彈性碰撞數(shù)學計算的突破方法.doc

彈性碰撞數(shù)學計算的突破方法 發(fā)生彈性碰撞的兩物體滿足動量守恒，由于一般情況下碰撞的時間極短，碰撞前后兩物體的位移幾乎沒有發(fā)生變化，在一般問題當中認為碰撞前后的兩物體仍在原位置以新的速度發(fā)生相對運動，即認為發(fā)生彈性碰撞的兩物體碰撞前后各自的重力勢能保持不變，彈性碰撞沒有機械的損失可寫成系統(tǒng)動能不變的方程。這樣可得到發(fā)生彈性碰撞的兩物體滿足的動量方程和能量方程。?m?1v?1+m?2v?2=m?1v?1+m?2v?2，?SX(12SX)m?1v?2?1+SX(12SX)m?2v?2?2=SX(12SX)m?1v?1?2+SX(12SX)m?2v?2?2，?可得v?1=SX(m?1-m?2)v?1+2m?2v?2m?1+m?2SX),?v?2=SX(m?2-m?1)v?2+2m?1v?1m?1+m?2SX)。?特別當v?2=0時，也稱為動碰靜時，解得結果為?v?1=SX(m?1-m?2)v?1m?1+m?2SX)，?v?2=SX(2m?1v?1m?1+m?2SX)，?列出彈性碰撞所滿足的動量、能量方程，對于學生而言相對比較容易，但面臨一個困難是數(shù)學計算過程繁冗復雜，很多同學過不了這個計算關，雖然結果有一定的規(guī)律可循，但純粹來記憶這個公式結果仍有較大難度。這里介紹一種比較好的方法。?推導：v?1+v?1=SX(m?1-m?2)v?1+2m?2v?2m?1+m?2SX)+v?1?=SX(2m?1v?1+2m?2v?2m?1+m?2SX)，?v?2+v?2=SX(m?2-m?1)v?2+2m?1v?1m?1+m?2SX)+v?2?=SX(2m?1v?1+2m?2v?2m?1+m?2SX)，?結論：v?1+v?1=v?2+v?2。?說明對于彈性碰撞而言，此結論公式是個恒成立公式，是根據(jù)動量守恒和動能守恒兩個方程推導出來的結果。?應用方法：對于彈性碰撞，應列出動量守恒方程和動能守恒方程，但在數(shù)學運算中用m?1v?1+m?2v?2=m?1v?1+m?2v?2和v?1+v?1=v?2+v?2來計算最終結果。這樣做的好處在于把二元二次方程轉化為二元一次方程，從而極大的簡化了數(shù)學計算過程，提高解題速度和解題質(zhì)量。?注意事項此結論公式為矢量方程，要注意各速度的方向關系，應先規(guī)定正方向，確定各速度的正、負，再代入公式計算，這樣可以把矢量運算轉化為代數(shù)運算。?例題1傾角為30的足夠長光滑斜面下端與一足夠長光滑水平面相接，連接處用一光滑小圓弧過渡，斜面上距水平面高度分別為h?1=5 m和h?2=0。2 m的兩點，各固定一小球A和B，如圖1所示。某時刻由靜止開始釋放A球，經(jīng)過一段時間t后，同樣由靜止釋放B球。g=10 ?m/s?2，則?(1)為了保證A、B兩球不會在斜面上相碰，t最長不能超過多少？?(2)在滿足(1)的情況下，為了保證兩球在水平面上碰撞的次數(shù)不少于兩次，兩球的質(zhì)量m?A、m?B應滿足什么條件？(假設兩球在碰撞過程中沒有能量損失)?解析(1)根據(jù)牛頓第二定律,兩球在斜面上的加速度?mg?sin?30=ma，?設兩物體在斜面上運動的時間分別為t?1和t?2,則有:?SX(h?1?sin?30SX)=SX(12SX)at?2?1，?SX(h?2?sin?30SX)=SX(12SX)at?2?2，?且t=t?1-t?2.?所以t=1.6 ?s?。?(2)設兩球滑到水平面上時的速度分別為v?1、v?2,根據(jù)機械能守恒定律有?m?Agh?1=SX(12SX)m?Av?2?1,?m?Bgh?2=SX(12SX)m?Bv?2?2.?所以v?1=KF(2gh?1KF)=10 ?m/s?,?v?2=KF(2gh?2KF)=2 ?m/s?。?根據(jù)動量守恒定律有?m?Av?1+m?Bv?2=m?Av?1+m?Bv?2，?根據(jù)動能守恒有?SX(12SX)m?Av?2?1+SX(12SX)m?Bv?2?2=SX(12SX)m?Av?1?2+SX(12SX)m?Bv?2?2，?若能發(fā)生第二次碰撞，應有?v?1v?2。?在具體計算時，可以利用以下兩個公式和速度大小關系求解?10m?A+2m?B=-m?Av?1+m?Bv?2，?10-v?1=2+v?2，?v?1v?2，?可得v?1=8-v?2v?2，?即得v?24.?把v?1=8-v?2代入動量關系式中即可求得?SX(M?AM?BSX)SX(17SX)。?注意在本題中，A球速度反向，與原速度方向相反，這里要注意規(guī)定正方向，確定各速度的正負，要把矢量運算轉化為代數(shù)運算。?例題2如圖2所示，第一象限存在方向沿y軸負方向的勻強電場，第四象限 存在方向垂直于xOy平面向外的勻強磁場。物體N質(zhì)量為m?2=1.010?-10? ?kg?靜止在光滑水平面上，它的右端連接有輕質(zhì)的彈簧，物體P質(zhì)量為m?1=2.010?-10? ?kg?，帶電量為q=1.010?-5? ?C?由縱軸上距原點O距離為L=1 ?m?處沿x軸正方向以初速度v?0=5 ?m/s?的速度射入勻強電場，忽略物體P的重力，物體由x軸上的C點沿與x軸正方向成=60角的方向射入勻強磁場，在磁場中偏轉后由y軸上的Q點沿垂直于y軸方向離開磁場恰好進入光滑的水平面并水平向左運行，物體P遇上彈簧后便立刻與彈簧粘連在一起向左運動壓縮彈簧，不考慮物體P與彈簧碰撞時的能量損失及物體P的電荷對物體N，彈簧及地面的影?歟?求?：?(1)勻強電場的場強E為多少？?(2)勻強磁場的磁感應強度B為多少？?(3)彈簧以后又出現(xiàn)自然伸長時物體P、N的速度分別為多少？?解析(1)物體P在C點豎直方向的分速度?v?y=v?0?tan?，?v?2?y=2aL，?a=SX(Eqm?1SX)，?所以E=SX(m?1v?2?0?tan?22qLSX)=7。510?-4? (?N/C?)。?(2)磁場中軌跡如圖3所示，軌跡圓心為O，?類平拋過程v?y=at，v=SX(v?0?cos?SX)，?水平射程L?OC?=v?0t，?磁場中軌跡半徑R=SX(L?oc?sin?SX)，=0，?Bqv=m?1SX(v?2RSX)，?所以B=SX(m?1v?0?tan?22qLSX)=1.510?-4? (?T?)。?(3)對m?1、m?2為系統(tǒng)，取水平向左方向為正方向?m?1v=m?1v?1+m?2v?2，?SX(12SX)m?1v?2=SX(12SX)m?1v?2?1+SX(12SX)m?2v?2?2,?聯(lián)立得：v?1=SX(103SX) ?m/s?,?v?2=SX(403SX) ?m/s?表示由彈簧壓縮到最短時恢復到自然伸長的狀態(tài)，?v?1=10 ?m/s?v?2=0?表示由彈簧拉長到最長時恢復到自然伸長的狀態(tài)。?反思：兩物體通過彈簧相互作用過程中滿足系統(tǒng)動量守恒，當彈簧再次恢復原長時，兩物體的總動能保持不變，此過程類似于彈性碰撞過程，所以可以用彈性碰撞的數(shù)據(jù)處理辦法進行計算。但用上述方法計算時，只能得到一組解v?1=SX(103SX) ?m/s?,v?2=SX(403SX) ?m/s?(同學們可自行計算)。造成這種結果的原因是因為兩物體間的真正彈性碰撞只能發(fā)生一次，所以得到的數(shù)據(jù)結果只能是唯一的，上述方