重積分的應用舉例.ppt

7 4重積分的應用舉例 1 重積分的幾何應用 計算面積與體積 解 所求體積為 于是 曲面的面積 設曲面S的方程z f x y 在區(qū)域D上具有連續(xù)的一階偏導數(shù) 則曲面S的面積為 設光滑曲面 則面積S可看成曲面上各點 處小切平面的面積dS無限積累而成 設它在D上的投影為d 稱為面積元素 則 故有曲面面積公式 若光滑曲面方程為 則有 即 若光滑曲面方程為 則有 解由對稱性知 所求曲面面積是位于第一掛限中的曲面的面積的8倍 于是所求曲面面積為 利用曲面的參數(shù)方程求曲面的面積 若曲面S由參數(shù)方程 給出 其中D是一個平面有界閉區(qū)域 又x u v y u v z u v 在D上具有連續(xù)的一階偏導數(shù) 且 不全為零 則曲面S的面積 其中 解由已知條件得 2 重積分的物理應用 1 質(zhì)量 平面薄片的質(zhì)量 是薄片在處的面密度 空間物體的質(zhì)量 是物體在處的體密度 設質(zhì)心的橫坐標為 x 薄片的質(zhì)量為M 則 x M My 薄片對y軸的靜矩為 設一平面薄片占有xOy面上的閉區(qū)域D 其面密度 x y 是閉區(qū)域D上的連續(xù)函數(shù) 則該平面薄片的質(zhì)心坐標為 2 質(zhì)心 分析 P點對x軸的靜矩為dMx y x y d 設質(zhì)心的橫坐標為 y 薄片的質(zhì)量為M 則 y M Mx 薄片對x軸的靜矩為 設一平面薄片占有xOy面上的閉區(qū)域D 其面密度 x y 是閉區(qū)域D上的連續(xù)函數(shù) 則該平面薄片的質(zhì)心坐標為 2 質(zhì)心 設一平面薄片占有xOy面上的閉區(qū)域D 其面密度 x y 是閉區(qū)域D上的連續(xù)函數(shù) 則該平面薄片的質(zhì)心坐標為 討論 設一平面薄片占有xOy面上的閉區(qū)域D 其面密度是常數(shù) 如何求該平面薄片的質(zhì)心 稱為形心 提示 2 質(zhì)心 類似地 設一物體占有空間閉區(qū)域 其密度 x y z 是閉區(qū)域 上的連續(xù)函數(shù) 則該物體的質(zhì)心坐標為 設一平面薄片占有xOy面上的閉區(qū)域D 其面密度 x y 是閉區(qū)域D上的連續(xù)函數(shù) 則該平面薄片的質(zhì)心坐標為 2 力矩與質(zhì)心 轉(zhuǎn)動慣量元素 在點P x y 處取一直徑很小的小薄片 其面積 面積元素 為ds 其質(zhì)量認為集中于點P 其值近似為r x y ds P點對x軸和對y軸的轉(zhuǎn)動慣量為dIx y2 x y d dIy x2 x y d 設一平面薄片占有xOy面上的閉區(qū)域D 其面密度 x y 是D上的連續(xù)函數(shù) 則該平面薄片對x y軸的轉(zhuǎn)動慣量為 3 物體的轉(zhuǎn)動慣量 類似地 設一物體占有空間閉區(qū)域 其密度 x y z 是 上的連續(xù)函數(shù) 則該物體對于x y z軸的轉(zhuǎn)動慣量為 設一平面薄片占有xOy面上的閉區(qū)域D 其面密度 x y 是D上的連續(xù)函數(shù) 則該平面薄片對x y軸的轉(zhuǎn)動慣量為 3 物體的轉(zhuǎn)動慣量 解因為閉區(qū)域D對稱于y