1.1.3導(dǎo)數(shù)的幾何意義.ppt

1 1 3導(dǎo)數(shù)的幾何意義 學(xué)習(xí)目標(biāo) 1 了解平均變化率與割線斜率之間的關(guān)系 2 理解曲線的切線的概念 3 通過函數(shù)的圖像直觀地理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義 并會(huì)用導(dǎo)數(shù)的幾何意義解題 重點(diǎn) 理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義 并會(huì)用導(dǎo)數(shù)的幾何意義解題 難點(diǎn) 導(dǎo)數(shù)的幾何意義 定義 函數(shù)y f x 在x x0處的瞬時(shí)變化率是 我們稱它為函數(shù)y f x 在x x0處的導(dǎo)數(shù) 記作 回顧 由導(dǎo)數(shù)的意義可知 求函數(shù)y f x 在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)的基本方法是 下面來看導(dǎo)數(shù)的幾何意義 如圖 曲線C是函數(shù)y f x 的圖象 P x0 y0 是曲線C上的任意一點(diǎn) Q x0 x y0 y 為P鄰近一點(diǎn) PQ為C的割線 PM x軸 QM y軸 為PQ的傾斜角 斜率 P Q 割線 切線 T 請(qǐng)看當(dāng)點(diǎn)Q沿著曲線逐漸向點(diǎn)P接近時(shí) 割線PQ繞著點(diǎn)P逐漸轉(zhuǎn)動(dòng)的情況 我們發(fā)現(xiàn) 當(dāng)點(diǎn)Q沿著曲線無限接近點(diǎn)P即 x 0時(shí) 割線PQ有一個(gè)確定位置PT 則我們把直線PT稱為曲線在點(diǎn)P處的切線 設(shè)切線的傾斜角為 那么當(dāng) x 0時(shí) 割線PQ的斜率 稱為曲線在點(diǎn)P處的切線的斜率 即 這個(gè)概念 提供了求曲線上某點(diǎn)切線的斜率的一種方法 切線斜率的本質(zhì) 函數(shù)在x x0處的導(dǎo)數(shù) 導(dǎo)數(shù)的幾何意義 函數(shù)y f x 在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義 就是曲線y f x 在點(diǎn)P x0 f x0 處的切線的斜率 即 故曲線y f x 在點(diǎn)P x0 f x0 處的切線方程是 因此 切線方程為y 2 2 x 1 即y 2x 1 求出函數(shù)在點(diǎn)x0處的變化率 得到曲線在點(diǎn) x0 f x0 的切線的斜率 2 根據(jù)直線方程的點(diǎn)斜式寫出切線方程 即 求切線方程的步驟 例3 如圖 它表示人體血管中藥物濃度c f t 單位 mg mL 隨時(shí)間t 單位 min 變化的函數(shù)圖象 根據(jù)圖象 估計(jì)t 0 5 0 8時(shí) 血管中藥物濃度的瞬時(shí)變化率 精確到0 1 0 0 2 0 1 0 4 0 6 0 5 1 1 0 7 0 3 1 0 0 9 0 8 0 2 0 1 0 4 0 6 0 5 1 1 0 7 0 3 1 0 0 9 0 8 t min c mg mL 解 血管中某一時(shí)刻藥物濃度的瞬時(shí)變化率 就是藥物濃度f t 在此時(shí)刻的導(dǎo)數(shù) 在不致發(fā)生混淆時(shí) 導(dǎo)函數(shù)也簡稱導(dǎo)數(shù) 什么是導(dǎo)函數(shù) 由函數(shù)f x 在x x0處求導(dǎo)數(shù)的過程可以看到 當(dāng)x x0時(shí) f x0 是一個(gè)確定的數(shù) 那么 當(dāng)x變化時(shí) f x0 便是x的一個(gè)函數(shù) 我們叫它為f x 的導(dǎo)函數(shù) 即 例4 某物體的運(yùn)動(dòng)方程為s t 5t2 位移單位 m 時(shí)間單位 s 求它在t 2s時(shí)的速度 解 因?yàn)?從而 所以 例5 求拋物線y x2過點(diǎn) 6 的切線方程 解 點(diǎn) 6 不在拋物線上 設(shè)此切線過拋物線上的點(diǎn) x0 x02 因?yàn)?又因?yàn)榇饲芯€過點(diǎn) 6 和點(diǎn) x0 x02 所以此切線方程的斜率為2x0 所以 即x02 5x0 6 0 解得x0 2 或x0 3 所以切線方程為y 4x 4或y 6x 9 1 求出函數(shù)在點(diǎn)x0處的變化率 得到曲線在點(diǎn) x0 f x0 的切線的斜率 2 根據(jù)直線方程的點(diǎn)斜式寫出切線方程 即 2 求切線方程的步驟 小結(jié) 1 導(dǎo)數(shù)的幾何意義 函數(shù)y f x 在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)的幾何