湖南省高中數(shù)學(xué) 5.3柯西不等式與排序不等式配套課件 理 新人教A版.ppt

第三節(jié)柯西不等式與排序不等式 三年1考高考指數(shù) 1 了解下列柯西不等式的幾種不同形式 理解它們的幾何意義并會(huì)證明 1 柯西不等式的向量形式 2 a2 b2 c2 d2 ac bd 2 3 通常稱為平面三角不等式 2 用參數(shù)配方法討論柯西不等式的一般情形 3 會(huì)用向量遞歸方法討論排序不等式 4 會(huì)用上述不等式證明一些簡(jiǎn)單問(wèn)題 能夠利用柯西不等式求一些特定函數(shù)的極值 1 利用柯西不等式 排序不等式證明不等式 求特定代數(shù)式的最值 以及解決一些實(shí)際問(wèn)題的優(yōu)化設(shè)計(jì)等是本節(jié)考查的重點(diǎn) 2 常與函數(shù) 不等式 數(shù)列 向量等知識(shí)進(jìn)行綜合考查 是本節(jié)的難點(diǎn) 重點(diǎn) 1 柯西不等式 1 二維形式的柯西不等式 代數(shù)形式若a b c d都是實(shí)數(shù) 則 a2 b2 c2 d2 當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí) 等號(hào)成立 ad bc ac bd 2 向量形式設(shè)是兩個(gè)向量 則 當(dāng)且僅當(dāng) 或 時(shí) 等號(hào)成立 三角形式設(shè)x1 y1 x2 y2 r 那么 是零向量 存在實(shí)數(shù)k 使 2 三維形式的柯西不等式設(shè)a1 a2 a3 b1 b2 b3 r 則 當(dāng)且僅當(dāng) 或 時(shí) 等號(hào)成立 b1 b2 b3 0 存在一個(gè)數(shù)k 使得a1 kb1 a2 kb2 a3 kb3 3 一般形式的柯西不等式設(shè)a1 a2 a3 an b1 b2 b3 bn是實(shí)數(shù) 則 當(dāng)且僅當(dāng) 或 時(shí) 等號(hào)成立 a1b1 a2b2 a3b3 anbn 2 bi 0 i 1 2 3 n 存在一個(gè)數(shù)k 使得ai kbi i 1 2 3 n 即時(shí)應(yīng)用 1 思考 在二維形式的柯西不等式的代數(shù)形式中 取等號(hào)的條件可以寫成嗎 提示 不可以 當(dāng)b d 0時(shí) 柯西不等式成立 但不成立 2 思考 不等式 a2 b2 d2 c2 ac bd 2是柯西不等式嗎 提示 不是 因?yàn)槎S形式的柯西不等式可以理解為四個(gè)數(shù)對(duì)應(yīng)的一種不等關(guān)系 對(duì)誰(shuí)與誰(shuí)組合是有順序的 不是任意的搭配 因此要仔細(xì)體會(huì) 加強(qiáng)記憶 3 若2x 3y 1 則4x2 9y2的最小值為 解析 4x2 9y2 12 12 2x 3y 2 1 答案 2 排序不等式 1 順序和 亂序和 反序和的概念設(shè)a1 a2 a3 an b1 b2 b3 bn為兩組實(shí)數(shù) c1 c2 cn是b1 b2 bn的任一排列 則稱ai與bi i 1 2 n 按相同順序相乘所得積的和 為順序和 和 為亂序和 按相反順序相乘所得積的和 為反序和 a1b1 a2b2 anbn a1c1 a2c2 ancn a1bn a2bn 1 anb1 2 排序不等式 排序原理 設(shè)a1 a2 an b1 b2 bn為兩組實(shí)數(shù) c1 c2 cn是b1 b2 bn的任一排列 則 當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí) 反序和等于順序和 a1bn a2bn 1 anb1 a1c1 a2c2 ancn a1b1 a2b2 anbn a1 a2 an或b1 b2 bn 即時(shí)應(yīng)用 1 順序和 反序和 亂序和的大小關(guān)系是 2 已知兩組數(shù)1 2 3和4 5 6 若c1 c2 c3是4 5 6的一個(gè)排列 則1c1 2c2 3c3的最大值是 最小值是 3 設(shè)正實(shí)數(shù)a1 a2 a3的任一排列為a 1 a 2 a 3 則的最小值為 解析 1 由排序原理可知 反序和 亂序和 順序和 2 由反序和 亂序和 順序和知 順序和最大 反序和最小 故最大值為32 最小值為28 3 不妨設(shè)0 a1 a2 a3 則 其反序和 3 則由亂序和不小于反序和知 3 的最小值為3 答案 1 反序和 亂序和 順序和 2 3228 3 3 利用柯西不等式比較大小 方法點(diǎn)睛 利用柯西不等式的解題方法 1 柯西不等式的一般結(jié)構(gòu)為 a12 a22 an2 b12 b22 bn2 a1b1 a2b2 anbn 2 在利用柯西不等式證明不等式 或比較大小 時(shí)關(guān)鍵是正確構(gòu)造左邊的兩個(gè)數(shù)組 從而利用題目的條件正確解題 2 使用柯西不等式時(shí) 既要注意它的數(shù)學(xué)意義 又要注意它的外在形式 當(dāng)一個(gè)式子與柯西不等式的左側(cè)或右側(cè)具有一致形式時(shí) 就可以考慮使用柯西不等式對(duì)這個(gè)式子進(jìn)行放大或縮小 例1 設(shè)a b c為正數(shù) 且不全相等 則與的大小關(guān)系為 解題指南 根據(jù)題目條件 可構(gòu)造兩組數(shù)據(jù)然后利用柯西不等式解決 規(guī)范解答 構(gòu)造兩組數(shù)由柯西不等式得 即 由柯西不等式知 中等號(hào)成立 a b b c c a a b c 而題設(shè)中a b c不全相等 故 中等號(hào)不能成立 答案 反思 感悟 本題 1 由a b c構(gòu)造成的新數(shù)和不但需要較高的觀察能力 而且應(yīng)從所給的數(shù)學(xué)式中看出 變式訓(xùn)練 設(shè)a1 a2 a3均為正數(shù) 且a1 a2 a3 m 則與的大小關(guān)系為 解析 a1 a2 a3 當(dāng)且僅當(dāng)a1 a2 a3 時(shí) 等號(hào)成立 答案 利用柯西不等式求最值 方法點(diǎn)睛 利用柯西不等式求最值的技巧 1 先變形湊成柯西不等式的結(jié)構(gòu)特征 這是利用柯西不等式求解的先決條件 2 有些最值問(wèn)題從表面上看不能利用柯西不等式 但只要適當(dāng)添加上常數(shù)項(xiàng)或和為常數(shù)的各項(xiàng) 就可以應(yīng)用柯西不等式來(lái)解 這也是應(yīng)用柯西不等式解題的技巧 3 有些最值問(wèn)題需要反復(fù)利用柯西不等式才能達(dá)到目的 但在運(yùn)用過(guò)程中 每運(yùn)用一次 前后等號(hào)成立的條件必須一致 不能自相矛盾 否則就會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤 多次反復(fù)運(yùn)用柯西不等式的方法也是常用技巧之一 提醒 在使用柯西不等式時(shí) 要注意右邊為常數(shù)且應(yīng)注意等號(hào)成立的條件 例2 1 設(shè)正數(shù)x y z滿足x y z 1 函數(shù) 2x2 3y2 z2的最小值為 2 函數(shù)的最大值為 解題指南 1 由x y z 1以及 2x2 3y2 z2的形式 可以構(gòu)造柯西不等式解決問(wèn)題 2 關(guān)鍵是構(gòu)造再利用柯西不等式求解 規(guī)范解答 1 根據(jù)已知條件和柯西不等式 我們有1 故 而等號(hào)成立的條件是 即代入條件x y z 1得 此時(shí) 故當(dāng)時(shí) 函數(shù) 2x2 3y2 z2取得最小值 2 由柯西不等式 得f x 故當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí) f x 取得最大值為答案 1 2 互動(dòng)探究 若例題 1 條件不變 的最大值為 解析 由柯西不等式 得 3 4 x y z 3 21 當(dāng)且僅當(dāng)x y z 時(shí) 取等號(hào) 的最大值為 答案 反思 感悟 1 利用柯西不等式求最值的一般結(jié)構(gòu)為 2 在利用柯西不等式求最值時(shí) 不但要注意等號(hào)成立的條件 而且要善于構(gòu)造 技巧如下 1 巧拆常數(shù) 2 重新安排某些項(xiàng)的次序 3 改變結(jié)構(gòu)從而達(dá)到可以使用柯西不等式的目的 4 添項(xiàng) 變式備選 求函數(shù)y 2cosx 的最大值 解析 y 2cosx 2cosx 當(dāng)且僅當(dāng)即tanx 時(shí) 函數(shù)有最大值 排序不等式的應(yīng)用 方法點(diǎn)睛 排序不等式的應(yīng)用技巧 1 排序原理是對(duì)不同的兩個(gè)數(shù)組來(lái)研究不同的乘積和的問(wèn)題 能構(gòu)造的和按數(shù)組中的某種 搭配 的順序被分為三種形式 順序和 反序和 亂序和 對(duì)這三種不同的搭配形式只需注意是怎樣的 次序 即可 2 在解答數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí) 常常涉及一些可以比較大小的量 它們之間并沒有預(yù)先規(guī)定大小順序 那么在解答問(wèn)題時(shí) 可用排序原理的思想方法 將它們按一定順序排列起來(lái) 繼而利用不等關(guān)系來(lái)解題 例3 已知a b c為任意正數(shù) 則的最小值為 解題指南 題目中沒有給出a b c的大小順序 且a b c在不等式中的地位是均等的 不妨設(shè)a b c 再利用排序不等式等號(hào)成立時(shí)求最小值 規(guī)范解答 不妨設(shè)a b c 則a b a c b c 由排序不等式得 兩式相加 則2 3 即當(dāng)且僅當(dāng)a b c時(shí) 取最小值答案 反思 感悟 1 應(yīng)用排序不等式解題 要先構(gòu)造有序數(shù)組 從而構(gòu)造順序和 亂序和以及反序和 當(dāng)已知數(shù)組位置對(duì)稱 沒有大小順序時(shí) 可討論指定一個(gè)次序 然后再利用排序不等式 2 構(gòu)造有序數(shù)組是正確利用排序不等式的前提條件 當(dāng)做出a b c的假設(shè)后 所用的兩個(gè)數(shù)組就可以完全確定了 但要注意a b c三者的 地位 必須對(duì)等 否則不成立 變式訓(xùn)練 已知a b c為正數(shù) 且a b c則與的大小關(guān)系