB全等？試說明理由。注意：“K”型全等三角形，有兩種情況。2、如圖，ABAD，BCDE，12，求證：（1）ACAE；（2）CAECDE5、如圖，在ABC中，ABC=60，AD、CE分別平分BAC、ACB，求證：AC=AE+CD。 6、如圖(1)， 已知ABC中,，BAC=900，AB=AC，AE是過A的一條直線, 且B、C在A、E的異側(cè)，BDAE于D，CEAE于E。 (圖1) (圖2) (圖3)(1)試說明： BD=DE+CE。(2) 若直線AE繞A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到圖(2)位置時(shí)(BDCE)，其余條件不變，問BD與DE、CE的關(guān)系如何? 請(qǐng)直接寫出結(jié)果，不需說明理由。方法小結(jié)：（1）、證明直角三角形全等，除直角外，還需兩個(gè)條件，且至少一個(gè)是邊；(2)、證明全等三角形時(shí)，注意直角的作用：1）、說明直角三角形（用HL時(shí)）；2）、起等角作用（用一般方法時(shí)）。（3）、當(dāng)題目中出現(xiàn)不只一個(gè)直角時(shí)，常利用余角的性質(zhì)證明銳角相等。7、（2013益陽）如圖1，在ABC中，A=36，AB=AC，ABC的平分線BE交AC于E（1）、求證：AE=BC； （2）、如圖（2），過點(diǎn)E作EFBC交AB于F，將AEF繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角（0144）得到AEF，連結(jié)CE，BF，求證：CE=BF；（3）、在（2）的旋轉(zhuǎn)過程中是否存在CEAB？若存在，求出相應(yīng)的旋轉(zhuǎn)角；若不存在，請(qǐng)說明理由。8、如圖，在AOB的兩邊OA、OB上分別取OQ=OP，OT=OS，PT和QS相交于點(diǎn)C。試說明OC平分AOB。DAEFCHGB9、（2007.成都）已知：如圖，ABC中，ABC=45，CDAB于D，BE平分ABC，且BEAC于E，與CD相交于F，H是BC邊的中點(diǎn)，連結(jié)DH與BE相交與點(diǎn)G。 1）求證：BF=AC； （2）求證：CE=BF （3）CE與BG的大小關(guān)系如何？試證明你的結(jié)論。 10、（2013鞍山）如圖，在正方形ABCD中，E是AB上一點(diǎn)，F(xiàn)是AD延長線上一點(diǎn)，且DFBE（1）求證：CECF；（2）若點(diǎn)G在AD上，且GCE45，則GEBE+GD成立嗎？為什么？二、軸對(duì)稱圖形*重點(diǎn)知識(shí)回顧（一）、角平分線【性質(zhì)定理】 角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等?！九卸ǘɡ怼?到角兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的角平分線上。說明：1、注意定理的“基本圖形”。 2、角平分線問題求解方法：（1）、利用定義；（2）、利用性質(zhì)或判定定理；（3）、“構(gòu)造”全等三角形。3、三角形的三條角平分線相交于一點(diǎn)，該點(diǎn)到三邊的距離相等。（二）、線段垂直平分線（）概念：垂直于一條線段，并平分這條線段的直線叫做這條線段的垂直平分線，也叫中垂線；（）【性質(zhì)定理】線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩端點(diǎn)距離相等【判定定理】和線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上說明：1）、性質(zhì)定理的作用是：證明兩條線段相等；當(dāng)題目中出現(xiàn)“線段的垂直平分線”時(shí)，必須“找出”基本圖形，并利用性質(zhì)求解。2）、判定的作用是：判定一點(diǎn)在線段的垂直平分線上；如果兩點(diǎn)到一條線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等，那么，這兩點(diǎn)所在直線是該線段的垂直平分線。注意：（1）三角形三邊的垂直平分線相交于一點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等。（2）銳角三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)在三角形內(nèi)部，直角三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)恰是斜邊中點(diǎn)，鈍角三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)在三角形外部；（三）、等腰三角形1、概念：有兩邊相等的三角形叫做等腰三角形，在等腰三角形中，相等的兩邊叫做腰，另一邊叫做底邊，兩腰的夾角叫做頂角，腰和底邊的夾角叫做底角，頂角是直角的等腰三角形叫做直角等腰三角形，三條邊都相等的三角形叫做等邊三角形。特殊性質(zhì)：（）等腰三角形是軸對(duì)稱圖形，有一條對(duì)稱軸，其頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高線所在直線是對(duì)稱軸；（）等腰三角形的兩底角相等（簡(jiǎn)寫為“等邊對(duì)等角”）；（）等腰三角形頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高重合（簡(jiǎn)稱“三線合一”）。（）等腰三角形的兩邊相等，即兩腰相等。2、判定：（）有兩邊相等的三角形叫做等腰三角形；（）如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么，這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等（簡(jiǎn)稱“等角對(duì)等邊”）。注意：（）等腰三角形的性質(zhì)定理“等邊對(duì)等角”和等腰三角形的判定定理“等角對(duì)等邊”互為逆定理；（）“等角對(duì)等邊、等邊對(duì)等角”在同一三角形內(nèi)證兩條邊、兩個(gè)角相等的應(yīng)用極為廣泛。（四）、等邊三角形1、定義：三條邊相等的三角形叫做等邊三角形。注意：（）由定義可知，等邊三角形是一種特殊的等腰三角形，也就是說等腰三角形包括等邊三角形，因而等邊三角形具有等腰三角形的一切性質(zhì)；（）等邊三角形有三條對(duì)稱軸，故三邊上均有“三線合一”的性質(zhì)，其三條中線交于一點(diǎn)，稱其為 “中心”。2、性質(zhì)：等邊三角形的三邊都相等，三個(gè)內(nèi)角都相等，并且每一個(gè)內(nèi)角都等于。 3、判定：（）三條邊都相等的三角形是等邊三角形；（）三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形；（）有一個(gè)內(nèi)角是的等腰三角形是等邊三角形；注意：判定定理的前提不同，判定（）和判定（）是在三角形的條件下，判定（）是在等腰三角形的條件下。專題訓(xùn)練一、選擇、填空ADEB C1、ABC中，AB=AC，BC=5cm，作AB的垂直平分線交另一腰AC于E，連結(jié)BE，如果BCE的周長17cm，則腰長為（ ） A12cm； B6cm； C7cm； D5cm (3題)（1題）2、三角形內(nèi)有一點(diǎn)，它到三邊的距離相等，則這點(diǎn)是該三角形的 ()A三條中線交點(diǎn) B三條角平分線交點(diǎn) C三條高線交點(diǎn)D三條高線所在直線交點(diǎn)注：到三角形各頂點(diǎn)距離相等的點(diǎn)是三角形 的交點(diǎn)。3、如圖直線、表示三條相互交叉的公路，現(xiàn)計(jì)劃建一個(gè)加油站，要求它到三條公路的距離相等，則可供選擇的地址有 ()A一處 B二處 C三處D四處4、下列說法正確的是( )A等腰三角形的高、中線、角平分線互相重合B頂角相等的兩個(gè)等腰三角形全等C等腰三角形一邊不可以是另一邊的二倍D等腰三角形的兩個(gè)底角相等 （5題） （6題）5、如圖，已知AB=AC=BD,那么（ ）（A）1=2 （B）21+2=180 （C）1+32=180（D）31-2=1806、已知：如圖，ABC中，BO，CO分別是ABC和ACB的平分線，過O點(diǎn)的直線分別交AB、AC于點(diǎn)D、E，且DEBC若AB6cm，AC8cm，則ADE的周長為_。7、若等腰三角形的一個(gè)角為 70,則其余兩角為 。8、已知等腰三角形一個(gè)角是110，則其余兩角為_;9、已知等腰三角形的兩條邊是5和6，則其周長為_; 若等腰三角形的周長為20,且有一邊長為4,則另外兩邊分別是_;10、等腰三角形的一腰上的高與另一腰的夾角的度數(shù)為40，則底角的度數(shù)是 。*11、等腰三角形ABC中，一腰的垂直平分線與另一腰所在直線形成的夾角為50，則這個(gè)等腰三角形的底角的度數(shù)為 。12、如圖，在ABC中，ADBC于D，BEAC于E，AD與BE相交于F，若BF=AC，則ABC的度數(shù)是 . （12題） （13題）13、如圖，梯形ABCD中，ADBC，DCBC，將梯形沿對(duì)角線BD折疊，點(diǎn)A恰好落在DC邊上的點(diǎn)A處，若ABC20，則ABD的度數(shù)為 。 14、（1）已知：如圖1，ABC中，分別以AB、AC為一邊向ABC外作正方形ABGE和ACHF，直線ANBC于N，若EPAN于P，F(xiàn)QAN于Q判斷線段EP、FQ的數(shù)量關(guān)系，并證明；（2）如圖2，梯形ABCD中，ADBC，分別以兩腰AB、CD為一邊向梯形ABCD外作正方形ABGE和DCHF，線段AD的垂直平分線交線段AD于點(diǎn)M，交BC于點(diǎn)N，若EPMN于P，F(xiàn)QMN于Q（1）中結(jié)論還成立嗎？請(qǐng)說明理由【角平分線專題訓(xùn)練】1、如圖，在ABC中，BC=5 cm，BP、CP分別是ABC和ACB的角平分線，且PDAB，PEAC，則PDE的周長是_ cm.APBDEC(第1題圖) (第2題圖) 2、如圖，已知點(diǎn)C是AOB的平分線上一點(diǎn)，點(diǎn)P、P分別在邊OA、OB上。如果要得到OP=OP，需要添加以下條件中的某一個(gè)即可，請(qǐng)你寫出所有可能的結(jié)果的序號(hào)為_：OCP=OCP OPC=OPC； PC=PC； PPOC3、（2011湖北鄂州市）ABC的外角ACD的平分線與內(nèi)角ABC的平分線BP交于點(diǎn)P，若BPC=40，則CAP= 。4、如圖，在3、3、ABC中，延長BC到D,ABC與ACD的角平分線相較于A1點(diǎn)，A1BC與A1CD的平分線交與點(diǎn)A2，以此類推，若A=96，則A5=度5、如圖，C=900，AC=BC，AD是BAC的角平分線求證：AC+CD=AB 7、已知：如圖，在ABC中，ACB=90， CA=CB，CDAB，垂足是D，E是AB上一點(diǎn)，EFAC，垂足是F，G是BC 上一點(diǎn)，CG=EF。（1）DFG是什么形狀的三角形？為什么？（2）若點(diǎn)F、G分別在AC、BC邊上移動(dòng)，其它條件不變，四邊形CFDG的面積是否會(huì)發(fā)生變化？請(qǐng)說明理由。方法小結(jié)：1、解決關(guān)于角平分線問題的方法：（1）利用定義求解；（2）利用性質(zhì)或判定定理求解（此時(shí)應(yīng)“找出”基本圖形）（2）構(gòu)造全等三角形求解：有3種構(gòu)造方法。2、證明“ab=c”型問題的基本思想與方法“截長補(bǔ)短法”。 7、如圖所示，在直角梯形ABCD中，ABC=90，ADBC，AB=BC，E是AB的中點(diǎn)，CEBD。求證：（1）BE=AD；（2）AC是線段ED的垂直平分線；（3）DBC是等腰三角形嗎？并說明理由。8、如圖，已知：ABC中，ABAC，BAC的平分線與BC的垂直平分線D交于點(diǎn)，過點(diǎn)作直線EAB于，AC于。問：A、AB、AC有什么數(shù)量關(guān)系？為什么？9、如圖，ABC中，BAC=90度，AB=AC，BD是ABC的平分線，BD的延長線垂直于過C點(diǎn)的直線于E。求證：BD=2CE *10、已知：如圖5132，點(diǎn)C在線段AB上，以AC和BC為邊在AB的同側(cè)作正三角形ACM和BCN，連結(jié)AN、BM，分別交CM、CN于點(diǎn)P、Q(1)判斷PCQ的形狀，并說明理由。（2）求證：PQAB12、（2013東營） (1)如圖(1)，已知：在ABC中，BAC90，AB=AC，直線m經(jīng)過點(diǎn)A，BD直線m， CE直線m，垂足分別為點(diǎn)D、E證明:DE=BD+CE(2) 如圖(2)，將(1)中的條件改為：在ABC中，AB=AC，D、A、E三點(diǎn)都在直線m上，并且有BDA=AEC=BAC=，其中為任意銳角或鈍角請(qǐng)問結(jié)論DE=BD+CE是否成立?如成立，請(qǐng)你給出證明;若不成立，請(qǐng)說明理由(3) 拓展與應(yīng)用：如圖(3)，