高中數(shù)學 第一章 計數(shù)原理 1.1 分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理 第2課時 兩個計數(shù)原理的綜合應用課件 新人教A版選修23.pptVIP

第2課時兩個計數(shù)原理的綜合應用 第一章 1 1分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理 學習目標1 進一步理解分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理的區(qū)別 2 會正確應用這兩個計數(shù)原理計數(shù) 問題導學 達標檢測 題型探究 內容索引 問題導學 知識點一兩個計數(shù)原理的區(qū)別與聯(lián)系 解決較為復雜的計數(shù)問題 一般要將兩個計數(shù)原理綜合應用 使用時要做到目的明確 層次分明 先后有序 還需特別注意以下兩點 1 合理分類 準確分步 處理計數(shù)問題 應扣緊兩個原理 根據(jù)具體問題首先弄清楚是 分類 還是 分步 要搞清楚 分類 或者 分步 的具體標準 分類時需要滿足兩個條件 類與類之間要互斥 保證不重復 總數(shù)要完備 保證不遺漏 也就是要確定一個合理的分類標準 分步時應按事件發(fā)生的連貫過程進行分析 必須做到步與步之間互相獨立 互不干擾 并確保連續(xù)性 知識點二兩個計數(shù)原理的應用 2 特殊優(yōu)先 一般在后 解含有特殊元素 特殊位置的計數(shù)問題 一般應優(yōu)先安排特殊元素 優(yōu)先確定特殊位置 再考慮其他元素與其他位置 體現(xiàn)出解題過程中的主次思想 題型探究 例1用0 1 2 3 4五個數(shù)字 1 可以排成多少個三位數(shù)字的電話號碼 解三位數(shù)字的電話號碼 首位可以是0 數(shù)字也可以重復 每個位置都有5種排法 共有5 5 5 53 125 種 類型一組數(shù)問題 解答 2 可以排成多少個三位數(shù) 解三位數(shù)的首位不能為0 但可以有重復數(shù)字 首先考慮首位的排法 除0外共有4種方法 第二 三位可以排0 因此 共有4 5 5 100 種 3 可以排成多少個能被2整除的無重復數(shù)字的三位數(shù) 解被2整除的數(shù)即偶數(shù) 末位數(shù)字可取0 2 4 因此 可以分兩類 一類是末位數(shù)字是0 則有4 3 12 種 排法 一類是末位數(shù)字不是0 則末位有2種排法 即2或4 再排首位 因0不能在首位 所以有3種排法 十位有3種排法 因此有2 3 3 18 種 排法 因而有12 18 30 種 排法 即可以排成30個能被2整除的無重復數(shù)字的三位數(shù) 解答 引申探究由本例中的五個數(shù)字可組成多少個無重復數(shù)字的四位奇數(shù) 解完成 組成無重復數(shù)字的四位奇數(shù) 這件事 可以分四步 第一步定個位 只能從1 3中任取一個 有2種方法 第二步定首位 把1 2 3 4中除去用過的一個剩下的3個中任取一個 有3種方法 第三步 第四步把剩下的包括0在內的3個數(shù)字先排百位有3種方法 再排十位有2種方法 由分步乘法計數(shù)原理知共有2 3 3 2 36 個 解答 反思與感悟對于組數(shù)問題 應掌握以下原則 1 明確特殊位置或特殊數(shù)字 是我們采用 分類 還是 分步 的關鍵 一般按特殊位置 末位或首位 分類 分類中再按特殊位置 或特殊元素 優(yōu)先的策略分步完成 如果正面分類較多 可采用間接法求解 2 要注意數(shù)字 0 不能排在兩位數(shù)字或兩位數(shù)字以上的數(shù)的最高位 跟蹤訓練1從0 2中選一個數(shù)字 從1 3 5中選兩個數(shù)字 組成無重復數(shù)字的三位數(shù) 其中奇數(shù)的個數(shù)為a 24b 18c 12d 6 解析由于題目要求是奇數(shù) 那么對于此三位數(shù)可以分成兩種情況 奇偶奇 偶奇奇 如果是第一種奇偶奇的情況 可以從個位開始分析 3種情況 之后十位 2種情況 最后百位 2種情況 共12種 如果是第二種情況偶奇奇 個位 3種情況 十位 2種情況 百位 不能是0 一種情況 共6種 因此總共有12 6 18 種 情況 故選b 答案 解析 例2高三年級的三個班到甲 乙 丙 丁四個工廠進行社會實踐 其中工廠甲必須有班級去 每班去何工廠可自由選擇 則不同的分配方案有a 16種b 18種c 37種d 48種 類型二選 抽 取與分配問題 答案 解析 解析方法一 直接法 以甲工廠分配班級情況進行分類 共分為三類 第一類 三個班級都去甲工廠 此時分配方案只有1種情況 第二類 有兩個班級去甲工廠 剩下的班級去另外三個工廠 其分配方案共有3 3 9 種 第三類 有一個班級去甲工廠 另外兩個班級去其他三個工廠 其分配方案共有3 3 3 27 種 綜上所述 不同的分配方案有1 9 27 37 種 方法二 間接法 先計算3個班級自由選擇去何工廠的總數(shù) 再扣除甲工廠無人去的情況 即4 4 4 3 3 3 37 種 方案 反思與感悟解決抽取 分配 問題的方法 1 當涉及對象數(shù)目不大時 一般選用列舉法 樹狀圖法 框圖法或者圖表法 2 當涉及對象數(shù)目很大時 一般有兩種方法 直接使用分類加法計數(shù)原理或分步乘法計數(shù)原理 一般地 若抽取是有順序的就按分步進行 若是按對象特征抽取的 則按分類進行 間接法 去掉限制條件 計算所有的抽取方法數(shù) 然后減去所有不符合條件的抽取方法數(shù)即可 跟蹤訓練23個不同的小球放入5個不同的盒子 每個盒子至多放一個小球 共有多少種方法 解 以小球為研究對象 分三步來完成 第一步 放第一個小球有5種選擇 第二步 放第二個小球有4種選擇 第三步 放第三個小球有3種選擇 由分步乘法計數(shù)原理得 總方法數(shù)n 5 4 3 60 解答 例3 1 將3種作物全部種植在如圖所示的5塊試驗田中 每塊種植一種作物 且相鄰的試驗田不能種同一種作物 則不同的種植方法共有 種 類型三涂色與種植問題 42 答案 解析 解析分別用a b c代表3種作物 先安排第一塊田 有3種方法 不妨設放入a 再安排第二塊田 有兩種方法b或c 不妨設放入b 第三塊也有2種方法a或c 1 若第三塊田放c 第四 五塊田分別有2種方法 共有2 2 4 種 方法 2 若第三塊田放a 第四塊有b或c兩種方法 若第四塊放c 第五塊有2種方法 若第四塊放b 第五塊只能種作物c 共1種方法 綜上 共有3 2 2 2 2 1 42 種 方法 2 將紅 黃 藍 白 黑五種顏色涂在如圖所示 田 字形的4個小方格內 每格涂一種顏色 相鄰兩格涂不同的顏色 如果顏色可以反復使用 共有多少種不同的涂色方法 解第1個小方格可以從5種顏色中任取一種顏色涂上 有5種不同的涂法 當?shù)?個 第3個小方格涂不同顏色時 有4 3 12 種 不同的涂法 第4個小方格有3種不同的涂法 由分步乘法計數(shù)原理可知有5 12 3 180 種 不同的涂法 當?shù)?個 第3個小方格涂相同顏色時 有4種涂法 由于相鄰兩格不同色 因此 第4個小方格也有4種不同的涂法 由分步乘法計數(shù)原理可知有5 4 4 80 種 不同的涂法 由分類加法計數(shù)原理可得共有180 80 260 種 不同的涂法 解答 引申探究本例 2 中的區(qū)域改為如圖所示 其他條件均不變 則不同的涂法共有多少種 解答 解依題意 可分兩類情況 不同色 同色 第一類 不同色 則 所涂的顏色各不相同 我們可將這件事情分成4步來完成 第一步涂 從5種顏色中任選一種 有5種涂法 第二步涂 從余下的4種顏色中任選一種 有4種涂法 第三步涂 與第四步涂 時 分別有3種涂法和2種涂法 于是由分步乘法計數(shù)原理得 不同的涂法為5 4 3 2 120 種 第二類 同色 則 不同色 我們可將涂色工作分成三步來完成 第一步涂 有5種涂法 第二步涂 有4種涂法 第三步涂 有3種涂法 于是由分步乘法計數(shù)原理得 不同的涂法有5 4 3 60 種 綜上可知 所求的涂色方法共有120 60 180 種 反思與感悟解決涂色 種植 問題的一般思路涂色問題一般是綜合利用兩個計數(shù)原理求解 有幾種常用方法 1 按區(qū)域的不同 以區(qū)域為主分步計數(shù) 用分步乘法計數(shù)原理分析 2 以顏色為主分類討論 適用于 區(qū)域 點 線段 等問題 用分類加法計數(shù)原理分析 3 將空間問題平面化 轉化為平面區(qū)域的涂色問題 種植問題按種植的順序分步進行 用分步乘法計數(shù)原理計數(shù)或按種植品種恰當選取情況分類 用分類加法計數(shù)原理計數(shù) 跟蹤訓練3如圖所示 將一個四棱錐的每一個頂點染上一種顏色 并使同一條棱上的兩個端點異色 如果只有5種顏色可供使用 則不同染色方法的總數(shù)為 答案 解析 420 解析按照s a b c d的順序進行染色 按照a c是否同色分類 第一類 a c同色 則有5 4 3 1 3 180 種 不同的染色方法 第二類 a c不同色 則有5 4 3 2 2 240 種 不同的染色方法 根據(jù)分類加法計數(shù)原理 共有180 240 420 種 不同的染色方法 達標檢測 1 有a b兩種類型的車床各一臺 現(xiàn)有甲 乙 丙三名工人 其中甲 乙都會操作兩種車床 丙只會操作a種車床 要從這三名工人中選兩名分別去操作這兩種車床 則不同的選派方法有a 6種b 5種c 4種d 3種 解析不同的選派情況可分為3類 若選甲 乙 有2種方法 若選甲 丙 有1種方法 若選乙 丙 有1種方法 根據(jù)分類加法計數(shù)原理知 不同的選派方法有2 1 1 4 種 答案 解析 1 2 3 4 5 答案 解析 2 用0 1 9這10個數(shù)字 可以組成有重復數(shù)字的三位數(shù)的個數(shù)為a 243b 252c 261d 648 解析0 1 2 9共能組成9 10 10 900 個 三位數(shù) 其中無重復數(shù)字的三位數(shù)有9 9 8 648 個 所以有重復數(shù)字的三位數(shù)有900 648 252 個 1 2 3 4 5 答案 解析 3 某班有3名學生準備參加校運會的100米 200米 跳高 跳遠四項比賽 如果每班每項限報1人 則這3名學生的參賽的不同方法有a 24種b 48種c 64種d 81種 解析由于每班每項限報1人 故當前面的學生選了某項之后 后面的學生不能再報 由分步乘法計數(shù)原理 共有4 3 2 24 種 不同的參賽方法 1 2 3 4 5 答案 解析 4 火車上有10名乘客 沿途有5個車站 乘客下車的可能方式有a 510種b 105種c 50種d 500種 1 2 3 4 5 解析分10步 第1步 考慮第1名乘客下車的所有可能有5種 第2步 考慮第2名乘客下車的所有可能有5種 第10步 考慮第10名乘客下車的所有可能有5種 故共有乘客下車的可能方式 510 種 1 2 3 4 5 答案 解析 5 如圖 用4種不同的顏色涂入圖中的矩形a b c d中 要求相鄰的矩形涂色不同 則不同的涂法有 種 解析a有4種涂法 b有3種涂法 c有3種涂法 d有3種涂法 共有4 3 3 3 108 種 涂法 1 2 3 4 5 108