概率論與數(shù)理統(tǒng)計復習題.pdf

1 概率論與數(shù)理統(tǒng)計復習題概率論與數(shù)理統(tǒng)計復習題 一 全概率公式和貝葉斯公式一 全概率公式和貝葉斯公式 例 例 某廠由甲 乙 丙三個車間生產(chǎn)同一種產(chǎn)品 它們的產(chǎn)量之比為 3 2 1 各車間產(chǎn)品的不合格率依次為 8 9 12 現(xiàn)從該廠產(chǎn)品中任意抽取一件 求 1 取到不合格產(chǎn)品的概率 2 若取到的是不合格品 求它是由甲車間生產(chǎn)的概率 類似題目類似題目 同步同步 42 頁四 頁四 1 同步 44 頁三 1 同步 45 頁三 1 解 設 A1 A2 A3 分別表示產(chǎn)品由甲 乙 丙車間生產(chǎn) B 表示產(chǎn)品不合格 則 A1 A2 A3 為一個完備事件組完備事件組 P A1 1 2 P A2 1 3 P A3 1 6 P B A1 0 08 P B A2 0 09 P B A3 0 12 由全概率公式全概率公式 P B P BA1 BA2 BA3 P BA1 P BA2 P BA3 P A1 P B A1 P A2 P B A2 P A3 P B A3 0 09 由貝葉斯公式貝葉斯公式 P A1 B P A1B P B 4 9 練習 練習 設兩箱內(nèi)裝有同種零件 第一箱裝 50 件 有 10 件一等品 第二箱裝 30 件 有 18 件一等品 先從兩箱中任挑一箱任挑一箱 再從此箱中前后不放回地任取 2 個任取 2 個 零件零件 求 同步同步 28 頁三 頁三 5 1 先取出先取出的零件是一等品的概率 2 在先取的是一等品的條件下條件下 后取的仍是一等品的條件概率 解 設事件 i A 從第i箱取的零件 i B 第i次取的零件是一等品 1 P 1 B P 1 A P 1 B 1 A P 2 A P 1 B 2 A 5 2 30 18 2 1 50 10 2 1 2 P 1 B 2 B 194 0 2 1 2 1 2 30 2 18 2 50 2 10 C C C C 則 P 2 B 1 B 1 21 BP BBP 0 485 練習 練習 市場上出售的某種商品由三個廠家同時供貨 其供應量第一廠家為第二廠 家的2倍 第二 三兩廠家相等 而且第一 二 三廠家的次品率依次為2 2 4 若在市場上隨機購買一件商品為次品 問該件商品是第一廠家生產(chǎn) 的概率是多少 0 4 2 二 連續(xù)型隨機變量的綜合題二 連續(xù)型隨機變量的綜合題 例 例 設隨機變量X的概率密度函數(shù)為 2 02 0 kxx f x others 求 1 常數(shù)k 2 EX 3 P 1 X 3 4 X 的分布函數(shù)的分布函數(shù) F x 解 2 2 0 3 8 11kf x dxx dxk 2 3 0 33 2 82 EXxf x ddxxx 32 2 11 37 3 13 88 Pxf x dxx dx 4 000 xx xdtF xP Xxf t dt 當時 0 0 23 31 0 88 xx F xf t dtdxt dtx 當0 x 2時 2 2 02 0 3 001 8 xx F xf t dtdxt dtdt 當x2時 3 00 1 02 8 12 x F xxx x 故 類似題目類似題目 同步同步 44 頁三 頁三 2 同步42頁三 3 練習 練習 已知隨機變量X的密度函數(shù)為 others xbax xf 0 10 3 且E X 7 12 求 1 a b 2 X的分布函數(shù)F x 練習 練習 已知隨機變量X的密度函數(shù)為 others xx xf 0 102 求 1 X的分布函數(shù)F x 2 P 0 3 X 2 三 離散型隨機變量的密度函數(shù)和分布函數(shù)三 離散型隨機變量的密度函數(shù)和分布函數(shù) 例例 設X的分布函數(shù)F x 為 31 318 0 114 0 10 x x x x xF 則X的概率分布為 分析 其分布函數(shù)的圖形是階梯形 故 x 是離散型的隨機變量分析 其分布函數(shù)的圖形是階梯形 故 x 是離散型的隨機變量 答案 P X 1 0 4 P X 1 答案 P X 1 0 4 P X 1 0 4 P X 3 0 2 0 4 P X 3 0 2 練習 練習 設隨機變量X的概率分布為P X 1 0 2 P X 2 0 3 P X 3 0 5 寫出 其分布函數(shù)F x 01 0 212 0 523 13 x x F x x x 答案 四 二維連續(xù)型隨機向量四 二維連續(xù)型隨機向量 例 例 同步同步 34 頁三 頁三 2 設隨機向量 X Y 的概率密度函數(shù) 其他0 1y0 1x0y6x y x f 2 1 求X Y的邊緣分布 2 判斷X Y是否相互獨立 3 求概率 求概率 YXP 1 222 0 1 0 2 01 663 3 01 0 x x x x ydyxyfxf x y ddyx xx xfx others y 解 1 當時 故 的邊緣密度為 4 11 22 00 01 662 2 01 0 y y y fyf x y dxx ydxyx dyy yy yfy others 當時 故 的邊緣密度為 xy f x yfx fy x y 2 故獨立 3 要求畫出密度函數(shù)不為要求畫出密度函數(shù)不為 0 的積分區(qū)域的圖形的積分區(qū)域的圖形 1 2 00 2 1 2 0 3 6 25 6 x x P XYdxx ydyxdx 練習 將練習 將 f x y 改為改為 其他0 1y0 1x04xy y x f 練 習 練 習 設 二 元 隨 機 變 量 X Y 的 聯(lián) 合 密 度 是 others yxe yxf yx 0 0 0 2500 1 50 1 求 1 關于X的邊緣密度函數(shù)f X x 2 P X 50 Y 50 同步同步 44 頁三 頁三 4 例 例 設X與Y相互獨立 且X服從3 的指數(shù)分布 Y服從4 的指 數(shù)分布 試求 1 YX聯(lián)合概率密度與聯(lián)合分布函數(shù) 2 1 1 YXP 3 YX在 343 0 0 yxyxyxD取值的概率 5 3 3 0 0 x X ex fx 解 依題知 其他 其他 0 0 4 4 ye yf y Y 34 12 0 0 0 xy exy f x y 所以聯(lián)合概率密度為 其他 3434 00 0 0 12 1 1 xy tsxy xy F x ydtedsee 當時 有 34 1 1 0 0 0 xy eexy F x y 所以 X Y 聯(lián)合分布函數(shù) 其他 34 1 1 1 1 1 1 P XYFee 2 3 3 1 343 4 00 121 4 x xy PX YDdxedye 3 五 二維離散型隨機向量五 二維離散型隨機向量 設隨機變量X與Y相互獨立相互獨立 下表列出了二維隨機向量 X Y 的聯(lián)合 分布律及關于X和關于Y的邊緣分布律中的部分數(shù)值 試將其他數(shù)值 填入表中的空白處 1 6 1 8 1 8 1 2 1 321 j i p x x pyyy X Y 6 答案 123 1 2 1111 248124 131 8 3 84 111 1 623 4 i j Y yyyp X x x p 六 協(xié)差矩陣六 協(xié)差矩陣 記住以下公式 記住以下公式 D aX bY a2DX b2DY 2abcov X Y D X Y DX DY 2cov X Y cov Z aX bY acov Z X bcov Z Y 例 例 已知隨機向量 X Y 的協(xié)差矩陣V為 96 64 V 計算隨機向量 X Y X Y 的協(xié)差矩陣協(xié)差矩陣 解 DX 4 DY 9 COV X Y 6 D X Y DX DY 2 COV X Y 25 D X Y DX DY 2 COV X Y 1 COV X Y X Y DX DY 5 故 X Y X Y 的協(xié)差矩陣 15 525 練習 練習 隨機向量 X Y 服從二維正態(tài)分布 均值向量及協(xié)差矩陣分別為 1 2 2 221 21 2 1 V 7 計算隨機向量 9X Y X Y 的協(xié)差矩陣 解 D 9X Y 81DX DY 18 COV X Y 81 12 18 1 2 22 D X Y DX DY 2 COV X Y 12 2 1 2 22 COV 9X Y X Y 9DX DY 8 COV X Y 9 12 8 1 2 22 然后寫出它們的矩陣形式 略 七 隨機變量函數(shù)的密度函數(shù)七 隨機變量函數(shù)的密度函數(shù) 例 例 設隨機變量 23Xfx x YX 的概率密度函數(shù)為 A 2 3 2 1 y fx B 2 3 2 1 y fx C 2 3 2 1 y fx D 2 3 2 1 y fx B 例 例 設X U 0 2 則Y 2 X在 0 4 內(nèi)的概率密度 yfY 答案 填 答案 填 y4 1 分析 分析 當0 y 4時 2 yFyXPyXPyYPyF XY yfY y yf y yFyF XxY 2 1 2 1 y4 1 注 由于由于Y 2 X在 0 4 內(nèi)是單調(diào)函數(shù) 可直接用公式做 是單調(diào)函數(shù) 可直接用公式做 練習 練習 設隨機變量X在區(qū)間 1 2 上服從均勻分布 求Y X e2的概率密度f y 答案 當 42 eye 時 f y y2 1 當y在其他范圍內(nèi)取值時 f y 0 8 七 最大似然估計七 最大似然估計 例 例 設總體X的概率密度為 其他 0 10 1 xx xf 其中未知參數(shù) 1 n XXX 21 是取自總體的簡單隨機樣本 用極大似然估 計法求 的估計量 解 設似然函數(shù) 2 1 10 1 1 nixxL i n i i 對此式取對數(shù) 即 n i i xnL 1 ln 1ln ln 且 n i i x n d Ld 1 ln 1 ln 令 0 ln d Ld 可得 n i i x n 1 ln 1 此即 的極大似然估計量 例 例 設總體X的概率密度為 0 0 0 0 0 1 a x xeax xf a xa 據(jù)來自總體X的簡單隨機樣本 21n XXX 求未知參數(shù) 最大似然估計量 解 由 0 0 0 1 x xeax xfX a xa 得總體X的樣本 21n XXX 的似然函數(shù) n i a i n i a i nx n i a in xxaeaxxxxL a i 1 1 11 1 21 exp 再取對數(shù)得 n i i n i a i xaxanL 11 ln 1 ln ln 再求Lln對 的導數(shù) n i a i x a an d Ld 1 ln 9 令0 ln 1 n i a i x a an d Ld 得 1 n a i i n x 所以未知參數(shù) 的最大似然估計量為 n i a i x n 1 例 例 設某種元件的使用壽命X的概率密度為 x xe xf x 0 2 2 其中0 為未知參數(shù) 由設 n xxx 2 1 是X的一組樣本觀測值 求參數(shù) 的最 大似然估計值 解 似然函數(shù)為 2 1 2 1 2 nixeL i x n n i i 取對數(shù)得 n i i xnL 1 22ln ln 由于02 ln n d Ld 則 L單調(diào)增加 因 必須滿足 2 1 nixi 因此當 取 n xxx 2 1 中的最小值時 L取最大值 所以 的最大似然估計值 為 min n xxx 2 1 練習 練習 設總體X的密度函數(shù)為 0 0 10 1 others xx xf x1 x2 xn是取自總體的一組樣本 求參數(shù) 的最大似然估計 10 八 中心極限定理八 中心極限定理 例 例 設對目標獨立地發(fā)射400發(fā)炮彈 已知每一發(fā)炮彈地命中率等于 0 2 請用中心極限定理計算命中60發(fā)到100發(fā)的概率 解 設X表示400發(fā)炮彈的命中顆數(shù) 則X服從B 400 0 2 EX 80 DX 64 由中心極限定理 P 60 X 100 P 2 5 X 80 896 1 P X 96 1 24 0 023 即 24 0 977 查表得 24 2 則 12 即且X N 72 144 故P 60 X 84 P 1 12 72 X 1 2 1 1 0 682 十一 區(qū)間估計十一 區(qū)間估計 總總體X服從正態(tài)分布N 2 X1 X2 Xn為X的一個樣本 1 2已知已知 求 的置信度為求 的置信度為 1 置信區(qū)間 置信區(qū)間 22 XuXu nn 12 2 2未知未知 求 的置信度為求 的置信度為 1 置信區(qū)間 置信區(qū)間 3 求 求 2置信度為置信度為 1 的置信區(qū)間 的置信區(qū)間 例 例 設某校學生的身高服從正態(tài)分布 今從該校某班某班中隨機抽查10名女生 測 得數(shù)據(jù)經(jīng)計算如下 43 18 67 162 2 sx 求該校女生平均身高的95 的置信 區(qū)間 解 1 nt nS uX T 由樣本數(shù)據(jù)得05 0 43 18 67 162 10 2 sxn 查 表 得 t0 05 2 2622 故 平 均 身 高 的95 的 置 信 區(qū) 間 為 74 165 60 159 9 9 05 005 0 n s tx n s tx 練習 練習 從總體X服從正態(tài)分布N 2 中抽取容量為10的一個樣本 樣本方 差S2 0 07 試求總體方差 2的置信度為0 95的置信區(qū)間 同步同步49頁四 頁四 1 解 因為 1 1 2 2 2 n Sn 所以 2 的 95 的置信區(qū)間為 1 1 1 1 2 1 2 2 2 22 n Sn n Sn 其中S 2 0 07 70 2 9 1 023 19 9 1 2 975 0 2 1 2 025 0 2 22 nn 所以 1 1 1 1 2 1 2 2 2 22 n Sn n Sn 70 2 07 09 023 19 07 09 0 033 0 233 1 1 SS XtnXtn nn 22 22 1 22 1 1 1 1 nSnS nn 13 十二 假設檢驗十二 假設檢驗 1 已知方差已知方差 2 關于期望關于期望 的假設檢驗的假設檢驗 2 未知方差未知方差 2 關于期望關于期望 的假設檢驗的假設檢驗 3 未知期望未知期望 關于方差關于方差 2的假設檢驗的假設檢驗 例 例 已知某鐵水含碳量在正常情況下服從正態(tài)分布N 4 55 0 112 現(xiàn)在測定了9爐 鐵水 含碳量平均數(shù)445 4 x 樣本方差S 2 0 0169 若總體方差沒有變化 即 2 0 121 問總體均值 有無顯著變化 0 05